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- 1. CURSO PROPEDÉUTICO MATEMÁTICAS AVANZADAS Modulo IV Cálculo vectorial Noviembre 2021
- 2. 17/08/2022 2 Campos vectoriales Campo escalar Campo vectorial
- 3. 17/08/2022 3 Campos vectoriales Campo escalar Campo vectorial Gradiente – Me indica la dirección en la que el campo escalar aumenta Sea f=(x, y) el gradiente se calcula Gradiente de f = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗
- 5. 17/08/2022 5 Gradiente Operador Nabla 𝛻 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 El gradiente se puede escribir como: 𝛻𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑘
- 6. 17/08/2022 6 Gradiente Ejemplo: Calcular el gradiente de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥2−𝑦2
- 9. 17/08/2022 9 Derivada direccional 𝑧0= 𝑓 𝑥0, 𝑦0 𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) ∙ 𝑢
- 10. 17/08/2022 10 Derivada direccional Ejemplo: Calcular la derivada en dirección del vector dado. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 v(1,0)
- 13. 17/08/2022 13 Divergencia La divergencia indica la dirección en que fluye el campo
- 14. 17/08/2022 14 Divergencia Divergencia – Me indica si las líneas de campo entran o salen Sea 𝐹=(Fx, Fy) la divergencia se calcula de las siguiente forma: Divergencia de 𝐹 = 𝜕 𝜕𝑥 𝐹𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦 𝐹𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧 𝐹𝑧 En términos del operador 𝛻 𝛻 ∙ 𝐹= 𝜕 𝜕𝑥 𝐹𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦 𝐹𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧 𝐹𝑧
- 15. 17/08/2022 15 Divergencia Ejemplo: Calcular la divergencia de la función dada. F 𝑥, 𝑦 = (2𝑥 + 𝑦2, 3𝑥𝑦 + 𝑧3, 𝑥𝑦𝑧)
- 16. 17/08/2022 16 Rotacional Regla de la mano derecha
- 17. 17/08/2022 17 Rotacional Rotacional – Me indica si las líneas de campo giran alrededor de un punto y en que dirección 𝐹=(𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑧) el rotacional se calcula En términos del operador 𝛻 𝛻 × 𝐹= 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑧 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑓𝑧 − 𝜕 𝜕𝑧 𝑓𝑦 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑓𝑧 − 𝜕 𝜕𝑧 𝑓𝑥 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑓𝑦 − 𝜕 𝜕𝑦 𝑓𝑥 𝑘
- 18. 17/08/2022 18 Campos conservativos Se usan para hacer referencia a los campos en donde se cumple el principio de conservación de la energía. Criterios para campos conservativos 2D 3D Sean M y N funciones con derivadas parciales continuas. El campo 𝐹 = 𝑀𝑖 + 𝑁𝑗 es conservativo si y sólo si 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕𝑀 𝜕𝑦 Un campo vectorial 𝐹 es conservativo si y sólo si 𝛻 × 𝐹 = 0 Si un campo 𝐹 es conservativo, entonces existe una función diferenciable 𝑓 tal que 𝐹 = 𝛻𝑓 La función 𝑓 se función potencial de 𝐹
- 19. 17/08/2022 19 Campos conservativos Ejemplo: Mostrar si 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 2𝑧) es un campo conservativo, en caso de serlo, hallar una función potencial de 𝐹.
- 26. 17/08/2022 26 Integral de línea
- 27. 17/08/2022 27 Integral de línea
- 28. 17/08/2022 28 Integral de línea
- 29. 17/08/2022 29 Integral de línea Ejemplo: Calcular la integral de línea de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 a lo largo de la curva C que tiene la representación 𝑥 𝑡 = 𝑡 y 𝑦 𝑡 = 𝑡2 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
- 30. 17/08/2022 30 Integral de línea
- 31. 17/08/2022 31 Integral de línea
- 32. 17/08/2022 32 Integral de línea
- 33. 17/08/2022 33 Integral de línea
- 34. 17/08/2022 34 Integral de línea Ejemplo: Calcular la integral de línea de la función 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) y a lo largo de la curva C descrita por x=t y y=t2 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
- 35. 17/08/2022 35 Integral de línea
- 36. 17/08/2022 36 Integral de línea
- 37. 17/08/2022 37 Integral de línea
- 38. 17/08/2022 38 Integral de línea
- 39. 17/08/2022 39 Teorema de Green Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2 , y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D → R2 un campo vectorial de clase C1 . Entonces se tiene que 𝐶 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝐷 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
- 40. 17/08/2022 40 Teorema de Green
- 41. 17/08/2022 41 Teorema de Green Ejemplo: Calcular la integral de línea de la función 𝐹 𝑥, 𝑦 = (3𝑥2 + 𝑦, −3𝑥3) y a lo largo de la región C comprendida entre la parábola y=x2 y la recta y=1
- 42. 17/08/2022 42 Teorema de Green
- 43. 17/08/2022 43 Teorema de Green
- 44. 17/08/2022 44 Teorema de Green
- 45. 17/08/2022 45 Teorema de Green