Γεωμετρία Α' Λυκείου-Τάκης Τσακαλάκος

1. Γ ε ω μ ε τ ρ ι α
A’ Λ υ κ ε ι ο υ
Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

3. Γ ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ
Με πολυ μερακι
Για τους καλους φιλους μου
Τακης Τσακαλακος
Κερκυρα 2015 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων
▪ Βασικα Γεωμετρικα Σχηματα
▪ Τριγωνα
▪ Παραλληλες Ευθειες
▪ Παραλληλογραμμα -
Τραπεζια
▪ Εγγεγραμμενα Σχηματα

4. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

5. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
01. Σ η μ ε ι ο
Το σημειο δεν εχει διαστασεις. Το παριστανουμε με μια Α Β
τελεια και το συμβολιζουμε με ενα κεφαλαιο γραμμα. ● ●
02. Γ ρ α μ μ η
Ειναι το ιχνος που αφηνει η μυτη ενος μολυβιου, αν το
μετακινησουμε χωρις διακοπη. Ειναι δηλαδη μια συνε-
χης σειρα θεσεων (σημειων) που παιρνει ενα κινητο ση-
μειο.
03. Ε π ι φ α ν ε ι α ( Ε π ι π ε δ ο )
Το συνολο των σημειων που χωριζουν ενα στερεο σωμα
απο το περιβαλλον του. Ειδικη περιπτωση επιφανειας
αποτελει το ε π ι π ε δ ο, η επιφανεια δηλαδη, που εφαρ-
μοζει ο χαρακας και στις δυο διαστασεις του, το μηκος
και το πλατος.
Συμβολιζεται μ’ενα παραλληλογραμμο.
04. Ε υ θ ε ι α
Ειναι η γραμμη, που εκτεινεται απεριοριστα και προς τις ε
δυο κατευθυνσεις, και εχει τη μορφη μιας ακτινας φω-
τος.
Συμβολιζεται συνηθως με ενα μικρο γραμμα της αλφα-
βητου, π.χ. ε η (ε) .
05. Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Δ υ ο Ε υ θ ε ι ω ν
▪ Τεμνονται (σ’ενα σημειο)
▪ Ειναι παραλληλες (δεν εχουν κοινα σημεια)
▪ Ταυτιζονται (συμπιπτουν ολα τα σημεια τους)
▪ Ασυμβατες (δεν ειναι ουτε παραλληλες, ουτε τεμνον-
ται, πχ οι ακμες του ορθογωνιου (μπλε-κοκκινη)
06. Η μ ι ε υ θ ε ι α
Ειναι το ενα απ’τα δυο μερη που χωριζει ενα σημειο, Α
εστω Α, την ευθεια x’x. x’ x
▪ Οι ημιευθειες Αx’ και Αx λεγονται α ν τ ι κ ε ι μ ε ν ε ς .

6. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
07. E υ θ υ γ ρ α μ μ ο Τ μ η μ α
Ειναι το μερος μιας ευθειας που περικλειεται απο
δυο σημεια της, εστω Α και Β, με τα σημεια αυτα
(ακρα).
▪ Δ ι α δ ο χ ι κ α λεγονται τα ευθυγραμμα τμηματα
που εχουν ενα κοινο ακρο, πχ ΑΓ και ΓΒ.
▪ Ι σ α λεγονται τα ευθυγραμμα τμηματα που με
καταλληλη μετατοπιση συμπιπτουν. Για το ευθυ- x
γραμμο τμημα ΑΒ σε καθε ημιευθεια Γx υπαρχει
σημειο Δ, ωστε AB = ΓΔ .
08. Μ ε σ ο E υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ Τ μ η μ α τ ο ς Α Β
Ειναι ενα εσωτερικο του σημειο Μ, τετοιο ωστε :
ΑΜ = ΜΒ .
Δεχομαστε οτι το σημειο Μ ειναι μοναδικο.
09. Α θ ρ ο ι σ μ α E υ θ . Τ μ η μ α τ ω ν
Εστω δυο ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ και ΓΔ.
Μετατοπιζουμε τα ΑΒ, ΓΔ πανω σε ευθεια ε, ωστε να γι-
νουν διαδοχικα, με ΑΒ = ΚΛ και ΓΔ = ΛΜ .
Αθροισμα των ευθ.τμηματων ΑΒ, ΓΔ ειναι το τμημα ΚΜ
και ισχυει ΚΜ = ΑΒ + ΓΔ .
10. Δ ι α φ ο ρ α E υ θ . Τ μ η μ α τ ω ν
Αν ΓΔ > ΑΒ, τοτε υπαρχει εσωτερικο σημειο Ε του ΓΔ,
ωστε ΑΒ = ΓΕ .
Διαφορα του ΑΒ απ’το ΓΔ λεγεται το τμημα ΕΔ και ι-
σχυει : ΕΔ = ΓΔ - ΑΒ .
11. Γ ι ν ο μ ε ν ο E υ θ . Τ μ η μ α τ ο ς ε π ι
Φ υ σ ι κ ο Α ρ ι θ μ ο ν
Λεμε το ευθυγραμμο τμημα ΓΔ , που ειναι το αθροισμα
ν διαδοχικων ευθυγραμμων τμηματων ισων με το ΑΒ
και ισχυει : ΓΔ = ν ∙ ΑΒ .
Α Β
ε
Α Γ Β
ε
Γ Δ
Α Μ Β
Κ Λ Μ
ε
Α Β Γ
Δ
Γ Ε Δ
ε
Α Β
Γ Α Β Δ
ν οροι

7. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
12. Μ η κ ο ς E υ θ . Τ μ η μ α τ ο ς Α Β
( Α π ο σ τ α σ η τ ω ν Σ η μ ε ι ω ν Α , Β )
▪ Μ ο ν α δ α μ η κ ο υ ς λεμε το ευθυγραμμο τμημα με
το οποιο συγκρινουμε ολα τα ευθυγραμμα τμηματα.
▪ Ο θετικος αριθμος κ, που δειχνει ποσες φορες ειναι με-
γαλυτερο η μικροτερο ενα ευθ. τμημα απ’τη μοναδα
μηκους λεγεται μ η κ ο ς ε υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ τ μ η μ α -
τ ο ς .
13. Σ η μ ε ι α Σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ( Κ ε ν τ ρ ο )
Αν Ο ειναι σημειο του επιπεδου, τοτε για καθε σημειο Α
υπαρχει μοναδικο σημειο Β, ωστε το σημειο Ο να ειναι Α Ο Β
το μεσο του τμηματος ΑΒ. Τα σημεια Α, Β λεγονται
σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ως προς το σημειο Ο.
14. Σ η μ ε ι α Σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ( Ε υ θ ε ι α )
Ειναι η γραμμη, που εκτεινεται απεριοριστα και προς τις ε
δυο κατευθυνσεις και εχει τη μορφη μιας ακτινας φωτος. Α Ο Β
Συμβολιζεται συνηθως με ενα μικρο γραμμα της αλφα-
βητου, π.χ. ε η (ε) .
15. Η μ ι ε π ι π ε δ α
Για το επιπεδο δεχομαστε:
▪ Μια ευθεια ε του επιπεδου Π το χωριζει σε δυο μερη
Π1, Π2, που βρισκονται εκατερωθεν αυτης.
▪ Τα σημεια του Π1 (Π2) και τα σημεια της ε, αποτελουν
ενα σχημα που λεγεται η μ ι ε π ι π ε δ ο .
▪ Το ημιεπιπεδο οριζεται απο μια ευθεια και ενα σημειο.
▪ Αν τα σημεια Α,Β του επιπεδου βρισκονται εκατερωθεν
της ευθειας ε, τοτε η ευθεια ΑΒ τεμνει την ευθεια ε.
16. Γ ω ν ι α
▪ K υ ρ τ η γ ω ν ι α ειναι το σχημα που αποτελειται απ’
τα κοινα σημεια δυο ημιεπιπεδων (Οι ημιευθειες Ox,
Oy και τα περιεχομενα σ’αυτες σημεια, σχ 1).
Συμβολισμος: xOy η Ο η ω .
Α Γ Β
κ φορες
Μοναδα μηκους
κ : θετικος οχι απαραιτητα
ακεραιος
Π1 Α
Ο
Π2 Β
x Σχ. 1
y O
ω

8. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
▪ Μ η κ υ ρ τ η γωνια ειναι το σχημα που αποτελειται
απ’τα σημεια του επιπεδου που δεν ανηκουν στη κυρ-
τη γωνια xOy με τις ημιευθειες Οx, Oy, (σχ 2) .
▪ Κ ο ρ υ φ η της γωνιας λεγεται το σημειο Ο.
▪ Π λ ε υ ρ ε ς της γωνιας λεγονται οι ημιευθειες Οx, Oy.
▪ Αν οι ημιευθειες Οx, Oy συμπιπτουν τοτε η κυρτη γω-
νια που σχηματιζεται λεγεται μ η δ ε ν ι κ η γ ω ν ι α,
ενω η μη κυρτη λεγεται π λ η ρ η ς γ ω ν ι α .
▪ Αν οι ημιευθειες Οx, Oy ειναι αντικειμενες τοτε η γω-
νια λεγεται ε υ θ ε ι α γ ω ν ι α , (σχ.3) .
17. Σ υ γ κ ρ ι σ η Γ ω ν ι ω ν
Εστω οι γωνιες ΑO Β και ΑO Γ
(κοινη κορυφη Ο και πλευρα ΟΑ).
▪ Αν οι ημιευθειες ΟΒ, ΟΓ ταυτιζονται :
ΑO Β=ΑO Γ
▪ Αν η ημιευθεια ΟΓ εξω απ’τη γωνια :
ΑO Β: ΑO Β < ΑO Γ
▪ Αν η ημιευθεια ΟΓ μεσα στη γωνια :
ΑO Β: ΑO Β > ΑO Γ
18. Δ ι χ ο τ ο μ ο ς Γ ω ν ι α ς x O y
Ειναι η ημιευθεια Οδ που χωριζει την γωνια xOy σε δυο
ισες γωνιες xO δ και δO y .
▪ Στη περιπτωση που η γωνια xOy ειναι η ευθεια γωνια,
τοτε καθεμια απ’τις γωνιες xO δ και δO y λεγεται
ο ρ θ η γ ω ν ι α και συμβολιζεται με L, ενω οι φορεις
των πλευρων της λεγονται κ α θ ε τ ε ς .
19. E ι δ η Γ ω ν ι ω ν
▪ Ο ρ θ η ειναι η κυρτη γωνια που εχει τις πλευρες της
καθετες.
▪ Ο ξ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μικροτερη της
ορθης.
Γ Β
Γ
Ο Α
x
y
Σχ. 2
θ
Ο
Σχ.3
y O x
x
δ
ω
ω
x
x O y
δ
y
ορθη οξεια

9. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
▪ Α μ β λ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μεγαλυτε-
ρη της ορθης και μικροτερη απ’την ευθεια γωνια.
20. Ε υ θ ε ι α Κ α θ ε τ η σ ε Σ η μ ε ι ο Ε υ θ ε ι α ς
Απο ενα σημειο Α ευθειας x’x διερχεται μ ο ν α δ ι κ η
ευθεια καθετη στη x’x, που δεν ειναι αλλη απ’τη διχοτο- δ
μο της ευθειας γωνιας x'O x .
Aν υπηρχε κι’αλλη, θα ειχαμε δυο διχοτομους της γωνι-
ας x'O x , ατοπο γιατι η διχοτομος ειναι μοναδικη.
21. Α π ο σ τ α σ η Σ η μ ε ι ο υ α π ο Ε υ θ ε ι α
Απο ενα σημειο Α εκτος της ευθειας x’x διερχεται μονα- Α
δικη ευθεια καθετη στη x’x. Αν Ο το σημειο τομης της
καθετης ευθειας και της ευθειας x’x, το μηκος του ευθ.
τμηματος ΑΟ λεγεται α π ο σ τ α σ η του Α απ’την ευ-
θεια x’x.
22. Ε φ ε ξ η ς Γ ω ν ι ε ς
Λεγονται δυο γωνιες που εχουν μια κοινη πλευρα και τις
μη κοινες πλευρες τους εκατερωθεν της κοινης . Εφεξης
▪ Δ ι α δ ο χ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : τρεις η περισσοτερες γω-
νιες αν η 1η και η 2η ειναι εφεξης, η 2η και η 3η ειναι Διαδοχικες
εφεξης, κ.λ.π.
23. Α θ ρ ο ι σ μ α Ε φ ε ξ η ς Γ ω ν ι ω ν
Λεγεται η γωνια που εχει μια κοινη κορυφη με τις εφε- Α Γ
ξης και πλευρες μη κοινες πλευρες τους .
Ειναι A O Γ + Γ O Β = Α O Β
24. Δ ι α φ ο ρ α Γ ω ν ι ω ν
Μετατοπιζουμε τη μικρη γωνια ωστε να εχει κοινη κο-
ρυφη με τη μεγαλη γωνια και να συμπεσει η μια πλευρα
τους, ενω η αλλη βρισκεται μεταξυ των πλευρων της με-
γαλης.
Δ ι α φ ο ρ α τους ειναι η γωνια που εχει πλευρες τις μη
αμβλεια
x’ Α x
x’ Ο x
Ο Β
Γ
Α
Ο Β

10. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
κοινες πλευρες τους.
Ειναι A O Γ = Α O Β - Γ O Β
25. Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς Γ ω ν ι ε ς
▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : Σχ. α Σχ. γ
Ειναι δυο γωνιες που το αθροισμα τους ισουται με μια
ορθη γωνια (Σχ. α).
▪ Π α ρ α π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς :
Ειναι δυο γωνιες που το αθροισμα τους ισουται με μια
ευθεια γωνια (Σχ. β). Σχ. β
▪ Κ α τ α κ ο ρ υ φ η ν γ ω ν ι ε ς :
Ειναι δυο γωνιες με κοινη κορυφη και οι πλευρες της
μιας ειναι αντικειμενες των πλευρων της αλλης (Σχ. γ).
26. Θ ε ω ρ η μ α
Δυο εφεξης και παραπληρωματικες γωνιες εχουν τις μη
κοινες πλευρες τους αντικειμενες ημιευθειες και αντι-
στροφα.
Δηλαδη:
Αν ΟΑ, ΟΒ αντικειμενες ημιευθειες τοτε οι γωνιες A O B
και Α O Γ ειναι παραπληρωματικες.
27. Θ ε ω ρ η μ α
Oι κατακορυφην γωνιες ειναι ισες.
Αποδειξη
0
0
x + ω = 180
x + ω = y + ω x = y
y + ω = 180

⇒ ⇒

28. Θ ε ω ρ η μ α
Η προεκταση της διχοτομου γωνιας ειναι διχοτομος της
κατακορυφην της γωνιας.
Αποδειξη
1 3
3 4
2 4
1 2
ˆ ˆΟ = Ο (κατακορυφη)
ˆ ˆΟ = Οˆ ˆΟ = Ο (κατακορυφη)
ˆOδ' διχοτομος της x'Oy'ˆ ˆ ˆΟ = Ο (Oδ διχοτομος της xOy)


⇒


α
β
γ
δ
ε
ζ
ω x
y
Β
Γ Ο Α
x’ y
δ’ 4 1 δ
3 0 2
y’ x

11. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
29. Θ ε ω ρ η μ α
Οι διχοτoμοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνι-
ων ειναι καθετες.
Αποδειξη
Εστω AOB, AOΓεφεξης και παραπληρωματικες και ΟΔ,
ΟΕ οι διχοτομοι τους.
0
0
ˆ ˆ ˆΓΟΒ ΑΟΒ ΓΟΑ 180ˆ ˆ ˆΕΟΔ = ΕΟΒ + ΒΟΔ = + = = = 90
2 2 2 2
ΟΕ ΟΔ
⇒
⊥
30. Κ υ κ λ ο ς
Κ υ κ λ ο ς με κεντρο Ο και ακτινα ρ ειναι το συνολο των
σημειων του επιπεδου που απεχουν απ’το Ο αποσταση
ιση με ρ.
Συμβολιζεται : (Ο, ρ).
▪ Κυκλος (Ο, ρ) ειναι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων
Μ του επιπεδου για τα οποια ισχυει ΟΜ = ρ.
31. Σ τ ο ι χ ε ι α Κ υ κ λ ο υ
▪ Τ ο ξ ο ειναι το ενα απο τα δυο μερη που χωριζεται ο
κυκλος απο δυο σημεια του (Σχημα: AΓΒ, AΔΒ ).
▪ Χ ο ρ δ η ειναι το ευθυγραμμο τμημα που οριζεται απο
δυο σημεια του κυκλου (Σχημα: ΑΒ).
▪ Α π ο σ τ η μ α χορδης ειναι η αποσταση του κεντρου Ο
απ’τη χορδη (Σχημα: ΟΗ ).
▪ Δ ι α μ ε τ ρ ο ς ειναι η χορδη που διερχεται απ’το κεν-
τρο (Σχημα: ΕΖ).
▪ Α ν τ ι δ ι α μ ε τ ρ ι κ α σ η μ ε ι α ειναι τα ακρα μιας
διαμετρου (Σχημα: Ε, Ζ).
32. Θ ε σ η Σ η μ ε ι ο υ ω ς π ρ ο ς Κ υ κ λ ο
▪ Ενα σημειο Μ του επιπεδου ενος κυκλου (Ο, ρ) λεγεται Α
ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σ η μ ε ι ο του κυκλου αν ΟΜ < ρ. ρ Μ
▪ Ενα σημειο Ν του επιπεδου ενος κυκλου (Ο, ρ) λεγεται Ο
ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο σ η μ ε ι ο του κυκλου αν ΟΝ > ρ. Ν
M ρ Ο
Ε Β Δ
Γ Ο Α
Γ
Μ
Ο
Ε Ζ
Α Η Β
Δ
ρ

12. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
33. Ι σ ο ι Κ υ κ λ ο ι
▪ Δυο κυκλοι ειναι ι σ ο ι , αν ο ενας με καταλληλη με-
τατοπιση ταυτιζεται με τον αλλο. ρ ρ’
▪ Δυο κυκλοι ειναι ι σ ο ι , αν και μονον αν εχουν ισες Ο Ο’
ακτινες.
34. Ε π ι κ ε ν τ ρ η Γ ω ν ι α
▪ Ε π ι κ ε ν τ ρ η γ ω ν ι α :
Ειναι η γωνια που η κορυφη της ειναι το κεντρο ενος - x
κυκλου.
▪ Α ν τ ι σ τ ο ι χ ο τ ο ξ ο ε π ι κ ε ν τ ρ η ς γ ω ν ι α ς : Ο
Ειναι το τοξο του κυκλου που περιεχεται στην επικεν-
τρη γωνια. y
Θα λεμε οτι η γωνια xO y βαινει στο τοξο AB.
35. Σ υ γ κ ρ ι σ η Τ ο ξ ω ν
▪ Σ υ γ κ ρ ι σ η τ ο ξ ω ν μ ε μ ε τ α τ ο π ι σ η :
Συγκρινουμε τοξα του ι δ ι ο υ κυκλου η ι σ ω ν κυ-
κλων:
AB = ΓΔ και EZ < HΘ η HΘ > EZ
Τοξα ανισων κυκλων δεν ειναι συγκρισιμα.
▪ Μ ε σ ο τ ο ξ ο υ :
Το σημειο που χωριζει το τοξο σε δυο ισα τοξα.
Το μεσο τοξου ειναι μοναδικο. (Εμεσο του ΙΖ )
36. Θ ε ω ρ η μ α
▪ Σε ισα τοξα ενος κυκλου βαινουν ισες επικεντρες γωνι-
ες και σε ισες επικεντρες γωνιες αντιστοιχουν ισα τοξα.
Σχημα: AB = ΓΔ AOB = ΓOΔ⇔
▪ Σε ανισα τοξα ενος κυκλου βαινουν ομοιως ανισες επι-
κεντρες γωνιες και αντιστροφα.
Σχημα: ΗΘ > ZE HKΘ > ΕKZ⇔
Α Β Η
Θ
Γ Ι Ζ
Δ Ε
Γ Α Β Δ
Β
Α Η
Ο
Δ Ε
A
Γ Ζ
Θ
Κ
Β

13. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
37. Η μ ι κ υ κ λ ι ο
Ειναι ενα απ’ τα δυο ισα τοξα που χωριζει η διαμετρος
τον κυκλο.
38. Τ ε τ α ρ τ ο κ υ κ λ ι ο
Ειναι ενα απ’τα τεσσερα ισα τοξα που χωριζουν δυο κα-
θετες διαμετροι τον κυκλο.
39. Δ ι α δ ο χ ι κ α Τ ο ξ α
Ειναι δυο τοξα ενος κυκλου που εχουν ενα κοινο ακρο
και κανενα κοινο εσωτερικο σημειο. Σχημα : ΑΒ,ΒΓ
Σε πολλα διαδοχικα τοξα, καθενα ειναι διαδοχικο με το
επομενο του.
40. Α θ ρ ο ι σ μ α Δ υ ο Τ ο ξ ω ν
Μετατοπιζουμε τα τοξα, ωστε να γινουν διαδοχικα.
Το τοξο AΓ λεγεται α θ ρ ο ι σ μ α των τοξων AΒ και
BΓκαι ισχυει :
AΒ + BΓ = AΓ
41. Δ ι α φ ο ρ α Δ υ ο Τ ο ξ ω ν
Μετατοπιζουμε τα τοξα, ωστε να γινουν διαδοχικα.
Το τοξο AΓ λεγεται δ ι α φ ο ρ α των τοξων AΒ και BΓ
και ισχυει :
AΒ- BΓ = AΓ
42. Γ ι ν ο μ ε ν ο Τ ο ξ ο υ μ ε Φ υ σ ι κ ο ν
Παιρνουμε ν διαδοχικα τοξα ισα με AΒ , ετσι ωστε να
ισχυει
ν φορες
AΓ = AB + AB + ...AB.
Το τοξο AΓ ειναι το γινομενο του τοξου AΒ επι τον φυ-
σικο ν και ισχυει : AΓ= ν ∙ AΒ
Β
Γ
Α
Β
Α
Γ
Γ
Α
Β
Α
Β
Γ

14. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
43. Μ ε τ ρ η σ η Τ ο ξ ω ν κ α ι Γ ω ν ι ω ν
▪ Τ ο ξ ο μ ι α ς μ ο ι ρ α ς :
Ειναι το τοξο που ισουται με το 1/360 του κυκλου.
Συμβολιζεται 1ο (μοιρα) και ειναι το μοναδιαιο τοξο.
▪ Μ ε τ ρ ο τ ο ξ ο υ : Ειναι ο θετικος αριθμος που δειχνει
ποσες φορες το τοξο ειναι μεγαλυτερο απ’το μοναδιαιο
τοξο.
Σχημα: AB = ν ∙ τ η AB = νο
▪ Μ ε τ ρ ο γ ω ν ι α ς : Ειναι το μετρο του τοξου που
βαινει η γωνια αν γινει επικεντρη .
Σχημα : Αν 0
ΓΔ = μ τοτε 0
ω = ΓOΔ = μ
▪ Χαρακτηριστικα μετρα:
▪ κυκλος , πληρης γωνια : 360ο
▪ ημικυκλιο, ευθεια γωνια : 180ο
▪ τεταρτοκυκλιο, ορθη γωνια : 90ο
44. Τ ε θ λ α σ μ ε ν η Γ ρ α μ μ η
Αποτελειται απο διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα, που
οποιαδηποτε δυο διαδοχικα δεν ειναι συνευθειακα.
Σχημα: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ. Συμβολιζεται : ΑΒΓΔΕ.
▪ Κ ο ρ υ φ ε ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :
τα σημεια Α, Β, Γ, Δ, Ε .
▪ Α κ ρ α τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :
τα σημεια Α και Ε.
▪ Π λ ε υ ρ ε ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :
τα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ.
▪ Π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :
το αθροισμα των πλευρων της.
▪ Α π λ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η :
δεν εχει πλευρες που τεμνονται.
▪ Κ λ ε ι σ τ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η :
τα ακρα της συμπιπτουν.
▪ Κ υ ρ τ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η :
ο φορεας καθε πλευρας της αφηνει ολες τις κορυφες
προς το ιδιο μερος του.
Σε αντιθετη περιπτωση λεγεται μ η κ υ ρ τ η .
Β Ε μη απλη
Β Γ
Α Γ
απλη κυρτη
Ε Δ Α Δ
Α Β ΑΕ Β
Μη κυρτη Δ Γ
Γ Δ
Ε κλειστη
Γ Α Β Δ
μο
νο
1ο =1/360 του κυκλου
Ι
Β
Α
Δ
Γ
ω
Ο

15. Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α
45. Π ο λ υ γ ω ν ο
Ειναι μια κλειστη και απλη τεθλασμενη γραμμη.
▪ Κ υ ρ τ ο :
αν η τεθλασμενη γραμμη ειναι κυρτη.
▪ Μ η κ υ ρ τ ο :
αν η τεθλασμενη γραμμη ειναι μη κυρτη.
▪ Δ ι α γ ω ν ι ο ς :
το τμημα που εχει ακρα δυο μη διαδοχικες κορυφες.
▪ Γ ω ν ι ε ς π ο λ υ γ ω ν ο υ :
Σχηματιζονται απο δυο διαδοχικες πλευρες του
(εσωτερικες του πολυγωνου. Σχημα : ω).
▪ Ε ξ ω τ ε ρ ι κ η γ ω ν ι α :
ειναι καθε εφεξης και παραπληρωματικη μιας (εσω-
τερικης) γωνιας του (εξωτερικες του πολυγωνου.
Σχημα : φ ).
Β
Α Γ Κυρτο
Ε Δ
Α Β
Δ
Γ
Ε Μη κυρτο
φ
ω

16. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Α π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς :
Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Αν Ε, Ζ
ειναι τα μεσα των ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι
i) EZ =
AΔ+ ΒΓ
2
ii) ΑΓ + ΒΔ = ΑΔ + ΒΓ
i)
Α Ε Β Γ Ζ Δ
Ειναι
ΕΖ = ΕΒ + ΒΓ + ΓΖ =
ΑΒ
2
+ ΒΓ +
ΓΔ
2
=
ΑΒ + 2ΒΓ + ΓΔ (ΑΒ+ ΒΓ + ΓΔ) + ΒΓ ΑΔ + ΒΓ
= =
2 2 2
ii)
ΑΓ + ΒΔ = ΑΒ + ΒΓ + ΒΓ + ΓΔ = (ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ) + ΒΓ = ΑΔ + ΒΓ
Θεωρουμε κυρτη γωνια ˆΑΟΒ, τη διχοτομο της ΟΔ και τυχαια ημιευθεια ΟΓ εσωτε-
ρικη της γωνιας ˆΔΟΒ. Να αποδειξετε οτι
ˆ ˆ
ˆ ΓΟΑ- ΓΟΒ
ΓΟΔ =
2
.
Ειναι
ˆΓΟΔ = ˆΓΟΑ - ˆΑΟΔ
ΟΔ διχοτομος
= ˆΓΟΑ -
ˆΑΟΒ
2
=
ˆ ˆ2ΓΟΑ - ΑΟΒ
2
=
ˆ ˆ ˆΓΟΑ -(ΑΟΒ- ΓΟΑ)
2
=
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, γωνιων η τοξων.
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Βοηθητικες ευθειες, γωνιες η τοξα.
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Εχουμε κατα νου το τροπο αποδειξης σχεσης .
▪ Ξεκινουμε απ’το 1ο μελος και με λογικες πραξεις καταληγουμε στο 2ο μελος .
▪ Ξεκινουμε απ’το 2ο μελος και με λογικες πραξεις καταληγουμε στο 1ο μελος .
▪ Ξεκινουμε απ’το 1ο μελος και καταληγουμε σε μια παρασταση .
Ξεκινουμε απ’το 2ο μελος και καταληγουμε στην ιδια παρασταση .
▪ Ξεκινουμε απ’τη προς αποδειξη σχεση και με λογικες πραξεις καταληγουμε
σε μια σχεση που αληθευει (προφανη) .
▪ Μετατρεπουμε τα τμηματα (γωνιες, τοξα) σε αθροισματα η διαφορες, ωστε να
προκυψουν ‘’βολικα’’ νεα τμηματα (γωνιες, τοξα) .
▪ Χρησιμοποιουμε ιδιοτητες τμηματων ( γωνιων, τοξων ) και με πραξεις κατα-
ληγουμε στο ζητουμενο .
/ / // //

17. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
=
ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒ
2
Α λ λ ι ω ς
ˆΑΟΒˆ ˆ ˆ ˆΓΟΔ = ΓΟΑ - ΑΟΔ = ΓΟΑ -
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒ ΓΟΑ -(ΑΟΒ- ΓΟΑ) 2ΓΟΑ - ΑΟΒ ΑΟΒˆ= = = ΓΟΑ -
2 2 2 2
ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒˆΓΟΔ =
2
 
  
⇒ 
 
  
Σε ημικυκλιο δινονται τα σημεια Α, Β και σημειο Μ του τοξου AB , ωστε MA = MB.
i) Αν Ρ σημειο του ημικυκλιου που δεν ανηκει στο τοξο AB , να αποδειξετε οτι
( )= +
1
ΡΜ ΡΑ ΡΒ
2
.
ii) Αν Σ σημειο του τοξου ΜΒ, να αποδειξετε οτι ( )=
1
ΣΜ ΣΑ- ΣΒ
2
i)
Αρκει να δειχθει οτι : 2 ΡΜ = ΡΑ + ΡΒ
Eιναι
ΡΑ = ΡΜ + MA (1)
ΡΒ = ΡΜ - MB (2)
Ετσι
(1) + (2) ⇒ ΡΑ + ΡΒ = 2 ΡΜ
ii)
Αρκει να δειχθει οτι: 2 ΣΜ = ΣΑ – ΣΒ
Ειναι
ΣΑ = ΣΜ + MA (3)
ΣΒ = MB - ΜΣ (4)
Ετσι
(3) – (4) ⇒ ΣΑ – ΣΒ = 2 ΣΜ
Α
ΓΒ
Δ
O
Μ Β
Ρ
Α
Μ Σ
Β
Α

18. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
02. Μ ο ν α δ ι κ ο τ η τ α ( α π ο δ ε ι ξ η σ ε α τ ο π ο ) :
Να δειχτει οτι το μεσο Μ του τμηματος ΑΒ ειναι μοναδικο .
Εστω οτι και το Μ’ (μεταξυ Μ και Β, αρα ΑΜ’ > ΑΜ) ειναι μεσο του τμηματος ΑΒ .
Ετσι
□ ΑΜ = ΜΒ
ΑΒ
ΑΜ = (1)
2
⇔
□ ΑΜ’ = Μ’Β
ΑΒ
ΑΜ' = (2)
2
⇔
Απο (1) και (2) : ΑΜ = ΑΜ’ (Μ ≡ Μ’) ατοπο αφου ΑΜ’ > ΑΜ (Μ’ διαφορετικο Μ) .
Ομοια αν Μ’ ειναι μεταξυ Α και Μ .
Αρα Μ ειναι μοναδικο .
03. Ε υ θ υ - Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο :
Να αποδειχτει οτι οι διχοτομοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων σχηματι-
ζουν ορθη γωνια και αντιστροφα .
Εστω ΟΔ, ΟΕ διχοτομοι των Α Ο Γ και ΒΟ Γ αντιστοιχα .
Ε υ θ υ :
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη μοναδικοτητας σημειου , ευθεια κλπ .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ιδιοτητα σημειου, ευθειας κλπ .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Θεωρουμε οτι το ζητουμενο ΔΕΝ ειναι μοναδικο (υπαρχει και αλλο με την ιδιο-
τητα του ζητουμενου) .
▪ Με λογικες πραξεις (η ιδιοτητες) καταληγουμε σε ατοπο .
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης και αντιστροφως .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Σχεση η ιδιοτητα .
▪ Τροπος Λυσης :
▪ Ευθυ : Ξεκινωντας η χρησιμοποιωντας την υποθεση (δοσμενο) με λογικες πρα-
ξεις καταληγουμε στο συμπερασμα (ζητουμενο) .
▪ Αντιστροφο : Ξεκινωντας η χρησιμοποιωντας το συμπερασμα με λογικες πρα-
ξεις καταληγουμε στην υποθεση .

19. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
□ Υποθεση : 0
Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180
□ Συμπερασμα : 0
Δ Ο Ε = 90
Ειναι
ΟΔ διχοτομος
0
ΟΕ διχοτομος
0 0
0 0
Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180
2 Δ Ο Γ + 2 Γ Ο Ε = 180 2 (Δ Ο Γ + Γ Ο Ε) = 180
2 Δ Ο Ε = 180 Δ Ο Ε = 90
⇔
⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⇔
⋅ ⇔
Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο
□ Υποθεση : 0
Δ Ο Ε = 90
□ Συμπερασμα : 0
Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180
ΟΔ διχοτομος
0 0 0 0
ΟΕ διχοτομος
0
Α Ο Γ Γ Ο Β 1
Δ Ο Ε = 90 Δ Ο Γ + Γ Ο Ε = 90 + = 90 (Α Ο Γ + Γ Ο Β) = 90
2 2 2
Α Ο Γ + Γ Ο Β = 180
⇔ ⇔ ⇔ ⋅ ⇔
04. Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ο υ γ ω ν ι α ς ( ω ν ) (με τη βοηθεια εξισωσης (συστηματος)) :
Η παραπληρωματικη μιας γωνιας ειναι τριπλασια της συμπληρωματικης γωνιας της
γωνιας αυτης . Να υπολογισετε την γωνια.
Εστω ω η ζητουμενη γωνια, οποτε 1800 - ω και 900 - ω η παραπληρωματικη και συμ-
πληρωματικη γωνια της γωνιας ω αντιστοιχα .
Ετσι
1800 - ω = 3(90 0 - ω) ⇔
180ο - ω = 270 0 - 3ω ⇔
3ω - ω = 270 0 - 180 0 ⇔
2ω = 90 0 ⇔
ω = 45 0
Δ Γ Ε
Α Ο Β
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση μετρου γωνιας (ων) .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ιδιοτητες και σχεσεις μεταξυ γωνιων .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Θετουμε τη (τις) ζητουμενη (ες) γωνια (ες) με φ (ω, θ, ...) .
▪ Σχηματιζουμε εξισωση (συστημα), συμφωνα με τα δοσμενα, ως προς τις πιο
πανω γωνιες .
▪ Λυνουμε την εξισωση (συστημα) .

20. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
05. Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ω ν γ ω ν ι ω ν α ν α λ ο γ ω ν π ρ ο ς α ρ ι θ μ ο υ ς :
Τεσσερις ημιευθειες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ σχηματιζουν τις διαδοχικες γωνιες Α ˆΟ Β,
Β ˆΟ Γ, Γ ˆΟ Δ, Δ ˆΟ Α, που εχουν μετρα αναλογα με τους αριθμους 1, 2, 3, 4.
Να υπολογισετε τις γωνιες αυτες.
Εστω Α ˆΟ Β = ω, Β ˆΟ Γ = φ, Γ ˆΟ Δ = ρ, Δ ˆΟ Α = σ .
Ετσι
0
0φ ρ ω + φ + ρ + σω σ 360
= = = = = = 36
1 2 3 4 1+ 2 + 3 + 4 10
⇒
0
0
0
0
ω = 1 36
φ = 2 36
ρ = 3 36
σ = 4 36
 ⋅
 
⋅ 
⇒ 
⋅ 
 ⋅ 
0
0
0
0
ω = 36
φ = 72
ρ = 108
σ = 144
06. Ε π ι κ ε ν τ ρ η γ ω ν ι α - Κ υ κ λ ο ς :
Σε ημικυκλιο διαμετρου ΑΒ θεωρουμε σημειο Γ τετοιο ωστε 0
ΑΓ - ΒΓ = 80 .
Βρειτε:
i) τα μετρα των τοξων ΑΓ και ΓΒ
ii) τα μετρα των γωνιων Α ˆΟ Γ και Γ ˆΟ Β (Ο ειναι το κεντρο του κυκλου)
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Ευρεση μετρων γωνιων .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Αριθμοι ως προς τους οποιους ειναι αναλογα τα μετρα των γωνιων .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Αν x, y, z, u ειναι τα μετρα των γωνιων που ειναι αναλογα προς τους αριθμους
α, β, γ, δ αντιστοιχα, τοτε ισχυει :
y x + y + z + ux z u
= = = =
α β γ δ α +β + γ + δ
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη σχεσης - ιδιοτητας η ευρεση γωνιας - τοξου .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Τοξα του κυκλου (σχεση – μετρα) .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Η βασικη ιδιοτητα που χρησιμοποιουμε ειναι οτι το μετρο της επικεντρης γωνι-
ας ειναι ισο με το μετρο του αντιστοιχου τοξου .

21. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
i)
0 0(+ )
(- )0 0
ΑΓ - ΒΓ = 80 2ΑΓ = 260
ΑΓ + ΒΓ = 180 2ΒΓ = 100
    
⇒ ⇒  
    
0
0
ΑΓ = 130
ΒΓ = 50
ii)
Α ˆΟ Γ= 130 0 και Γ ˆΟ Β = 50 0 (αντιστοιχες επικεντρες).
Θεωρουμε κυκλο (Ο, R) και τα διαδοχικα σημεια του Α, Β, Γ, Δ, ωστε 0
ΑΒ = 150 ,
0
ΓΔ = 45 και 0
ΑΔ = 105 .
Να αποδειξετε οτι η διχοτομος της γωνιας ΒΟΓ ειναι αντικειμενη ημιευθεια της ΟΑ.
Εστω Μ το μεσο του ΒΓ.
Τοτε ΟΜ διχοτομος της ΒΟΓ .
0 0 0 0 0
ΒΓ = 360 -150 - 45 -105 = 60 .
0
0ΒΓ 60
ΒΜ = = = 30
2 2
0 0 0
ΑΒΜ = ΑΒ+ ΒΜ = 150 + 30 = 180
Αρα ΟΜ, ΟΑ αντικειμενες.
Γ
Α Ο Β
A
M
Β
Γ
Δ
Ο

22. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
1.
Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια Α, Β, Γ και Μ, Ν τα μεσα των ΑΒ και ΒΓ
αντιστοιχα. Nα δειξετε οτι ΜΝ =
AΓ
2
.
2.
Πανω σε μια ευθεια δινονται κατα σειρα τα σημεια Α, Β, Γ , Δ, Ε ωστε ΑΓ = ΓΕ.
α) Αν Δ το μεσο του ΓΕ και ΒΓ = 4 και ΔΕ = 7 να βρειτε ποιοι απο τους παρακατω
ισχυρισμους ειναι σωστοι και ποιοι λαθος :
i) ⋅
1
ΓΕ = ΓΔ
2
ii) ΓΕ = 14 iii) ΑΕ = 28
β) Να υπολογισετε το μηκος του ΑΒ.
3.
Θεωρουμε αμβλεια γωνια ΑΟ Β και στο εσωτερικο της την ημιευθεια ΟΓ ⊥ ΟΑ.
Αν ΟΔ, ΟΕ οι διχοτομοι των γωνιων ΑΟ Β και ΒΟ Γ αντιστοιχα, να αποδειξετε
οτι 0
ΔΟ Ε = 45 .
4.
Δινονται οι διαδοχικες γωνιες ΑΟ Β, ΒΟ Γ, Γ Ο Δ. Αν ΟΕ, ΟΖ, ΟΗ, ΟΘ ειναι οι
διχοτομοι των ΑΟ Β, ΒΟ Γ, Γ Ο Δ, ΔΟ Α αντιστοιχα να δειξετε οτι :
0
Ε Ο Ζ + Η ΟΘ = 180
5.
Τα διαδοχικα τοξα ΑΒ , ΒΓ, ΓΑ εχουν μετρα αναλογα των αριθμων 2, 4, 6 .
α) Να υπολογισετε τα μετρα των τοξων
β) Να αποδειξετε οτι το μεσο της χορδης ΑΓ ειναι το κεντρο του κυκλου.
6.
Εστω οι γωνιες ω και φ, που εχουν κοινη κορυφη, μια κοινη πλευρα και δεν ειναι ε-
φεξης. Αν η διαφορα τους ειναι ιση με 90 0 , να δειξετε οτι η διαφορα των διχοτομων
τους ειναι ιση με 45 0.
7.
Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια Α, Β, Γ, Δ με Γ μεσο του ΒΔ .
Δειξτε οτι : 2ΑΓ > ΑΔ .

23. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
8.
Μιας οξειας γωνιας το αθροισμα του τριπλασιου της συμπληρωματικης γωνιας και
του διπλασιου της παραπληρωματικης της, ισουται με μια πληρη γωνια.
Να βρειτε το μετρο της γωνιας αυτης.
9.
Εστω οι ημιευθειες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και ΟΔ, τετοιες ωστε η γωνια ΒΟ Γ να ειναι ορθη .
Να υπολογισετε τη γωνια ΑΟ Δ αν :
▪ οι γωνιες ΑΟ Β και Γ Ο Δ ειναι συμπληρωματικες .
▪ οι γωνιες ΑΟ Β και Γ Ο Δ ειναι παραπληρωματικες .
10.
Εστω κυκλος με κεντρο Ο και διαμετρο ΑΒ. Θεωρουμε τυχαιο σημειο Γ του κυκλου
διαφορετικο απο τα Α, Β.
Αν ΟΔ, ΟΕ ειναι οι διχοτομοι των γωνιων Β Ο Γ και Α Ο Γ αντιστοιχως (Δ , Ε σημεια
του κυκλου), αποδειξτε οτι το τοξο ΕΔ ειναι τεταρτοκυκλιο.
11.
Εστω κυκλος με κεντρο Ο και ΑΒ , ΓΔ διαμετροι αυτου. Αν το μετρο του τοξου ΒΔ
ειναι 70 0, να βρειτε τα μετρα των :
α) των τοξων ΑΓ , ΒΓ , ΑΔ
β) ολων των επικεντρων γωνιων .
12.
Εστω κυκλος (Ο, 12) και σημειο Ρ στο επιπεδο του κυκλου. Αν ΟΡ = 2x + 4 , να βρειτε
για ποιες τιμες του θετικου ακεραιου x , το Ρ ειναι εσωτερικο σημειο του κυκλου.
13.
Δινεται τμημα ΑΒ ευθειας ε και ενα εσωτερικο σημειο Μ, τετοιο ωστε ΜΑ = ⋅
5
3
ΜΒ .
Αν Σ ειναι σημειο στη προεκταση του ΑΒ προς το Β, τετοιο ωστε ΣΑ = ⋅
5
3
ΣΒ, απο-
δειξτε οτι :
1 1 1
= +
(ΑΒ) (ΑΜ) (ΑΣ)
.

24. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
14.
Σε μια ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ με ΑΒ = 5,
ΒΓ = x, ΓΔ = 8. Αν Μ το μεσο του ΑΓ και Ν το μεσο του ΒΔ ,να δειξετε οτι :
α) ΑΜ =
x + 5
2
β) ΝΔ =
x + 8
2
γ) ΜΝ = 6,5

25. ΤΡΙΓΩΝΑ

26. ΤΡΙΓΩΝΑ
01. T ρ ι γ ω ν ο
Ειναι το κυρτο πολυγωνο που εχει τρεις γωνιες.
Τ ρ ι γ ω ν ο Α Β Γ :
▪ κ ο ρ υ φ ε ς :
τα σημεια Α, Β, Γ .
▪ π λ ε υ ρ ε ς :
τα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ η γ, α, β αντιστοιχα .
▪ γ ω ν ι ε ς :
τις Α, Β, Γ.
▪ κ υ ρ ι α σ τ ο ι χ ε ι α :
ειναι οι πλευρες και οι γωνιες του.
▪ π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς :
ειναι το αθροισμα α+β+γ των πλευρων του.
Συμβολιζεται 2τ (η ημιπεριμετρος του τ = (α + β + γ)/2)
02. Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς π λ ε υ ρ ε ς
▪ σ κ α λ η ν ο :
αν εχει ολες τις πλευρες του ανισες (σχ. ΑΒΓ).
▪ ι σ ο σ κ ε λ ε ς :
αν εχει δυο πλευρες του ισες. Το κοινο σημειο των ισων
πλευρων λεγεται κ ο ρ υ φ η και η πλευρα απεναντι
του β α σ η (σχ. ΔΕΖ).
▪ ι σ ο π λ ε υ ρ ο :
αν εχει ολες τις πλευρες του ισες (σχ. ΗΘΙ).
(Ειναι και ισοσκελες με τρεις βασεις).
03. Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς γ ω ν ι ε ς
▪ ο ξ υ γ ω ν ι ο :
αν εχει ολες τις γωνιες του οξειες (σχ. ΑΒΓ).
▪ ο ρ θ ο γ ω ν ι ο :
αν εχει μια γωνια ορθη. Η πλευρα απεναντι απο την
ορθη λεγεται υ π ο τ ε ι ν ο υ σ α και οι αλλες κ α -
θ ε τ ε ς (σχ. ΔΕΖ).
▪ α μ β λ υ γ ω ν ι ο :
αν εχει μια γωνια αμβλεια (σχ. ΗΘΙ).
Σε καθε τριγωνο οι δυο γωνιες του ειναι παντα οξειες
και το ονομα του το παιρνει απ’τη τριτη γωνια.
Α
γ β
Β α Γ
Α
Β Γ
Δ Η
Ε Ζ Θ Ι
Α
Δ
Β Γ
Ε Ζ Θ Ι
H

27. ΤΡΙΓΩΝΑ
04. Δ ι α μ ε σ ο ς
Ειναι το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει μια κορυφη με
το μεσο της απεναντι πλευρας.
Οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις πλευρες α, β και γ συμ-
βολιζονται με μα, μβ και μγ αντιστοιχα.
Υπαρχουν τρεις διαμεσοι στο τριγωνο που τεμνονται στο
ιδιο σημειο (βαρυκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο.
05. Δ ι χ ο τ ο μ ο ς
Ειναι το ευθυγραμμο τμημα της διχοτομου μιας γωνιας,
με ακρα την κορυφη και το σημειο τομης της διχοτομου
με την απεναντι πλευρα.
Οι διχοτομοι των γωνιων Α, Β και Γ του τριγωνου συμβο-
λιζονται με δα , δβ και δγ αντιστοιχα.
Υπαρχουν τρεις διχοτομοι στο τριγωνο που τεμνονται
στο ιδιο σημειο (εγκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο.
06. Υ ψ ο ς
Ειναι η αποσταση μιας κορυφης απ’την απεναντι πλευ-
ρα.
Τα υψη απ’τις κορυφες Α, Β και Γ του τριγωνου συμβολι-
ζονται με υα , υβ και υγ αντιστοιχα.
Υπαρχουν τρια υψη στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο
σημειο (ορθοκεντρο) που βρισκεται:
▪ μεσα στο τριγωνο, αν αυτο ειναι οξυγωνιο.
▪ στη κορυφη της ορθης γωνιας, αν αυτο ειναι ορθογω-
νιο.
▪ εξω απ’το τριγωνο, αν αυτο ειναι αμβλυγωνιο.
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
▪ Το σκαληνο τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο.
▪ Το ισοσκελες τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο.
▪ Το ισοπλευρο τριγωνο: ειναι παντα οξυγωνιο (ολες οι γωνιες του απο 60ο).
μβ
μγ
Α
Μ Λ
G
Β K Γ
μα
Α
Μ
Θ
Β K Γ
δα
δβ
δγ
Λ

28. ΤΡΙΓΩΝΑ
07. Ι σ ο τ η τ α T ρ ι γ ω ν ω ν
Δυο τριγωνα ειναι ισα αν μετα απο καταλληλη μετατο-
πιση ταυτιζονται.
▪ Δυο ισα τριγωνα εχουν τις πλευρες τους και τις γωνιες
τους ισες μια προς μια.
▪ Σε δυο ισα τριγωνα απεναντι απο ισες πλευρες βρι-
σκονται ισες γωνιες και αντιστροφα.
Οι ισες πλευρες που βρισκονται απεναντι απο ισες γω-
νιες λεγονται α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ς η ο μ ο λ ο γ ε ς .
08. Ι σ ο τ η τ α Σ κ α λ η ν ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν
▪ 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Γ – Π )
Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια
και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι
ισα .
▪ 2 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Γ – Π – Γ )
Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες
σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ει-
ναι ισα.
▪ 3 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Π – Π )
Αν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς
μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα.
09. Ι σ ο τ η τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν
▪ Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν τις καθετες πλευρες
τους ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα.
Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγω-
νων αφου περιεχομενη γωνια των καθετων ειναι ορθη
(Π-Γ-Π).
▪ Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν μια καθετη πλευρα
και τη προσκειμενη σ’αυτην οξεια γωνια, ισες μια προς
μια, τοτε ειναι ισα.
Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγω-
νων αφου η δευτερη προσκειμενη της καθετης ειναι
ορθη γωνια (Γ-Π-Γ).
Α
==== ≡
Β Γ
= ≡
Β’ Γ’
Β Β’
Α Γ Α’ Γ’
Α’
l
l
Β Β’
Α Γ Α’ Γ’

29. ΤΡΙΓΩΝΑ
▪ Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα
και μια καθετη πλευρα αντιστοιχα ισες μια προς μια,
τοτε ειναι ισα .
▪ Θ ε ω ρ η μ α 2 ο
Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα
και μια οξεια γωνια αντιστοιχα ισες μια προς μια,
τοτε ειναι ισα.
10. Π ο ρ ι σ μ α 1
Σε καθε ισοσκελες τριγωνο οι προσκειμενες στη βαση
γωνιες ειναι ισες και η διχοτομος της γωνιας της κορυ-
φης ειναι διαμεσος και υψος.
Αποδειξη
Φερνω διχοτομο ΑΔ .
Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι:
1. ΑΔ ειναι κοινη
2. 1 2
ˆ ˆΑ = Α (ΑΔ διχοτομος)
3. ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες)
Ετσι
ΒΔ ΔΓ= ⇒ ΑΔ διαμεσος
ˆ ˆΒ = Γ ⇒ 1 2
ˆ ˆΔ = Δ = 900 οποτε ΑΔ υψος
11. Π ο ρ ι σ μ α 2
Η διαμεσος ισοσκελους τριγωνου, που αντιστοιχει στη
βαση του, ειναι διχοτομος και υψος.
Αποδειξη
Φερνω διαμεσο ΑΔ .
Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι:
1. ΑΔ ειναι κοινη
2. ΒΔ=ΔΓ (ΑΔ διαμεσος)
3. ΑΒ=ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες)
Ετσι
1 2
ˆ ˆΑ = Α οποτε ΑΔ διχοτομος.
1 2
ˆ ˆΔ = Δ = 900 οποτε ΑΔ υψος.
Α
1 2
1 2
Β Δ Γ
Β Β’
Α Γ Α’ Γ’
Β Β’
Α Γ Α’ Γ’
Α
1 2
1 2
Β Δ Γ

30. ΤΡΙΓΩΝΑ
12. Π ο ρ ι σ μ α 3
Το υψος ισοσκελους τριγωνου που αντιστοιχει στη βαση
ειναι διαμεσος και διχοτομος της γωνιας της κορυφης.
Αποδειξη
Φερνω το υψος ΑΔ .
Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι:
1. Τρ.ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο
2. ΑΔ ειναι κοινη
3. ΑΒ=ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες)
ΒΔ ΔΓ= οποτε ΑΔ διαμεσος.
1 2Α = Α οποτε ΑΔ διχοτομος.
13. Π ο ρ ι σ μ α 4
Καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμημα-
τος ισαπεχει απο τα ακρα του.
Αποδειξη
Φερνω μεσοκαθετη ΜΔ .
Τα τριγωνα ΑΜΔ και ΜΔΒ ειναι ισα γιατι:
1. ΜΔ ειναι κοινη
2. 1 2
ˆ ˆΔ = Δ = 900
3. ΑΔ=ΔΒ (ΜΔ μεσοκαθετη)
Αρα ΜΑ = ΜΒ
14. Π ο ρ ι σ μ α 5
Καθε σημειο που ισαπεχει απο τα ακρα ενος ευθυγραμ-
μου τμηματος ανηκει στη μεσοκαθετο του.
Αποδειξη
Εστω σημειο Μ με ΜΑ=ΜΒ.
Φερνω διαμεσο ΜΔ
Το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ισοσκελες (ΜΑ = ΜΒ) και συμφω-
να με προηγουμενο θεωρημα ΜΔ ειναι και υψος.
Αρα ΜΔ ειναι μεσοκαθετη και το Μ ανηκει σ’αυτην.
15. Π ο ρ ι σ μ α 6
Οι γωνιες ισοπλευρου τριγωνου ειναι ισες .
Αποδειξη
Μ
Α Δ Β
Α
1 2
Β Δ Γ
Μ
1 2
Α Δ Β

31. ΤΡΙΓΩΝΑ
Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι :
□ ισοσκελες με βαση ΒΓ, αρα συμφωνα με προηγουμενο
θεωρημα ειναι: ˆ ˆΒ = Γ
□ ισοσκελες με βαση ΑΓ, αρα συμφωνα με προηγουμενο
θεωρημα ειναι: ˆ ˆA = Γ
Τελικα ˆ ˆ ˆA = Β = Γ
16. Π ο ρ ι σ μ α 7
Αν δυο τοξα ενος κυκλου ειναι ισα, τοτε και οι χορδες
τους ειναι ισες.
Αποδειξη
Τα τριγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ ειναι ισα γιατι :
1. ΟΑ = ΟΓ = ρ
2. ΟΒ = ΟΔ = ρ
3. ˆ ˆAOB = ΓΟΔ (αφου ΑΒ = ΓΔ)
□ Αρα ΑΒ = ΓΔ
17. Π ο ρ ι σ μ α 8
Aν οι χορδες δυο τοξων ενος κυκλου, μικροτερων του η-
μικυκλιου, ειναι ισες, τοτε και τα τοξα ειναι ισα.
Αποδειξη
Τα τριγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ ειναι ισα γιατι :
1. ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ = ρ
2. ΑΒ = ΓΔ (υποθεση)
□ Αρα ˆ ˆAOB = ΓΟΔ οποτε και ΑΒ = ΓΔ
18. Π ο ρ ι σ μ α 9
Η καθετος που φερεται απο το κεντρο ενος κυκλου προς μια
χορδη του διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της.
Αποδειξη
Τα τριγωνα ΟΑΚ και ΟΒΚ ειναι ισα γιατι:
1. Ειναι ορθογωνια
2. ΟΚ ειναι κοινη
3. ΟΑ = ΟΒ = ρ
Αρα ΑΚ = ΚΒ δηλαδη Κ μεσο ΑΒ και ˆ ˆAOΜ = ΜΟΒ , οποτε
και ΑΜ = ΜΒ δηλαδη Μ μεσο του τοξου ΑΒ.
Α
Β Γ
Β
Α Ο
Γ Δ
Β
Α Ο
Γ Δ
Ο
Α Β
Μ
1 2
Κ

32. ΤΡΙΓΩΝΑ
19. Π ο ρ ι σ μ α 1 0
Δυο χορδες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα α-
ποστηματα τους ειναι ισα.
Αποδειξη
Τα τριγωνα ΟΑΕ και ΟΖΔ ειναι ισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. ΟΕ = ΟΖ (υποθεση)
3. ΟΑ = ΟΔ = ρ
Αρα ΑΕ = ΖΔ και ΑΒ = ΓΔ
Αντιστροφα
Τα τριγωνα ΟΑΕ και ΟΖΔ ειναι ισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. ΑΕ = ΔΖ (υποθεση αφου ΑΒ = ΓΔ)
3. ΟΑ = ΟΔ = ρ
Αρα ΟΕ = ΟΖ
20. Π ο ρ ι σ μ α 1 1
Kαθε σημειο της διχοτομου μιας γωνιας ισαπεχει απο τις
πλευρες της και αντιστροφα καθε εσωτερικο σημειο της
γωνιας που ισαπεχει απο τις πλευρες ειναι σημειο της
διχοτομου.
Αποδειξη
Τα τριγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ ειναι ισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. ΟΜ κοινη
3. ˆ ˆMOA = MOB (Οδ διχοτομος)
□ Αρα ΜΑ = ΜΒ
Αντιστροφα
Τα τριγωνα ΟΑΜ και ΟΜΒ ειναι ισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. ΟΜ κοινη
3. ΜΑ = ΜΒ (υποθεση)
□ Αρα ˆ ˆMOA = MOB δηλαδη Οδ διχοτομος.
Ο
Α Β
Μ
δ
Β
Ε
Α Ο
Γ Ζ Δ

33. ΤΡΙΓΩΝΑ
21. Β α σ ι κ ο ι Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ι Τ ο π ο ι
▪ Κ υ κ λ ο ς :
ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια του
και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να απεχουν μια
ορισμενη αποσταση απο ενα σταθερο σημειο.
▪ Μ ε σ ο κ α θ ε τ η τ μ η μ α τ ο ς :
ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια της
και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να ισαπεχουν α-
πο τα ακρα του τμηματος.
▪ Δ ι χ ο τ ο μ ο ς γ ω ν ι α ς :
ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια της
και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να ισαπεχουν α-
πο τις πλευρες της γωνιας.
Μ Ο
Μ
Α Β
y
A
Μ
Ο B x

34. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
22. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Καθε εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη
απο καθεμια απο τις απεναντι γωνιες του τριγωνου.
Αποδειξη
Φερνουμε διαμεσο ΒΔ και τη προεκτεινουμε κατα ΔΕ = ΔΒ.
Τα τριγωνα ΔΒΓ και ΔΑΕ ειναι ισα γιατι:
1. ΒΔ = ΔΕ (υποθεση)
2. ΔΑ = ΔΓ (ΒΔ διαμεσος)
3. 1 2
ˆ ˆΔ = Δ
εξ εξ
εξ
ˆ ˆΑρα ΓΑΕ = Γ.
ˆ ˆ ˆ ˆΟμως ΓΑΕ < Α Γ < Α
ˆ ˆΟμοια Β < Α
⇒
23. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο
Σε καθε τριγωνο απεναντι απο ανισες πλευρες βρισκον-
ται ομοια ανισες γωνιες και αντιστροφα.
Αποδειξη
Ειναι ΑΒ < ΑΓ.Εστω Δ σημειο της ΑΓ, ωστε ΑΔ = ΑΒ.
Το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ισοσκελες.
Ετσι
ˆ ˆΑΒΔ = ΑΔΒ
ˆ ˆ ˆ ˆΒ > ΑΒΔ Β > Γ
ˆ ˆΑΔΒ > Γ


⇒


24. Θ ε ω ρ η μ α 3 ο ( Τ ρ ι γ . Α ν ι σ ο τ η τ α )
Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα
των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο τη διαφορα τους.
Αποδειξη
Προεκτεινουμε την ΒΑ κατα ΑΔ = ΑΓ = β.
Το τριγωνο ΑΓΔ ισοσκελες και 1
ˆ ˆΓ = Δ
1
ˆ ˆ ˆ ˆΓ < ΒΓΔ Δ < ΒΓΔ ΒΓ < ΒΔ α < β + γ⇒ ⇒ ⇒
Ομοια
β < α + γ (β - γ < α, αν β ≥ γ) και
γ < α + β (γ - β < α, αν β ≤ γ)
Τελικα : β - γ < α < β + γ
x
Α E
1
2
B Γ
Δ
Α
Δ
Β Γ
Δ
β
Α
γ β
Β α Γ
1

35. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
25. Ε φ α ρ μ ο γ η 1 η
Αν Μ ειναι ενα εσωτερικο σημειο ενος τριγωνου ΑΒΓ θα
ισχυει :
▪ ΒMΓ > A
▪ ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ.
Αποδειξη
▪ Στο τριγωνο ΜΔΓ :
ΒMΓ > MΔΓ (εξωτερικη γωνια) (1)
▪ Στο τριγωνο ΑΒΔ :
ΜΔΓ > A (εξωτερικη γωνια) (2)
Απο (1) και (2) : ΒMΓ > A
26. Ε φ α ρ μ ο γ η 2 η
Εστω τριγωνο ΑΒΓ και σημειο Δ της πλευρας ΒΓ.
Αν ισχυουν δυο απο τις επομενες προτασεις:
▪ το τμημα ΑΔ ειναι διαμεσος,
▪ το τμημα ΑΔ ειναι διχοτομος,
▪ το τμημα ΑΔ ειναι υψος,
τοτε το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΒΓ.
27. Ε φ α ρ μ ο γ η 3 η
Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες και τις περιεχο-
μενες γωνιες ανισες, τοτε και οι τριτες πλευρες θα ειναι
ομοια ανισες και αντιστροφα, δηλαδη στα τριγωνα του
σχηματος :
▪ Αν ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄, 'Α > Α τοτε ΒΓ > ´ô
▪ Αν ΑΒ = Α΄Β΄ , ΑΓ = Α΄Γ΄, ΒΓ > ´ô τοτε 'Α > Α
Α
Δ
Β Γ
Α
Β Δ Γ
Α’
Α
Β’
Γ’
Β Γ
Μ
= /
= /
Χ ρ η σ ι μ α Π ο ρ ι σ μ α τ α
▪ Καθε τριγωνο εχει το πολυ μια γωνια ορθη η αμβλεια.
▪ Αν ενα τριγωνο εχει δυο γωνιες ισες, τοτε ειναι ισοσκελες.
▪ Αν ενα τριγωνο εχει και τις τρεις γωνιες του ισες, τοτε ειναι ισοπλευρο.
▪ Το αθροισμα δυο γωνιων καθε τριγωνου ειναι μικροτερο των 180°.
▪ Αν μια γωνια ενος τριγωνου ειναι ορθη η αμβλεια, τοτε η απεναντι πλευρα της
ειναι η μεγαλυτερη πλευρα του τριγωνου.
▪ Καθε χορδη κυκλου ειναι μικροτερη η ιση της διαμετρου.

36. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
28. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Aν δυο πλαγια τμηματα ειναι ισα, τοτε τα ιχνη τους ι-
σαπεχουν απο το ιχνος της καθετου, και αντιστροφα.
Αποδειξη
□ Εστω ΑΒ και ΑΓ δυο ισα πλαγια τμηματα και ΑΚ το
καθετο τμημα.
To τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες και το ΑΚ υψος του,
επομενως θα ειναι και διαμεσος, δηλαδη ΚΒ = ΚΓ.
□ Αντιστροφα.
Εστω ΚΒ = ΚΓ. Στο τριγωνο ΑΒΓ το ΑΚ ειναι υψος και
διαμεσος, αρα το τριγωνο ειναι ισοσκελες.
29. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο
Το καθετο τμημα απο ενα σημειο εκτος ευθειας ειναι μικρο-
τερο απο καθε πλαγιο απ’το σημειο αυτο.
Αποδειξη
Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΒ, η γωνια Κ ειναι η μεγαλυ-
τερη ως ορθη. Επομενως η πλευρά ΑΒ ειναι η μεγαλυ-
τερη πλευρα του τριγωνου που σημαινει οτι ΑΒ > ΑΚ.
30. Θ ε ω ρ η μ α 3 ο
Αν απο ενα σημειο Α εκτος ευθειας ε φερουμε το καθε-
το και δυο ανισα πλαγια ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΑΓ,
τοτε : οι αποστασεις των ιχνων τους απο το ιχνος της
καθετου ειναι ομοιοτροπως ανισες και αντιστροφα.
Αποδειξη
Εστω Κ το ιχνος της καθετης στην ευθεια ε.
□ Β, Γ στην ιδια ημιευθεια που οριζει το Κ :
Εστω ΚΓ > ΚΒ. Αφου το Β ειναι μεταξυ των Κ, Γ, η ΑΒ Γ
ειναι εξωτερικη του ορθογωνιου τριγωνου ΚΑΒ, αρα
0
ΑΒ Γ > Κ 90= , δηλαδη η ΑΒΓ αμβλεια και απεναντι της
στο τριγωνο ΑΒΓ βρισκεται η μεγαλυτερη πλευρα του,
που σημαινει ΑΓ > ΑΒ.
□ Β, Γ εκατερωθεν του Κ :
Παιρνουμε τμημα ΑΓ’ = ΑΓ με Γ, Γ’ εκατερωθεν του Κ, ο-
ποτε συμφωνα με το προηγουμενο ΑΓ’ = ΑΓ > ΑΒ.
Α
Β Κ
Α
Γ’ Β Κ Γ
Α
Β Κ Γ
Α
Γ Β Κ

37. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
□ Αντιστροφα.
Εστω ΑΓ > ΑΒ.
Αν ηταν ΚΓ = ΚΒ, τοτε θα ειχαμε ΑΓ = ΑΒ, που ειναι
ατοπο.
Αν ΚΓ < ΚΒ, τοτε συμφωνα με το προηγουμενο θα
ειχαμε οτι ΑΓ < ΑΒ, που ειναι επισης ατοπο.
Επομενως ΚΓ > ΚΒ.

38. ΚΥΚΛΟΣ
31. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η Ε υ θ ε ι α ς – Κ υ κ λ ο υ
Η σχετικη θεση ευθειας ε και κυκλου (Ο,R) καθοριζεται
απο την αποσταση δ = ΟΑ του κεντρου του κυκλου απ’
την ευθεια και απ’την ακτινα του R.
▪ Η ε ειναι ε ξ ω τ ε ρ ι κ η ευθεια του κυκλου :
▪ Η ε δεν εχει κοινα σημεια με τον κυκλο.
▪ Αν δ > R η ε ειναι εξωτερικη του κυκλου και αντιστρο-
φα.
▪ Για καθε σημειο Μ της ε ισχυει ΟΜ > R .
▪ Η ευθεια που διερχεται απ’τα σημεια Μ, Ο λεγεται
δ ι α κ ε ν τ ρ ι κ η ε υ θ ε ι α του σημειου Μ.
▪ Η ε ειναι ε φ α π τ ο μ ε ν η του κυκλου :
▪ Η ε εχει ενα κοινο σημειο (σημειο επαφης) με τον κυ-
κλο.
▪ Αν δ = R η ε ειναι εφαπτομενη του κυκλου και αντι-
στροφα.
▪ Η ακτινα με ακρο το σημειο επαφης Α ειναι καθετη
στην εφαπτομενη (ΟΑ⊥ ε).
▪ Σε καθε σημείο Ν του κυκλου υπαρχει μοναδικη εφα-
πτομενη.
▪ Η ε ειναι τ ε μ ν ο υ σ α του κυκλου :
▪ Η ε εχει δυο κοινα σημεια με τον κυκλο.
▪ Αν δ < R η ε ειναι εξωτερικη του κυκλου και αντιστρο-
φα.
▪ Αν Β, Γ τα σημεια τομης τοτε η αποσταση δ = ΟΑ ει-
ναι το αποστημα της χορδης ΒΓ.
32. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο
Μια ευθεια και ενας κυκλος εχουν το πολυ δυο κοινα
σημεια.
Αποδειξη
Εστω μια ευθεια ε και ενας κυκλος (Ο,ρ) με τρια κοινα
σημεια Α, Β, Γ .
Επειδη ΟΑ = ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκαθετοι
κ, λ των ΑΒ, ΒΓ αντιστοιχα, διερχονται απ’το Ο.
Δηλαδη απ’το σημειο Ο εχουμε δυο διαφορετικες καθε-
τες στην ε, τις κ και λ, που ειναι ατοπο.
ε
Α
κ Ο
Γ
Β
λ
ε
Μ
Α Ο
ε
Α Ο
Ν
ε
Β
Α Ο
Γ
ρ
δ
ρ = δ
δ
ρ

39. ΚΥΚΛΟΣ
33. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο
Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο ση-
μειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.
Αποδειξη
Τα τριγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ ισα:
Ορθογωνια
ΟΡ κοινη οποτε ΡΑ = ΡΒ
ΟΑ = ΟΒ = ρ





34. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η Δ υ ο Κ υ κ λ ω ν
Η σχετικη θεση δυο κυκλων (Κ, R) και (Λ, ρ) καθοριζεται
απο την διακεντρο δ (ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα
κεντρα Κ,Λ), το αθροισμα και τη διαφορα των ακτινων
τους, R + ρ και R – ρ αντιστοιχα.
34α. Χ ω ρ ι ς Κ ο ι ν α Σ η μ ε ι α
▪ Ο ενας ε ξ ω τ ε ρ ι κ α του αλλου :
▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εξω-
τερικο του αλλου, αν και μονο αν δ > R + ρ.
▪ Δυο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες (αφηνουν τους κυ-
κλους προς το ιδιο μερος τους).
▪ Δυο κοινες εσωτερικες εφαπτομενες (αφηνουν τους κυ-
κλους εκατερωθεν αυτων).
▪ Ο ενας ε ν τ ο ς του αλλου :
▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο ε-
σωτερικο του αλλου, αν και μονο αν δ < R - ρ.
▪ Δεν υπαρχει κοινη εφαπτομενη.
Α
Ο Ρ
Β
▪ ΡΟ διακεντρικη του Ρ.
▪ ΡΟ μεσοκαθετη της χορδης ΑΒ.
▪ ΡΟ διχοτομος της Ρ .
1 1
2 2
ρR
δ
ρR
δ
R
ρδ
Κ Λ

40. ΚΥΚΛΟΣ
34β. Μ ε Κ ο ι ν ο Σ η μ ε ι ο
▪ Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ α :
▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εξω-
τερικο του αλλου και εχουν ενα κοινο σημειο (σημειο
επαφης πανω στη διακεντρο), αν και μονο αν
δ = R + ρ.
▪ Δυο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες.
▪ Μια κοινη εσωτερικη εφαπτομενη (διχοτομει τα κοινα
εφαπτομενα τμηματα).
▪ Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε σ ω τ ε ρ ι κ α :
▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εσω-
τερικο του αλλου και εχουν ενα κοινο σημειο (στη
προεκταση της διακεντρου), αν και μονο αν δ < R - ρ.
▪ Μια κοινη εξωτερικη εφαπτομενη.
34γ. Μ ε Κ ο ι ν α Σ η μ ε ι α
▪ Τ ε μ ν ο μ ε ν ο ι :
▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) τεμνονται (δυο σημεια
κοινα), αν και μονο αν R – ρ < δ < R + ρ.
▪ Δυο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες.
▪ Το τμημα με ακρα τα κοινα σημεια ειναι η κοινη χορδη.
▪ Η διακεντρος ειναι μεσοκαθετος της κοινης χορδης.
Κ Λ
Κ Λ
Κ Λ
ρR
δ
R
ρδ

41. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
01. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν :
Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Μ το μεσο της ΑΓ. Προεκτεινουμε το ΒΜ
ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ. Να δειξετε οτι ΑΖ = ΒΓ.
Τα τριγωνα ΜΑΖ καιΜΒΓ ειναι ισα γιατι:
1. ΑΜ = ΜΓ (Μ μεσο ΑΓ)
2. ΒΜ = ΜΖ (υποθεση)
3. 1 2Μ = Μ (κατακορυφη)
Οποτεκαιτα υπολοιπα στοιχεια τουςισα και
ΑΖ =ΒΓ.
02. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν – γ ω ν ι ω ν (σε ισοσκελες τριγωνο) :
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ισοτητας τμηματων .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ιδιοτητες τριγωνων, ισοτητα τμηματων κλπ .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε
πανω του .
▪ Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι
πλευρες τους .
▪ Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα .
Συμβουλη :
Συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων απαιτουνται 3 ισοτητες (τμηματων
– γωνιων). Ετσι ξεκινω απο αυτα που ‘’βγαζουν ματια’’. Δηλαδη
▪ Τριγωνα ορθογωνια
▪ Κοινα τμηματα - γωνιες
▪ Δοσμενες ισοτητες (υποθεση)
Μ
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ισοτητας τμηματων – γωνιων σε ισοσκελες τριγωνο.
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Τριγωνο ισοσκελες .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε
πανω του .
▪ Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι
Α Ζ

42. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτεινω τις ΑΒ, ΑΓ κατα τμηματα ΒΔ = ΓΕ
αντιστοιχα. Να δειξετε οτι ΒΕ = ΓΔ.
Τα τριγωνα ΑΒΕ καιΑΓΔ ειναιισα γιατι:
1. A = κοινη
2.ΑΒ = ΑΓ (τριγ.ΑΒΓισοσκελες)
3.ΑΕ = ΑΔ (αθροισματαισων τμηματων)
Οποτεκαιτα υπολοιπα στοιχεια τουςισα και
ΓΔ =ΒΕ.
03. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ρ ι γ ω ν ο ε ι ν α ι ι σ ο σ κ ε λ ε ς :
Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ και ΒΔ, ΓΕ τα υψη του. Να δειχτει οτι :
Το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες .
Τα τριγωνα ΑΕΓ καιΑΔΒ ειναιισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. ΑΒ = ΑΓ (τριγ. ΑΒΓ ισοσκελες)
3. Α = κοινη
Οποτεκαιτα υπολοιπα στοιχεια τουςισα και ΑΕ =ΑΔ
που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες .
πλευρες τους .
▪ Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα .
▪ Δεν ξεχνουμε οτι στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΒΓ βαση) ειναι :
▪ ΑΒ = ΑΓ
▪ Β = Γ
▪ Το υψος απ’τη κορυφη Α ειναι διχοτομος και διαμεσος .
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη οτι τριγωνο ειναι ισοσκελες .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, δειχνουμε καποιο απ’τα παρακατω :
▪ Δυο πλευρες του τριγωνου ειναι ισες .
▪ Δυο γωνιες του τριγωνου ειναι ισες .
▪ Το υψος απο μια κορυφη ειναι και διαμεσος η διχοτομος .
Α
Ε Δ
Β Γ
Α
Β Γ
Δ Ε

43. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
04. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ ρ ι γ ω ν ω ν (με βοηθητικη ισοτητα τριγωνων) :
Δειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ ειναι ισα αν:
▪ υα = υα’ ▪ υβ = υβ’ ▪ α = α’
Τα τριγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ'ειναι ισα γιατι :
Ορθογωνια
ΒΕ = Β'Ε'(υποθεση)
ΒΓ = Β'Γ'(υποθεση)
Οποτε και τα υπολοιπα σημεια τουςισα,
δηλαδηΓ = Γ'
Τα τριγωνα





ΑΓΔ και Α'Γ'Δ'ειναι ισα γιατι :
Ορθογωνια
Γ = Γ'(προηγ.αποδειξη)
ΑΔ = Α'Δ'(υποθεση)
Οποτε και τα υπολοιπα σημεια τουςισα,
δηλαδη ΑΓ = Α'Γ'
Ειναι :
ΒΓ = Β'Γ',
ΑΓ = Α'Γ' και
Γ = Γ'
που σ





ημαινει οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ'ειναι ισα.
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ισοτητας τριγωνων .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Συνηθως ισοτητα στοιχειων τριγωνων, διχοτομων, διαμεσων κλπ .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε
πανω του .
▪ Παρατηρουμε οτι για την ζητουμενη ισοτητα των τριγωνων δεν εχουμε τις α-
παραιτητες ισοτητες ωστε να ικανοποιειται καποιο απ’τα κριτηρια .
▪ Εχοντας υποψιν τα δοσμενα και τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων, ανακαλυπτου-
με την ισοτητα (ες) που λειπει για την ζητουμενη ισοτητα τριγωνων .
▪ Η προηγουμενη ισοτητα (που λειπει) αποδεικνυεται απο ισοτητα βοηθητικων
τριγωνων .
ΑΑ
Ε
Β Δ Γ
A’
Ε ’
Β’ Δ’ Γ’

44. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
05. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν τ ρ ι γ ω ν ω ν:
Να δειξετε οτι τα μεσα των ισων πλευρων ισοσκελους τριγωνου ισαπεχουν απο:
▪ τη βαση του ▪ απ’τις ισες πλευρες του.
□ Τα τριγωνα ΒΜΚ καιΝΛΓ ειναιισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. ΜΒ = ΝΓ (ΑΒ = ΑΓ και Μ, Ν μεσα τους)
3. Β = Γ (τριγ. ΑΒΓ ισοσκελες)
Οποτεκαιτα υπολοιπα στοιχεια τουςισα και ΜΚ = ΝΛ .
□ Τα τριγωνα ΑΜΔ καιΑΕΝ ειναιισα γιατι:
1. Ορθογωνια
2. Α = κοινη
3. ΑΜ = ΑΝ (ΑΒ = ΑΓ και Μ, Ν μεσα τους)
Οποτεκαιτα υπολοιπα στοιχεια τουςισα και ΜΔ = ΝΕ .
06. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς (απ’τη μεσοκαθετη τμηματος (διχοτομο γωνιας)) :
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Αφου τα τριγωνα ειναι ορθογωνια αρκουν δυο ισοτητες τμηματων - γωνιων,
προκειμενου να αποδειξουμε την ισοτητα τους, οπως παρακατω :
▪ Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε καθετη πλευρα .
▪ Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια .
▪ Οι δυο καθετες πλευρες .
▪ Οποιαδηποτε καθετη πλευρα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια .
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ισοτητας .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα :
▪ της μεσοκαθετης οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ’τα ακρα του ευθυγραμμου
τμηματος .
▪ της διχοτομου οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ’τις πλευρες της γωνιας .
Α
Ε Δ
Μ Ν
Β Κ Λ Γ

45. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημειο Δ στο εσωτερικο του που ισα-
πεχει απ’τα ακρα της βασης του.
Να αποδειξετε οτι το σημειο Δ ισαπεχει απ’τις πλευρες ΑΒ και ΑΓ.
Αφου το Δ ισαπεχει απο τα Β και Γ, σημαινει οτι
βρισκεται στη μεσοκαθετη του τμηματος ΒΓ.
□ Η μεσοκαθετη της βασης διερχεται απ'τη κορυφη
ισοσκελους τριγωνου.
□ Στο τριγωνο ΑΒΓ (με βαση ΒΓ) η μεσοκαθετη της
βασης διερχεται απ'τη κορυφη Α.
Ετσι η ΑΚ ειναικαι διαμεσος, αρα και διχοτομος της
γωνιας Α .
Καθε σημειου της διχοτομου της γωνιας Α ισαπεχει
απ'τις πλευρες της, αρα και το Δ, που σημαινει οτι ΔΜ = ΔΝ .
07. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς γ ω ν ι α ς δ ι χ ο τ ο μ ω ν
(εσωτερικων - εξωτερικων) τριγωνου :
Αν ΑΔ διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, να δειχτει οτι:
0
0
Β - Γ
ΑΔΒ = 90 - και
2
Β - Γ
ΑΔΓ = 90 +
2
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ισοτητας γωνιας διχοτομων τριγωνου, εστω ΑΒΓ .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Διχοτομοι τριγωνου .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
▪ Θεωρουμε το τριγωνο, εστω ΚΛΜ, του οποιου γωνια ειναι η ζητουμενη .
▪ Ξεκινουμε απ’την ισοτητα : 0
Κ + Λ + Μ = 180 (οπου μια απ’τις γωνιες ειναι
η ζητουμενη) .
▪ Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα : Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι ιση με το α-
θροισμα των δυο απενατι εσωτερικων γωνιων του .
▪ Αντικαθιστουμε γωνιες συμφωνα με τις ισοτητες του αρχικου τριγωνου ΑΒΓ :
▪ 0Α Β Γ
+ + = 90
2 2 2
▪ 0
Α + Β + Γ = 180 .
Α
Μ Ν
Δ
Β Κ Γ

46. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
0
Στο τριγωνο ΑΒΔ ειναι :
Α Α
ΑΔΒ + Β + = 180 ΑΔΒ + Β +
2 2
⇒ 0 Α
= 90 +
2
0 0
0
Β Γ
+ +
2 2
Β Γ Β- Γ
ΑΔΒ = 90 - + ΑΔΒ = 90 -
2 2 2
Στο τριγωνο ΑΔΓ ειναι :
Α Α
ΑΔΓ + Γ + = 180 ΑΔΓ + Γ +
2 2
⇒
⇒
⇒ 0 Α
= 90 +
2
0 0
Β Γ
+ +
2 2
Β Γ Β- Γ
ΑΔΓ = 90 + - ΑΔΒ = 90 +
2 2 2
⇒
⇒
08. Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς σ χ ε σ ε ι ς μ ε τ α ξ υ τ μ η μ α τ ω ν – γ ω ν ι ω ν :
Αν ΑΔ διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ και Ε ενα σημειο στη προεκταση του ΑΒ τετοιο ωστε
ΑΕ = ΑΓ, να δειχτει οτι ΔΒ < ΔΕ.
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Αποδειξη ανισοτικης σχεσης μεταξυ τμηματων - γωνιων .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ισοτητα – ανισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Προκειμενου να αποδειξουμε τη ζητουμενη σχεση εχουμε υποψιν μας :
▪ Η εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη απο καθεμια απ’τις απε-
ναντι εσωτερικες .
▪ Σε καθε τριγωνο απεναντι απο μεγαλυτερη πλευρα βρισκεται μεγαλυτερη γω-
νια και αντιστροφα . Σε πολλες ασκησεις ενα ‘’κολπο’’ ειναι να μεταφερουμε με
ισοτητες, τα τμηματα και τις γωνιες που μας ενδιαφερουν στο ιδιο τριγωνο .
▪ Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια, τοτε οι περιχομενες
γωνιες ειναι ομοιομορφα ανισες οπως οι τριτες πλευρες των τριγωνων και
αντιστροφα .
▪ Σε καθε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα: | β – γ | < α < β + γ
▪ Συνηθως εφαρμοζουμε τριγωνικη ανισοτητα για καθε ορο του μικρου μελους
της προς αποδειξη ανισοτητας και προσθετουμε κατα μελη .
▪ Υπενθυμιζουμε οτι η περιμετρος του πιο πανω τριγωνου ειναι : 2τ = α + β + γ
▪ Για πλαγια τμηματα που αγονται απο κοινο σημειο και τεμνουν ευθεια, πιο μι-
κρο ειναι αυτο που το ιχνος του εχει μικροτερη αποσταση απ’το ιχνος της κα-
θετης απ’το κοινο σημειο προς την ευθεια .
Α
Β Δ Γ

47. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
1 2
(1)
Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :
ΑΔ = κοινη
Οποτε και τα υπολοιπα σημεια
ΑΕ = ΑΓ (υποθεση)
τουςισα,δηλαδη Ε = Γ (1)
Α = Α (ΑΔ διχοτομος)
Η ΔΒΕεξωτερικη στο τριγωνο ΑΒΓ, οποτε :
ΔΒΕ > Γ Δ





⇒ ΒΕ > Ε ,που σημαινει οτι ΔΕ > ΒΔ.
Αν ΑΜ ειναι διαμεσος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ,να δειξετε οτι :
▪ Μ ΑΒ > Μ ΑΓ ▪ β - γ < 2μα < β + γ ▪ μα + μβ +μγ < 2τ
1 2
Προεκτεινουμε την ΑΜ κατα τμημα ΜΔ = ΑΜ.
Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :
ΜΑ = ΜΔ (υποθεση) Οποτε...ισα, δηλαδη
ΜΒ = ΜΓ (Μμεσο ΒΓ)
Μ = Μ (κατακορυφη)
ΑΒ = ΓΔ





(1)
(2)
(ΑΒ =)ΓΔ < ΑΓ
α
α
β
(1) και ΜΑΒ = ΜΔΓ (2)
ΑΒ < ΑΓ ΓΔ < ΑΓ (τριγ.ΑΓΔ)
ΜΑΓ < ΜΔΓ ΜΑΓ < ΜΑΒ.
Απο τριγωνικηανισοτητα στο τριγωνο ΑΓΔ προκυπτει :
|ΑΓ - ΓΔ|< ΑΔ < ΑΓ + ΓΔ β - γ < 2μ < β + γ
Ειναι 2μ < β + γ
Ομοια 2μ
⇒ ⇒
⇒
⇒
(+)
α β γ
α β γ
γ
2(μ +μ +μ ) < 2(α +β + γ)
< α + γ
μ +μ +μ < 2τ
Ομοια 2μ < α +β

⇒
⇒


Αν Κ τυχαιο σημειο της πλευρας ΒΓ τριγωνου ΑΒΓ, να δειξετε οτι : τ - α < ΑΚ < τ.
(+)
Απο τριγωνικηανισοτητα στα τριγωνα ΑΒΚ, ΑΓΚ προκυπτει :
ΑΒ < ΒΚ + ΑΚ
ΑΒ + ΑΓ < + 2ΑΚ γ +β < + 2ΑΚ
ΑΓ < ΓΚ + ΑΚ
α + γ +β < 2α + 2ΑΚ 2τ < 2α + 2ΑΚ - α < ΑΚ (1)
Απο τριγωνικηανισοτητα στα τριγωνα ΑΒΚ, Α
ΒΚ
ΓΚ
+
προκυπ
Γ
τε
Α
Κ α
ι :
τ

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒
(+)
ΒΚ + ΓΚ α
Κ < ΒΚ + ΑΒ
2ΑΚ < + ΑΒ + ΑΓ 2ΑΚ < + γ +β
ΑΚ < ΓΚ + ΑΓ
2ΑΚ < 2τ ΑΚ < τ (2)
Απο(1),(2) :
τ - α < ΑΚ < τ

⇒ ⇒ ⇒

⇒
Β
Α
Β Κ Γ
Α
1 2
Δ Γ
Ε
Α
1
Β Μ 2 Γ
Δ

48. ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ
Αν ΑΜ η διαμεσος και ΑΔ η διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, να δειξετε οτι :
▪ ΔΒ < ΔΓ ▪ δα < μα
1
1 2
Παιρνουμε στην ΑΓ τμημα ΑΕ = ΑΒ.
Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕειναι ισα γιατι :
ΑΔ = κοινη
Οποτε...ισα, δηλαδη :
ΑΕ = ΑΒ(κατασκευη)
ΔΒ = ΔΕ (1) και Β = Ε (2)
Α = Α (ΑΔ διχοτομος)





(1)
2 2
( * )
(2) : Β = Ε , ομως Β > Γ Ε > Γ ΔΓ > ΔΕ ΔΓ > ΔΒ.
Αν ΑΚ υψος, απ'τηπροηγουμενηαποδειξη :
ΒΓ
ΔΒ < ΔΓ 2ΔΒ < ΔΓ + ΔΒ 2ΔΒ < ΒΓ ΔΒ <
2
ΔΒ < ΜΒ ΔΒ- ΚΒ < ΜΒ- ΚΒ ΔΚ < ΚΜ δ < μ
εξ εξ
α α
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
09. Σ υ ν ε υ θ ε ι α κ α σ η μ ε ι α :
Δυο κυκλοι με κεντρα Κ, Λ τεμνονται στα Α και Β. Αν Μ το μεσο της χορδης ΑΒ, να
δειχτει οτι Κ, Μ, Λ ειναι συνευθειακα.
Φερνουμε τομεσο Μ της ΑΒ και τα τμηματα ΚΜ, ΛΜ.
Στο ισοσκελες τριγωνο ΚΑΒ (ΚΑ = ΚΒ = ακτινα)
ΚΜ ειναι διαμεσος, αρα και υψος, οποτε
ΚΜ ΑΒ (1)
Στο ισοσκελες τριγωνο ΛΑΒ(ΛΑ = ΛΒ = ακτινα)
ΛΜ
⊥
ειναι διαμεσος, αρα και υψος, οποτε
ΛΜ ΑΒ (2)
Απο (1),(2) τα Κ, Μ, Λ συνευθειακα, γιατι απ'τοιδιο σημειο
ευθειας διερχεται μιαμονο καθετη.
⊥
Α
Β Κ ΔΜ Γ
▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :
Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι συνευθειακα .
▪ Δ ο σ μ ε ν α :
Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .
▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :
Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι συνευθειακα αν :
▪ δυο απ’τα τμηματα με ακρα τα Α, Β, Γ ειναι παραλληλα .
▪ τα τμηματα ΑΒ, ΒΓ ειναι καθετα στο Β, στε ευθεια που διερχεται απ’το Β .
(*) : Αφου τα ιχνη δυο πλαγιων τμημα -
των απεχουν ανισα απ'το ιχνος της κα -
θετου,ομοια ανισα ειναι και τα τμηματα.
Α
Κ Μ Λ
Β

49. ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
1.
Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε σημεια Δ, Ε, Ζ αντι-
στοιχα, ωστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ .
Αποδειξτε οτι το τριγωνο ΔΕΖ ειναι ισοπλευρο.
2.
Αν Ε, Ζ ειναι σημεια της διχοτομου ΑΔ τριγωνου ΑΒΓ, τετοια ωστε ΑΕ = ΑΒ και
ΑΖ = ΑΓ, να δειξετε οτι A Γ Ε = Α Ζ Β .
3.
Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Μ το μεσο της ΑΓ. Προεκτεινουμε το ΒΜ
ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ.
Να δειξετε οτι ΑΖ = ΒΓ
4.
Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Ε, Ζ τα μεσα των ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα.
Προεκτεινουμε τα ΒΖ, ΓΕ ετσι ωστε ΖΗ = ΒΖ και ΕΘ = ΓΕ.
Να δειξετε οτι ΑΘ = ΑΗ.
5.
Σε ευθεια ε παιρνουμε διαδοχικα τα σημεια Α, Β, Γ και παιρνουμε τα ισοπλευρα τριγω-
να ΑΒΖ και ΒΓΕ (στο ιδιο ημιεπιπεδο ως προς ε). Να δειξετε οτι ΑΕ = ΓΖ.
6.
Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), οι διχοτομοι του ΒΔ και ΓΕ και οι
διαμεσοι του ΒΖ και ΓΗ. Να δειξετε οτι:
▪ ΒΔ = ΓΕ
▪ ΒΖ = ΓΗ
7.
Εστω κυρτο τετραπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΒΓ και Α= Γ. Να δειξετε οτι ΑΔ = ΔΓ.
8.
Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε τις πλευρες ΒΑ και ΓΑ ετσι
ωστε ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ.
Να δειξετε οτι ΒΓ = ΖΕ.

50. ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
9.
Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Παιρνουμε σημειο Δ
της ΑΒ και σημειο Ε της ΑΓ ετσι ωστε
1
ΑΔ= ΑΒ
3
και
1
ΑΕ = ΑΓ
3
.
Να δειξετε οτι το τριγωνο ΜΔΕ ειναι ισοσκελες.
10.
Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και ΑΒ μια χορδη του. Προεκτεινουμε την ΑΒ εκατερωθεν κατα
ισα τμηματα ΑΓ και ΒΔ. Να δειξετε οτι =ΟΔΟΓΑ Β.
11.
Εστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Φερνουμε το ΑΔ καθετο στην πλευρα ΑΒ και
το ΑΕ καθετο στην πλευρα ΑΓ ετσι ωστε ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ.
Να δειξετε οτι ΓΔ = ΒΕ.
12.
Δυο ισοσκελη τριγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ( με βασεις ΒΓ και ΔΕ) εχουν κοινη την κορυφη
Α και τις γωνιες της κορυφης ισες. Να δειξετε οτι : ΒΔ = ΓΕ (η ΒΕ = ΓΔ).
13.
Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και ΑΑ’, ΒΒ’ και ΓΓ’ τρεις διαμετροι του.
Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ, Α’Β’Γ’ ειναι ισα.
14.
Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Προεκτεινου-
με την ΑΒ κατα ΒΔ και την ΑΓ κατα ΓΕ ετσι ωστε ΒΔ = ΓΕ.
Να αποδειξετε οτι ΜΔ = ΜΕ.
15.
Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτεινουμε την ΒΓ προς την πλευ-
ρα του Β κατα ΒΔ και προς την πλευρα του Γ κατα ΓΕ ετσι ωστε ΒΔ = ΓΕ. Επιπλεον,
προεκτεινουμε την ΑΒ κατα ΒΖ και την ΑΓ κατα ΓΗ ετσι ωστε ΒΖ = ΓΗ.
Να αποδειξετε οτι ΔΖ = ΕΗ.
16.
Εστω οτι τα ισα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ και ΓΔ τεμνονται στο σημειο Ο ετσι ωστε
ΟΔ = ΟΒ. Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ ειναι ισα.

51. ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
17.
Σε ενα πενταγωνο ΑΒΓΔΕ ειναι ΑΒ = ΕΔ , ΒΓ = ΔΓ και Β = Δ. Να δειξετε οτι η μεσο-
καθετος της πλευρας ΑΕ διερχεται απο το Γ και ειναι διχοτομος της γωνιας Γ .
18.
Σε ενα τριγωνο ΑΒΓ οι διαμεσοι ΒΔ και ΓΕ ειναι ισες. Προεκτεινουμε το ΕΔ και παιρ-
νουμε τμημα ΔΗ = ΕΔ. Επισης προεκτεινουμε το ΔΕ και παιρνουμε τμημα ΕΖ = ΕΔ.
Να δειχθει οτι:
▪ To AZH ειναι ισοσκελες
▪ Τα τριγωνα ΑΖΕ και ΑΗΔ ειναι ισα
▪ Το ΑΒΓ ειναι ισοσκελες.
19.
Σε τριγωνο ΑΒΓ η ΑΜ ειναι διαμεσος και Δ το μεσο της διαμεσου. Αν ειναι ΒΔ =
ΒΓ
2
να δειχθει:
▪ ΑΔΒ = ΔΜΓ
▪ ΑΒ = ΔΓ
20.
Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και την διχοτομο ΑΔ. Στην ημιευθεια ΑΒ παιρνου-
με τμημα ΑΓ΄= ΑΓ και στην ημιευθεια ΑΓ παιρνουμε τμημα ΑΒ΄= ΑΒ.
Να δειξετε οτι τα σημεια Β ’, Δ, Γ ’ ειναι συνευθειακα.
21.
Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε τις πλευρες ΒΑ και ΓΑ ετσι
ωστε ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ.
Να δειξετε οτι ΒΓ = ΖΕ.
22.
Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και Μ το μεσο της ΒΓ. Προεκτεινουμε την ΒΑ κατα
το ισο τμημα ΑΔ και την ΓΑ κατα το ισο τμημα ΑΕ. Αν Ζ ειναι το σημειο τομης της προ-
εκτασης της ΜΑ με τη ΔΕ, να δειξετε οτι:
▪ τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ ειναι ισα,
▪ τα τριγωνα ΑΕΖ και ΑΜΓ ειναι ισα,
▪ το Ζ ειναι το μεσο του ΕΔ.

52. ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
23.
Εξωτερικα ενος ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) κατασκευαζουμε τα ισοπλευρα
τριγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ . Να δειξετε οτι:
▪ ΒΔ = ΓΕ
▪ Αν Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων ΕΑ, ΑΔ, ΒΓ αντιστοιχα να δειχτει οτι το τριγωνο
ΚΛΜ ειναι ισοσκελες.
24.
Σε τριγωνο ΑΒΓ προεκτεινουμε τη ΓΒ κατα τμημα ΒΔ = ΑΒ και τη ΒΓ κατα τμημα
ΓΕ = ΑΓ . Φερνουμε τις διχοτομους των εξωτερικων γωνιων των Β και Γ που τε-
μνονται στο σημειο Μ .
Να δειχθει οτι τo τριγωνο ΔΜΕ ειναι ισοσκελες.
25.
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με β > γ και διχοτομο ΑΔ . Φερνουμε απο το Β καθετη στην ΑΔ
που την τεμνει στο Ε και την ΑΓ στο Ζ . Αποδειξτε οτι :
▪ ΑΒ = ΑΖ ▪ ΓΖ = β - γ ▪ ΒΔ = ΔΖ ▪ η ΔΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Β ΔΖ .
26.
Εστω τριγωνο ΑΒΓ . Στην προεκταση του υψους ΑΗ παιρνουμε τμημα ΗΔ = ΑΗ και στη
προεκταση της διαμεσου ΑΜ παιρνουμε τμημα ΜΕ = ΑΜ. Να δειξετε οτι:
▪ ΓΒΔ = ΒΓΕ και ΒΔ = ΓΕ.
▪ Αν οι ευθειες ΒΔ και ΓΕ τεμνονται στο Σ να δειχθει οτι η ΣΜ ειναι καθετος στις ΒΓ
και ΔΕ .
27.
Εστω τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), οι διχοτομοι ΒΔ, ΓΕ και Μ το μεσο της ΒΓ.
Να δειχτει οτι το τριγωνο ΔΜΕ ειναι ισοσκελες.
28.
Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τα υψη του ΒΕ και ΓΖ.
Να δειξετε οτι ΒΕ = ΓΖ.
29.
Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ, 0
Α 90≠ ) η καθετη στο Α στην ΑΒ τεμνει την
ευθεια ΒΓ στο Δ και η καθετη στο Α στην ΑΓ τεμνει την ΒΓ στο Ε. Αν Μ το μεσο της
ΒΓ να δειξετε οτι η ΑΜ ειναι μεσοκαθετος του ΕΔ.

53. ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
30.
Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Φερνουμε το ΜΔ
καθετο στην ΑΒ και το ΜΕ καθετο στην ΑΓ. Να αποδειξετε οτι ΜΔ = ΜΕ.
31.
Θεωρουμε αμβλεια γωνια χ Οψ και τα σημεια Α,Β στις πλευρες της Οχ , Οψ αντιστοι-
χα , ωστε ΟΑ = ΟΒ. Στα σημεια Α,Β φερνουμε καθετες στις Οχ, Οψ αντιστοιχα, που
τεμνονται στο Γ. Αποδειξτε οτι :
▪ η ΟΓ ειναι διχοτομος της γωνιας Α Γ Β .
▪ η ΟΓ ειναι μεσοκαθετος του ΑΒ .
32.
Αν δυο τριγωνα ειναι ισα, τοτε και τα υψη που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες ειναι
ισα.
33.
Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε την ΑΒ κατα ΒΕ και την ΑΓ κατα
ΓΖ ετσι ωστε ΒΕ = ΑΒ και ΓΖ = ΑΓ. Φερνουμε τα ΕΗ, ΖΘ καθετα στην ΒΓ.
Να δειξετε οτι ΕΗ = ΖΘ.
34.
Σε τριγωνο ΑΒΓ η διχοτομος της γωνιας Α και η μεσοκαθετη της πλευρας ΒΓ τεμνον-
ται στο Δ. Φερνουμε τις καθετες ΔΕ και ΔΖ στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ.
Να δειξετε οτι ΒΕ = ΓΖ .
35.
Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0
A = 90 ), Μ μεσο της ΒΓ και η μεσοκαθετη απο το Μ
τεμνει την ΓΑ στο Ζ. Αν Α μεσο του ΓΖ να δειχθει οτι το τριγωνο ΒΓΖ ειναι ισοπλευρο.
36.
Εστω τριγωνο ΑΒΓ και Μ το μεσο της ΒΓ. Πανω στην ΑΜ παιρνουμε το σημειο Δ τετοιο
ωστε ΑΔ = ΔΜ και ΒΔ = ΒΜ. Να δειξετε οτι: ▪ ˆ ˆΑΔΒ = ΔΜΓ ▪ ΑΒ = ΔΓ.
37.
Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Φερνουμε τα
τμηματα ΜΔ, ΜΕ καθετα στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Να δειξετε οτι:
▪ ΜΔ = ΜΕ ▪ ˆ ˆΑΜΔ = ΑΜΕ ▪ ΑΜ ΔΕ⊥ .

54. ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ
38.
Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0
A = 90 ) και ΒΔ η διχοτομος της γωνιας Β .
Απ’το Δ φερνουμε ΔΕ ΒΓ⊥ που τεμνει την ΑΒ στο Ζ.
Να δειξετε οτι το τριγωνο ΒΓΖ ειναι ισοσκελες.
39.
Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0
A = 90 ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Προεκτεινουμε
την ΑΜ κατα το τμημα ΜΔ = ΑΜ. Να αποδειξετε οτι:
▪ τα τριγωνα ΜΒΔ, ΑΜΓ ειναι ισα,
▪ τα τριγωνα ΜΔΓ, ΑΒΜ ειναι ισα,
▪ τα ευθυγραμμα τμηματα ΒΔ, ΔΓ ειναι καθετα.
40.
Δινεται κυκλος (Ο, ρ) και ΑΒ τυχαια χορδη του. Αν απο το μεσο Κ του τοξου ΑΒ φερ-
νουμε ΚΔ ⊥ ΟΑ. Να δειχθει οτι ΚΔ =
1
2
ΑΒ .
41.
Εστω το τριγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 2ΑΒ και ˆ ˆΒ = 2Γ . Αν ΒΔ ειναι η διχοτομος της ˆΒ και Μ
το μεσο της ΒΓ, να δειξετε οτι:
▪ το τριγωνο ΒΔΓ ειναι ισοσκελες,
▪ ΔΜ ΒΓ⊥ ,
▪ τα τριγωνα ΑΔΒ, ΔΒΜ ειναι ισα,
▪ ˆ 0
A = 90 .
42.
Εστω τριγωνο ΑΒΓ και ΑΒ = ΑΜ οπου Μ μεσο της ΒΓ, απο το Μ φερνουμε ΜΔ ⊥ ΑΓ.
Αν Ν σημειο της ΒΓ τετοιο ωστε ΒΝ =
1
4
ΒΓ να δειχθει οτι ΑΜ ⊥ ΔΝ.
43.
Εστω το ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ παιρνουμε τα σημεια Δ, Ε,
Ζ ετσι ωστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ. Αν το Κ ειναι το σημειο τομης των ΑΕ, ΓΔ, το Λ ειναι το
σημειο τομης των ΒΖ, ΑΕ και το Μ ειναι το σημειο τομης των ΓΔ, ΒΖ, να δειξετε οτι:
▪ τα τριγωνα ΑΔΓ, ΒΕΑ και ΓΖΒ ειναι ισα,
▪ τα τριγωνα ΑΔΚ, ΒΕΛ και ΓΖΕ ειναι ισα,
▪ το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοπλευρο.