(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas)
proyecto de mayo inicial 5 añitos aprender es bueno para tu niño
Plano numerico
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto Estado Lara.
Elaborado por:
Carlos Ramos
28.454.680
PNF:
Administración
Sección: AD0108
PLANO NUMÉRICO
2. PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO
Se conoce como plano cartesiano,
coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un puntos llamado
origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un punto
en el plano, la cual esta representada por el
sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole,
la línea, la circunferencia y le elipse, las
cuales forman parte de la geometría analítica.
3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Permite calcular la distancia que existe entre ambos puntos, a partir
de la ubicación de las coordenadas de ambos.
Por su parte, cuando ambos puntos pasan del plano a la superficie
terrestre, su distancia se calcula de otra manera. De acuerdo con la
metodología denominada fórmula del Haversine.
La distancia entre dos puntos es la recta imaginaria que los une en el
espacio, marcando el menor trayecto entre ambos. Esto puede darse
también en el plano cartesiano o simplemente sobre la superficie
terrestre. De acuerdo a cada caso, su calculo es diferente.
Fórmula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano se denota por d(P1 , P2).
La formula de la distancia usa las coordenadas de los puntos
4. PUNTO MEDIO Y EQUIDISTANTE
Punto medio: Es el punto que se encuentra a
la misma distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un segmento.
Punto equidistante: Es el punto que se
encuentra a la misma distancia de dos
elementos geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo
mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento acotado, el punto medio es el que
lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos
del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Teorema Sea AB. Ejemplo: Un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ;
B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:
5. ECUACIONES Y TRAZADO DE
CIRCUNFERENCIAS
ECUACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
DETERMINACIÓN DE UNA
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia queda
determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma,
equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la
circunferencia.
También podemos decir que la
circunferencia es la línea formada
por todos los puntos que están a la
misma distancia de otro punto,
llamado centro .
Entonces, entrando en el terreno de
la Geometría Analítica , (dentro del
Plano Cartesiano ) diremos que —
para cualquier punto, P (x, y) , de
una circunferencia cuyo centro es el
punto C (a, b) y con radio r ─, la
ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
6. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Es una forma geométrica. Esta forma geométrica, la parábola, expresada como
una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para
su descripción, y son:
o Vértice (V) : Punto de la parábola que
coincide con el eje focal (llamado
también eje de simetría ).
o Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea
recta que divide simétricamente a la
parábola en dos brazos y pasa por el
vértice.
o Foco (F) : Punto fijo de referencia, que
no pertenece a la parábola y que se ubica
en el eje focal al interior de los brazos de
la misma y a una distancia p del vértice.
o Directriz (d) : Línea recta perpendicular
al eje focal que se ubica a una distancia
p del vértice y fuera de los brazos de la
parábola
o Cuerda focal : Cuerda que pasa por el
foco.
o Distancia focal (p) : Parámetro que
indica la magnitud de la distancia
entre vértice y foco , así como
entre vértice y directriz (ambas distancias
son iguales).
o Cuerda : Segmento de recta que une dos
puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
o Lado recto (LR) : Cuerda focal que es
perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores,
veamos la siguiente gráfica de una parábola:
7. ECUACIONES ELIPSE
Se llama elipse al lugar geométrico de un plano, cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cartesiano cuya suma de
distancias de los puntos, llamados focos: F1 y F2 es constante.
Cuando la elipse tiene
forma vertical:
El eje focal está paralelo
al eje de las abscisas (y,
y1).
Fórmula canónica
Cuando la elipse tiene
forma horizontal:
El eje focal está paralelo
al eje de las abscisas (x,
x1).
8. Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en
el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F',
es siempre constante.
¿QUE ES UNA HIPERBOLA?
Las líneas azules constituyen lo que se
conoce como una hipérbola. Observa sus
focos F y F'. Estos puntos son muy
importantes ya que la diferencia de la
distancia entre cada punto P(x,y) y estos
puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola
siempre se cumple que:
|d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al
foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante.
9. ELEMENTOS DE LA
HIPÉRBOLA
ECUACIÓN DE LA
HIPÉRBOLA
o Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la
diferencia de distancia entre ellos y cualquier
punto de la hipérbola es siempre la misma.
o Eje focal, principal o real. Recta que pasa
por los focos.
o Eje secundario o imaginario. Mediatriz del
segmento que une los dos focos.
o Centro (O). Punto de intersección de los ejes
focal y secundario.
o Semidistancia focal (c). La mitad de la
distancia entre los dos focos F y F'. Su valor
es c.
o Distancia focal (2c). Distancia del segmento
que une los dos focos F y F'. Su longitud es
2c.
o Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola
que cortan al eje focal.
o Semieje real (a). Segmento que va desde el
origen O hasta cualquiera de los vértices A o
A'. Su longitud es a.
o Semieje imaginario (b). b=c2−a2−−−−−−√
De manera general podemos
encontrarnos dos tipos de
hipérbolas, aquellas en las que el
eje focal se encuentra horizontal
o vertical. De este modo
podemos definir dos tipos de
ecuaciones.
Hipérbola de eje focal
horizontal centrada en un punto
P(x0,y0) cualquiera.
10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS
SECCIONES CÓNICAS
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho
plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se
clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1),
elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3)
11. Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al
cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β
disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la
inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes
secciones cónicas, a saber:
TIPOS
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azul)
β > α : Elipse (verde)
β = 90°: Circunferencia (un caso
particular de elipse) (rojo)
β = 180° : Triangular
