Algebra de Boole

1. Álgebra de Boole

2. Histórico
•No século XIX o matemático inglês George Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica
•No século XX, o americano Claude Elwood Shannon sugeriu que a Álgebra Booleana poderia ser usada para análise e projeto de circuitos de comutação (circuitos lógicos)

3. Histórico
•Nos primórdios da eletrônica, todos os problemas eram solucionados por meio de sistemas analógicos.
•Com o avanço da tecnologia, os problemas passaram a ser solucionados pela eletrônica digital
•Na eletrônica digital, os sistemas (incluindo computadores) empregam um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas e, ou e não.
•Com a utilização adequada dessas portas é possível implementar todas as expressões geradas pela Álgebra de Boole.

4. Aplicações
•O processador de um computador é composto por um aglomerado de circuitos lógicos.
•Qualquer operação feita em um computador, por mais complexa que seja, é derivada de combinação de tarefas lógicas e aritméticas simples.
•Exemplo do circuito MC54F/74F00 da Motorola

5. ÁLGEBRA DE BOOLE

6. Álgebra Booleana
•Na Álgebra de Boole há somente dois estados (valores ou símbolos) permitidos
•Estado 0 (zero): representa não, falso, aparelho desligado, ausência de tensão, chave elétrica desligada
•Estado 1 (um): representa sim, verdadeiro, aparelho ligado, presença de tensão, chave ligada

7. Álgebra Booleana
•Em qualquer bloco lógico somente esses dois estados são permitidos em suas entradas e saídas
•Uma variável booleana também só assume um dos dois estados permitidos
•Blocos lógicos
•E (AND)
•OU (OR)
•NÃO (NOT)
•NÃO E (NAND)
•NÃO OU (NOR)
•OU EXCLUSIVO (XOR)

8. Função E (AND)
•Executa a multiplicação (conjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias
•Por exemplo, assuma a convenção no circuito
•Chave aberta=0; Chave fechada=1
•Lâmpada apagada=0; Lâmpada acesa=1

9. Função E (AND)
•Situações possíveis

10. Função E (AND)
•Para representar a expressão
•S = A e B
•Adota-se a representação
•S = A . B
•Porém, existem notações alternativas
•S = A & B
•S = A, B
•S = A ∧ B

11. Tabela Verdade da Função E (AND)
A
B
A.B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
A
B
A∧B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

12. Porta Lógica E (AND)
•A porta E é um circuito que executa a função E
•A porta E executa a tabela verdade da função E
•Portanto, a saída será 1 somente se ambas as entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0
•Representação

13. Porta Lógica E (AND)

14. Porta Lógica E (AND)
•É possível estender o conceito de uma porta E para um número qualquer de variáveis de entrada
•Nesse caso, temos uma porta E com N entradas e somente uma saída
•A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0

15. Porta Lógica E (AND)

16. Função OU (OR)
•Executa a soma (disjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias
•Por exemplo, assuma a convenção no circuito
•Chave aberta=0; Chave fechada=1
•Lâmpada apagada=0; Lâmpada acesa=1

17. Função OU (OR)
•Situações possíveis

18. Função OU (OR)
•Para representar a expressão
•S = A ou B
•Adota-se a representação
•S = A + B
•Porém, existem notações alternativas
•S = A | B
•S = A; B
•S = A ∨ B

19. Tabela Verdade da Função OU (OR)
A
B
A+B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
A
B
A∨B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

20. Porta Lógica OU (OR)
•A porta OU é um circuito que executa a função OU
•A porta OU executa a tabela verdade da função OU
•Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1
•Representação

21. Porta Lógica OU (OR)

22. Porta Lógica OU (OR)
•É possível estender o conceito de uma porta OU para um número qualquer de variáveis de entrada
•Nesse caso, temos uma porta OU com N entradas e somente uma saída
•A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1

23. Porta Lógica OU (OR)

24. Função NÃO (NOT)
•Executa o complemento (negação) de uma variável binária, também chamada de função inversora
•Se a variável estiver em 0, o resultado da função é 1
•Se a variável estiver em 1, o resultado da função é 0
•Por exemplo, assuma a convenção no circuito
•Chave aberta=0; Chave fechada=1
•Lâmpada apagada=0; Lâmpada acesa=1

25. Função NÃO (NOT)
•Para representar a expressão
•S = não A
•Adota-se a representação
•S = 퐴 (lê A barra)
•Porém, existem notações alternativas
•S = A’
•S = ¬A
•S = ~A

26. Tabela Verdade da Função NÃO (NOT)
A
푨
1
0
0
1
A
~푨
V
F
F
V

27. Porta Lógica NÃO (NOT)
•A porta NÃO é um circuito que executa a função NÃO
•A porta NÃO executa a tabela verdade da função NÃO
•Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada for 1, a saída será 0
•Representação

28. Porta Lógica NÃO (NOT)

29. Porta Lógica NÃO E (NAND)

30. Porta Lógica NÃO OU (NOR)

31. Porta Lógica OU EXCLUSIVO (XOR)

32. Porta Lógica NEGAÇÃO DO OU EXCLUSIVO (XNOR)

33. CIRCUITOS INTEGRADOS

34. Circuitos Integrados
•As portas lógicas não são vendidas individualmente, mas em unidades chamadas Circuitos Integrados
•SSI (Small Scale Integrated): 1 a 10 portas
•MSI (Medium Scale Integrated): 10 a 100 portas
•LSI (Large Scale Integrated): 100 a 100.000 portas
•VLSI (Very Large Scale Integrated): > 100.000 portas

35. Circuitos Integrados

36. Circuitos Integrados
•ULA de 1 bit

37. CORRESPONDÊNCIA ENTRE EXPRESSÕES E CIRCUITOS

38. Correspondências
•Todo circuito lógico executa uma expressão booleana
•Um circuito, por mais complexo que seja, é composto pela interligação dos blocos lógicos básicos

39. Correspondências
•Seja o circuito:

40. Correspondências

41. Correspondências

42. Correspondências
•(1) S1 = A.B
•(2) S = S1 + C
•S = S1+C = (A.B)+C

43. Exercício
•Escreva a expressão booleana executada pelo circuito

44. Exercício

46. Correspondências
•Também é possível obter um circuito lógico, dada uma expressão booleana
•Seja a expressão:
•S = (A+B).C.(B+D)
•Separa-se as sub-fórmulas da expressão:
•S = (A+B).C.(B+D)

47. Correspondências
•Seja a expressão:
•S = (A+B).C.(B+D)

48. Correspondências
•Seja a expressão:
•S = (A+B).C.(B+D)

49. Exercícios
•Desenho o circuito lógico que executa a seguinte expressão booleana
•S = A . B’
•S = A -> B
•S = (A + B)’
•S = (A.B.C) + (A+B).C
•S = (퐴.퐵+퐶.퐷)′