Funciones de varias variables, sistemas de coordenadas Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, sus transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, su simetría, dominio de funciones de varias variables, geometría en el espacio, superficie cilíndricas, paraboloide, elipsoide, hiperboloide.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN: BARCELONA
CARRERA: ARQUITECTURA
ASIGNATURA: MATEMÁTICA III
TEMA
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
PARTICIPANTE: LORIANNYS SEMIAO
C.I. 28512341
DOCENTE: PROF. PEDRO BELTRÁN

2. INTRODUCCIÓN
Las coordenadas cartesianas, son definidas como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un
punto dado sobre cada uno de los ejes x, y.
Es importante señalar, que el sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos
sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas
esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema
de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.
Cabe resaltar, que la denominación de coordenadas cartesianas es en honor a René Descartes (1596-1650), el
célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de
tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.

3. Además de ello, los sistemas de coordenadas, pueden ser transformados entre sus diferentes sistemas,
también hay que considerar su simetría, sus funciones de varias variables y el dominio de sus funciones.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en
esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa
solo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».

4. SISTEMA DE COORDENADAS
Es un conjunto de líneas, planos u otras que nos sirven para determinar la posición de un punto. El punto
puede estar situado en una recta, en una curva, en un plano, en una superficie plana o curva o en el
espacio.
Utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u
objeto geométrico.
El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en
una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x».
El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, lo cual permite formular
los problemas geométricos de forma "numérica".

5. A su vez, es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de
un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos
que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto
constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

6. En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales
igualmente escalados, dependiendo de si, es un sistema bidimensional o tridimensional, se pueden
definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la
proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto, sobre un eje determinado:
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el
origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre
el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS

7. Las coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en
una superficie o en el espacio.
Así en el eje de los números reales, x=4 se indica de la siguiente manera:
Este tipo de sistema de coordenadas lo asociamos con el conjunto de los números reales R. Similarmente,
cuando nos propongamos analizar un fenómeno en que se involucran dos variables (que es el caso del
plano), denotaremos el conjunto de los valores que pueden tomar ambas, como pertenecientes a
subconjuntos de R2. Ya en el espacio estableceremos algo similar para R3. No hay que tener mucha
imaginación para deducir que se puede hablar de espacios n-dimensionales en que los valores de las
variables de una función los asociaremos con subconjuntos de Rn.

8. En el espacio 3D, la posición de un punto en coordenadas cartesianas, vendrá dada por un trío ordenado
de números que nos indicarán los valores de x, y y z, en ese orden:

9. Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en
el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo según sean los valores de
las tres coordenadas.

10. Resulta conveniente señalar que estamos hablando de un sistema de coordenadas al que le es aplicable la
regla de la mano derecha, o sea, que z es positivo en la dirección en que avanzaría un tornillo si giramos
el mango de un desarmador en el sentido del eje x al eje y:

11. Primer cuadrante "I": Región superior
derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior
izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior
izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior
derecha
El plano cartesiano se utiliza para
asignarle una ubicación a cualquier punto
en el plano. En la gráfica se indica el
punto +3 en las abscisas y +1 en las
ordenadas. El conjunto (3 , 1) se
denomina "par ordenado" y del mismo
modo se pueden ubicar otros puntos.
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de
cuadrantes:

12. Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio
tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la
variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie.
Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia
es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.
A su vez, sirven para ubicar puntos en el espacio tridimensional y constan de una coordenada radial ρ,
una coordenada azimutal φ y una coordenada de altura z.
Un punto P ubicado en el espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano XY dando lugar al punto P’
en ese plano. La distancia desde el origen hasta el punto P’ define la coordenada ρ, mientras que el
ángulo que forma el eje X con la semirrecta OP’ define la coordenada φ.
Por último, la coordenada z es la proyección ortogonal del punto P sobre el eje Z.
COORDENADAS CILÍNDRICAS.

13. En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un trio ordenado (r,
q, z), tal que:
v (r, q) es una representación polar de la proyección de P en el plano XY.
v z es la distancia de (r, q) a P.
r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores de q estarán entre 0 y 2p.

14. Los intervalos en los que están definidas estas coordenadas son:
Observa que las direcciones de estas coordenadas son
perpendiculares entre sí.
En este sistema de coordenadas describiremos cualquier
vector arbitrario de la siguiente forma:
o bien con paréntesis:
Como este sistema de coordenadas es ortonormal, el módulo de
un vector arbitrario se podrá calcular de la forma siguiente:

15. Las relaciones entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas
son las siguientes:
El nombre de coordenadas cilíndricas se origina del hecho de
que la gráfica r = c es un cilindro circular recto. Las
coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos
problemas reales en los que existe un eje de simetría.

16. La coordenada radial ρ siempre es positiva, la coordenada azimutal φ varía desde cero radianes hasta dos
pi radianes, mientras la coordenada z puede tomar cualquier valor real:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
– ∞ < z < + ∞

17. Es relativamente sencillo obtener las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P a partir de
sus coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):
x = ρ cos(φ)
y = ρ sen(φ)
z = z
Cambio de coordenadas
Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente
manera:
Las coordenadas cilíndricas sirven para ubicar puntos en el espacio tridimensional y constan de
una coordenada radial ρ, una coordenada azimutal φ y una coordenada de altura z.

18. Un punto P ubicado en el espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano XY dando lugar al punto
P’ en ese plano. La distancia desde el origen hasta el punto P’ define la coordenada ρ, mientras que
el ángulo que forma el eje X con la semirrecta OP’ define la coordenada φ. Por último, la
coordenada z es la proyección ortogonal del punto P sobre el eje Z.

19. La coordenada radial ρ siempre es positiva, la coordenada azimutal φ varía desde cero
radianes hasta dos pi radianes, mientras la coordenada z puede tomar cualquier valor
real:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
– ∞ < z < + ∞

20. Hay infinidad de ejemplos del uso y aplicación de las
coordenadas cilíndricas. En cartografía, por ejemplo,
se usa la proyección cilíndrica, basada justamente en
estas coordenadas.
Las grúas de construcción fijan la posición de la carga
en coordenadas cilíndricas. La posición horizontal
queda definida por la distancia al eje o flecha de la
grúa ρ y por su posición angular φ respecto de algún
eje de referencia. La posición vertical de la carga
queda determinada por la coordenada z de la altura.
EJEMPLOS
La posición de la carga
en una grúa de
construcción puede
expresarse fácilmente
en coordenadas
cilíndricas

21. Se tienen los puntos P1 de coordenadas cilíndricas ( 3, 120º, -4) y el punto P2 de coordenadas cilíndricas
( 2, 90º, 5). Hallar la distancia euclidiana entre estos dos puntos.
Solución:
En primer lugar, se procede a encontrar las coordenadas cartesianas de cada punto siguiendo la fórmula
que se dio más arriba.
Ejercicio 1
P1 = ( 3* cos 120º, 3* sen 120º, -4 ) = ( -1.5, 2.60, -4 )
P2 = ( 2* cos 90º, 2* sen 90º, 5 ) = ( 0, 2, 5 )
La distancia euclidiana entre P1 y P2 es:
d(P1, P2) = √( (0 – (-1.5))2+(2 – 2.60)2+(5 -(-4))2 ) =
…
… √(2.25+0.36+81) = 9.14

22. El punto P tiene coordenadas cartesianas ( -3, 4, 2 ). Hallar las coordenadas cilíndricas
correspondientes.
Solución:
Se procede a encontrar las coordenadas cilíndricas usando las relaciones dadas más arriba:
Ejercicio 2
ρ = √(x2 + y2) = √((-3)2 + 42) = √(9 + 16) = √(25) = 5
φ = arctan( y/x ) = arctan( 4/(-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º
z = 2
Cabe recordar que la función arco tangente es multivaluada de periodicidad 180º. Además, el ángulo φ
debe pertenecer al segundo cuadrante, ya que las coordenadas x e y del punto P están en ese
cuadrante. Esta es la razón por la que se ha sumado 180º al resultado φ.

23. Sistema de coordenadas formado por
dos ejes mutuamente perpendiculares
que se cortan en el origen. La primera
coordenada es la distancia entre el
origen y el punto, siendo las otras dos,
los ángulos que es necesario girar
sucesivamente, en planos mutuamente
perpendiculares, el eje inicial para
alcanzar la posición del punto.
Son un sistema de ubicación de puntos
en el espacio tridimensional que consta
de una coordenada radial y dos
coordenadas angulares denominadas
coordenada polar y coordenada
azimutal.
COORDENADAS ESFÉRICAS. En la figura, se muestra las coordenadas esféricas (r,
θ, φ) de un punto M. Estas coordenadas están
referidas a un sistema ortogonal de ejes cartesianos
X, Y, Z de origen O.

24. En este caso, la coordenada r del punto M es la distancia de ese punto al origen O. La coordenada polar θ
representa el ángulo entre el semi eje positivo Z y el radio vector OM. Mientras que la coordenada
azimutal φ es el ángulo entre el semieje positivo X y el radio vector OM’, siendo M’ la proyección
ortogonal de M sobre el plano XY.
0 ≤ r < ∞
0 ≤ θ ≤ 180º
0 ≤ φ < 360º
La coordenada radial r solo toma valores positivos, pero si un punto está ubicado en el origen entonces
r=0. La coordenada polar θ toma como valor mínimo 0º para puntos ubicados sobre el semieje positivo Z
y valor máximo 180º para los puntos está ubicado en el semieje negativo Z. Por último, la coordenada
azimutal φ toma como valor mínimo 0º y cota máxima de 360º.

25. En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio se representa por un trío ordenado (r, q,
f) donde:
v r es la distancia orientada desde O hasta P, (valores de r ³ 0).
v q es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas, (0 £ q < 2 p).
v f es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r, (0 £ f £ p).

26. El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional. El
cambio se da por las siguientes fórmulas:
Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la distancia que hay entre
este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z y la proyección del mismo vector y
el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas, el sistema de referencia puede cambiar.
CAMBIO DE COORDENADAS

27. A la inversa, es posible pasar de
coordenadas esféricas a
coordenadas cartesianas:

28. Toda integral en coordenadas
esféricas se representa de la
siguiente manera:
A continuación se darán las fórmulas
que permiten obtener las coordenadas
cartesianas (x, y, z) de un punto M
suponiendo conocidas las coordenadas
esféricas del mismo (r, θ, φ) punto:
CAMBIO DE COORDENADAS
x = r Sen(θ) Cos(φ)
y = r Sen(θ) Sen(φ)
z = r Cos(θ)

29. De igual manera, es útil hallar las relaciones para pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un
punto dado a las coordenadas esféricas de dicho punto:
r = √( x^2 + y^2 + z^2 )
θ = Arctan( √( x^2 + y^2) / z )
φ = Arctan( y / x )

30. Coordenadas: CARTESIANAS CILÍNDRICAS ESFÉRICAS
(x, y, z) (r, q, z) (r, q, f)
Valores posibles: (-∞ a ∞) 0<r<¥,0<q<2p,-∞£z£∞ 0<r<¥,0<q<2p,0<f<p
Fórmulas para la transformación de
coordenadas
Cilíndricas a
cartesianas
Esféricas a
cartesianas
Cartesianas a
cilíndricas
Cartesianas a
esféricas
x= r cosq x= r senf cosq r= (x2+y2)1/2 r= (x2+y2+z2)1/2
y= r senq y= r senf senq q=arctg(y/x) f=arccos(z/(x2+y2+z2
)1/2)
z= z z= r cosq z= z q=arctg(y/x)

31. Una línea de contorno (también isolínea , isopleta o isaritmo ) de una función de dos variables es una curva
a lo largo de la cual la función tiene un valor constante, de modo que la curva une puntos de igual valor. Es
una sección plana de la gráfica tridimensional de la función f ( x , y ) paralela al plano ( x , y ). En
cartografía , una línea de contorno (a menudo llamada simplemente "contorno") une puntos de igual
elevación (altura) sobre un nivel dado, como el nivel medio del mar.
MAPA DE CONTORNO O CURVA DE
NIVEL
Una superficie tridimensional, cuyo
gráfico de contorno se encuentra
debajo.

32. Posición, forma y tamaño, respecto a un punto, una línea o un plano, de los elementos de un conjunto o de
dos o más conjuntos de elementos entre sí.
Se denomina simetría a la correspondencia exacta que se registra en la disposición regular de las partes o
puntos que conforman un cuerpo o figura, considerado con relación a un centro, eje o plano. Así, se
verifican distintos tipos de simetrías:
SIMETRÍA

33. Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de rotación.
Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es aquella que ocurre a partir
de un eje, lo que significa que cualquier giro producido a partir de ese eje no conduce a ningún
cambio de posición en el espacio.
Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la existencia de un único plano donde
una mitad es el reflejo de la otra.
Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en un objeto o figura cuando
este se repite a una distancia siempre idéntica del eje y a lo largo de una línea que puede estar
colocada en cualquier posición y que puede ser infinita.

34. Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de –x.
Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY.
Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O.
En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica.
Método de estudio de la simetría
Sea la función f(-x) = x4-3x2. Vamos a estudiar la simetría de
la función evaluando f(-x).
Vemos que f(-x) = f(x), por lo que f es una función par.

35. Ahora tenemos la función f(-x) = x3-4x.
Análogamente, estudiamos la simetría:
En este caso, f(-x) = –f(x), siendo la función
simétrica impar.

36. Una función f es simétrica si al
doblar su gráfica por un eje de
simetría ésta se superpone.
Existen dos tipos de simetrías:
FUNCIONES SIMÉTRICAS
Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también
se llaman funciones pares).
Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas
funciones impares).

37. Una función par es una función
simétrica respecto al eje de
ordenadas OY. Es decir, si
plegásemos la gráfica por el eje
de ordenadas encima de la otra
parte, la gráfica se solaparía.
Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la
imagen de este elemento (x) coinciden.
Funciones pares

38. Una función impar es una función
simétrica respecto al origen O. Si
plegásemos la gráfica por el eje de
ordenadas (OY) y después de nuevo
por el eje de abscisas (OX), la gráfica
se solaparía.
En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen
opuesta de dicho elemento (x).
Funciones impares

39. Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde
un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones
comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún
parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por
una expresión algebraica que funge como regla.
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de
función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables
independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La
idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de
puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

40. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más
claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las
funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite
graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres
variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres
variables es el siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de tres
variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son
funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables
como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo,
no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le
corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.

41. Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y
como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El
dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin
que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función
z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las
variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas
variables. Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto
de valores de x y de y tal que ambas variables
pueden tomar cualquier valor de los números reales,
puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera
formal de escribirlo es:
Rango y dominio

42. De tal manera que el rango de la función es el
conjunto de valores toma f o z, que en realidad
son todos los reales, pues nunca se indefine:
En funciones de varias variables, es posible
graficar el dominio. Esto da una idea de los
valores que toman x y en un plano, en el caso
de una función de tres variables. Para la función
anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de
puntos. Todos los valores de x y de y son
permitidos, y es por eso que se marca todo el
plano cartesiano, en dos dimensiones
solamente.
Para el siguiente ejemplo de función:

43. Esta función es algo más compleja. Existe una raíz
que afecta al argumento. El método para
encontrar dominios no es siempre el mismo. En
este caso, se sabe que argumento de una raíz
cuadrada no puede ser negativo, por lo que el
dominio queda de la siguiente forma:
Es bastante simple de anotar para cualquier
caso. Este dominio es el conjunto de puntos que
simplemente no indefinen a la función f. La
imagen se encuentra evaluando a la función
desde el punto en que comienza a definirse y el
punto donde se alcanza el valor máximo de f, si
es que lo hay:
Ahora se escribe la imagen:
Valor máximo
Valor mínimo

44. El dominio gráfico de la función se
haya encontrando una gráfica
bidimensional que sirva de
frontera para la indefinición y
evaluando un punto por dentro y
otro por fuera y así determinar que
región es indefinible a f y cual no.
Esta función resulta ser una
semiesfera que abarca al eje z
positivo. La circunferencia que
describe a la mitad es justamente
la frontera del dominio.

45. La geometría del espacio también conocida como Geometría solida se ocupa de formas
tridimensionales. Algunos ejemplos de formas tridimensionales son cubos, sólidos rectangulares,
prismas, cilindros, esferas, conos y pirámides. Veremos las fórmulas de volumen y las fórmulas de
área de superficie de los sólidos.
Geometría en Tres dimensiones:
Se llama tridimensional, o 3D,
porque hay tres dimensiones :
ancho, profundidad y altura.
GEOMETRIA EN EL ESPACIO

46. Una esfera o superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas (x, y, z) del
espacio cuya distancia a un punto fijo C(a, b, c) que es el centro de la esfera, es una cantidad
constante r > 0 , es decir, el radio de la esfera
Posiciones relativas de recta y esfera
Una recta respecto a una esfera puede estar situada:
Exterior: Si no tienen ningún punto en común
Tangente: cuando la recta toca a la esfera en un único punto
Secante: cuando la recta corta a la esfera en dos puntos.
SUPERFICIE ESFÉRICA
Ecuación de una esfera

47. Un plano respecto a una esfera puede estar
situado:
Exterior: Si no tienen ningún punto en común
Tangente: cuando el plano toca a la esfera en un
único punto
Secante: cuando el plano corta a la esfera en
una circunferencia.
Posiciones relativas de plano y
esfera

48. La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas,
denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva
plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica
se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.
Las superficies cilíndricas pueden ser
superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices
equidistan de un eje, paralelo a ella.
superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que
equidiste de las generatrices.
SUPERFICIE CILINDRICA

49. PARABOLOIDE
Ecuación del paraboloide:
z = x2 + y2 (paraboloide de revolución)-las secciones
transversales al eje OZ son circulares.
* * *
z = m x2 + n y2 (paraboloide general) las secciones
transversales al eje OZ son elípticas.
En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo
de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones
cuya forma canónica es del tipo: Los paraboloides pueden ser
elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos
tengan igual o distinto signo, respectivamente.

50. Un elipsoide de revolución es la superficie
generada por una elipse que gira alrededor de uno
de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el
nombre de esferoide.
ELIPSOIDE
Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O):
(a, b, c son los semi-ejes de las secciones elípticas)

51. La hiperboloide es la superficie de revolución
generada por la rotación de una hipérbola
alrededor de uno de sus dos ejes de simetría.
Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide
puede ser de una o dos hojas.
HIPERBOLOIDE

52. Para la arquitectura, el plano cartesiano es sumamente importante debido a sus muchas aplicaciones.
La función general de esta herramienta en la matemática, es que permite representar la gráfica de
cualquier función.
Por lo cual, permite, que se puede visualizar la representación de movimiento de una función de
movimiento, velocidad o aceleración de cualquier partícula para saber su ubicación o desplazamiento.
Debido a que la matemática y la física son ciencias que tienen muchas aplicaciones muy semejantes y el
plano cartesiano es muy importante para ellas, es por esto que se puede llegar a construir la misma
representación de gráfica desde puntos de vista diferentes.
CONCLUSIÓN
Además constituye una herramienta, al aplicarse el sistema de coordenadas sumamente importante, desde
su creación, para el desarrollo del mundo en muchos aspectos, como la ingeniería, la arquitectura y la
física.

53. https://www.youtube.com/watch?v=Z9iFqzHcPMk
ANEXOS
https://www.youtube.com/watch?v=MsFmYVmsoyc
https://www.youtube.com/watch?v=mNh-0nMN3Tw

54. Funciones de varias variables. Disponible en:
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables. 10—11-2020.
Funciones Simétricas y asimétricas. Disponible en:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-simetricas-asimetricas/. 09-11-
2020.
Coordenadas Cilíndricas y esféricas. Disponible en:
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas. 10-11-2020.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Coordenadas en el plano y en el espacio. Disponible en:
http://www.bibliotecacpa.org.ar/greenstone/collect/facagr/index/assoc/HASHc6c9.dir/doc.pdf. 15-
11-2020.
Cilindro.
https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro#:~:text=En%20un%20sistema%20ortogonal%20de,de%20la%20supe
rficie%20c%C3%B3nica%20correspondiente.&text=son%20los%20semiejes. 16-11-2020.

55. Superficie esférica. Disponible en:
https://saia.psm.edu.ve/pluginfile.php?file=%2F1167643%2Fmod_resource%2Fcontent%2F1%2FSuperfici
e%20esf%C3%A9rica.pdf. 18-11-2020.
Sistema de Coordenadas en el espacio. Disponible en:
http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenadas.htm#:~:text=Las
%20coorden. 12-11-2020.
Geometría Analítica. Disponible en: https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-
cordenados. 09-11-2020.