Permutaciones y combinaciones

1. Permutaciones y
combinaciones

2. Permutaciones y
combinaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra “combinación”
descuidadamente, sin pesar en si el orden de las cosas es
importante. En otras palabras:
“Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas,
uvas y bananas”: no importa en qué orden pusimos las
frutas, podría ser “bananas, uvas y manzanas” o “uvas,
manzanas y bananas”, es la misma ensalada.

3. Permutaciones y
combinaciones
¿Qué diferencia hay?
“La combinación de la cerradura es 472”: ahora sí importa el
orden. “724” no funcionaría, ni “247”.
Tiene que ser exactamente 4-7-2.

4. Permutaciones y
combinaciones
Usando un lenjuage más preciso:
“Si el orden NO importa, es una combinación”.
“Si el orden SÍ importa, es una permutación”.

5. Función factorial
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican
números descendentes.
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5,040
1! = 1

6. Función factorial
En general se está de acuerdo en que 0! = 1.
Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún
número dé 1, pero ayuda a simplicar algunas ecuaciones.

7. Permutaciones
Las permutaciones son maneras de distribuir objetos.
Dados “n” objetos distintos, cualquier forma de ordenarlos se
denomina una permutación. Las formas de ordenar “r” de los
“n” objetos se denominan permutaciones r a r.

8. Permutaciones
Para ayudarte a recordar, piensa en Permutación…
Posición.
Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que
el orden SÍ IMPORTA.

9. Clasificación de las
permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
• Se permite repetir: como un código, podría ser “333”.
• Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en llegar en
una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la
vez.

10. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes “n” cosas para
elegir y eliges “r” de ellas, las permutaciones posibles son:
n x n x … (r veces) = nr
(Porque hay “n” posibilidades para la primera elección,
DESPUÉS hay “n” posibilidades para la segunda elección y
así)

11. Ejemplo de permutaciones
con repetición
Por ejemplo en la cerradura de un casillero, hay 10 números
para elegir (0, 1, 2, …, 9) y eliges 3 de ellos:
10 x 10 x ... (3 veces) = 103 = 1,000 permutaciones.

12. Ejemplo de permutaciones
sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada
paso.
¿Cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la “14” no puedes elegirla
otra vez.

13. Ejemplo de permutaciones
sin repetición
Así que la primera elección tiene 16 posibilidades , y tu
siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13,
etc. Y el total de permutaciones sería:
16 x 15 x 14 x 13 … = 20, 922, 789, 888, 000

14. Ejemplo de permutaciones
sin repetición
Sin embargo tal vez no quieras elegirlas todas, sólo 3 de
ellas, así que sería solamente:
16 x 15 x 14 = 3,360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de
billar entre 16.

15. Combinaciones
Lo importante es el número de agrupaciones diferentes de
objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de
subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de “n”
objetos.

16. Clasificación de las
combinaciones
Se pueden repetir: Como monedas en tu bolsillo (5, 5, 5, 10,
10)
Sin repetición: Como los números de lotería
(2, 14, 15, 27, 30, 33)

17. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números de eligen de uno en
uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden)
¡entonces ganaste!
La manera más fácil de explicarlo es:
Imaginemos que el orden sí importa (permutaciones)
1, 3, 2 2, 3, 1 3, 1, 2
Después lo cambiamos para que el orden no importe.
1, 2, 3

18. Combinaciones sin repetición
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas
maneras “1 2 3· se pueden ordenar, y ya la sabemos.
La respuesta es:
3! = 3 x 2 x 1 = 6

19. Combinaciones con
repeticiones
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana,
chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 sabores.
¿Cuántas variaciones hay?
n = 5 r = 3
(n + r – 1)!
---------------------
r! (n – 1) !

20. Ejercicios – participación en clase
1.- ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar
con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
2.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas en una fila de butacas?
3.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas alrededor de una mesa redonda?
4.- ¿ Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números
de nueve cifras se pueden formar?
5.- ¿ Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas
ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por
vocal?

21. 6.- ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras
impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
7.- ¿En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos
azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la
colocación de las nueve banderas?
8.-¿ ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de
fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta
que la portería?
9.- Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas
formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van
juntos?
10.- Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos
diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas
es posible ordenarlos si:
1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
Ejercicios – participación en clase

22. Ejercicios – participación en clase
1.- ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar
con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las
cifras sean diferentes.
5! = 5.4.3.2.1 = 120

23. Ejercicios – participación en clase
2.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8
personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede
repetir.
8! = 40,320

24. Ejercicios – participación en clase
3.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas alrededor de una mesa redonda?
La permutación circular se utiliza cuando los elementos se
han de ordenar en círculo, de modo que el primer elemento
que se sitúe en la muestra, determina el principio y el final.
P (8-1)! = 7! = 5,040

25. Ejercicios – participación en clase
4.- ¿ Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números
de nueve cifras se pueden formar?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
PR = 9! / 3! . 4! . 2! = 362,880 / 288 = 1,260

26. Ejercicios – participación en clase
5.- ¿ Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones
distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza con “i” u “o” seguida de las 4 letras restantes
tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
I _ _ _ _
O _ _ _ _ 4!= 4 . 3 . 2 . 1 = 24 . 2 = 48

27. 6.- ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden
formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son
mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar con 7 u 9.
7 _ _ _ _
9 _ _ _ _ 4!= 4 . 3 . 2 . 1 = 24 . 2 = 48
Ejercicios – participación en clase

28. 7.- ¿En el palo de señales de un barco se pueden izar tres
banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas
señales distintas pueden indicarse con la colocación de las
nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
PR = 9! / 3! . 2! . 4! = 362,880 / 288 = 1,260
Ejercicios – participación en clase

29. 8.-¿ ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores
de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no
puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
P _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ P10 = 10! = 3,628,800
Ejercicios – participación en clase

30. 9.- Una mesa presidencial está formada por ocho personas,
¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el
presidente y el secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el
segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
PS _ _ _ _ _ _ _ P2 . P7 = 2! . 7!
= 10,080
Ejercicios – participación en clase

31. 10.- Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes
de física y dos diferentes de química se colocan en un
estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos
si:
Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
MMMM FFFFFF QQ
P4 . P6 . P2 = 4! . 6! . 2! = 34,560
Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
MMMM F F F F F F Q Q
P4 . P8 = 4! . 8! = 967,680
Ejercicios – participación en clase