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1. Prismas e Cilindros

2. Prismas e Cilindros

3. Relembrando Antes de começar a aula de hoje, precisamos rever alguns pontos de geometria plana e unidades de medidas: Área do retângulo: Área do quadrado:

4. Relembrando Diagonal do quadrado: Área do triângulo:

5. Relembrando Triângulo Equilátero: Altura Área

6. Relembrando Hexágono: Apótema: Área:

7. Relembrando Comprimento da circunferência Área do círculo

8. Relembrando Sendo o metro (m) a unidade de medida, temos: 1 m = 10 dm = 100 cm 1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2 1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3 Observação: 1 dm3 = 1 litro

9. Prismas e Cilindros definição definição elementos elementos Caso particular Cilindros retos Cilindro equilátero Prismas retos Área da base Área da base áreas Área lateral áreas Área lateral Área total Área total volume Volume

10. Prismas Prisma é uma sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as duas bases se situam em planos paralelos. Exemplos:

11. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas prismas

12. Prismas Podemos classificar um prisma quanto ao número de arestas da base. Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal

13. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triângulo prismas quadrangulares Base é um quadrilátero Nº de arestas da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação

14. Prismas Podemos classificar um prisma quanto à inclinação das arestas laterais. Retos: arestas laterais perpendiculares às bases. Oblíquos: arestas laterais oblíquas às bases.

15. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triângulo prismas quadrangulares Base é um quadrilátero Nº de arestas da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquas à base oblíquos Inclinação das arestas laterais Arestas laterais perpendiculares à base definição retos

16. Prismas Os elementos de um prisma reto são:

17. Prismas Note que todas as faces laterais dos prismas retos são retângulos

18. sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triângulo prismas quadrangulares Base é um quadrilátero Nº de arestas da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquas à base oblíquos Inclinação das arestas laterais Arestas laterais perpendiculares à base definição vértices retos base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura

19. Paralelepípedos Paralelepípedos são prismasquadrangulares, cuja base é um paralelogramo. Quando as bases são retângulos, chamamos de paralelepípedo retângulo.

20. Paralelepípedos Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo através do Teorema de Pitágoras ou pela fórmula:

21. Paralelepípedos Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a medida da sua diagonal.

22. Exemplo Pelo Teorema de Pitágoras:

23. Exemplo Pela Fórmula:

24. Paralelepípedos Caso particular: Cubo O cubo é um paralelepípedo reto retângulo, noqual todas as faces são quadrados, ou seja todas as arestas apresentam a mesma medida.

25. Paralelepípedos Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo, cujo perímetro de uma face é 24 cm. Se o perímetro da é 24cm, então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm

26. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos centímetros deve ser aumentada a medida da diagonal desse cubo, de modo a obter-se um novo cubo cuja aresta meça 6 cm.

27. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos centímetros deve ser aumentada a medida da diagonal desse cubo, de modo a obter-se um novo cubo cuja aresta meça 6 cm.

28. Solução

30. Áreas do Prisma Exemplo: Calcule a área da base de um prisma triangular regular, sabendo que a altura do triângulo da base mede .

31. Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular.

32. Áreas do Prisma Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de 1,80 m de profundidade, foi instalada em um buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m. Calcule a área da base da piscina.

33. Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal.

34. Áreas do Prisma Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram uma pizza que veio em uma caixa de base hexagonal, calcule á área da base da caixa, sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.

35. Arestas laterais perpendiculares à base definição vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas

37. Áreas do Prisma Exemplo: O monumento de uma praça no norte da Croácia tem forma de um prisma triangular regular de altura igual a 7m. Calcule a área lateral do monumento, sabendo que a área da base mede .

38. Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular

39. Áreas do Prisma Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um designer colocará 2 portas e pintará todas as faces laterais. Calcule toda superfície que será pintada?

40. Áreas do Prisma

41. Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal regular.

42. Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonal regular está sendo testado por uma banda de reagge. Sabendo que as bases desse prisma devem ser vermelhas. Calcule a área, em m2a ser pintada de amarelo e verde.

43. Arestas laterais perpendiculares à base definição vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais

45. Arestas laterais perpendiculares à base definição vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais 2Ab + Al Área total

46. Áreas do Prisma Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total do prisma.

47. Áreas do Prisma

48. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que a sua área total é dm2 e que a sua altura é igual ao apótema da base.

49. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que a sua área total é dm2 e que a sua altura é igual ao apótema da base.

50. Solução

51. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de cm de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o ponto médio da aresta DF, calcule o seno do ângulo .

52. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto, cuja base é um triângulo equiláterode cm de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o ponto médio da aresta DF, calcule o seno do ângulo .

53. Solução

54. Áreas do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as faces com a mesma área, então:

55. Áreas do Prisma Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm. Calcule a área total.

56. Volume do Prisma O volume de todo prisma é o produto entre a área da base e a altura.

57. Volume do Prisma Exemplo: Determine o volume da piscina ilustrada abaixo:

58. Volume do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as arestas com a mesma medida, então:

59. Volume do Prisma Exemplo: Um tanque cúbico sem tampa será revestido internamente com uma massa impermeabilizante. Calcule o volume do tanque, sabendo que a área da superfície a ser revestida é 125m2. área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2 125 = 5l2 l = 5 m Logo, V = l3 = 53 = 125m3

60. Arestas laterais perpendiculares à base definição vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura Prismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais 2Ab + Al Área total V = Ab . h volume

61. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96 m2de material para se montar uma caixa cúbica. O volume dessa caixa é: 64 dm3 40 cm3 96 dm3 160 cm3 55 dm3

62. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica. O volume dessa caixa é: 64 dm3 40 cm3 96 dm3 160 cm3 55 dm3

63. Solução Letra A

64. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a medida da altura desse prisma é 10 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, mede: 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

65. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a medida da altura desse prisma é 10 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, mede: 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

66. Solução Letra A

67. Cilindros Cilindros retos são sólidos de revolução, obtidos através do giro de um retângulo.

68. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo Cilindros retos

69. Cilindros Os elementos do cilindro reto são:

70. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Cilindros retos

71. Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. O cilindro equiláteroapresenta altura com a mesma medida do diâmetro da base.

72. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Caso particular Cilindros retos Cilindro equilátero h= 2r

74. Áreas do cilindro Exemplo: Determine a área da base de um cilindro cujo raio do círculo da base mede 4cm.

75. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Caso particular Cilindros retos Cilindro equilátero h= 2r Ab = πr2 Área do círculo da base Área da base áreas

77. Áreas do Cilindro Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é construído, a base cilíndricanão é de madeira e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a área da superfície revestida de madeira.

78. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Caso particular Cilindros retos Cilindro equilátero h= 2r Ab = πr2 Área do círculo da base Área da base Al = 2πrh áreas Área lateral

80. Áreas do Cilindro Exemplo: Determine a área total de um cilindro reto, cujo perímetro da base mede 10π cm, igual a medida da altura.

81. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Caso particular Cilindros retos Cilindro equilátero h= 2r Ab = πr2 Área do círculo da base Área da base Al = 2πrh áreas Área lateral At = 2Ab + Al Área total

82. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578

83. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578

84. Solução Letra A

85. Áreas do Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. Como o cilindro equiláteroapresenta altura com a mesma medida do diâmetro da base, então:

86. Áreas do Cilindros Exemplo: Calcule a área lateral e a área total de um cilindro reto equilátero, cujo raio da base mede 5 cm.

87. Volume do Cilindro O volume de todo cilindro é o produto entre a área da base e a altura.

88. Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo, em litros, sabendo que é um cilindro reto, o diâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm.

89. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Como o cilindro equilátero apresenta a altura com a mesma medida do diâmetro da base, então:

90. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Exemplo: Um cilindro equilátero de volume 128π litros, tem diâmetro de quantos centímetros?

91. sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = altura Caso particular Cilindros retos Cilindro equilátero h= 2r Ab = πr2 Área do círculo da base Área da base Al = 2πrh áreas Área lateral At = 2Ab + Al Área total Volume V = Ab . h

92. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para 6280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base do reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

93. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para 6280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base do reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

94. Solução Letra D

95. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o gelo derreter completamente, a altura da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

96. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o geloderreter completamente, a altura da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

97. Solução Letra A

98. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade da sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das pedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

99. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade da sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da águasobe para 16,5 cm. O volume das pedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

100. Solução Letra C

101. Bibliografia http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htm Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464. Figuras: google imagens