2. Adição de Velocidade: Velocidade
Relativa
Se você caminha a 1 km/h ao longo de um corredor de um trem que se move a
60km/h, sua velocidade em relação ao solo é de 61 km/h. Se tiver caminhando no
sentido contrário do movimento do trem a sua velocidade relativa em relação ao
solo é de 59 km/h.
V = 𝑣1+ 𝑣2
(Essa regra não se aplica a velocidade da luz, que sempre se propaga com a
mesma velocidade c.)
3. Adição de Velocidade: Velocidade
Relativa
Só será significativo quando ambos os valores de 𝑣1 𝑒 𝑣2 forem próximos de c.
V=
𝑣1+𝑣2
1+
𝑣1 𝑣2
𝑐2
Na natureza existe uma velocidade limite c,
que é a mesma em todas as direções e em
todos os referenciais inerciais.
Nenhuma entidade capaz de transportar
energia ou informação pode exceder esse
limite.
4. Adição de Velocidade: Velocidade
Relativa
6) Considere uma espaçonave que está se afastando de você a uma velocidade
igual a 0,5c. Ela dispara um foguete que é impulsionado no mesmo sentido do
movimento da nave, afastando-se de você, com uma velocidade de 0,5c em
relação à própria nave. Qual é a velocidade deste foguete em relação a você?
7) Suponha que a espaçonave, em vez de um foguete, dispara um pulso de luz de
um laser no mesmo sentido em que está viajando. Quão rápido este pulso se
moverá em relação ao sistema de referência usado por você?
5. Adição de Velocidade: Velocidade
Relativa
Não importa qual seja a velocidade relativa entre os dois sistemas de referência, a
luz que se propaga com velocidade c em relação a um determinado sistema de
referência será também registrada se movendo com velocidade c em qualquer
outro sistema de referência.
Nenhum objeto material pode se mover tão rápido, ou mais, do que a luz.
6. Massa de Repouso
Podemos definir massa pela segunda Lei de newton, como sendo:
𝐹 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑚 =
𝐹
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Aumentando a força indefinidamente estaríamos aumentando indefinidamente sua
velocidade. Ora, mas sabemos que a velocidade tem um limite (velocidade da luz
no vácuo c).
7. Massa de Repouso
A partir da 2ª lei de Newton e da Lei da conservação do Impulso é possível
demonstrar que:
Onde 𝑚0 é a massa do objeto em repouso. Isto é, sua massa medida por um
referencial que está em repouso em relação ao mesmo.
A massa de um corpo aumenta com a
velocidade em relação a determinado
referencial.
Massa relativística
8. Massa de Repouso
• Para velocidades próximas a velocidade da luz
𝑚 > 𝑚0
• Para velocidade pequenas.
𝑚 = 𝑚0
𝑚 = 𝛾𝑚0
9. Revisão: Quantidade de Movimento
Se observarmos uma partida de bilhar,
veremos que uma bolinha transfere seu
movimento totalmente ou parcialmente
para outra.
𝑝 = 𝑚𝑣 A quantidade de movimento de um sistema
mecanicamente isolado é constante. Ou
seja, o momento total do sistema de
partículas após a colisão é o mesmo que
antes da colisão.
10. Nova Interpretação da quantidade de
Movimento
𝑝 = 𝑚𝑣
2
2
0
1
c
v
vm
p
Momento
relativístico
11. Nova Interpretação da quantidade de
Movimento
Para velocidades muito menores que a da luz (c), a expressão da quantidade de
movimento se reduz à forma clássica: .
𝑝 = 𝑚𝑣
𝑝 = 𝛾𝑚0 𝑣
12. Exercícios
1) Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo
v = 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse
referencial:
A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?
B) A massa dessa partícula?
C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?
smkg
c
v
vm
p /.800
)6,0(
10.8,4
)10.0,3(
)10.4,2(
1
10.4,2.10.2
1
2
28
28
86
2
2
0
A)
13. Exercícios
1) Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo
v = 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse
referencial:
A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?
B) A massa dessa partícula?
C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?
B)
kg
c
v
m
m 6
6
28
28
6
2
2
0
10.3,3
)6,0(
10.2
)10.0,3(
)10.4,2(
1
10.2
1
14. Exercícios
1) Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo
v = 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse
referencial:
A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?
B) A massa dessa partícula?
C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?
C)
kg
c
v
m
m 5
28
28
6
2
2
0
10.4,1
)10.0,3(
)10.9,2(
1
10.2
1
15. Energia Relativística: Energia de
Repouso
Em 1905, Einstein mostrou que, de acordo com a teoria da relatividade restrita, a
massa pode ser considerada uma forma de energia. Assim, a lei da conservação
de energia e a lei de conservação da massa constituem na verdade dois aspectos
da mesma lei, a lei de conservação da massa-energia. Massa se transforma em
energia e energia se transforma em massa.
A energia associada à massa de um corpo é chamada de energia de repouso. Que
é definida como:
𝐸0 = 𝑚𝑐2
(Energia de repouso)
De acordo com a fórmula de equivalência massa-energia, a quantia máxima de
energia que se pode obter de um objeto, é a massa do objeto multiplicada pelo
quadrado da velocidade da luz.
17. Energia Total
Se o corpo está em movimento, possui uma energia adicional na forma de energia
cinética, 𝐸𝑐.
Ou
Energia em repouso: E0 = m c2
Energia cinética: EC = E - m c2
E = E0 + EC
22
2
/cv1
cm
E
18. Energia Total
22
2
/cv1
cm
E
A energia total de um sistema isolado é constante.
Se a energia de repouso total de um sistema isolado de duas partículas
diminui, algum outro tipo de energia do sistema deve aumentar, já que a
energia total não pode mudar.
E = E0 + EC
Ou
19. Energia Cinética
Se o corpo está em movimento, possui uma energia adicional na forma de energia
cinética, 𝐸𝑐.
𝑬 = 𝜸𝒎𝒄 𝟐
EC = E - m c2
EC = 𝜸𝒎𝒄 𝟐
- m c2
EC = 𝒎𝒄 𝟐
(𝛾 − 1)
Energia Cinética
Energia cinética: EC = E - m c2
22
2
/cv1
cm
E
20. Neutrinos mais rápidos que a luz?
O experimento OPERA (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus) está
localizado a 1.400 metros de profundidade, no Laboratório Gran Sasso, na Itália. Um
detector ultra-sensível recebe um feixe de neutrinos disparado do laboratório CERN,
na Suíça - onde está o famoso LHC (Large Hadron Collider) - que está localizado a
mais de 730 quilômetros de distância.
O que os pesquisadores concluíram em 2011 é que os neutrinos estão
chegando 60 nanossegundos antes do que deveriam. E isso só pode ser possível se
eles estiverem viajando a uma velocidade maior do que a da luz !
Esse acontecimento deixou uma pergunta na sociedade científica que não quer
calar: A relatividade especial precisa ser corrigida ou os Neutrinos são uma exceção
na natureza?
21. Exercícios
1. A espaçonave do leitor passa pela Terra com uma velocidade relativa de
0,9990c. Depois de viajar durante 10,0 anos (tempo do leitor), para na estação
espacial EE13, faz meia volta e se dirige para a Terra com a mesma velocidade
relativa. A viagem de volta também leva 10,0 anos (tempo do leitor). Quanto
tempo leva a viagem de acordo com um observador terrestre?
2. O tempo médio de vida de múons estacionários é de 2,2 ms. O tempo médio de
vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é de 16 ms no
referencial da Terra. Determine a velocidade em relação à Terra dos múons
produzidos pelos raios cósmicos.
3. Um astronauta faz uma viagem de ida e volta em uma espaçonave, partindo da
terra, viajando em linha reta com velocidade constante durante seis meses e
voltando ao ponto de partida da mesma forma e com a mesma velocidade. Ao
voltar à terra, o astronauta constata que 1000 anos se passaram. Determine o
parâmetro da velocidade 𝛽 da espaçonave.
22. 4) Suponha que uma nave alienígena passe paralelamente à plataforma de uma
estação orbital de 100 m de comprimento com velocidade 2,0 . 108 m/s. Durante a
passagem, em determinado instante, um observador O, na plataforma, verifica que
as extremidades dianteira e traseira da nave coincidem exatamente com as
extremidades da plataforma. Determine:
a) O tempo gasto, a partir desse instante, medido pelo observador O, para a nave
abandonar toda a plataforma;
b) O comprimento de repouso da nave;
c) O comprimento da plataforma para um alienígena O’, viajando na nave.
5) Suponha que um homem tem um irmão gêmeo que é astronauta, ambos têm 40
anos de idade. Tal astronauta é convidado para uma missão da NASA (agência
espacial americana), na qual irá explorar um novo planeta descoberto. Tal viagem é
realizada numa nave que se move a uma velocidade de 2.108 m/s. O tempo gasto na
viagem cronometrado pela NASA foi de 10 anos. A pergunta é: quando o astronauta
voltar, a sua idade será a mesma que a do seu irmão?
