Progresiones

1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO MONAGAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
ESTUDIOS BASICOS
Profesora:
Milagros Coraspe
Integrantes:
Cátherin Rengel 28242104
María Díaz 26933256
Sección 03

3. Introducción
Una progresión aritmética es
una sucesión de números tales
que cada uno de ellos (salvo el
primero) es igual al anterior mas
un numero fijo llamado
diferencia que se representa por
d mientras que una progresión
geométrica es una sucesión de
números tales que cada uno de
ellos; salvo el primero es igual al
anterior multiplicado por un
numero constante llamado
razón, que es representado por
R.

4. PROGRESIONES
Progresiones
Aritméticas
Progresiones
geométricas
Suma de n
términos Producto de
n
termino

5. Progresiones aritméticas:
Una sucesión de números reales
es un conjunto ordenado de
infinitos números reales
𝛼1, α2. α3, α4, α5, … α𝑛… Cada uno
de los números reales se llama
termino de la sucesión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11,
13…
Es una sucesión de números reales.
Al termino:
𝛼n = 3 + 2 (n – 1)
Se le llama termino general.
Sin embargo, no todas las sucesiones tienen termino
general.
Por ejemplo, en la importante sucesión de los números
primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23 ,… no hay ninguna
formula que
exprese el termino general.
Consideremos la sucesión de termino general
[αn]={5,8,11,14,17,20…}
Observamos que cada termino de la sucesión es igual
que el
Anterior mas 3. Se dice que la sucesión αn es una
progresión aritmética y que d= 3 es la diferencia de la
progresión.

6.  En la progresión anterior αı = 5, α2 = 8, y d =
8 – 5 = 3.
 En ocasiones nos referimos a la progresión
formada por los n primeros términos de la
progresión; en este caso se trata de una
progresión aritmética limitada.
Son progresiones aritméticas:
⦊ Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8,
10,… La diferencia es d = 2
⦊ Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15… La diferencia
es d = 3. Los múltiplos de α: α, 2α , 3α, 4α, 5α ..
La diferencia es d = α.

7. Termino general:
Fijémonos en la progresión
aritmética ilimitada αı, α2, α3,
α4, α5,…, αn … Según la
definición, cada termino es igual
al anterior mas la diferencia.
α2=αı + d
α3= α2 + d=αı + d + d=αı + 2d
α4=α3 + d=αı + 2d + d=αı + 3d
Generalizando este proceso se
obtiene el termino general:
𝛼𝑛 = 𝛼𝚤 + 𝑛 − 1 . 𝑑
Ejemplo:
⦊El termino general de una progresión
Aritmética 5, 8, 11, 14… es:
αn= 5+(n-1) . 3=5 +3n – 3=3n + 2
Interpolación de términos - medios
aritméticos:
Supongamos que queremos intercalar entre 2 y
14 tres números a, b, y c de manera que 2, a, b,
c, 14 estén en progresión aritmética.
Tenemos que αı=2, α5=14 y n=5. Aplicando la
expresión del termino general de una
progresión aritmética se tiene que:
a5= αı + 4d
14= 2 + 4d
d=3
Por tanto la progresión aritmética es : 2, 5, 8,
11, 14

8.  Este problema que consiste en intercalar varios términos
entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos
que hemos hallado se llaman medios aritméticos.
Así; “Interpolar “m” medios aritméticos o medios diferenciales
entre dos números “a” y “b” significa hallar “m” números x1,
x2,…, xm tal que la sucesión a, x1, x2,… Xm b sea una
progresión aritmética de m + 2 términos.”
Ejemplo:
⦊ Interpolar 3 medios aritméticos entre
4
3
y
8
5
La solución seria, Llevando a cabo la teoría dada
4
3
,
21
15
,
22
15
,
23
15
,
8
5
⦊Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y el 19
d=
18
5

9. Términos equidistantes de los extremos:
Fijémonos que en una progresión
aritmética finita se verifica que las sumas
de los términos equidistantes de los
extremos es igual a la suma de dichos
extremos.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
11
11
11
11
11
En general, en una
progresión
Aritmética limitada se
verifica:
α3 + αn-2 = αn-1=…
= α1 + αn
Ejemplo:
Consideremos la progresión
formada
Por los seis primeros
múltiplos de 5 :
{αn}= {5,10,15,20,25,30}
Observemos que la suma de
los
extremos es:
α1 + α6 = 5 + 30= 35
Y que los términos
equidistantes suman lo mismo
Que los términos extremos:
α2 + α5 =10 + 25 = 35
α3 + α4 = 15 +- 20 =35

10. Suma de n términos consecutivos:
Vamos a utilizar el resultado anterior para calcular la formula de la
suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética.
Veámoslo primero con ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20,
25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es
escribir la suma dos veces invirtiendo los términos de una de ellas:
S6= 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30
S6= 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 +
2S6= 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35
2S6 = 6 . 35 = 6 . (5 + 30)
S6= [6 . (5 + 30)] : 2 = 105
Vamos a generalizar este resultado:
¿Cuál es la suma de los términos de la progresión αı, α2, α3,…, αn-1, αn ?
Llamemos Sn a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces,
invirtiendo los sumandos de una de ellas.
Sn= α1 + α2 + … + αn-1 + αn
Sn= αn + αn-1 + … + α2 + α1
2Sn= (α1 + αn) (α2 + αn-1)+ … +(αn-1 + α2) + ( αn + α1)
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (α1 + αn) se tiene:
2Sn= (α1 + αn) + (α1 + αn) + … + (α1 + αn) = (α1 + αn) -ᵑ
De donde : Sn=
(𝛼1 −𝛼𝑛)
2
. n
Ejemplo:
⦊ Hallar la suma de los 100 primeros
Números naturales.
⦊ Idem. De los 100 primeros números pares.
⦊ En una progresión aritmética limitada,
cuyo primer termino es 67 y cuya diferencia
es -6. la suma de los n primeros términos es
408¿Cuántos términos forman la progresión
y cual es el ultimo?
{ {αn = 67 +(n – 1) . (-6)
408 = (67 + αn) . n
2
6n + an =73
nan + 67n = 816
6n – 140n + 816 = 0
n = 12
n= 34/3 no vale
SOLUCION:
12 TERMINOS Y EL ULTIMO VALDRA 1
Nota:
Sabemos {an = a1 + (n-1).d
S= a1 + an . n
{
a1
an
d
n
s
2
Por tanto si conocemos 3 podremos
resolver el sistema.

11. Ejemplos:
» Hallar los ángulos de un
cuadrilátero convexo, sabiendo
que están en progresión
aritmética, siendo d= 25º.
La suma de los ángulos interiores
de un cuadrilátero es 360º.
360= ( a1 + a4) · 4/2
a4= a1 + 3 · 25
360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2
a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º
30'
a3 = 102º 30' a4 = 127º
30'
» El cateto menor de un
triángulo rectángulo mide 8
cm. Calcula los otros dos,
sabiendo que los lados del
triángulo forman una
progresión aritmética.
a2 = 8 + d; a3 = 8 +2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64
𝑑 =
8
3
8,
32
3
,
40
3
» Interpolar tres medios
aritméticos entre 8 y -
12.
Interpolación
𝑑=
−12−8
3+1
=
−20
4
= -5
8, 3, -2, -7 , -12.

12. Progresiones geométricas:
Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10 ⁿ⁻ⁱ.
1, 10 , 10², 10³ , 10⁴ , 10⁵ ,…
Cada termino de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10.
Esta sucesión es una progresión geométrica.
Se representa por r.
1, 2, 4, 8. 16. 32,… r=2
2,-2, 2, -2, 2, -2,… r= -1
4, -2, 1, -1/2, ¼,… r= -1/2
Termino general:
Según la definición anterior, en la progresión geometricaa1, a2, a3, a4,
a5,… an,
se verifica:
α2= α1 . R
α3=α2. r = α1.r.r = α1 . r ³
α4=α3. r = α1.r².r = α1 . r³
Generalizando este proceso se obtiene el termino general:
αn= α1.r ⁿ⁻ⁱ

14. Producto de n términos de una progresión
geométrica
El objetivo es encontrar una fórmula que
nos permita calcular el producto de los
primeros términos de una progresión
geométrica sin necesidad de calcularlos.
Para hacerlo, utilizaremos la siguiente
propiedad:
Si se consideran términos de una
progresión geométrica, el producto de dos
términos equidistantes de los extremos
coincide con el producto de los extremos.
Es decir, el producto del primero y el último
término coincide con el producto del
segundo y el penúltimo y con el producto
del tercero y el antepenúltimo, etc, sea
cual sea la cantidad de términos que
estemos considerando de una progresión
geométrica.
Ejemplos:
Calcular el producto de los
primeros
5 términos de la progresión:
3, 6, 12, 24, 48

15. a) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de
3 años colocando 3 000 bs al
6% de interés anual compuesto?
b) ¿Y al cabo de 5 años?
Solución:
a)3000 · 1,063 = 3573,048 ≈ 3573,05 bs
b)3000 ·1,065 = 4014,6767 ≈ 4014,68
bs
La maquinaria de una fábrica pierde
cada año el 20% de su valor. En el
momento de su compra valía 40 000
bs.
a) ¿Cuánto valía un año después de
comprarla? ¿Y dos años después?
b) ¿En cuánto se valorará 10 años
después de haberla adquirido?
Solución:
a) Un año después:
Si pierde el 20% de su valor, valdrá:
100% - 20% = 80%.
80% de 40 000 =0,8·40000 =32000
bs
Dos años después:
0,8 · 32000 = 25600 bs
Observamos que es una progresión
geométrica con a1 = 40000 y r = 0,8.
b) 40000 · 0,810 = 4294,97 bs
Diez años después supone el término
11 de la sucesión.
Ejercicios de aplicación
PROGRESIONES GEOETRICAS

16. Ejercicios de aplicación
PROGRESIONES
ARITMETICAS
En un edificio, el primer piso se
encuentra a 7,40 metros de altura, y
la distancia entre dos pisos
consecutivos, es de 3,80 metros.
a) ¿A qué altura está el 9 piso?
b) Obtén una fórmula que nos
indique la altura a la que se
encuentra el piso n. Solución:
Es una progresión aritmética con
a1=7,40 y d=3,80.
A) a9= a1 + 8d = 7,40 + 30,40 =
37,80 m.
B) an = a1 +(n - 1) · d =7,40 + (n - 1)
· 3,80 = 7,40 + 3,80n - 3,80 =
3,80n + 3,60 an = 3,80n + 3,60
En una urbanización
realizaron la instalación
del gas natural en el
año 1999.
Consideramos que en
ese momento se
hizo la primera revisión.
Sabiendo que las
revisiones sucesivas se
realizan cada 3 años,
responde:
A) ¿En qué año se
realizará la décima
revisión?
b) ¿Cuál es el número
de revisión que se
realizará en el año
2035?
Solución:
Se trata de una progresión aritmética con
a1 =1 999 y d = 3.
a) a10 = a1 + d = 1999 + 27= 2026
En el año 2026.
b) an= a1 (n - 1) · d
2035 = 1 999 + (n - 1) · 3
36= (n - 1) · 3
12 = n – 1 n = 13 La número 13.

17. CONCLUSION:
Teniendo en cuenta tanto las características
de esas operaciones, nos permitirá
profundizar los conocimientos sobre estos
temas, para lo cual nos será de gran ayuda
nuestras bases de álgebra adquiridas. El
estudio de esta parte de la matemática, ha
contribuido para apreciar lo inmenso que es
el conocimiento y que difícil nos es
adquirirlo. Sin embargo nos ha enseñado a
darle la suficiente importancia ya que puede
ser aplicado en una infinidad de situaciones.