TRIGONOMETRIA

1. 1
√𝟑 − − −
𝟏
𝒚+
𝒚−
𝒙−
𝒙+
MM-111 Geometría y Trigonometría
Departamento de Matemática
SOLUCIÓN AL III EXAMEN #1 DE TRIGONOMETRÍA
II PERÍODO ACADÉMICO 2015
PROPUESTO POR: KENNY ORELLANA
RESUELTO POR: CARLOS AVILÉS GALEAS
TIPO RESPUESTA BREVE
1. Si cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0, escriba el conjunto de solucion en terminos generales.
SOLUCIÓN:
cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
(1)
𝑥 =
𝜋
4
𝑪. 𝑺 = {
𝝅
𝟒
+ 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ 𝚭}
2. Determine las razones trigonométricas exactas del ángulo en posición normal determinado
por la recta 𝑦 = √3𝑥 cuando 𝑥 ≥ 0.
3. Determine el ángulo de referencia y valor exacto de las razones trigonométricas para
𝜃 = −870°
El ángulo coterminal es 𝟐𝟏𝟎° cuyo angulo de referencia es 𝟑𝟎°
Por lo tanto:
∗ 𝑠𝑒𝑛 210° = −
1
2
∗ cos 𝟐𝟏𝟎° = −
√3
2
∗ 𝑡𝑎𝑛 210° =
√3
3
∗ 𝑐𝑠𝑐 210° = − 2 ∗ sec 210° = −
2√3
3
∗ 𝑐𝑜𝑡 210° = √3
Si 𝒙 = 𝟏 entonces 𝒚 = √𝟑, * aplicando el teorema de Pitágoras
obtendremos la medida de la hipotenusa de longitud 2.
Por tanto:
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
√3
2
∗ cos 𝜃 =
1
2
∗ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = √3
∗ 𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
2√3
3
∗ sec 𝜃 = 2 ∗ 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
√3
3

2. 2
4. Verifique la identidad 𝑐𝑜𝑠4( 𝛼) − 𝑠𝑒𝑛4( 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼)
Solución
(cos2
(𝛼))2
− (sen2
(𝛼))2
= (
1 + cos(2𝛼)
2
)
2
− (
1 − cos(2𝛼)
2
)
2
=
1 + 2 cos(2𝛼) + cos2
(2𝛼)
4
−
1 − 2 cos(2𝛼) + cos2
(2𝛼)
4
2 cos(2𝛼) + 2 cos(2𝛼)
4
=
4 cos(2𝛼)
4
cos(2α)
5. Verifique la identidad
𝑐𝑜𝑠 𝛼
1−𝑠𝑒𝑛 𝛼
+
1−𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
= 2 𝑠𝑒𝑐 𝛼
Solución
(cos 𝛼)(cos 𝛼) + (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
cos2
𝛼 + 1 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
2 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
2(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
2
cos 𝛼
2 sec 𝛼