Cuadratura cercului-rezolvata

CUADRATURA CERCULUI REZOLVATA
prin CIRCULATURILE PATRATULUI pentru PI=4/sqrt(PHI)
de Mircea-Mugurel Serban
PREAMBUL: Scrisoare deschisa… (Nominalizarea efectiva pe forumuri a destinatarului
o voi face ulterior, la momentul potrivit. Sper sa am si un raspuns pana atunci!)
Domnule ACADEMICIAN,
In primul rand, imi cer scuze pentru maniera de adresare, dar fac o ultima tentativa de a
ma face inteles in privinta demersurilor mele legate de cunoasterea unor corelatii aparte in
care este implicat Numarul de Aur, avand ca finalitate METODA ROMANEASCA de
REZOLVARE a CUADRATURII reale a CERCULUI.
Am asteptat in zadar, timp de peste de sase luni, raspunsul dumneavoastra la scurta mea
interventie adresata Presedintelui Academiei Romane, care –asa cum mi s-a comunicat
prompt- v-a fost transmisa, din cate am inteles (Sper sa nu gresesc!), spre informare,
analiza si raspuns…
Sunt aproape convins ca ma considerati, la prima apreciere, ca fiind prea insistent, chiar
insolent si intempestiv, insa va rog sa ma intelegeti ca asteptarile, de-a lungul a peste 16
ani, m-au pus in situatia sa reactionez cum nu mi-am dorit, recurgand uneori chiar si la un
stil quasi-pamfletar dobandit –probabil- pe vremea cand am fost gazetar (O, tempora!). Imi
cer iertare, pe aceasta cale, celor pe care i-am deranjat (mai mult sau mai putin!) prin
scrisul, atitudinea si actiunile mele, dar consider subiectul mult prea important incat sa
renunt la dezbatere si atestare aici, in ROMANIA!
Sustin totusi ca, cel putin intr-o prima etapa si in cateva momente ulterioare acesteia, am
procedat deontologic in sensul ca, desi ma documentasem indeajuns si intuisem (prin
1993) corelatia indisolubila si indubitabila intre Constanta Cercului (PI) si Numarul de Aur
(PHI), am facut afirmatia in nr.5 al revistei <STRING>, precum si cu alte ocazii, ca
problema ar trebui analizata si rezolvata de catre matematicieni si fizicieni, eu fiind departe
de statutul de specialist in aceste domenii…De fapt sunt, mai exact am fost economist,
acum pensionar.
Am constatat insa ca atat insistentele mele, cat si ale altora cu mai mult aplomb decat
mine (veti vedea!), nu au fost luate in seama nici in tara si nici pe plan international, in
“lumea dumneavoastra”, a matematicienilor, sau poate nu am aflat eu, neavand un
raspuns/feed-back direct! Este posibil sa aveti si sa va satisfaca vreo explicatie in acest
sens, dar multe personae m-au intrebat de ce nu sunt cunoscute si invatate cele mai multe
aspecte si corelatii legate de Numarul de Aur!?
Nu intentionez aici si nici in alta parte sa rescriu o istorie a Numarului de Aur (sau a Sirului
lui Fibonacci) incepand, spre exemplu, cu pitagoreicul Hippasus din Metapont, exclus si
executat simbolic, prin inecare, de catre confrati pentru indrazneala de a dezvalui
neinitiatilor secretele Dodecaedrului si ale Numarului de Aur! Aceasta poate fi aflata din
carti, publicatii si de pe internet, mai putin din manualele scolare (sau deloc!), ceea. ce nu
o apreciez (pe aceasta din urma) ca fiind o situatie de normalitate in procesul instructiv-
educativ, in secolul 21…
Trebuie sa mentionez ca nu sunt primul care sustin relatia PI=4/sqrt(PHI):
-Am gasit, de pilda, ca prin anii 60-70 ai secolului trecut(20!), Max Toth si Greg Nielsen, in
cartea lor <Energia secreta a piramidei/Pyramid power.The secret energy of the ancients,
The Last Paradigm: Pi by Phi
1
Mircea-Mugurel Serban

revealed>, abordeaza ca certa aceasta relatie, insa cand incearca o succinta analiza a
unghiului de la baza Marii Piramide (pe apoteme), gresesc flagrant si propun si ei
problema spre rezolvare si finalizare matematicienilor!
-Au mai existat si alte abordari anterioare celei de mai sus, printre care mie mi s-a parut
deosebit de interesanta aceea a lui Matila Ghyka (enciclopedist de origine romana,
cunoscut pentru lucrarile si cartile sale privind Numarul de Aur, ca element din natura
definitoriu si caracteristic, preluat in special in artele plastice: v.<Le Nombre
d’Or>/<Estetica si teoria artei>etc.!), care a sesizat -ca si altii, de altfel- apropierea dintre
raportul 4/(PI)=1.273 (…) si radicalul Numarului de Aur 1.272(…)=sqrt(PHI), tratand-o si
clasand-o insa drept “coincidenta cu totul intamplatoare”. Are in schimb meritul (printre
multe altele: baza vasta si solida de documentare , analiza matematizata si spirituala,
precum si excursul istoric deosebit nuantat!) de a-mi fi sugerat, prin continutul si topica
expunerii, natura raportului mentionat: 4/(PI) poate fi usor perceput si analizat ca dubla
relatie intre patrat si cerc, respectiv atat intre perimetrele, cat si intre suprafetele (ariile)
acestor doua forme geometrice, privite prin <prisma> posibilelor corelatii intr-un model
adecuat al Marii Piramide.
Acesta poate fi considerat PUNCTUL de plecare, teoretic si practic (inclusiv pe teren!),
pentru demonstratia, determinarea si configurarea geometrica a dublei CIRCULATURI a
patratului si –implicit- a CUADRATURII reale a cercului. Desigur ca mai sunt multe
aspecte de clarificat, printre care ceea ce eu am numit <PARADOXUL unghiurilor mici> …
Sper sa fie preluat si analizat de catre specialisti (matematicieni, fizicieni etc.).
Pana la finalul expunerii (in PARTEA a II-a) voi incerca sa va prezint si unele din posibilele
explicatii ale inspiratiilor mele, pe care multi preopinenti le considera bizare…!
Mai mentionez ca o parte din argumentele si continutul sustinerii ideilor si actiunilor mele
au fost postate pe http://www.stiinta.info/forum/index.php?topic=84.0 . Acesta va fi, in
acelasi timp, unul din plasamentele textului de fata…
IPOTEZA: PI=4/sqrt(PHI)=3.144605511029693144(…)
PARTEA A I-a: CIRCULATURA/CUADRATURA PERIMETRELOR:
Varianta INTEGRALA:
PASUL 1=Pe o coala de hartie A4 (preferabil de matematica, pentru usurinta constructiei
geometrice!), la 7centimetri de baza, pe mijlocul colii, se fixeaza cu creionul un punct pe
care-l notam cu litera G’…Masurarea exacta se efectueaza, bineinteles, cu RIGLA/
ECHER!
PASUL 2=Tot cu ajutorul RIGLEI, din punctul G’ se traseaza pe orizontala doua segmente
de dreapta de 3.5 centimetri, la stanga si la dreapta, ale caror capete corespondente le
notam cu A’(stanga) si B’(dreapta)…Pentru a nu incarca deocamdata constructia cu
conturul unui patrat, consideram segmentul de dreapta A’B’(total: 7 centimetri) ca fiind
MEDIANA/MERIDIANA si -in aceeasi masura- echivalentul LATURII bazei de marime
ipotetica 2(UNITATI) a unei PIRAMIDE, in cazul nostru doua UNITATI de 3.5 centimetri
fiecare, adecuate marimii colii de hartie si scopului propus…
NOTA 1:-Pentru o coala de hartie A3 UNITATEA ar fi de 7centimetri, LATURA
patratului/BAZA fiind de 2 UNITATI, masurand deci efectiv 14 centimetri…Este insa mai
dificil de gasit un COMPAS pe masura! Cred totusi ca se poate folosi cu succes si formatul
A3 recurgand la o unitate mai mica, mai ales daca se intentioneaza realizarea a mai mult
de doua piramide legate, ceea ce eu nu am incercat pana acum si nici nu mi-am stabilit un
asemenea obiectiv…
2

PASUL 3=Din punctul G’ trasam pe verticala in sus segmentul G’H’ de 3.5 centimetri
(UNITATEA aleasa), perpendicular pe dreapta A’B’, eventual cu ajutorul echerului
dreptunghic gradat in milimetri(mai ales daca nu folosim coala de matematica!).
Din acest moment si stadiu al demonstratiei nu voi mai folosi masurile/marimile exprimate
in centimetri ale segmentelor, ci ma voi raporta la 1(UNU/UNITATE!)!
NOTA 2:-1(UNU/UNITATE) pe care eu il consider ELEMENT PRIMordial /fundamental de
referinta…De altfel, din cate imi amintesc, asa se si procedeaza in practica demonstratiilor
matematice/geometrice, respectiv “investirea” unui segment de REFERINTA cu valoarea
1(UNU/UNITATE), inclusiv la cuantificarea functiilor trigonometrice pentru determinarea
dimensiunii unghiurilor, la alcatuirea capitolului corespunzator din <TABELELE
MATEMATICE> fiind luat in calcul insusi CERCUL de RAZA=1(UNITATE). Si -pentru a ma
face si mai bine inteles- ASA CUM ORICE SEGMENT (SAU…NUMAR) POATE FI
CONSIDERAT BAZA DE REFERINTA SI DECI REDUS LA
RAZA=1(UNU/UNITATE/UNIDIMENSIONALITATE, AJUNGAND INTR-UN PUNCT PE
CARE IL NUMIM, CONVENTIONAL, <CENTRU>), TOT ASA POT AFIRMA, fara sa am
senzatia ca gresesc sau ca exagerez, CA ORICE SISTEM DE REFERINTA POATE FI
CONSIDERAT UN CERC A CARUI RAZA ESTE MULTIPLU (unitar sau supraunitar) sau
chiar echivalent AL LUI 1(UNU/ UNITATE), GENERAND DEZVOLTARI DE DIVERSE
NATURI…SI IN ACEASTA ACCEPTIE, precum reciproca unei teoreme oarecare,
RECURGAND LA ATRIBUIREA UNEI VALORI SAU DIMENSIUNI INTR-UN SISTEM DE
CUANTIFICARE OARECARE, RAZA INSASI DEVINE <FACTOR DE
MULTIPLICARE(subunitar, unitar sau supraunitar)> REFERENTIAL!!! Ii putem atribui
ORICE VALOARE SAU DIMENSIUNE, inclusiv 3.14159(…), asa cum a procedat unul
din preopinentii mei pe forum-ul <stiinta.info>, ceea ce nu inseamna insa ca a rezolvat
problema PI-ului, prin RAZA cercului…As numi aceasta maniera de rezolvare ca fiind o
<TAUTOLOGIE GEOMETRICA CONCEPTUALA>, care se practica adesea!
Eu mai reamintesc si subliniez ca aceasta (RAZA), este in acelasi timp jumatatea LATURII
patratului circumscris cercului (precum si jumatatea DIAGONALEI patratului inscris!), IAR
ORICARE PATRAT POATE FI DIVIZAT LA INFINIT IN PATRATE DIN CE IN CE MAI MICI,
CU CERCURI INSCRISE SI CIRCUMSCRISE ASISDEREA, ALE CAROR UNGHIURI AU
INSA FUNCTIILE TRIGONOMETRICE EXPRIMABILE SI DETERMINABILE, IN MOD
EXCLUSIV, PRIN ELEMENTE RECTANGULARE, PATRATICE…cu care si noi lucram si
am putea lucra la “INFINIT”, fara SA NE INTREBAM: -DE CE, PE PARCURSUL
DEMONSTRATIILOR GEOMETRICE, NUMAI PRIN ELEMENTE
RECTANGULARE/PATRATICE/DREPTUNGHICE PUTEM DETERMINA UNGHIURILE
DIN INTERIORUL CERCULUI, PRECUM SI LATURILE SI UNGHIURILE TUTUROR
CELORLALTE FIGURI SI FORME GEOMETRICE???! Sunt aspecte peste care se trece
mult prea usor!!!
PASUL 4=Intra in scena COMPASUL, cu ajutorul caruia stabilim mai intai, prin
metodologia deja cunoscuta din clasele primare, mijlocul segmentului G’H’(UNITATE) pe
care il notam cu litera I’. Folosind RIGLA, trasam segmentul A’I’, fara sa mai trasam si
segmentul B’I’din aceleasi considerente de evitare a incarcarii inutile a constructiei.
Rezulta triunghiurile dreptunghice A’I’G’ si B’I’G’ identice, avand cateta comuna/
INALTIMEA I’G’=1/2(UNITATI)=0.5, catetele individuale A’G’=B’G’=1(UNU)=1, precum si
ipotenuzele individuale A’I’=B’I’(netrasata)=[sqrt(5)]/2=1.1180339887(…)
.
NOTA 3:-Eu numesc acest tip de triunghi, cu laturile 1/2//1//[sqrt(5)/2], GNOMON
GEOMETRIC PRIMORDIAL/ UNIVERSAL (FUNDAMENTAL), care -asa cum se poate
remarca- difera fata de VINCLUL/triunghiul ZIDARULUI, “clasicul” triunghi SACRU cu
laturile 3//4//5, atribuit lui Pitagora…Veti vedea si veti putea constata
3

ca, pornind de la acest tip de triunghi/GNOMON, se pot trasa nu numai unghiuri drepte,
patrate si dreptunghiuri, ci si alte operatiuni: determinarea SECTIUNII de AUR -(PHI) si
(phi)- , trasarea si construirea unui PATTERN piramidal (mai exact: transformarea unui
desen bidimensional/2D in doua sau mai multe PIRAMIDE tridimensionale/3D, corect si
exact determinate din punct de vedere geometric/matematic) etc.
PASUL 5=Trasam cu compasul CERCUL cu diametrul G’H’(1/UNU/UNITATE), avand
centrul in punctul I’ si -implicit- RAZA=1/2, dupa care se traseaza DOUA CERCURI cu
centrele in punctele A’ si B’, tangente exterioare la primul cerc in punctele J’ si K’ (si care
intersecteaza dreapta A’B’ in punctele L’ si M’)…Se constata foarte usor ca RAZELE
acestor cercuri au aceeasi masura, respectiv A’J’=B’K’=[sqrt(5)+1]/2=
1.6180339887(…)=(PHI) (Numarul de AUR).
NOTA 4:-Desi pentru scopul demonstratiei noastre nu se constituie intr-un aspect absolut
necesar, nu pot trece peste completarea procedurii de IMPARTIRE a segmentelor A’G’ si
B’G’ in MEDIE si EXTREMA RATIE, motiv pentru care se pot trasa DOUA CERCURI
concentrice interioare celorlalte doua, avand desigur aceleasi centre A’ si B’, tangente la
primul cerc in punctele J” si K” si care intersecteaza segmentul A’B’ in punctele L” si M”, cu
RAZELE A’J”=B’K”=[sqrt(5)-1]/2=0.6181339887(…), asadar cu 1(UNITATE) mai mici decat
razele celorlalte doua (care le sunt concentrice exterioare), situatie/ proprietate
UNICA(Numarul de Aur fiind mai mare cu 1/UNU/UNITATE decat inversul sau, situatie pe
care o putem exprima literal (PHI)-1/(PHI)=(PHI)-(phi)=1, dar pe care eu o consider
FUNDAMENTALA pentru GEOMETRIE, ignorata aproape complet pana acum…Pe scurt,
spunem ca punctele L’,L”,M’,M” impart(simetric) segmentele A’G’ si B’G’ in medie si
extrema RATIE, astfel incat:
A’L’/A’G’=B’M’/B’G’=1.618(…)/1=A’G’/A’L”=B’G’/B’M”=1/0.618(…)=1.618(…)…Cu alte
cuvinte, avem de-a face cu o PROPORTIE CONJUGATA intre marimile unor segmente
foarte usor de determinat, delimitate si definite din punct de vedere GEOMETRIC:
[sqrt(5)+1]/2=2/[sqrt(5)-1]=1.618(…)=(PHI), care au ca BAZA de REFERINTA 1(UNU/
UNITATEA!) si ca element de proportionalitate NUMARUL DE AUR(PHI): {[sqrt(5)+1]
[sqrt(5)-1]=5-1=4…etc. Consider ca aici este locul potrivit sa fac urmatoarele remarci,
observatii si precizari:
a-Exista mai multe procedee de impartire a unui segment in medie si extrema ratie, toate
avand ca baza de plecare laturile si celelalte elemente de constructie ale patratului, aspect
pe care il apreciez ca fiind esential in cele ce sustin eu privind PI=4/sqrt(PHI)…Ce mi se
pare destul de curios este si faptul ca fiecare “impatimit” de acest subiect (Sectiunea sau
Numarul de Aur) considera ca modelul/PATTERN-ul sau de lucru este cel mai adecuat
pentru obtinerea unor rezultate reprezentative si chiar exhaustive! Voi prezenta pe scurt, in
notele finale ale acestei demonstratii, procedeul D-lui Carlos Martin Piera care are totusi
meritul incontestabil privind rezolvarea(!) CUADRATURII propriu-zise a CERCULUI,
prezentand-o insa ca pe o varianta(…printre altele!) posibila, fara sa recurga la alte
procedee complementare, cum sunt MASURATORILE pe teren si fara posibilitatea de a
utiliza procedeul in combinatii mai complexe s.a.m.d.
b -Dintre toate procedeele eu il consider pe acesta, pe care il sustin aici si acum, ca fiind
cel mai complet si sugestiv, cu observatia ca, in lucrarile care mi-au cazut in mana si sub
ochi, erau duse din punctele de tangenta (notate aici cu J’,J”,K’,K”) numai arce de cerc
pana la intersectia cu dreapta A’B’, fara a se sugera cel putin prin arce mai mari(daca nu
prin cercuri complete!), pana la intersectia cu verticala ridicata prin punctele G’ si H’,
SECTIUNILE PIRAMIDALE care intereseaza pentru demonstratia in discutie, aici de
fata…
c-Unghiurile GNOMONULUI FUNDAMENTAL si functiile trigonometrice ale acestora se
regasesc in formulele 1.1-1.7 in http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html . De
4

asemenea, prin stradania unui cititor al forumului <stiinta.info>, au fost preluate, impreuna
cu celelalte formule si in
http://www.davidicke.com/forum/showthread.php?t=32453&page=181 (Nassim Haramein),
precum si in topic-ul <…61370&page=17> (Marko Rodin) al aceluiasi forum.
d-Desi masuratorile efectuate pana acum, in epoca moderna, nu au evidentiat in mod clar
introducerea Numarului de Aur si a proportiilor derivate de acesta in proiectarea si
constructia Marii Piramide de pe platoul Giseh, subliniez aici si acum ca se poate constata
usor prezenta GNOMONULUI 1//1/2//[sqrt(5)]/2 nu numai in ceea ce priveste unghiul de
vizualizare a Stelei Polare[v.Matila Ghyka: 26.56505118(…)gr.sexag.], ci analizand
profilele culoarelor care mi-au trecut prin mana am constatat, in diferite ipostaze, acelasi
unghi de inclinare, precum si prezenta celorlalte unghiuri ale GNOMONULUI, formate cu
verticala si orizontala locului…Mai mult chiar, am remarcat pozitionarea “in oglinda”, intre
camerele Regelui si a Reginei, a doua triunghiuri GNOMON (asemenea), avand catetele
mari situate pe orizontala comuna (sus/mare// jos/mica), astfel incat procedand in aceeasi
maniera ca la impartirea unui segment in medie si extrema RATIE (trasarea unor
cercuri/arce de cerc), se obtine profilul unei structuri embrionare(…sau:
rinichi/ureche/boaba de fasole/etc.)
MENTIUNE:-Indiferent necorelarile cu rezultatele multitudinii de masuratori pe Platoul
Giseh ,aspectele mentionate mai sus si multe altele(inclusiv inspiratiile mai mult sau mai
putin bizare), m-au determinat sa cuplez la varianta folosirii Numarului de Aur cel putin in
conceperea si proiectarea Marii Piramide…Iar rezultatele, cum veti vedea, au fost peste
asteptari, fie si daca nu vom reusi niciodata sa aflam toate detaliile si mai ales scopurile
ezoterice si chiar functionale ale constructiei!...
PASUL 6=Se noteaza cu litera N’ intersectia cercurilor de raza (PHI) (avand centrele in A’
si B’) cu verticala care trece prin punctele G’, H’ si I’si se traseaza segmentele A’N’ si
B’N’…
Acestea sunt, in fapt, laturile egale cu (PHI) ale triunghiului isoscel A’N’B’, pe care il
consideram SECTIUNEA mediana/MERIDIANA a PATTERN-ului piramidal, alcatuit din
triunghiurile dreptunghice identice A’N’G’ si B’N’G’, cu masurile: 1=CATETELE mici:
A’G’=B’G’//[sqrt(PHI)] =CATETA mare (comuna)/INALTIMEA piramidei: N’G’//
(PHI)=IPOTENUZELE A’N’=B’N’…In aceeasi masura se considera ca aceste din urma
segmente [(A’N’=B’N’=(PHI)], fiind APOTEMELE piramidei reprezinta, la randul lor,
INALTIMEA fetelor laterale(triunghiuri isoscele, de asemenea).
NOTA 5:-Se constata si aici diferenta prin 1(UNU/UNITATE), proprietate specifica
Numarului de Aur ,de asta data intre PHI^2=(ipotenuza^2) si PHI=[ (cateta mare)^2
=sqrt(PHI)^2],REZULTATUL fiind 1[UNU/UNITATE=(cateta mica)^2 =1^2=1=cateta mica].
Acest tip de triunghi dreptunghic este si el UNIC printre suratele sale, avand laturile
crescande in PROGRESIE GEOMETRICA cu RATIA=sqrt(PHI)=1.272 (…), spre deosebire
de alte triunghiuri pitagoreice /diofantine/ ”sacre”/etc.,ale caror laturi cresc in progresie
aritmetica, ex:3//4//5. UNIC, dar in acelasi timp cu valente mai mult decat
GENERALIZATOARE, as putea spune (fara teama de a gresi!) VALENTE DEFINITORII,
pentru o MATEMATICA/ GEOMETRIE care se vrea COMPLETA, apropiata de perfectiune,
dar mai ales REALA, NATURALA si EXACTA, sau… indiferent cum am vrea noi sa o
denumim si sa o caracterizam…
Ipostazele PHI-1/PHI=PHI^2-PHI=1 au fost transpuse de altfel de catre matematicieni si in
ecuatia algebrica x^2-x-1=0, avand una din solutii Numarul de Aur(PHI). Ceea ce nu am
gasit insa pe nicaieri in lucrarile consacrate sunt si alte egalitati interesante, rezultate si
coroborate logic cum ar fi, de pilda, x^2-1/x-2=0, care duce implicit la x^3-2x-1=0, cu
aceeasi solutie (PHI/Numarul de Aur) si nu am gasit nici ecuatia x^2+x-1=0, care are ca
solutie 1/PHI=phi=0.618(…) s.a.m.d…Desi lucrurile par foarte simple si fara “bataie de
5

cap”(la…”mintea cocosului”!), afirm cu toata convingerea ca nu sunt luate in seama si
poate aceasta este una.din cauzele ignorarii si chiar respingerii unor concluzii si implicatii
cu mult mai importante si profunde!!!…
Cum am mai spus, sustinatorii TEORIEI prezentei Numarului de Aur in conceptia si
proiectarea Marii Piramide afirma ca TRIUNGHIUL isoscel, exprimat aici literal prin A’N’B’,
reprezinta SECTIUNEA MERIDIANA/MEDIANA, segmentul N’G’=[sqrt(PHI)]=1.272(…)=
(CATETA MARE comuna a celor doua triunghiuri dreptunghice A’N’G’ si B’N’G’) devenind
INALTIMEA piramidei, laturile notate aici cu A’N’=B’N’=(PHI) reprezentand echivalentul
celor patru APOTEME, respectiv INCLINATIA pe BAZA a fetelor laterale (triunghiuri
isoscele, de asemenea), iar segmentul A’B’ (format din CATETELE MICI A’G’=B’G’=1),
fiind, cum am mai mentionat la PASUL 2, in aceeasi masura, echivalentul LATURII si
MEDIANEI/ MERIDIANEI bazei piramidale. Analiza unghiulara si functiile trigonometrice
ale acestor configuratii triunghiulare, cu semnificatii deosebite -intre care cel de
51.82729237(…)gr. sexag., similar unghiurilor de 0//45//90 grade sexag.(!!!)- se regasesc
in formulele 2.8-2.14 in http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html …In acelasi
timp, segmentele A’N’=B’N’= (PHI) sunt (subliniez: in aceste conditii!), INALTIMI ale
FETELOR/triunghiuri laterale!…
PASUL 7=Intre varfurile COMPASULUI se cuprinde unul din segmentele A’N’=B’N’=(PHI),
se transfera masura pe verticala punctului G’ in sus, fixandu-se pozitia punctului O’
(deasupra punctului N’) si se uneste acest punct (trasandu-se cu RIGLA) cu punctele A’si
B’ si separat cu G’(prin H’, I’ si N’). Se obtine triunghiul/FATA (laterala) a
piramidei/PATTERN, notat aici literal A’O’B’, format din triunghiurile dreptunghice A’O’G’ si
B’O’G’, fiecare avand laturile: CATETELE mici A’G’=B’G’=1//CATETA
mare/INALTIME/APOTEMA(comuna)O’G’=(PHI)// IPOTENUZELE/ MUCHII A’O’=B’O’=
sqrt[(PHI^2)+1]=sqrt[3.6180339887(…)]= 1.902113033(…)…
NOTA 6:-Unghiurile si functiile trigonometrice ale triunghiurilor notate aici cu A’O’G’ si
B’O’G’ se regasesc in formulele 2.1-2.7 ale site-ului mentionat…Vreau insa sa scot in
evidenta alte aspecte ale corelatiilor ivite in acest stadiu al demonstratiei:
a)-Valoarea 1.902113033(…), fiind latura in dubla ipostaza a fetelor laterale, reprezinta in
acelasi timp MUCHIA pattern-ului PIRAMIDAL pe care il analizam, dar este totodata
expresia numerica a laturii PENTAGONULUI STELAT inscris in cercul cu RAZA=1
(UNU/UNITATE) si se mai poate scrie: L5S=sqrt[(PHI^2)+1]=sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]…
b)-Daca facem insa RAPORTUL intre LATURA BAZEI si MUCHIA piramidei, respectiv 2/
{sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]}=2/1.902113033(…), obtinem rezultatul 1.051462224(…), acesta
reprezentand nici mai mult nici mai putin decat…MUCHIA ICOSAEDRULUI(corpul
geometric cu 20 fete triunghiuri) inscris in SFERA cu RAZA=1, CORP GEOMETRIC care
la Antici(!?) reprezenta elementul <APA>…Din acest motiv am denumit Pattern-ul in
discutie ca fiind <PIRAMIDA APEI>. Putem spune, fara sa gresim, ca echivalentul numeric
al unui element (MUCHIA) de constructie a unui CORP GEOMETRIC(in cazul nostru
concret: ICOSAEDRUL/APA) se constituie/transforma el insusi intr-un COD de realizare a
altei FORME GEOMETRICE: Pattern-ul PIRAMIDAL Keops(???!)…Sunt multe de spus,
de pilda nu mi se pare lipsita de importanta observatia ca aceeasi valoare[1.051462224
(…)] apare ca RAPORT/cod (?!) intre laturile DECAGOANELOR convexe, circumscris si
inscris aceluiasi CERC, aspect care se poate constata foarte simplu prin rezultatul
impartirii TANGENTEI si SINUSULUI unghiului de 18 gr.sexag…Sa nu uitam, de altfel, ca
latura decagonului convex are valoarea (phi)=0.6180339887(…), in timp ce latura
decagonului stelat este chiar (PHI)=1.6180339887(…), ca raportul
(PHI)=lat.decagon.stelat/lat.hexagon=
lat.hexagon/lat.decagon.convex=lat.pentagon.stelat/lat.pentagon.convex=muhia.cub(PAM
ANT)/muchia.dodecaedru(COSMOS/ETER/AKASHA) s.a.m.d.
6

c)-Pe aceasta filiatie, descrisa la aliniatele de mai sus [NOTA 6-a) si -b)], mi-a aparut si
inspiratia formulei <PIRAMIDA LOGISTICA>(a se vedea detaliile unei prime variante
in http://freewebs.com/goldenno/html/df.html ), in care sunt abordate cateva dintre
corelatiile care exista si le-am putut determina intre figuri si forme geometrice prin “prisma”
Numarului de Aur)…Si lucrurile nu se opresc aici! Deocamdata va spun numai ca, in
aceasta privinta, insasi formula<PIRAMIDEI LOGISTICE> mai suporta comentarii si
posibilitati de perfectionare: -De pilda, pana la alte clarificari, va sugerez (macar ca
exercitiu mental) sa reflectati, in conditiile unor posibile codificari aratate in paragraful
anterior, la cele 13(14) propozitii ale…TABULEI SMARAGDINA, in cazul de fata in special
propozitiile 6-7-8!!!...Fara pretentia de a fi “ultima strigare”, iata deci o alta varianta
posibila: -Este de ajuns sa inlocuim in formula amintita mai sus <factorul de multiplicare
R> cu expresia {1*[4/sqrt(6)]} care este ECHIVALENTUL muchiei TETRAEDRULUI, avand
valoarea numerica 1.632993162(…). Acesta din urma reprezenta <FOCUL>s.a.m.d.
Bineinteles ca se pot face multe asemena deductii, pe care nu stiu in ce masura le veti
considera pure “speculatii”, dar in orice caz eu sustin ca nu sunt lipsite de semnificatie, de
pilda: prin impartirea ultimei expresii la [sqrt(2)] (MUCHIA OCTAEDRULUI/AER), se obtine
[2/sqrt(3)], cu valoarea numerica 1.154700538(…), aceasta fiind MUCHIA
CUBULUI/PAMANT (Asadar, este ca si cum am da curs unei proceduri de tipul ”…
separam subtilul”/FOC/TETRAEDRU “de grosier”/ PAMANT/cenusa/CUB prin
suprimarea/extragerea AERULUI/OCTAEDRU!!! Etc.).
Facand abstractie deocamdata de expresia{[sqrt(5)-1]/sqrt(3)} =[2(phi)/sqrt(3)]=2/
[(PHI)sqrt(3)]=0.713644179(…)=(MUCHIA DODECAERULUI/cosmos/ETER/ AKASHA),
ceea ce mi se pare si mai interesant este faptul ca, introducand in calcul 100 drept
MULTIPLICATOR general (in locul lui <1/UNU/ UNITATE>), rezulta 115.47 metri, deci
230.94 metri pentru latura BAZEI piramidale/ PATTERN, o valoare comparabila cu
masuratorile de pe Platoul GISEH (Keops?) !?... Desi ma pot prevala aici de vorba
gospodarului chinez din cartea lui Alan Watts (orientalistul) <DAO ca o curgere de APA>:
”Asa o fi!”, totusi convingerea mea inclina spre aceste solutii/CODURI numerice, cu
semnificatii multiple si definitorii, mai ales ca se vor finalize, asa cum veti constata, cu
configurarea/ construirea efectiva a doua piramide legate/unite, dintr-o simpla coala de
hartie A4!
PASUL 8=Trasam cu COMPASULcercul cu centrul O’, avand RAZA O’A’=O’B’=
1.902113033(…)={sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]}, iar pe conturul cercului se transfera (tot cu
compasul) de inca trei ori, din punctul B’ (in sensul invers acelor de ceasornic!), masura
segmentului A’B’[2 UNITATI], punctele notandu-se literal in continuare C’, D’(D) si A’(A). Se
unesc cu RIGLA punctele obtinute astfel. Cele patru coarde/segmente rezultate, respectiv
A’B’, B’C’, C’D’ si D’(D)A’(A), reprezinta laturile BAZEI piramidale/ PATTERN.
PASUL 9=Se uneste (cu RIGLA) punctul O’cu punctele C’, D’(D) si A’(A)…Am obtinut deci
cele patru FETE piramidale: A’O’B’, B’O’C’, C’O’D’ si D’O’A’. (De altfel chiar si in acest
stadiu se poate configura o piramida 3D, recurgand la taieturi si indoituri adecuate, fara a
arunca insa nici o portiune din coala de hartie!).
PASUL 10=Trasam (cu compasul) CERCUL cu centrul N’, avand RAZA [sqrt(PHI)]=
N’G’(tangent la A’B’ in punctul G’) si se mai traseaza (cu rigla) in josul colii PATRATUL
ajutator notat A’B’C”D”, identic/egal cu BAZA piramidei/PATTERN (A’B’C’D’) descrisa la
PASUL 9, astfel incat noua latura C”D” se situeaza la baza colii de hartie.
-CONCLUZII partiale=In acceptia PI=4/sqrt(PHI) se sustine ca CIRCUMFERINTA cercului
(care are ca raza inaltimea [sqrt(PHI)] a PIRAMIDEI/pattern/in cazul nostru CERCUL cu
centrul O’, de raza O’A’=O’B’) si PERIMETRUL bazei (cu LATURA=2 UNITATI/in cazul
7

nostru PATRATUL notat A’B’C’D’, acelasi cu A’B’C”D”) sunt EGALE…Cu alte cuvinte, daca
vom confectiona un ECHER cu profilul A’N’B’ putem spune ca este rezolvata definitiv
cuadratura PERIMETRELOR, in sensul ca putem trasa in orice moment un CERC
oarecare dupa care, cu ajutorul Echerului, trasam un PATRAT cu PERIMETRUL egal cu
CIRCUMFERINTA data! Am in vedere, desigur, variante de dimensiuni. Mai fac mentiunea
ca desenul demonstratiei, prezentata aici, va diferi foarte putin fata de desenul initial din
finalul http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html …Ii invit pe cititorii acestor randuri sa
constate singuri diferentele! O pot face chiar si in acest stadiu…
Asadar, deocamdata am obtinut numai circulatura/cuadratura PERIMETRELOR (chiar
daca matematcienilor li se va parea o formulare improprie!), fara de care insa nu poate fi
rezolvata, in cadrul acestui procedeu, CUADRATURA propriu-zisa, aceea a ARIILOR. …
Pe de alta parte, am considerat ca realizarea a doua piramide conexe, pe(2D) si din(3D)
aceeasi coala de hartie, este mult mai sugestiva si completa, oferind o imagine de
ansamblu a problematicii in discutie (luand in considerare si NOTELE anexate!).
PARTEA A II-a: CIRCULATURA/CUADRATURA SUPRAFETELOR (ARIILOR)
PASUL 11=Din formulele 1.8 si 2.1-2.7 (http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html
) se deduce cu certitudine ca unghiul A’I’G’(ca si B’I’G’, de altfel) este identic/egal cu
unghiul A’O’B’ si pentru intelegerea mai buna a constructiei si demonstratiei se traseaza
inca un triunghi ajutator A”I’B”. Pentru trasare sugerez folosirea celei mai simple metode,
respectiv preluarea dimensiunilor laturilor si inaltimii FETEI laterale A’O’B’a PATTERN-ului
piramidal, cu COMPASUL sau direct cu RIGLA, transferandu-le pe noul amplasament,
cele doua laturi egale ale triunghiului isoscel (A”I’ si B”I’) devenind astfel prelungiri ale
laturilor GNOMONULUI, I’A’ si I’G’, inaltimea notandu-se cu I’G”(egala cu O’G’), detaliu
mai putin important pentru <ikonomia> demonstratiei!
NOTA 7:-Remarcam insa un alt DETALIU foarte IMPORTANT: - Cu ajutorul unghiului
A’I’G’se pot determina functii trigonometrice ale unghiului A’O’B’in ipostaza situarii acestuia
intr-un triunghi dreptunghic, identic cu GNOMONUL nostru (PRIMORDIAL /UNIVERSAL)
…Pentru exemplificare si intr-o masura majora pentru un motiv pe care vi-l voi dezvalui
imediat si-l veti intelege in urmatorii pasi ai demonstratiei, ne limitam numai la functia
COSINUS: I’G’/I’A’= 0.5/[sqrt(5)/2]=0.447213595(…)…Se confirma astfel unghiul de
63.43494883(…)gr.sexag. din varful fetelor laterale ale PATTERN-ului piramidal!
Ei bine, trebuie sa gasim MODELUL/PROCEDEUL similar pentru construirea unei
PIRAMIDE a carei INALTIME sa fie de asta data RAZA unui CERC cu ARIA egala cu
SUPRAFATA aceluiasi PATRAT(baza piramidei!)…Dar mai intai stabilim foarte usor ca
INALTIMEA unei asemenea piramide, in conditia PI=4/sqrt(PHI), trebuie sa fie
sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838485(…) in raport cu 1(UNU/UNITATE), respectiv cu jumatatea
laturii BAZEI…
Ca noutati pentru site-ul http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html , voi adauga
formulele 2.22-2.42, astfel: formulele 2.22-2.28 pentru fetele piramidei, 2.29-2.35 pentru
sectiunea meridiana/mediana si 2.36-2.42 pentru sectiunea corespunzatoare muchiilor si
diagonalei bazei. Deocamdata insa avem nevoie numai de UNGHIUL din varful FETELOR
laterale, al carui COSINUS il stabilim asa cum am procedat la PASUL 11! Aceste elemente
le-am gasit usor: UNGHIUL este de 67.12283858(…)gr.sexag. cu
COSINUS=0.388756727(…). Urmeaza sa plasam UNGHIUL gasit intr-un triunghi
DREPTUNGHIC cu laturi determinabile…Cel mai simplu si sugestiv este sa ne axam pe
aceeasi CATETA G’I’=1/2=0.5, dupa care trebuie sa-i aflam IPOTENUZA, a carei valoare
numerica o putem deja stabili prin urmatorul calcul: 0.5/0.388756727(…)=
=1.286151377(…).
8

PASUL 12=Prin punctul H’trasam ca linie intrerupta segmentul ajutator PQ, paralel si egal
(2 UNITATI) cu A’B’ si notam cu R intersectia acestuia (PQ) cu A’N’. Am obtinut segmentul
PR a carui valoare numerica este 1/sqrt(PHI)=0.786151377(…), corect determinata:-Este
COTANGENTA unghiului N’A’G’=51.82729237(…)gr.sexag., respectiv inclinatia fetelor
laterale pe baza piramidei PATTERN(v.si Anexa<NOTE>)!
PASUL 13=Intre varfurile COMPASULUI preluam segmentul H’I’(sau G’I’) si plasam
masura(1/2=0.5) in continuarea segmentului PR (spre dreapta), obtinand segmentul PS=
PR+RS=1/sqrt(PHI)+1/2=0786151377(…)+0.5=1.286151377(…).
PASUL 14=Tot cu ajutorul COMPASULUI, fixandu-i acul in punctul I’, transferam masura
PS pana la intersectia cu prelugirea segmentului A’B’ si obtinem segmentul I’S’. Rezulta
unghiul G’I’S’de 67.12283858(…)gr.sexag. al carui COSINUS este I’G’/I’S’=
0.5/1.286151377(…)= 0.3887567(…). Prelungim segmentul I’S’in jos, spre dreapta colii
(segmentul I’G’este deja prelungit)…Am obtinut astfel unghiul din VARFUL fetei unei
posibile PIRAMIDE. Aceasta din urma va avea, in mod cert INALTIMEA -veti vedea- de
sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838485(…).
PASUL 15=Folosind procedeele elementare cunoscute, determinam si trasam, ca
semidreapta, bisectoarea unghiului G’I’S’. De-o parte si de alta a bisectoarei culisam cu
coltul dreptunghic al ECHERULUI gradat(RIGLA) pana la obtinerea UNITATII alese (la
PASUL 2) si respectiv a BAZEI de 2 UNITATI cu intersectiile prelungirilor segmentelor
I’G’si I’S’. Notam punctele de intersectie cu A(e), pe prelungirea segmentului I’G’ si cu D(f)
pe prelungirea segmentului I’S’. Notam cu G(t) proiectia bisectoarei pe mijlocul
segmentului BAZA notat A(e)D(f).
PASUL 16=Cu RIGLA si COMPASUL transferam toate elementele de constructie si
punctele de intersectie ale triunghiului isoscel A(e)I’D(f), rezultat la PASUL 15, pe
amplasamentul avand ca BAZA latura A’(A)D’(D) si se modifica notatia noului
amplasament al punctului I’, acesta devenind O. Putem deja sa afirmam ca am obtinut si
am amplasat una din fetele unei noi PIRAMIDE si ii putem modifica/simplifica notatia
literala a variantei de lucru, avand acum ca rezultat triunghiul isoscel AOD cu inaltimea
OG, latura AD(DA) fiind comuna (aceeasi) cu latura bazei A’D’(D’A’) a primei
piramide/PATTERN. Acest triunghi este format din triunghiurile dreptunghice AOG si DOG,
avand laturile dimensionate astfel: 1=CATETELE mici AG si DG// sqrt[sqrt(PHI)
+1]=1.507322(…)=CATETA mare (comuna)/INALTIMEA/APOTEMA notata
OG//sqrt[sqrt(PHI)+2]=1.808872(…)= IPOTENUZELE/MUCHIILE piramidei, notate OA si
OD.
PASUL 17=Trasam cu COMPASUL cercul cu centrul in punctul O, cerc a carui
circumferinta trece prin punctele A si D, avand deci raza OA (ca si OD, de altfel!).
Procedam in continuare ca la PASUL 8, transferand din punctul A de inca trei ori masura
segmentului AD pe conturul cercului, de data asta in sensul acelor de ceasornic, notand
bineinteles punctele de contact cu circumferinta B, C si D, care se unesc trasandu-le cu
RIGLA. Avem ca rezultat toate cele patru coarde/laturi ale BAZEI noii PIRAMIDE: AB, BC,
CD si DA [aceasta din urma fiind folosita pana acum cu notatiile A(e)(A’)D(f)(D’) ca
variante de lucru si pentru efectuarea transferurilor, pozitionarea pe noul amplasament
etc.].
PASUL 18=Procedand ca la PASUL 9, unim punctul O cu punctele A, B, C si D si obtinem
cele patru fete ale noii PIRAMIDE: AOB, BOC, COD si DOA…Desi acum putem sa
9

configuram tridimensional(3D) doua piramide legate, amanam momentul deoarece nu am
terminat DEMONSTRATIA pe care mi-am propus-o privind circulatura/ CUADRATURA
suprafetelor/ARIILOR…
PASUL 19=Preluam cu COMPASUL masura segmentului OG=INALTIMEA fetelor/
APOTEMA=sqrt[sqrt(PHI)+1=1.507322(…) si fixand varful ascutit in punctele A si D,
determinam intersectia comuna cu OG, pe care o notam cu N, triunghiul AND fiind (chiar
daca folosim aceleasi notatii) sectiunea MEDIANA a noii PIRAMIDE, formata din
triunghiurile dreptunghice ANG si DNG, cu dimensiunilelaturilor: 1=CATETELE mici AG si
DG//sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838(…)=CATETA mare(comuna)/INALTIMEA
piramidei//sqrt[sqrt(PHI)+1]=1.507322(…)=IPOTENUZELE/APOTEME ale noii
PIRAMIDE…
PASUL 20=Trasam CERCUL cu centrul N, tangent la latura AD in punctul G, avand deci
RAZA NG=sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838(…). De asta data va spun ca am finalizat ceea ce mi-
am propus si anume DEMONSTRATIA privind circulatura ARIILOR, in sensul ca am
obtinut un CERC (cu centrul N si raza NG) a carui ARIE este egala cu fiecare din
SUPRAFETELE date ale patratelor ABCD si A’B’C’D’, BAZELE celor doua PIRAMIDE,
precum si cu patratul ajutator A’B’C”D”. Aceasta pare o rezolvare inversa a
CUADRATURII, dar puteti constata foarte usor ca, daca vom confectiona ECHERE cu
profilul AND de diferite dimensiuni, putem oricand sa afirmam, fara “teama” de a gresi, ca
ne aflam in posesia REZOLVARII definitive a CUADRATURII (propriu-zise), pe care o
putem purta in…BUZUNAR!!!
PASUL 21=Se traseaza liniile hasurate (tip “cusatura”) spre marginile colii de hartie, pe
care, pentru evitarea confuziilor, le-am notat astfel: A’a’, B’b’, O’o’, C’c’, Aa, D’d’, Bb, Oo,
Cc (posibil foarte scurta sau deloc!) si Dd…Observati ca am facut enumerarea de jos in
sus! Oricum, cu sau fara hasurare, taiem cu FOARFECA pe aceste linii/trasee, urmarind
exactitatea taieturilor.
PASUL 22=Se procedeaza la indoirea portiunilor de hartie obtinute in conditiile de mai
sus, precum si confectionarea propriu-zisa a celor DOUA PIRAMIDE unite/legate, asa cum
urmeaza (enumerarile le fac de sus in jos!):
a)-Pe liniile celor 7 BAZE, notate cu CD, BC, AB, DA(D’A’), C’D’(D), B’C’ si B’A’, indoirea
se face in sus, spre <suprafata de lucru> a colii de hartie, portiunile ramase libere in afara
celor DOUA PIRAMIDE constituindu-se ele insele intr-o PLATFORMA de sprijin si
sustinere a intregului “EDIFICIU”!
b)-Pe liniile celor 10 MUCHII, notate OD, OC, OB, OA(A’), OD(D’), O’A’(A), O’D’(D), O’C’,
O’B’ si O’A’, indoiturile se fac in sensul invers celor de la aliniatul (a), respectiv in jos, spre
dosul/spatele colii de hartie, dar numai atat incat sa permita oricand formarea celor DOUA
profiluri piramidale…Ramane la latitudinea fiecaruia maniera/ modalitatea de fixare si
stabilizare a celor doua PIRAMIDE, respectiv cu ace, agrafe sau pelicanol!!!
10

CUADRATURA, pur si simplu !
CUADRATURA: -Ambele segmente, LATURI ale PATRATELOR corespondente
CERCULUI (de DIAMETRU=1/UNITATE), sunt construibile/CONSTRUITE cu RIGLA si
COMPASUL, rezultand din FUNCTIILE trigonometrice ale urmatoarelor UNGHIURI :
1)Pentru PERIMETRU:
LATURA=1/sqrt(PHI)=sqrt(phi)=sin51.82729237(…)gs.=ctg51.82729237(…)=
=cos38.17270763(…)gs=tg38.17270763(…)gs=0.786151377(…).
2)Pentru SUPRAFATA (CUADRATURA propriu-zisa):
LATURA=1/sqrt[sqrt(PHI)]=sqrt[sqrt(phi)]=ctg48.43814254(…)gs=tg41.56185746(…)gs=
=0.886651779(…).
Mircea-Mugurel Serban (VLAHSTAR)
11

Trimiteri:
http://freewebs.com/goldenno
http://quadrature-code.blogspot.ro
http://numaruldeaur.blogspot.ro
12
http://pi-by-phi-quadrature.blogspot.ro

Cuadratura cercului-rezolvata

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

Cuadratura cercului-rezolvata