Números reales

1. NUMEROS REALES
Estudiante: Carlos Rojas
Sección: 0103PNFCP

2. DEFINICIÓN DE
CONJUNTOS
 Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que
todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números
naturales, si se considera la propiedad de ser un número
primo, el conjunto de los números primos es:
 P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

3.  Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por
nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista
de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos
repetidos no define un conjunto nuevo. Un conjunto está formado por
una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante.
 O implícita, dando una o varias características que determinan si
un elemento dado esta o no en el conjunto

4.  . Los números se clasifican según la porción del universo que abarquen,
por eso se dividen en varios conjuntos bien definidos por una serie de
características:
 Números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4…}: abarca el cero y los números
enteros positivos.
 Números enteros Z = {… -3, -2, -1, N}: abarca el conjunto N y los
números enteros negativos.
 Números racionales Q = {… -½, -¼, Z, +½, +¼}: abarca el conjunto Z y los
números fraccionarios positivos y negativos.
 Números irracionales I = {π, e, √2}: comprende los números cuya raíz
cuadrada no se puede obtener exacta, y tienen una infinidad de decimales.
 Números reales R = {Q, I}: comprende los números racionales y los
irracionales

5. Números imaginarios i = {i, 2i, 3i, 4i}: abarca todos los números que
multipliquen al factor i, que tiene un valor de √–1, que es imposible de
calcular y por eso se expresa así y no pertenece a ningún otro conjunto
sino que crea uno aparte.
Números complejos C = {R, i}: contiene a los números reales y a los
números imaginarios. Además a los números complejos que son la
combinación de Real + imaginario.

6. OPERACIONES CON
CONJUNTO
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin
que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A,
con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que
se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando
usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se
sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se
escribe por fuera la operación de unión.

7. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

8. NÚMEROS REALES

 Se puede definir a los números reales como aquellos números que
tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no
periódica. Por ejemplo
 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
 ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
 1/3 es un número real y a que 1/3 = 0,3333333333333….
* 2es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097

9. Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y
otros tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que
tienen expansión decimal periódica se llaman números Racionales
(denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no
periódica se llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia a, b y c
son números racionales y d, e, f y g son números irracionales. Como puede
verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen
expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen
expansión decimal periódica se llaman números Racionales (denotados por
Q) y los números que tienen expansión decimal no periódica se llaman
Irracionales (denotados por I)

10. CONJUNTO DE NÚMEROS
REALES
 De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números
reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los
números racionales, los números irracionales. A su vez, los números
racionales se clasifican en
 Números Naturales (N)
 , los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,
 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

11. DESIGUALDADES
 Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos
miembros se relacionan por uno de estos signos:< Menor que
 2x − 1 < 7≤
 Menor o igual que
 2x − 1 ≤ 7
 > Mayor que
 2x − 1 > 7

 ≥
 Mayor o igual que
 2x − 1 ≥ 7

12.  Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a
la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo sería
expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”

13.  Las desigualdades matemáticas se utilizan para expresar la relación que
existe entre dos valores distintos. Muchas veces, este tipo de expresiones
pueden contener valores incógnitos, lo que las convierte en una inecuación
que debe resolverse mediante un procedimiento matemático.

14. VALOR ABSOLUTO
 El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y
físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los , anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

15.  El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente.
Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable
o expresión dentro de barras verticales, así:

 |20|
 |x|
 |4n − 9|

16.  Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre
positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es
el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del
signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es
también 5.Ejemplo
 Valor Valor absoluto
 5 5
 -5 5

17. DESIGUALDADES CON
VALOR ABSOLUTO
 Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una variable dentro.
 Desigualdades de valor absoluto (<):
 La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor
que 4.
y

18. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .

19.  Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10

20.  Desigualdades de valor absoluto (>):
 La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor
que 4.
 Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
 Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .

21.  Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
 Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

22.  https://www.definicionabc.com/general/conjunto.php
 https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Ca
p10-03-OperacionesConjuntos.php
 https://es.scribd.com/document/480905894/Numeros-Reales#
 https://es.scribd.com/document/480906795/Inecuaciones-y-
Desigualdades#from_embed
 https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/
absolute-value-inequalities
BIBLIOGRAFÍA