Este documento describe un método para calcular la integral de una función racional mediante la descomposición de la función en fracciones parciales. Explica cómo descomponer funciones racionales en sumas de fracciones simples que pueden integrarse usando técnicas conocidas. Además, muestra ejemplos detallados del cálculo de varias integrales de funciones racionales.

1. Integraci´on por fracciones
parciales
El cociente de dos polinomios se denomina funci´on racional. La deri-
vaci´on de una funci´on racional conduce a una nueva funci´on racional que
puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte,
la integraci´on de una funci´on racional puede conducirnos a funciones que no
son racionales1 por ejemplo:
dx
x
= ln |x| + C y
dx
1 + x2
= arctan (x) + C
ahora daremos un m´etodo para calcular la integral de una funci´on racional
cualquiera y se ver´a que el resultado puede expresarse siempre por medio de
polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.
La idea del m´etodo es descomponer la funci´on racional en fracciones
simples que pueden calcularse por medio de t´ecnicas ya conocidas (de de-
be realizar la descomposici´on en fracciones parciales de la funci´on racional
considerada).
Supongamos entonces que f(x)
g(x) es una funci´on racional, si es impropia
podemos simplemente dividir y nos queda
f (x)
g (x)
= Q (x) +
R (x)
g (x)
donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´on) y R (x) es el resto de
la divisi´on (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)),
de esta forma toda funci´on racional se puede escribir como la suma de un
polinomio con una funci´on racional propia.
1
¿C´omo puede mostrarse que determinada funci´on no es racional?
1

2. Nelson Cifuentes F.
Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´on racional
propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma
A
(αx + β)k
(0.0.1)
y
Bx + C
(ax2 + bx + c)m (0.0.2)
donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y
b2
− 4ac < 0
en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´atica sin ra´ıces reales.
Luego el calculo de la integral de una funci´on racional, se reduce al
calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de
integrales de la forma
Adx
(αx + β)k
y
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
aprenderemos a calcular este tipo de integrales.
Ejemplo 1. Consideremos la integral
5x + 3
x2 + 2x − 3
dx
la funci´on racional
5x + 3
x2 + 2x − 3
es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) po-
demos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos
conocer las ra´ıces reales del denominador, como
x2
+ 2x − 3 = (x + 3) (x − 1)
se sigue que
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
5x + 3
(x + 3) (x − 1)
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3. Nelson Cifuentes F.
luego por el m´etodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B
tales que
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
A
x + 3
+
B
x − 1
para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´etodos co-
nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´on por el deno-
minador
5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3)
evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos
8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2
evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene
−15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3
se sigue
5x + 3
x2 + 2x − 3
=
3
x + 3
+
2
x − 1
luego
5x + 3
x2 + 2x − 3
dx =
3
x + 3
+
2
x − 1
dx
= 3
dx
x + 3
+ 2
dx
x − 1
= 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C
el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio
del denominador posee tantas ra´ıces reales como el grado del polinomio y
todas las ra´ıces distintas.
Ejemplo 2. Calcular
(2x − 1) dx
(x − 1) (x − 2) (x − 3)
Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposi-
ci´on en fracciones parciales:
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
=
A
x − 1
+
B
x − 2
+
C
2x − 3
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4. Nelson Cifuentes F.
y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las
constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador
2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos
2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0
as´ı
1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1
evaluando en x = 2 se obtiene
4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0
as´ı
3 = B
y finalmente, evaluando en x = 3
2 se obtiene
3 − 1 = A · 0 + B · 0 + C
3
2
− 1
3
2
− 2
as´ı
2 = C
1
2
−
1
2
=⇒ C = −8
se sigue
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
=
1
x − 1
+
3
x − 2
+
−8
2x − 3
luego
(2x − 1)
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
dx
=
1
x − 1
+
3
x − 2
+
−8
2x − 3
dx
=
dx
x − 1
+ 3
dx
x − 2
− 8
dx
2x − 3
= ln |x − 1| + 3 ln |x − 2| − 4 ln |2x − 3| + C
= ln
|x − 1| |x − 2|3
|2x − 3|4 + C
donde
dx
2x − 3
=
1
2
ln |2x − 3|
(recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2).
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5. Nelson Cifuentes F.
Ejercicio 1. Calcular
x
(x2 − 1) (x − 2)
dx
Ejercicio 2. Calcular
2x + 1
(3x − 1) (2x + 5)
dx
Ejercicio 3. Calcular
2x2 + x − 1
2x3 + x2 − 5x + 2
veamos ahora que pasa si la ra´ıces se repiten:
Ejemplo 3. Calcular
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
notemos que es una funci´on racional propia, luego podemos efectuar direc-
tamente la descomposici´on en fracciones parciales (no necesitamos dividir
los polinomios) luego
x2 + 2x + 3
(x − 1) (x + 1)2 =
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
desarrollando encontramos
A =
3
2
, B = −
1
2
y C = −1
se sigue
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
=
3
2
dx
x − 1
−
1
2
dx
x + 1
−
dx
(x + 1)2
=
3
2
ln |x − 1| −
1
2
ln |x + 1| +
1
x + 1
+ C
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6. Nelson Cifuentes F.
Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo
Adx
(αx + β)k
para k = 1 la integral es
Adx
αx + β
=
A
α
ln |αx + β| + C
para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = αx+β eso implica
du = αdx de donde
Adx
(αx + β)k
= A
du
αuk
=
A
α
u(−k+1)
(−k + 1)
+ C
=
A
α
(αx + β)(−k+1)
(−k + 1)
+ C
Ejemplo 4. Calcular
3dx
(2x − 1)3
Desarrollo: Podemos hacer la sustituci´on u = 2x − 1 =⇒ du = 2dx se sigue
3dx
(2x − 1)3 = 3
du
2u3
=
3
2
u−3
du
=
3
2
u−3+1
−3 + 1
+ C
= −
3
4
u−2
+ C
= −
3
4 (2x − 1)2 + C
Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
con b2 − 4ac < 0.
Ejemplo 5. Calcular
xdx
x2 + 2x + 2
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7. Nelson Cifuentes F.
note que en este caso, es denominador no posee ra´ıces reales ∆ = 4 − 8 =
−4 < 0 y
x
x2 + 2x + 2
ya es una fracci´on parcial (no tenemos que aplicar la t´ecnica de descompo-
sici´on), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la
forma
dv
v2 + 1
que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador,
x
x2 + 2x + 2
=
x
(x + 1)2
+ 1
luego
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
xdx
x2 + 2x + 2
si hacemos el cambio de variable
u = x + 1 =⇒ du = dx
luego
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
(u − 1) du
(u2 + 1)
=
udu
u2 + 1
−
du
u2 + 1
note que la primera es calculable por una simple sustituci´on v = u2 +1 (esto
es general para las integrales del tipo
xdx
(x2 + α2)m
las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 +
α2 =⇒ dv
2 = xdx) y la segunda es conocida, luego
udu
u2 + 1
−
du
u2 + 1
=
1
2
ln u2
+ 1 − arctan (u) + C
volvemos a la variable original
xdx
(x + 1)2
+ 1
=
1
2
ln (x + 1)2
+ 1 − arctan (x + 1) + C
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8. Nelson Cifuentes F.
entonces, toda integral de la forma
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
la podemos escribir como
Bxdx
(ax2 + bx + c)m + C
dx
(ax2 + bx + c)m
pero
Bxdx
(ax2 + bx + c)m
=
B
2a (2ax + b − b) dx
(ax2 + bx + c)m
=
B
2a
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m −
Bb
2a
dx
(ax2 + bx + c)m
de esta forma
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m =
B
2a
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m + C −
Bb
2a
dx
(ax2 + bx + c)m
la integral
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m
se puede calcular mediante la sustituci´on u = ax2 + bx + c =⇒ du =
(2ax + b) dx, por lo que no presenta mayor dificultad.
El problema ahora, es calcular integrales del tipo
dx
(ax2 + bx + c)m
completemos cuadrado de binomio
ax2
+ bx + c = a x2
+ 2
b
2a
x +
b2
4a2
−
b2
4a
+ c
= a x +
b
2a
2
+
4ac − b2
4a
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9. Nelson Cifuentes F.
note que b2 − 4ac < 0 =⇒ 4ac − b2 > 0 obtenemos
dx
(ax2 + bx + c)m =
dx
a x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a
m
=
1
am
dx
x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a2
m
hagamos el cambio de variables
x +
b
2a
=
4ac − b2
4a2
v
entonces
dx =
4ac − b2
4a2
dv
se sigue
1
am
dx
x + b
2a
2
+ 4ac−b2
4a2
m =
1
am
4ac−b2
4a2 dv
4ac−b2
4a2 v2 + 4ac−b2
4a2
m
=
1
am
4ac−b2
4a2
4ac−b2
4a2
m
dv
(v2 + 1)m
de donde obtenemos que el c´alculo de las integrales de la forma
dx
(ax2 + bx + c)m
puede ser reducido al c´alculo de integrales de la forma
dv
(v2 + 1)m
y estas pueden ser abordadas a trav´es de integraci´on por partes, en efecto
dv
(v2 + 1)m = v2
+ 1
−m
dv
= v−2m
1 +
1
v2
−m
dv
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10. Nelson Cifuentes F.
pongamos
k = 1 +
1
v2
−m
=⇒ dk = −m 1 +
1
v2
−m−1
−2
v3
dv
dr = v−2m
dv =⇒ r =
v−2m+1
−2m + 1
as´ı
dv
(v2 + 1)m =
v−2m+1
−2m + 1
1 +
1
v2
−m
−
v−2m+1
−2m + 1
−m 1 +
1
v2
−m−1
−2
v3
dv
es decir
dv
(v2 + 1)m =
v v2 + 1
−m
−2m + 1
−
2m
−2m + 1
v−2m+1 v2 + 1
−m−1
v−2m−2v3
dv
=
v
(−2m + 1) (v2 + 1)m −
2m
−2m + 1
1
(v2 + 1)m+1 dv
si en lugar de m ponemos m − 1 entonces
dv
(v2 + 1)m−1 =
v
(−2 (m − 1) + 1) (v2 + 1)m−1 −
2 (m − 1)
−2 (m − 1) + 1
1
(v2 + 1)m dv
es decir
dv
(v2 + 1)m−1 =
v
(−2m + 3) (v2 + 1)m−1 −
2m − 2
−2m + 3
1
(v2 + 1)m dv
as´ı
1
(v2 + 1)m dv = −
− (−2m + 3) v
(−2m + 3) (2m − 2) (v2 + 1)m−1 −
−2m + 3
2m − 2
dv
(v2 + 1)m−1
=
v
(2m − 2) (v2 + 1)m−1 +
2m − 3
2m − 2
dv
(v2 + 1)m−1
Ejemplo 6. Calcular
dx
(x2 + 1)2
Desarrollo: Aplicando la f´ormula de recurrencia anterior
dx
(x2 + 1)2 =
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
dx
x2 + 1
=
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
arctan x + C
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11. Nelson Cifuentes F.
Ejemplo 7. Calcular
dx
(x2 + 1)3
Desarrollo: con la f´ormula de recurrencia
dx
(x2 + 1)3 =
x
(2 · 3 − 2) (x2 + 1)3−1 +
2 · 3 − 3
2 · 3 − 2
dv
(x2 + 1)3−1
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3
4
dv
(x2 + 1)2
utilizando el ejercicio anterior
dx
(x2 + 1)3
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3
4
x
2 (x2 + 1)
+
1
2
arctan x + C
=
x
4 (x2 + 1)2 +
3x
8 (x2 + 1)
+
3
8
arctan x + C
Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una
funci´on racional cualquiera (aunque nuestros c´alculos se ven limitados por
tener que encontrar las ra´ıces que nos permitan hacer la descomposici´on en
fracciones parciales, para encontrar una descomposici´on de polinomios muy
generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las ra´ıces)
Ejemplos resueltos
1. Calcular
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx
Desarrollo: Primero notamos que la funci´on racional es propia, luego
podemos efectuar directamente la descomposici´on en fracciones par-
ciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las ra´ıces del deno-
minador
x3
− 1 = (x − 1) x2
+ x + 1
notemos que el segundo factor no tiene ra´ıces reales, as´ı
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
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12. Nelson Cifuentes F.
desarrollando encontramos
A = 1, B = 2 y C = 3
luego
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
=
1
x − 1
+
2x + 3
x2 + x + 1
luego
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx =
1
x − 1
dx +
2x + 3
x2 + x + 1
dx
= ln |x − 1| +
2x + 3
x2 + x + 1
dx
para calcular la integral
2x + 3
x2 + x + 1
dx
reordenamos en la forma
2x + 1 + 2
x2 + x + 1
dx =
2x + 1
x2 + x + 1
dx +
2
x2 + x + 1
= ln x2
+ 2x + 1 +
2dx
x2 + x + 1
ahora debemos calcular
2dx
x2 + x + 1
para ello completamos cuadrados
2dx
x2 + x + 1
= 2
dx
x2 + 2 1
2 x + 1
4 + 3
4
= 2
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
hacemos el cambio de variable
x +
1
2
=
3
4
u =⇒ dx =
3
4
du = dx
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13. Nelson Cifuentes F.
as´ı
2
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
= 2
3
4du
3
4u
2
+ 3
4
= 2
3
4
3
4
du
u2 + 1
= 2
1
3
4
arctan u
=
4
√
3
arctan
2
√
3
x +
1
2
+ C
as´ı
3x2 + 2x − 2
x3 − 1
dx
= ln |x − 1| + ln x2
+ 2x + 1 +
4
√
3
arctan
2
√
3
x +
1
2
+ C
2. Calcular
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2
Desarrollo: La funci´on racional es propia. Efectuamos la descomposi-
ci´on en fracciones parciales:
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 =
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
+
Dx + E
(x2 + 1)2
las constantes nos dan
A =
1
3
, B =
2
3
, C = −
1
3
, D = −1, E = 0
se sigue
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 =
1
3
1
x − 1
+
1
3
2x − 1
x2 + 2
−
x
(x2 + 1)2
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14. Nelson Cifuentes F.
luego
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
dx
x − 1
+
1
3
2x − 1
x2 + 2
dx −
xdx
(x2 + 1)2
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
2xdx
x2 + 2
−
1
3
dx
x2 + 2
−
xdx
(x2 + 1)2
pero
2xdx
x2 + 2
= ln x2
+ 2
y
dx
x2 + 2
la podemos calcular con el cambio de variable
√
2u = x =⇒
√
2du = dx
as´ı
dx
x2 + 2
=
√
2du
2u2 + 2
=
1
√
2
du
u2 + 1
=
1
√
2
arctan u
=
1
√
2
arctan
x
√
2
luego
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
ln x2
+ 2 −
1
3
√
2
arctan
x
√
2
−
xdx
(x2 + 1)2
y para
xdx
(x2 + 1)2
es simplemente hacer la sustituci´on
u = x2
+ 1 =⇒ du = 2xdx
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15. Nelson Cifuentes F.
as´ı
xdx
(x2 + 1)2 =
du
2u2
=
1
2
u−2
du
= −
1
2
u−1
+ C
= −
1
2 (x2 + 1)
+ C
as´ı
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2 dx
=
1
3
ln |x − 1| +
1
3
ln x2
+ 2 −
1
3
√
2
arctan
x
√
2
+
1
2 (x2 + 1)
+ C
Ejercicios propuestos
a)
(2x + 3) dx
(x − 2) (x + 5)
b)
x dx
(x + 1) (x + 2) (x + 3)
c)
x dx
x3 − 3x + 2
d)
x2 dx
x4 + 1
e)
dx
(x + 1) (x2 + 1)2
(x + 2)2
f)
x4 dx
(x2 + 3)2
g)
(x + 1) dx
(x2 − 1)2 h)
dx
x4 − 2x3
i)
x2 dx
(x2 + 2x + 2)2
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