概率统计各章节总结

第一章概率的计算

1）统计定义： f n ( A) n 稳定值  P ( A)

2）概率的性质：1~5
m
3）等可能概型：P ( A) 
n
k P ( AB )
4）条件概率：P ( B A)   独立
m P ( A)
5）乘法定理： P ( AB )  P ( A) P ( B A)  P( A) P( B)
 1  P( A  B ) A  AB1  AB2
6）全概率公式： ( A)  P ( B1 ) P ( A B1 )  P ( B2 ) P ( A B2 )
P
B1
P ( B1 ) P ( A B1 ) A 互斥
7）贝叶斯公式：P ( B1 A) 
P ( A) B2

第二章随机变量概率分布
离散型随机变量连续型随机变量
分布函数  pk F ( x)  
x
F ( x)  f ( t )dt
F ( x)  P( X  x) xk  x


概率的累加,不直观右连续连续
分布律：  pk  1 概率密度：  f ( t )dt  1

X x1 x 2  x k
概率分布 pk p1 p2  pk f ( x)
概率1分布 pk
情况,直观
x x
x x1 x 2
x1 x2 x
P ( x1  X  x2 )   pk P ( x1  X  x2 )   f (t )dt
x2

概率计算 x1  x k  x 2 x1

 F ( x2 )  F ( x1 )  F ( x2 )  F ( x1 )
1

非连续型随机变量

第二章随机变量重要分布

1） (0-1)分布 1） (a , b)
U
P ( X  k )  p k (1  p)1 k 1 (b  a )， a  x  b
f ( x)  
 0，其它

重要分布 2） ( n, p)
B 2）E ( )
1  e  x  , x0
P ( X  k )  C n p k (1  p ) n  k
k
f ( x)  
 0，其它

3）P ( ) 3）N ( , 2 )
k  ( x   )2
e 1 
P( X  k )  f ( x)  e 2 2

k! 2 
函数的分布
Y  g( X ) X的分布律 Y的分布律 f X ( x) fY ( y )  FY ( y )

第二章
1. 随机变量的分布函数 F ( x )  P ( X  x )
作用： P ( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )
性质1 F(x)是一个不减函数
性质2 0  F ( x )  1 , F ()  0, F ()  1
性质3 F ( x ) 是右连续的函数

2. 连续型随机变量的概率密度 F ( x )    f ( t )dt
x


性质1、2 f ( x)  0 
f ( x )dx  1

性质3 P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )   f ( x )dx
x2

x1

性质4 F ( x )  f ( x )

第三章二维随机变量(X,Y)
(X,Y)离散型 (X,Y)连续型

(X,Y) 联合分布函数联合分布律联合概率密度
整体 F ( x, y ) P ( X  x i , Y  y j )  pij f ( x, y )

(X,Y) 边缘分布函数边缘分布律

边缘概率密度

FX ( x )  lim F ( x, y ) P ( X  x i )   pij  pi  f X ( x)   f ( x , y )dy
个体 y 
j 1


 
FY ( y)  lim F ( x, y) P (Y  y j )   pij  p j fY ( y )   f ( x , y )dx
x  
i 1

X与Y 对x, y P ( X  xi ,Y  y j )
独立 F ( x, y )  FX ( x )FY ( y )  P ( X  xi ) P (Y  y j ) f ( x , y )  f X ( x ) fY ( y )

概率 P{( X ,Y )  G}
计算
P{( X ,Y )  G}   pij
( x i , y j )G
  f ( x , y )dxdy
G

一维 X 二维( X,Y ) 边缘 X 关系
分
布 F ( x) F ( x, y ) FX (x )  P ( X  x ) FX ( x )  lim F ( x, y )
y 
函  P( X  x)  P ( X  x, Y  y )  P ( X  x,Y  )
数

几
第三章
( x, y )
何
意 x ( X ,Y ) ( X ,Y ) x
义

离 F ( x)
散
型
 p
xk  x
k
F ( x, y )  p
xi  x
ij FX (x )   P
x i  x j 1
ij

yj y

连 F ( x) F ( x, y ) FX (x ) f X (x ) f X (x )
续  
  f ( u, v )dudv    f ( x , y )dydx   f ( x , y )dy
x y x


x
型  f ( t )dt     


分 P{ X  xi , Y  y j } 
布 P { X  x k }  pk P{ X  xi }   pij P{ X  xi }   pij
律  pij j 1 j 1

概 P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )  x f ( x)dx P{( X , Y )  G }   f ( x , y )dxdx   pij
x2

率 1
G ( x , y )G i j

第三章第四节两个随机变量的函数的分布
Z  g( X , Y ) f ( X ,Y ) f Z (z)  ? 
f Z ( z )  FZ ( z )
 
1) Z  X  Y f Z (z)   f ( z  y , y )dy   f X ( z  y ) fY ( y )dy
 

2) Z  max{ X , Y } X , Y独立 FZ ( z )  FX ( z )FY ( z ) 独立
Z  min{X , Y } X , Y独立 FZ ( z )  1  [1  FX ( z )][1  FY ( z )]
X 1 , X 2 , , X n独立，FX i ( x )  F (x )
M  max( X 1 , X 2 ,  X n ) 与 N  min( X 1 , X 2  X n )
Fmax (m)  FX1 (m)  FX2 (m)FXn (m)  [F ( z )]n
z z z z
Fmin (n)  1  [1  FX1 (n)] [1  FX2 (n)][1  FXn (n)]  1  [1  F ( z )]n
z z z z

第三章计算难点

1）F ( x, y )    f ( u, v )dudv
x y

2） {( X , Y )  G }   f ( x, y )dxdx
P
G

3）f X ( x )   f ( x , y )dy 独立

 
4） f Z ( z )    f ( z  y , y )dy    f X ( z  y ) fY ( y )dy
5） Z  g( X ,Y ) f ( X ,Y ) f Z ( z )  ? f Z ( z )  FZ ( z )


FZ ( z )  P ( Z  z )  P{ g( X , Y )  z } 
g ( x , y ) z
f ( x , y )dxdy

 
D( z )
f ( x , y )dxdy D是积分区域g ( x , y )  z与f ( x , y )
取值非零区域的交集

第四章随机变量的数学期望与方差


X E( X )  x
k 1
k pk E( X )  
xf ( x )dx

Y  g( X ) E (Y )  E[ g( X )] E (Y )  E[ g( X )]


g连续   g( x
k 1
k ) pk  
g ( x ) f ( x )dx

Z  g( X , Y ) E ( Z )  E[ g( X , Y )]
 
E ( Z )  E[ g( X , Y )]
 
   g ( x i , y j ) pij    g ( x , y ) f ( x , y )dxdy
g连续 j 1 i 1
 

D( X )  
D( X )   ( x k  E ( X )) 2 pk D( X )   ( x  E ( X )) 2 f ( x )dx
 E[ X  E ( X )]2 k 1


第四章随机变量的数字特征
E ( c )  c E (c X )  c E ( X ) E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )
E(X)性质
X,Y独立 E ( XY )  E ( X ) E (Y )

D( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2 D(c )  0 D(c X )  c 2 D( X )
D(X)性质
X,Y独立， ( X  Y )  D( X )  D(Y ) D( X )  0 P ( X  c )  1
D
Cov( X , Y )  E{[ X  E ( X )][(Y  E (Y )]}
协方差  E ( XY )  E ( X ) E (Y ) 独立
D( X  Y )  D( X )  D(Y )  2 cov( X , Y )  D( X )  D(Y )
Cov ( X , Y )
XY 
D( X )  D(Y )
相关系数 (1).  XY  1
(2).  XY  1  存在常数 a , b 使得： (Y  a X  b )  1
， P

第四章几种常见分布的数学期望和方差

概率分布 E( X ) D( X )
(0-1)分布 X ~ B(1, p) p pq
离二项分布 X ~ B(n, p) np npq
散
型泊松分布 X ~ P ( )
 

均匀分布 X ~ U (a, b) (a  b) 2 (b  a )2 12
连
续指数分布 X ~ Exp( )  2
型
正态分布 X ~ N (  ,  2 )  2

第五章大数定律及中心极限定理

X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 1 n
定理1  X k P 

E( X k )   D( X k )   2 n k 1

定理2 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 n 1 n
A
  X k P p

(贝努利) ~ (0  1)分布(参数p) n n k 1

定理3 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 1 n
(辛钦) E( X k )   同分布
 X k P 
n k 1

n

定理1 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 X
k 1
k  n 近似
(林德) 同分布E ( X k )   D( X k )   2
n
~ N (0,1)

定理2 X n  np 近似
X n ~ B( n, p) ~ N (0,1)
(德莫弗) np(1  p)

第六章常用统计量及抽样分布

X i ~ N (0,1) i  1,2,, n 独立
n  n  45
 分布
2
   X ~  ( n)
2 2
i
2
  ( n)
2
i 1 2
E (  )  n D(  )  2 n
2 2  (n)  1 2( z  2n  1 )
2

X ~ N (0,1), Y ~  2 ( n), 独立 
t分布 X t (n) n  45
t ~ t ( n)
Y n t ( n)   t1 ( n), t ( n )  z

U ~  2 ( n1 ), V ~  2 ( n2 ), 独立
F分布 U n1

F ~ F ( n1 , n2 ) F (n1 , n2 )
V n2
1 F ~ F ( n2 , n1 ) F1 ( n1 , n2 )  1 F ( n2 , n1 )
X ~ N (  ,  2 ) Th1 X ~ N (  ,  2 n), Th2 X 
~ t ( n  1)
X 1 , X 2 , , X n ( n  1) S 2  2 ~  2 ( n  1) 独立 S n
n
1 1 n
X   Xi  ( X i  X )2
2
X,S S 
2
n i 1 n  1 i 1

第六章常用统计量及抽样分布 X ~ N ( , 2 )
X 1 , X 2 ,, X n
n

 统计量
2    X i2
2
~  2 ( n)
i 1

X
t 统计量 t ~ t ( n)
Y n
U n1
F 统计量 F ~ F ( n1 , n2 )
V n2
1 n 2 X 
样本均值 X  Xi
n i 1
~ N ( , )
n  n
~ N (0,1)

( n  1) S 2 1 n
样本方差 ~  2 ( n  1) S 
2

n  1 i 1
( X i  X )2
2

X 
~ t (n  1)
S n

第六章连续型随机变量及其分布

 1

1
a xb ba
X ~ U (a , b) f ( x)   b  a  

 0 a
其它 0 b

1 
x
 e x0
X ~ E ( ) f ( x )    1
 0 其它

x
( x   )2
1 
X ~ N ( , )2
f ( x)  e 2 2

 2

   1  1 1   x
 x e x0
X ~ ( ,  ) f ( x )   ( 1 )

 0 x0

第六章常用统计量及抽样分布

 1 n
1 
x

 n2 x2 e 2 x0
 ~  ( n) f ( x )   2 ( n 2)
2 2

 x0
 0


[( n  1) 2]
x 2  n2 1
t ~ t ( n) t ( x)  (1  )
( n 2) n n

 ( n1  n2 ) n1 n1 n21 1 n1  n2

 

( n2 )( n2 x ) 1  n12 x ,x0
n
 n1
2 2
F ~ F ( n1 , n2 )  ( x )   ( 2 ) ( 2 )
n2


0 x0

第七章总体X ~ F ( x, ),
X 1 X 2 , , X n
x1 x 2 ,  , x n
对进行估计

统计量 ˆ   ( X1 , X 2 ,, X n )  估计量
 ˆ
点估计 1)矩估计法：求解： i  Ai , i  1,2,, k

2)极大似然估计法：求解：L( )  max L( )
ˆ
 H

E ˆ
估计量的 1)无偏性： ( )  
优良性 D ˆ ˆ
2)有效性： ( 1 )  D( 2 )
P (     )  1  
( ,  )是置信度为1  的置信区间
X ~ N (  ,  2 )，  ,  2 进行区间估计
对
区间估计
1)求的置信区间，为已知 2
2) 求的置信区间，  2为未知
3) 求 2的置信区间

第七章 X ~ N (  ,  2 )，  ,  2 进行区间估计
对置信度  
1

统计量置信区间

1)求的置信区间， X   
~ N (0,1) (X  z 2 )
 为已知
2
 n n

2) 求的置信区间， X   (X 
S
t 2 ( n  1))
~ t ( n  1)
 2为未知 S n n

( n  1) S 2 ( n  1) S 2 ( n  1) S 2
3) 求 2的置信区间 ~  2 ( n  1) ( 2 , 2 )
2  2 (n  1) 1 2 (n  1)

( p1 , p2 )
(0-1)分布 nX  np
~ N (0,1) 1
p的置信区间 np(1  p) p1, 2  (  b  b 2  4ac )
2a

第八章 X ~ N (  ,  2 ), 对 ,  2 进行假设检验显著性水平 ,

原假设 H 0备择假设 H1 检验统计量拒绝域

的检验
  0   0 X  0 U  z 2
U
 为已知   0   0  n U  z
1) 2
  0   0 U   z
~ N (0,1)
  0   0 X  0 t  t 2 (n  1)
2) 的检验 t
  0   0 S n t  t ( n  1)
 为未知
2
  0   0 ~ t ( n  1) t   t ( n  1)

 2  0
2
 2  0
2  2   2 (n  1)或
2

( n  1) S 2
3) 2的检验  
2
 2  12 2 (n  1)
 
2
 
2 2 2  02
0 0  2    ( n  1)
2

 2  0  2   ~  2 (n  1)
2 2
0  2   12 ( n  1)

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