Estadísticas y Probabilidades en Educación (Física Matemática)

Facultad Regional Multidisciplinaria de Estelí
FAREM ESTELÍ
Recinto Universitario “Leonel Rugama Rugama”
Departamento de Ciencias de la Educación y Humanidades
2019: Año de la Reconciliación
Estadística y Probabilidades
Física Matemática II Año
Elaborado: M.Sc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo
18 de mayo 2019

Índice
Introducción_____________________________________________________________ 1
Unidad I. Estadística Descriptiva ____________________________________________ 2
Conceptos fundamentales de la estadística descriptiva________________________ 3
Reseña histórica de la estadística________________________________________ 3
Utilidad e importancia ________________________________________________ 4
Estadística __________________________________________________________ 4
Población y muestra __________________________________________________ 5
Población _________________________________________________________ 5
Muestra___________________________________________________________ 6
Variable ____________________________________________________________ 6
Tipos de Variables __________________________________________________ 7
Medición y escalas de medidas__________________________________________ 8
Distribución de frecuencias _____________________________________________ 13
Procedimiento a seguir en un estudio estadístico __________________________ 13
Tabla para datos no agrupados ________________________________________ 13
Tabla para datos agrupados___________________________________________ 14
Tipos de Gráficos _____________________________________________________ 19
Medidas de tendencia central ___________________________________________ 28
Datos no agrupados__________________________________________________ 28
Datos agrupados ____________________________________________________ 31
Formas de la distribución_______________________________________________ 34
Medidas de variabilidad o dispersión _____________________________________ 35
Datos agrupados. ____________________________________________________ 35
Medidas de posición ___________________________________________________ 39
Coeficiente de curtosis (K) ______________________________________________ 41
Unidad II. Probabilidades _________________________________________________ 49
Definiciones __________________________________________________________ 51

Probabilidades ______________________________________________________ 51
Experimento________________________________________________________ 51
Espacio Muestral____________________________________________________ 52
Suceso aleatorio _____________________________________________________ 53
Suceso elemental ____________________________________________________ 54
Suceso compuesto ___________________________________________________ 54
Algunas definiciones y operaciones con conjuntos_________________________ 54
Definición clásica de probabilidad (modelo clásico o a priori)_________________ 55
Tipos de probabilidad__________________________________________________ 56
Sucesos independientes_________________________________________________ 58
Sucesos dependientes __________________________________________________ 58
Probabilidad condicional _______________________________________________ 58
Regla de la multiplicación ______________________________________________ 59
Probabilidad total _____________________________________________________ 61
Regla de Bayes________________________________________________________ 61
TECNICAS DE CONTEO______________________________________________ 65
La distribución acumulada____________________________________________ 77
Valor esperado______________________________________________________ 78
Varianza___________________________________________________________ 79
Distribución geométrica ______________________________________________ 80
Distribución híper – geométrica________________________________________ 81
Teorema de Chebyshev_______________________________________________ 82
Distribución híper – geométrica multii - variada__________________________ 83
La distribución binomial _______________________________________________ 85
Proceso de Bernoulli _________________________________________________ 85
Distribución binomial ________________________________________________ 85
Media, varianza y desviación estándar de la distribución binomial _________ 86
Distribución binomial negativa.________________________________________ 87

La distribución de Poisson ______________________________________________ 87
Media, varianza y desviación estándar de la distribución de Poisson________ 89
La distribución normal_________________________________________________ 90
Áreas bajo la curva normal ___________________________________________ 90
Estandarización_____________________________________________________ 91
Uso de la tabla ______________________________________________________ 91
Unidad III. Estadística inferencial _________________________________________ 104
Muestreo ___________________________________________________________ 105
Conceptos básicos __________________________________________________ 105
Ventajas del muestreo ______________________________________________ 107
1. Rapidez y bajo costo de la información requerida__________________ 107
2. Es un procedimiento práctico cuando la población es muy grande o infinita
107
3. Evita la destrucción de toda la población__________________________ 107
Métodos de muestreo _______________________________________________ 108
Muestreo no probabilístico _________________________________________ 108
Muestreo probabilístico. _____________________________________________ 109
Tipos de muestreo probabilístico______________________________________ 109
Muestreo aleatorio simple__________________________________________ 109
Muestreo aleatorio sistemático______________________________________ 111
Estimación __________________________________________________________ 113
Precisión y exactitud de un estimador__________________________________ 113
Errores de muestreo ________________________________________________ 114
Errores ajenos al muestreo _________________________________________ 114
Propiedades de une estimador ________________________________________ 114
Estimador por intervalos de confianza._________________________________ 115
Intervalo de confianza para la media __________________________________ 119
Prueba de hipótesis
___________________________________________________ 123
Tipos de hipótesis
__________________________________________________ 123

Pruebas de una cola (o unilaterales) __________________________________ 125
Bibliografía ___________________________________________________________ 138
Solucionario de Ejercicios Propuestos ______________________________________ 139

Estadística y Probabilidades – II Año de Física Matemática
1
MS.c Cliffor Jerry Herrera castrillo
Introducción
La Matemática es lógica, precisa, rigurosa, abstracta, formal y bella. Representa un saber
escalonado, donde cada etapa es necesaria para afrontar la siguiente. Esta ciencia fortalece el
pensamiento crítico para entender mejor el entorno, desarrolla la lógica de pensamiento para
la toma de decisiones. Por tanto, contribuye al desarrollo de las inteligencias, los sentimientos
y la personalidad.
En la carrera de Física – Matemática la asignatura de Estadística y Probabilidad tiene como
asignatura precedente a Matemática General y como asignaturas consecuentes a Metodología
de la Investigación e Investigación Aplicada. Su propósito es contribuir a fundamentar las
técnicas estadísticas y probabilísticas utilizadas en las investigaciones de enfoque
cuantitativo o positivistas.
Actualmente nos encontramos con un crecimiento progresivo de ciencias interdisciplinarias,
que armonizan diversas ramas del saber en una sola. Así, se habla de bioestadística,
psicología matemática, etc. De manera similar con la asignatura de Estadística y Probabilidad
estamos integrando los conocimientos pedagógicos adquiridos sobre la enseñanza de la
Física - Matemática y las herramientas estadísticas para enfrentar los procesos de enseñanza
aprendizaje de la matemática y la investigación en el campo educativo, auxiliándonos de la
calculadora y un determinado paquete estadístico para la interpretación de resultados.
(Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN MANAGUA, 2013)
Esperó que este módulo pueda contribuir a tu formación profesional con una concepción
científica y humanista, capaz de interpretar los fenómenos sociales y naturales con un sentido
crítico, reflexivo y propositivo.

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Unidad I. Estadística Descriptiva
Objetivos de la asignatura
Objetivos Conceptuales
▪ Conocer los conceptos y definiciones fundamentales de estadística descriptiva.
Objetivos Procedimentales
▪ Aplicar los conceptos y definiciones fundamentales de la estadística descriptiva en la
resolución de problemas de la vida cotidiana.
Objetivos Actitudinales
▪ Valorar la importancia de la Estadística Descriptiva como instrumento para la
solución de problemas de su entorno social.
Contenidos Conceptuales Contenidos Procedimentales Contenidos Cognitivos
Conceptos fundamentales
de la estadística descriptiva
Reseña histórica de la
estadística, población y
muestra. Variables.
Medición y escalas de
medidas. Distribución de
frecuencias. Tipos de
Gráficos. Percentiles.
Medidas de Tendencias
central. Medidas de
variabilidad.
Aplicación de los conceptos
y definiciones
fundamentales de la
estadística descriptiva en la
resolución de problemas de
la vida cotidiana.
Valoración de la
importancia de la
estadística descriptiva como
instrumento para la
solución de problemas de su
entorno social.
Participación activa en la
resolución de problemas
basados en la realidad.

3
Conceptos fundamentales de la estadística descriptiva
Reseña histórica de la estadística
Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en
el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron recopilar,
hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos datos
relativos a la población y la riqueza del país. De
acuerdo al historiador griego Heródoto, dicho registro
de riqueza y población se hizo con el objetivo de
preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto, Ramsés II hizo un censo de
las tierras con el objeto de verificar un nuevo reparto.
En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de los datos
estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El rey David por otra parte,
ordenó a Joab, general del ejército hacer un censo de Israel con la finalidad de conocer el
número de la población. También los chinos efectuaron censos hace más de cuarenta siglos.
Los griegos efectuaron censos periódicamente con fines tributarios, sociales (división de
tierras) y militares (cálculo de recursos y hombres disponibles). La investigación histórica
revela que se realizaron 69 censos para calcular los impuestos, determinar los derechos de
voto y ponderar la potencia de guerrera.
Pero fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron
emplear los recursos de la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de la población
y sus funcionarios públicos tenían la obligación de anotar nacimientos, defunciones y
matrimonios, sin olvidar los recuentos periódicos del ganado y de las riquezas contenidas en
las tierras conquistadas.

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Utilidad e importancia
Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para
organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de la
tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas
descriptivas.
Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia,
contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de
resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos
políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.
Estadística
La palabra estadística se emplea en una gran variedad de formas. En plural se emplea como
sinónimo de dato.
El trabajo estadístico o la investigación estadística es un proceso que pasa generalmente por
las siguientes etapas:
▪ Formulación del problema o la tarea
▪ Diseño del experimento
▪ Recopilación de los datos
▪ Clasificación, tabulación y descripción de datos
▪ Generalización o inferencia
Definición: en este documento se define estadística como, la ciencia que proporciona un
conjunto de métodos, técnicas o procedimientos para:
- recopilar
- organizar (clasificar, agrupar),
- presentar, y
- analizar,
datos con el fin de describirlos o realizar generalizaciones válidas.
La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la estadística
descriptiva y la inferencial.

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Se denomina estadística descriptiva, al conjunto de métodos estadísticos que se relacionan
con el resumen y descripción de los datos, como tablas, graficas, y el análisis mediante
algunos cálculos.
Se denomina inferencia estadística al conjunto de métodos con los que se hace la
generalización o inferencia sobre una población utilizando una muestra. La inferencia puede
contener conclusiones que pueden no ser ciertas en forma absoluta, por lo que es necesario
que éstas sean dadas con una medida de confiabilidad que es la probabilidad.
Estas dos partes de la estadística no son mutuamente excluyentes, ya que para utilizar los
métodos de la inferencia estadística, se requiere conocer los métodos de la estadística
descriptiva.
Población y muestra
Población
Definición. En forma general, en estadística; se denomina población, a un conjunto de
elementos (que consiste de personas, objetos…), que contienen una o más características
observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir en ellos.
A cada elemento de una población se denomina unidad elemental o unidad estadística.
Por ejemplo, los empleados de una empresa en un día laborable, constituyen una población
en la que cada empleado (unidad estadística), tiene muchas características a ser observadas,
como por ejemplo: Género, estado civil, lugar de procedencia, grado de instrucción, etc.
(características cualitativas), o número de hijos, ingresos mensuales, etc. (características
cuantitativas).
El resultado de medir una característica observable de una unidad elemental, se denomina
dato estadístico o valor observado o simplemente observación.
Por otra parte, la población; viene definida por la tarea o investigación estadística a
realizarse. Y como la medición o conteo de la característica especificada por la
investigación se hace a cada unidad elemental, se puede considerar a la población como la
totalidad de valores posibles de una característica particular especificada por la
investigación estadística. En este sentido la población consiste de un conjunto de datos

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estadísticos que se reúnen de acuerdo con la formulación de una investigación estadística o
con la definición de la población específica.
Parámetro: Se denomina parámetro a una medida descriptiva que resuma una característica
de la población, tal como la media (  ) o la varianza ( 2
 ), calculada a partir de los datos
observados de toda la población.
Tipos de población: Por el número de elementos que la componen, la población se clasifica
en finita o infinita. La población es finita si tiene un número finito de elementos. En caso
contrario la población es infinita. En la práctica una población finita con un número grande
de elementos se considera como una población infinita.
Muestra
Después de definir la investigación estadística a realizar, se debe decidir entre investigar toda
la población o sólo una parte de ella. El primer procedimiento es denominado censo y el
segundo es llamado muestreo.
Definición. Se denomina muestra a una parte de la población seleccionada de acuerdo con
un plan o regla, con el fin de obtener información acerca de la población de la cual proviene.
La muestra debe ser seleccionada de manera que sea representativa de la población. Un
método de selección de muestras representativas es al azar simple, esto es, cada elemento de
la población tiene la misma posibilidad de ser seleccionada para la muestra.
Estadística o estadígrafo. Se denomina estadística a una medida descriptiva que resuma
una característica de la muestra, tal como la media (x ) o la varianza ( 2
s ) calculada a partir
de los datos observados de una muestra aleatoria.
Es importante tener en cuenta, si el análisis estadístico se está haciendo con una muestra o
con una población. En ambos casos las medidas descriptivas son las mismas. Para
diferenciarlos, los parámetros de la población, se representan por letras griegas.
Variable
Es una característica que toma distintos valores cuando se observa en diferentes individuos.

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Se denomina variable estadística a una característica definida en la población por la tarea o
investigación estadística, que puede tomar dos o más valores (cualidades o números).
Se representa por una letra del alfabeto. Por ejemplo, en la población constituida por los
empleados de la universidad, algunas variables estadísticas definidas en ésta población son:
X: "Género". Valores: Masculino, Femenino
Y: "estado civil". Valores: Soltero, casado, viudo, divorciado
Z: "número de hijos", Valores: 0,1,2, etc.
W: "ingresos mensuales", Valores: Números reales positivos.
Ejemplo: El peso de un embarque, la rapidez de una impresora, el número de artículos
defectuosos que se elaboran en una fábrica, la calidad de café que se produce en Nicaragua,
etc.
Tipos de Variables
Las variables estadísticas se pueden clasificar por diferentes criterios. Según su medición existen
dos tipos de variables:
Variable cualitativa
Son aquellas que se ordenan en categorías debido a su carácter subjetivo y absoluto. Pueden
ser de dos tipos nominales y ordinales.
- Variables nominales
Los valores no pueden ser sometidos a criterios de orden o importancia. Ejemplo: “El sexo
de una persona”, La nacionalidad, etc.
- Variables ordinales
Las variables pueden tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala estadística.
Clasifica a los elementos en distintas categorías. . Ejemplo: Los estratos sociales, (baja,
media alta) La satisfacción al adquirir un artículo (No me gusta, es regular, bueno, muy
bueno, excelente).

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Variable cuantitativa
Son las que sus características están expresadas en valores numéricos. Se dividen en
continuas y en discretas.
- Variables continuas
Pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado. Resultan del proceso de
medición. Ejemplo; La estatura de una persona, los ingresos mensuales de los trabajadores,
el consumo de energía eléctrica en un centro de trabajo, la duración de una llamada telefónica,
Etc.
- Variables discretas
Los valores de las variables son enteros y resultan del proceso del conteo. Ejemplo: El
número de letras de una palabra, el número de estudiantes que asistieron hoy a clases, el
número de llamadas telefónicas registradas en un teléfono celular, etc.
Medición y escalas de medidas
La medición puede definirse como la asignación de números a objetos y eventos de acuerdo
con ciertas reglas; la manera como se asignan esos números determina el tipo de escala de
medición. Esto conduce a la existencia de diferentes tipos de escalas, por lo que el problema
se transforma en explicitar
a) las reglas para asignar números
b) las propiedades matemáticas de las escalas resultantes
c) las operaciones estadísticas aplicables a las medidas hechas con cada tipo de escala.
Las escalas de medición se clasifican en cuatro grupos: escala nominal, ordinal, intervalo
y escala de razón.
Escala nominal.
El nivel nominal de medición, describe variables de naturaleza categórica que difieren en
cualidad más que en cantidad. Ante las observaciones que se realizan de la realidad, es
posible asignar cada una de ellas exclusivamente a una categoría o grupo. Cada grupo o
categoría se denomina con un nombre o número de forma arbitraria, es decir, que se etiqueta

9
en función de los deseos o conveniencia del investigador. Este nivel de medición es
exclusivamente cualitativo y sus variables son por lo tanto cualitativas.
Por ejemplo, los sujetos que son del curso de A de 2º de eso y los de B generan dos grupos.
Cada sujeto se asigna a un grupo, y las variables son de tipo cualitativo (de cualidad) y no
cuantitativo puesto que indica donde está cada sujeto y no "cuanto es de un curso y no de
otro". En este ejemplo los números 2 y 3 pueden sustituir las letras A y B, de forma que 2 y
3 son simples etiquetas que no ofrecen una valoración numérica sino que actúan como
nominativos.
En esta escala hay que tener en cuenta dos condiciones:
No es posible que un mismo valor o sujeto esté en dos grupos a la vez. No se puede ser de 2º
y 3º a la vez. Por lo tanto este nivel exige que las categorías sean mutuamente excluyentes
entre sí. Los números no tienen valor más que como nombres o etiquetas de los grupos.
El concepto nominal sugiere su uso que es etiquetar o nombrar. El uso de un número es para
identificar. Un número no tiene mayor valor que otro. Un ejemplo son los números de las
camisetas de los jugadores de un equipo de béisbol. El número mayor no significa que tiene
el mayor atributo que el número menor, es aleatorio o de capricho personal a quien otorga el
número. Para el procesamiento de datos, los nombres pueden ser remplazados por números,
pero en ese caso el valor numérico de los números dados es irrelevante.
Los números se usan como identificadores o nombres. La operación matemática permitida
es el conteo.
Ejemplos de medidas nominales son algunas de estas variables: estado marital, género, raza,
credo religioso, afiliación política, lugar de nacimiento, el número de seguro social, el sexo,
los números de teléfono, entre otros.
Escala ordinal: Surge a partir de la operación de ordenamiento; en esta escala se habla de
primero, segundo, tercero. No se sabe si quien obtiene el primer puesto está cerca o lejos del
segundo puesto. Los valores de la escala representan categorías o grupos de pertenencia,
concierto orden asociado, pero no una cantidad mensurable. La escala ordinal tiene las
propiedades de identidad y magnitud. Los números representan una cualidad que se está
midiendo, y expresan si una observación tiene más de la cualidad medida que otra. La

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distancia entre puntos de la escala no es constante: no se puede determinar la distancia entre
las categorías, sólo es interpretable el orden entre sus valores. Ejemplos: situación
socioeconómica, nivel educativo.
Escala de intervalos. Esta escala representa magnitudes, con la propiedad de igualdad de la
distancia entre puntos de escala de la misma amplitud. Aquí puede establecerse orden entre
sus valores, hacerse comparaciones de igualdad, y medir la distancia existente entre cada
valor de la escala. El valor cero de la escala no es absoluto, sino un cero arbitrario: no refleja
ausencia de la magnitud medida, por lo que las operaciones aritméticas de multiplicación y
división no son apropiadas. Cumple con las propiedades de identidad, magnitud e igual
distancia. La igual distancia entre puntos de la escala significa que puede saberse cuántas
unidades de más tiene una UO comparada con otra, con relación a cierta característica
analizada. Por ejemplo, en la escala de temperatura centígrada puede decirse que la distancia
entre 25° y 30°C es la misma que la existente entre 20° y 25° C, pero no puede afirmarse que
una temperatura de 40° C equivale al doble de 20° C en cuanto a intensidad de calor se refiere,
debido a la ausencia de cero absoluto.
Escala de razón. Corresponde al nivel de medición más completo. Tiene las mismas
propiedades que la escala intervalos, y además posee el cero absoluto. Aquí el valor cero
no es arbitrario, pues representa la ausencia total de la magnitud que se está midiendo. Con
esta escala se puede realizar cualquier operación lógica (ordenamiento, comparación) y
aritmética. A iguales diferencias entre los números asignados corresponden iguales
diferencias en el grado de atributo presente en el objeto de estudio. Ejemplos: longitud, peso,
distancia, ingresos, precios.
Por ejemplo; el ingreso; el cero representaría que no recibe ingreso en virtud de un trabajo,
la velocidad; el cero significa ausencia de movimiento. Otros ejemplos de variables
racionales son la edad, y otras medidas de tiempo. En otras palabras, la escala de razón
comienza desde el cero y aumenta en números sucesivos iguales a cantidades del atributo
que está siendo medido.

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Resumen
Ejercicios
Ejercicios 1.1: Determine en cada una de las siguientes situaciones: la población y la
muestra.
Un fabricante de medicamentos desea conocer la proporción de personas cuya hipertensión
(presión alta) puede ser controlada por un nuevo producto fabricado por la compañía. Al
realizar un estudio a 5000 individuos hipertensos se obtuvo que el 80 % de ellos pudo
controlar su hipertensión utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que estas 5000
personas son representativas del grupo de pacientes hipertensos.
Ejercicios 1.2: Construya variables relacionadas con su carrera, 4 nominales, 4 ordinales, 4
continuas y 4 discretas.
Ejercicio 1.3: Indica qué variables son cualitativas (ordinal o nominal) y cuales cuantitativas
(continuas o discretas):
a) Censo anual de los nicaragüenses:
b) Temperaturas en grados Celsius registradas cada hora en un observatorio:
c) Tu comida favorita:
d) Cuántos goles ha marcados tu equipo favorito en la última temporada:
e) El color de los ojos de tus compañeros de clase:
Tipos de
variables
Cualitativas
Nominales
No orden
Ordinales
Existe orden
Cuantitativas
Continuas
No entero
Discretas
Entero

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f) Coeficiente intelectual de los alumnos de esta clase:
g) Asignatura favorita:
h) Cuántas acciones se han vendido hoy en la Bolsa:
i) Profesiones militares (tropa, suboficiales, oficiales, jefes, generales):
j) Duración del viaje en coche a ciudades de Nicaragua:
k) El diámetro de las ruedas de varios coches:
l) La nacionalidad de una persona:
m) Número de litros de agua contenidos en un depósito:
n) La calificación de un examen (suspenso, aprobado, notable, sobresaliente):
o) Número de libros en un estante de librería:
p) Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados:
q) La profesión de una persona:
r) Cuántos estudiantes se han matriculado en este curso:
s) La superficie de un edificio:
t) Puesto conseguido en una prueba deportiva (1º, 2º, 3º,…):
u) Número de hijos de 50 familias:
v) Medallas de una prueba deportiva (oro, plata, bronce):
Ejercicio. 1.4: Indique el nivel de medición de las siguientes variables. Teniendo en cuenta
que las variables se pueden clasificar en nominales, ordinales, de intervalo y razón:
a) Altura física en centímetros:
b) Estatus laboral (inexperto/semiexperto/experto):
c) Peso físico en Kilogramos:
d) Sexo:
e) Calidad percibida del cuidado proporcionado (excelente/bueno/suficiente/pobre):
f) Diagnóstico “sobrecarga del rol del cuidador”:
g) ¿Se puede bañar sólo?
h) Temperatura corporal:
i) Estado civil:
j) ¿Tiene alguna preferencia religiosa?
(católica/protestante/judía/islámica/protestante/otra):

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Distribución de frecuencias
Después de la recopilación de los datos, es necesario resumirlos y presentarlos en forma tal,
que faciliten su comprensión y su posterior análisis y utilización. Para ello, se ordenan en
cuadros numéricos y luego se representan en gráficos.
Todo cuadro numérico debe tener:
- Un título adecuado para evitar confusiones y para expresar brevemente su contenido.
- La fuente de los datos, si no son datos propios.
- Las unidades en que se expresan los datos.
Los cuadros numéricos de una sola variable estadística se denominan distribución de
frecuencias.
En el procedimiento para construir distribuciones de frecuencias nos referiremos a
muestras, mientras no se diga lo contrario.
Procedimiento a seguir en un estudio estadístico
Recogida de datos: Planteado el test o encuesta oportuno y recogidos los datos que
correspondan, el primer análisis que realizaremos es el del tipo de variable que pretendemos
estudiar (Cualitativa o Cuantitativa; Discreta o Continua). Esto condicionará en gran medida
su posterior tratamiento.
Organización de los datos: determinado el modo de agrupamiento de las observaciones,
procedemos a su recuento, construyendo la tabla de frecuencias. Posteriormente podremos
visualizar tales frecuencias de forma gráfica con el diagrama estadístico apropiado.
Análisis final: La obtención de muy diversas conclusiones respecto de la variable estudiada,
se podrá realizar con auxilio de los diferentes parámetros estadísticos (de centralización,
posición, dispersión, etc.)
Tabla para datos no agrupados
Frecuencias
Frecuencia absoluta (f): Para datos no agrupados en intervalos, es el número de veces que se presenta
cada valor de la variable. Si los datos se agrupan en intervalos, es el número de observaciones que
pertenecen a dicho intervalo.

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Frecuencia absoluta acumulada (fa): Para un cierto valor de la variable, la frecuencia absoluta
acumulada nos da el número de observaciones menores o iguales que dicho valor.
Frecuencia relativa (fr): Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones
(N).
Frecuencia relativa porcentual (fr%): Frecuencia relativa multiplicada por 100 (es la expresión de
las frecuencias en %).
Frecuencias relativas acumuladas (fra): Es la relación de la frecuencia acumulada de una clase
expresada respecto al total de observaciones
Ejemplo
Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba de matemáticas han sido:
15; 20; 15; 18; 22; 13; 13; 16; 15; 19; 18; 15; 16; 20; 16; 15; 18; 16; 14; 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias
xi Recuento
Frecuencia
Absoluta
(f)
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
porcentual
Frecuencia relativa
acumulada
(fra%)
13 III 3 3 320=0,15 0,15x100=15 0,15 15
14 I 1 3+1=4 120=0,05 0,05x100=5 0,15+0,05=0,2 20
15 IIIII 5 4+5=9 520=0,25 0,25x100=25 0,2+0,25=0,45 45
16 IIII 4 9+4=13 420=0,2 0,2x100=20 0,45+0,2=0,65 65
18 III 3 13+3=16 320=0,15 0,15x100=15 0,65+0,15=0,8 80
19 I 1 16+1=17 120=0,05 0,05x100=5 0,8+0,05=0,85 85
20 II 2 17+2=19 220=0,1 0,1x100=10 0,85+0,1=0,95 95
22 I 1 19+1=20 120=0,05 0,05x100=5 0,95+0,05=1 100
Σ 20 1 100
Tabla para datos agrupados
Pasos para la construcción de una tabla de distribución de frecuencias
1) Ordenar los datos de menor a mayor. Se puede usar el diagrama de tallo y hojas.
2) Calcular el rango. Para esto se resta al valor mayor menos el valor menor. Es decir
R = VM – Vm
3) Se determina el valor de K (número de clases o grupos que se desean) en caso de que
no dispongamos de este dato se puede usar la fórmula K = 1 + 3.32 log(n).

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4) Hallar el cociente
k
R
5) Determinar la amplitud del intervalo de clases C. C = U
k
R
TRUNCADO +)(
U significa las unidades decimales.
Otra manera de encontrar el valor de C es dividiendo R entre 5 y R entre 20. Después se
escoge un valor entre esos dos cocientes, preferiblemente entero impar siempre y cuando sea
posible. Esto es,
205
R
C
R
 (Lo anterior se debe a que no es aconsejable hacer tablas
con menos de 5 grupos ni mayor de 20. Cualquier cantidad de clases entre 5 y 20 es aceptable.
6) Construir la tabla de distribución de frecuencias Se toma el valor menor de los datos
como el límite inferior de la primera clase. Para calcular el límite superior se aplica
la fórmula
Nota 1: Para determinar los límites inferiores de las clases siguientes, sólo se le suma el valor
de C al límite inferior anterior. De igual manera se trabaja con los límites superiores. La
última clase debe contener al valor mayor de los datos.
Ejemplo1.
En una cooperativa de taxis de Managua se midió el rendimiento en el consumo de la gasolina
en km / gal, a 40 unidades. Los resultados fueron.
45 38,4 44,3 44,2 43,6 45,3 44,5 39,8 44,2 44,4
43,2 44,0 43,8 43,8 45,5 44,5 44,6 44 45,2 38,7
44,4 44.7 44,1 44,3 43,9 44,1 45,8 42,2 41,2 40,6
42,1 45,6 44,5 39,7 40,7 42,3 45,2 43,3 44,7 38,6
Si los datos tienen cero cifras decimales, se usa u =1
Si los datos tienen una cifra decimal, se usa u = 0,1
Si los datos tienen dos cifras decimales, se usa u = 0,01
LS = Li + C -- U

16
Agrupe estos datos en una tabla de distribución de frecuencias TDF que tenga 7 clases.
Paso 1. Diagrama de tallo y hojas.
Tallo hojas
38 4; 6; 7
39 7; 8
40 6; 7
41 2
42 1; 2; 3
43 2; 3; 6; 8; 8; 9
44 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 7
45 0; 2; 2; 3; 5; 6; 8
38,4 39,8 42,1 43,3 43,9 44,1 44,3 44,5 44,7 45,3
38,6 40,6 42,2 43,6 44,0 44,2 44,4 44,5 45,0 45,5
38,7 40,7 42,3 43,8 44,0 44,2 44,4 44,6 45,2 45,6
39,7 41,2 43,2 43,8 44,1 44,3 44,5 44,7 45,2 45,8
Paso 2. R = 45,8 – 38,4
R = 7,4
Paso 3. El valor de K= 7 clases (dato proporcionado en el ejercicio)
Paso 4. Cociente
𝑅
𝑘
=
7,4
7
= 1,05714286 Se trunca a una cifra decimal, queda en 1.0
Paso 5. C = 1.0 + 0.1 (ya que los datos tienen una cifra decimal u = 0.1) Resulta
C = 1.1

17
Paso 6.
Kilómetros por
galón de gasolina
Li LS
Cantidad de
vehículos
f
38,4 - 39,4 3
39,5 - 40,5 2
40,6 - 41,6 3
41,7 - 42,7 3
42,8 - 43,8 5
43,9 - 44,9 17
45,0 - 46,0 7
n =  f = 40
Para la primera clase, LS = 38,4+ 1,1 - 0,1 LS = 39.4 Se completa la tabla con la
información de la nota 1. (Ver página anterior)
Se procede ahora a calcular la frecuencia acumulada, frecuencia relativa, porcentaje de
frecuencia relativa, porcentaje de frecuencia acumulada, marca de clases y límites reales.
Frecuencia acumulada: Se encuentra sumando a la frecuencia de la clase, la frecuencia de
las clases anteriores.
Frecuencia relativa: Es la proporción de casos que hay en cada clase. Se encuentra
dividiendo la frecuencia de la clase entre el total de datos n.
Porcentaje de frecuencia relativa: Para hallar el porcentaje de frecuencia relativa, se
multiplica la frecuencia relativa por 100. . O sea:
fr =
n
f
%fr = fr x 100

18
Porcentaje de frecuencia acumulada: Se puede calcular acumulando el porcentaje de la
frecuencia relativa, o aplicando la expresión:
Marca de clases: Es el punto medio de la clase. Se representa por Xc Se encuentra aplicando
la fórmula
Límites reales: Para encontrar los límites reales se aplican las fórmulas:
y
Kilómetros
por galón de
gasolina
Li LS
Cantidad
de
vehículos
fi
fa fr %fr %fa Xc
Kilómetros
por galón de
gasolina
Lir Lsr
38.4 - 39.4 3 3 0.075 7.5 7.5 38.9 38.35 - 39.45
39.5 - 40.5 2 5 0.05 5 12.5 40 39.45 - 40.55
40.6 - 41.6 3 8 0.075 7.5 20 41.1 40.55 - 41.65
41.7 - 42.7 3 11 0.075 7.5 27.5 42.2 41.65 - 42.75
42.8 - 43.8 5 16 0.125 12.5 40 43.3 42.75 - 43.85
43.9 - 44.9 17 33 0.425 42.5 82.5 44.4 43.85 - 44.95
45.0 - 46.0 7 40 0.175 17.5 100 45.5 44.95 - 46.05
n =  f = 40 1 100
En este ejemplo, los datos tienen una cifra decimal, por eso se toma u = 0.1
Interpretación de la quinta clase:
Puede observarse que hay una frecuencia de 5 vehículos que tienen un rendimiento de 42.8
a 43,8 kilómetros por galón de gasolina, esto equivale al 12,5% de las unidades en estudio.
%fa =,
n
fa
x 100
xC =
2
LSLi +
Lir = Li -
2
U
Lsr = Ls +
2
U

19
En relación a la frecuencia acumulada, hay 16 unidades cuyo rendimiento es menor o igual
a 43,8 kilómetros por galón. Dicho de otra manera, el 40%de las unidades estudiadas
reflejan un rendimiento menor o igual a 43,8 kilómetros por galón.
Ejercicio 1.5
Construya una tabla de frecuencias para la edad en años cumplidos de 40 estudiantes de
nuevo ingreso de la FAREM-Estelí.
21 20 19 23 22 19 16 22 24 17
19 18 20 27 20 23 18 19 17 24
18 19 21 25 23 21 22 20 17 23
22 20 19 26 18 20 18 17 22 21
Tipos de Gráficos
Un gráfico (o gráfica) es el recurso de representar los datos numéricos por medio de líneas,
diagramas, dibujos, etc. La representación
gráfica es un importante suplemento al análisis
y estudio estadístico.
Los gráficos llaman la atención del lector y
hacen que de un vistazo éste tenga una mayor
comprensión de los datos. Un buen gráfico
puede captar al lector para que a continuación
lea todo el estudio. Si un estudio se compone
únicamente de texto y tablas, posiblemente no todos los lectores lean el estudio.
Técnicas de representación gráfica El uso de gráficas permite al observador, tener una
apreciación de manera rápida sobre los altibajos de la gráfica, para analizar luego, las causas
posibles del comportamiento de la misma.
Regla de los ¾ de altura.
Se aplica la ecuación Y = ¾ x

20
Por ejemplo si el eje X mide 12 cm, entonces el eje Y mide ¾ de (12) = 9 cm.
Con los datos de la tabla de distribución de frecuencias se pueden construir:
1) Histograma de frecuencias
Consiste en una serie de rectángulos continuos cuya base en el eje x está determinada por los
límites reales y la altura de cada barra, es la frecuencia absoluta de la clase.
2) Polígono de frecuencias
Es un diagrama formado por segmentos de recta que une los puntos de las alturas
(frecuencia de cada clase) Para graficar se escriben en el eje X, las marcas de clase
y en el eje Y las frecuencias.
3
2
3 3
5
17
7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
38.35 39.45 40.55 41.65 42.75 43.85 44.95
Unidadesdetaxi
Km / Galón
Rendimiento de la gasolina
Coop. de Taxis de Managua
I semestre 2016

21
3) Polígono de frecuencia acumulada
Es un diagrama donde se ubican los límites reales superiores en el eje X y la
frecuencia acumulada en el eje Y .La línea que se forma solamente crece.
Los gráficos fueron construidos con el programa EXCEL
3
2
3 3
5
17
7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
38.9 40 41.1 42.2 43.3 44.4 45.5
Unidadesdetaxi
Km. / galón
I semestre 2016
3
5
8
11
16
33
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
39.45 40.55 41.65 42.75 43.85 44.95 46.05
Unidadesdetaxi
Km / galón
I Semestre 2016

22
Otros Gráficos
En una gráfica de barras los datos de cada una de las modalidades iC se representan por
una barra rectangular vertical (u horizontal), cuya altura (o largo) es proporcional a su
frecuencia. Las barras se dibujan dejando un espacio entre ellas.
Si la escala es nominal las categorías pueden ser colocadas en cualquier orden. Pero, si el
nivel es ordinal las categorías deben ir ordenadas.
En una gráfica circular, los datos de cada categoría iC se representan por un sector circular
cuyo ángulo en el centro es igual a hi360.
Si la gráfica por sectores circulares es tridimensional es denominada de pastel.
Ejemplo:
En una encuesta de opinión acerca de las preferencias de una marca de bebida gaseosa por
sus colores: Negro (N), Blanco (B), Rojo (R), 20 consumidores dieron las siguientes
respuestas:
B, N, N, B, R, N, N, B, B, N,
B, N, N, R, B, N, B, R, B, N.
Construir la distribución de frecuencias. Graficar la distribución
SOLUCION.
La tabulación de estos datos, donde la variable cualitativa es X: Color de bebida gaseosa, es
la distribución de frecuencias del cuadro 1.2.
La figura 1.1 es la representación gráfica por medio de barras de la distribución de personas
por el color de su bebida gaseosa preferida.
.

23
Cuadro 1.2. Distribución de personas por su color
preferido de una marca de bebida gaseosa.
Valores de Frecuencias Frecuencias Frecuencias
X Absolutas: if Relativas: ih Porcentajes:
ip
Negro (N) 9 0,45 45
Blanco (B) 8 0,40 40
Rojo (R) 3 0,15 15
Total 20 1,00 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Negro Blanco Rojo
Personas
0.45
0.40
0.15
Fig. 1.1 Gráfica de barras
La figura 1.2 es la representación mediante gráfica de sectores circulares del cuadro 1.2.
La frecuencia 45% es equivalente a 0 45 360 162.  = , la frecuencia 40% es equivalente a
0 40 360 144.  = , y la frecuencia 15% es equivalente a 0 15 360 54.  = 

24
B
15%
45%
40%
N
R
Fig. 1.2 Gráfica circular
Gráfica de barras agrupadas
Si se trata de comparar solamente las componentes o las frecuencias en cada modalidad, se
puede utilizar un gráfico de barras agrupadas. En cada modalidad se trazan tantas barras
adjuntas como componentes hay. Por ejemplo, la figura 1.3 representa las frecuencias de
cada componente en cada modalidad del cuadro 1.9.
0
5
10
15
20
25
30
1975 1980 1985 1990
Hombres
Mujeres
Fig. 1.3. Población de una ciudad de 1975 a 1990
Gráfica de barras componentes
a) Si se quiere resaltar a la vez el total y las frecuencias de cada componente en cada
modalidad, entonces, conviene utilizar un gráfico de barras componentes como el de la
figura 1.4. En cada modalidad se traza una barra cuyo largo es proporcional al total de sus
datos. La gráfica 1.14 de barras componentes, del cuadro resume la variación de la
población de una ciudad desde 1975 hasta 1990, resaltando el total y los parciales en cada
modalidad.

25
0
10
20
30
40
50
1975 1980 1985 1990
Mujeres
Hombres
Fig. 1.4. Población de una ciudad de 1975 a 1990
b) Si se trata de destacar la importancia relativa de sus componentes, se puede utilizar un
gráfico, como la figura 1.15, donde todas las barras son de igual longitud y equivalentes al
100% en cada categoría.
El cuadro, tiene los mismos datos del cuadro, sólo que ahora se consideran los porcentajes o
valores relativos, en vez de los valores absolutos.
Cuadro. Población (en %) de una ciudad de 1975 a 1990
Año Hombres Mujeres Total
1975 32,0 68,0 100
1980 37,5 62,5 100
1985 25,0 75,0 100
1990 40,0 60,0 100
La proporción de cada componente respecto al total en cada categoría, se representa en
la figura 1.5.

26
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1975 1980 1985 1990
Mujeres
Hombres
Fig. 1.5. Población de una ciudad de 1975 a 1990 en porcentajes
Cuando se utilizan figuras de igual tamaño para reflejar la característica que se quiere
representar, al gráfico estadístico, se denomina pictografía. En una pictografía el número de
figuras en cada categoría o modalidad es proporcional a la frecuencia absoluta respectiva.
Existe otra gran variedad de gráficas o diagramas para mostrar datos ó para mostrar
relaciones entre varios grupos de datos. Aquí la imaginación del dibujante juega un papel
muy importante.
Ejercicio 1.6
Se realiza un estudio para conocer el número de computadoras que hay en cada vivienda del
municipio de Ocotal, Nueva Segovia y se obtienen los siguientes datos:
0, 1, 2, 4, 2, 2, 0, 0, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 4,
2, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1
Construye un diagrama de barras, con la información dada.
Ejercicio 1.7
Los puntos obtenidos por los jugadores de dos equipos de baloncesto han sido los siguientes:
9 12 6 11 19 5 8 13 2 8 5 12 0 9 4 15 18 10 6 16
Construye el histograma asociado a dichos datos tomando las puntuaciones en intervalos de
5 puntos.
Ejercicio 1.8

27
La superficie arbolada afectada por incendios forestales en España, para el período 2005-
2014, se da en la siguiente tabla:
Representa mediante un polígono de frecuencias la
superficie arbolada afectada por los incendios.

28
Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central tienden a ocupar la parte central de la distribución de datos.
Entre ellas tenemos la media aritmética, mediana y moda, y pueden ser calculadas tanto para
datos no agrupados como para datos agrupados.
Datos no agrupados
• Media aritmética:
Es el promedio de los valores de las observaciones, es decir, se suman los datos y se divide
entre el número de datos. En símbolo, se escribe así:
n
x
X
=
Ejemplo 2.
Dado el conjunto de datos 3, 5,, 7, 4, 8, 4, 9, 6, 7, 4, 9
n
x
X
=
11
94769484753 ++++++++++
=X
11
66
=X X = 6
• Mediana:
Es el puntaje central de la distribución de datos. Esto es que el 50% de los valores de la
muestra se encuentra por encima del valor de la mediana y el otro 50%, se encuentra por
debajo de ella.
Para calcular la mediana se busca el valor que se encuentra en el centro de los datos ordenados
de menor a mayor. Si el número de datos (n) es impar, quedará un número solo en el centro.
Ese valor es la mediana. Pero si (n) es par, quedarán dos valores centrales., entonces se
promedian los dos valores y el resultado es el valor de la mediana.
Ejemplo 3.
Primero se ordena de menor a mayor.
3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9 La mediana es Me = 6
Ejemplo 4.

29
La mediana para el conjunto de datos 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 es
2
76 +
Me = 6.5ya que n es
par.
• Moda
De una serie de datos es el valor que ocurre con mayor frecuencia. Es decir, es el dato más
repetido.
La moda de una serie de datos es el valor Mo , que se define como el dato que más veces
se repite.
La moda no siempre existe y si existe, no siempre es única.
En matemática, la moda es el valor de la variable en el que existe un máximo absoluto (o dos
o más máximos relativos iguales).
La moda es una medida promedio que se usa cuando se quiere señalar el valor más común
de una serie de datos. Por ejemplo, los comerciantes se estoquean con productos que están
de moda.
La moda es el promedio menos importante debido a su ambigüedad.
Ejemplo5.
Se repiten tres valores el 4, el 7 y el 9. Pero el 4 se repite más veces por tanto la moda es
Mo = 4.
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1.9
Calcular la mediana para las siguientes series de datos.
a) 120, 3, 14, 1, 99, 7, 30, 2,000, 16
b) 30, 77, 3, 300, 36, 11, 10,000, 29
Ejercicio 1.10

30
Determine la moda en la siguiente serie de datos:
a) 7, 9, 7, 8, 7, 4, 7, 13, 7
b) 5, 3, 4, 5, 7, 3, 5, 6, 3
c) 31, 11, 12, 19
Ejercicio 1.11
Calcular la media aritmética de la distribución del número de hijos por familia, según la tabla
presentada
Valores de X frecuencias Productos
xi fi f xi i
0 1 0
1 4 4
2 7 14
3 6 18
4 2 8
Total 20 44
Calcular la moda de los 45 ingresos quincenales

31
Datos agrupados
• Media
n
fX
X
c=
• Mediana Me = Lir + C
f
Af
n
c
a
.2










−
• Moda Mo = Lir + C.
21
1






+

Donde:
Lir: Es el límite inferior real
n: Es el tamaño de la muestra
fc: Frecuencia de la clase
faA: Frecuencia acumulada
anterior
C: Amplitud del intervalo de clase
:1 Se resta la mayor frecuencia
menos la frecuencia de la clase
anterior.
:2 Se resta la mayor frecuencia
menos la frecuencia de la clase
siguiente.
Ejemplo 6. Calcular la media aritmética, mediana y moda con los datos del ejemplo (1) sobre
el combustible de la cooperativa de taxis de Managua.
Lir Lsr f fa Xc fXc
38,35 39,45 3 3 38,9 116,7
39,45 40,55 2 5 40,0 80
40,55 41,65 3 8 41,1 123,3
41,65 42,75 3 11 42,2 126,6
42,75 43,85 5 16 43,3 216,5
43,85 44,95 17 33 44,4 754,8
44,95 46,05 7 40 45,5 318,5
Total 1 736,40

32
a) Media
n
fX
X
c= 𝑋̅ =
1 736,40
40
X = 43.41 kilómetros por galón
b) Mediana: Se encuentra en la primera clase de arriba hacia abajo cuya frecuencia
acumulada es mayor o igual que la mitad de los datos de la muestra
2
n
o sea =
2
n
2
40
= 20 Se encuentra en la sexta clase.
Me = 43,85 + )1.1.(
17
1620



 −
Me = 44,10kilómetros por galón
c) Moda: Se encuentra en la clase que tiene la mayor frecuencia.
:1 = 17 – 5 = 12 y :2 = 17 – 7 = 10 Mo = Lir + C.
21
1






+

Mo = 43,85 + )1.1.(
1012
12




+
= 44,45 Mo = 44,45 kilómetros por galón
Se puede concluir que el rendimiento promedio en el combustible es de 43.41 kilómetros por
galón, que el 50% de las unidades muestreadas refleja un rendimiento menor o igual a 44.10
y el otro 50%mantiene un rendimiento superior a 44.10, kilómetros por galón y que el
rendimiento más repetido es de 44.45 kilómetros por galón.
Ejercicio 1.12
Calcular la mediana, moda y media aritmetica para la muestra de los 45 ingresos quincenales
tabulados en la siguiente tabla:

33
Ingresos Número de personas Frec. acumuladas
iI if iF
[26,34[ 1 1
[34,42[ 2 3
[42,50[ 4 7
[50,58[ 10 17
[58,66[ 16 33
[66,74[ 8 41
[74,82[ 3 44
[82,90] 1 45
Total 45
Ejercicio 1.13 Calcular la media aritmética de la distribución del número de hijos por familia
Valores de X frecuencias Productos
xi fi f xi i
0 1 0
1 4 4
2 7 14
3 6 18
4 2 8
Total 20 44

34
Formas de la distribución
Muchas distribuciones de variables continuas se pueden representar de manera gráfica
mediante una curva en forma de campana.
Simétrica:
Se dice que una distribución es simétrica, si se puede doblar a lo largo de un eje vertical de
modo que los lados coincidan. En este caso la media, mediana y la moda coinciden con el eje
de simetría. El sesgo es igual a cero.
X = Me = Mo
Asimétrica
Si la curva no es simétrica se dice que es sesgada, ya sea positiva o negativamente.
• Una distribución es “sesgada a la derecha” o tiene asimetría positiva, si Mo
< Me < X
Mo < Me < X
• Una distribución es “sesgada a la izquierda” o tiene asimetría negativa, si
X < Me< Mo
X < Me< Mo
Respecto al problema (el caso de la gasolina) la media es menor que la mediana y menor que
la moda, por tanto tiene una asimetría negativa.

35
Medidas de variabilidad o dispersión
Datos agrupados.
a) La varianza: La varianza se calcula mediante la fórmula S2
=
( )
1
2
1
−
−=
n
XXf
n
u
c
b) Desviación estándar:
Es la raíz cuadrada de la Varianza. S =
2
S
c) Coeficiente de variación:
Se calcula mediante la fórmula CV = 100x
X
S
Es útil siempre que no será mayor del 20%.
d) Coeficiente de asimetría. Sesgo =
( )
S
MX e−3
Ejemplo 7. Con los datos del problema (6), calcular:
a) La varianza
b) La desviación estándar
c) El coeficiente de variación
d) El coeficiente de asimetría.
Lir Lsr f fa Xc fXc ( Xc- X) ( Xc- X)2
f ( Xc- X) 2
38,35 39,45 3 3 38,9 116,7 -4,51 20,3401 61,0203
39,45 40,55 2 5 40,0 80,0 -3,41 11,6281 23,2562
40,55 41,65 3 8 41,1 123,3 -2,31 5,3361 16,0083
41,65 42,75 3 11 42,2 126,6 -1,21 1,4641 4,3923
42,75 43,85 5 16 43,3 216,5 -0,11 0,0121 0,0605
43,85 44,95 17 33 44,4 754,8 0,99 0,9801 16,6617
44,95 46,05 7 40 45,5 318,5 2,09 4,3681 30,5767
Total 40 1 736,40 151,9760

36
a) S2
=
( )
1
2
1
−
−=
n
XXf
n
u
c
S2
=
39
9760.151
S2
= 3.8968
b) S =
2
S S = 8968.3 S = 1.97 km. por galón.
c) CV = 100x
X
S
CV = 100
41.43
97.1
x Cv = 4.54 %
d) Sesgo =
( )
S
MX e−3
Sesgo =
( )
97.1
10.4441.433 −
Sesgo = - 1.05
Interpretación:
La desviación estándar: La dispersión que presentan los datos es de 1,97 kilómetros por
galón, con respecto al rendimiento promedio.
El coeficiente de variación: Representa en términos porcentuales la relación de la
desviación estándar con respecto a la media, es decir, que los datos se desvían respecto a la
media aritmética en un 4,54 %
Coeficiente de asimetría o Sesgo: Nos da un valor negativo lo que comprueba el análisis
anterior, puesto que los datos tienen una mayor frecuencia al final de la distribución. Tiene
asimetría negativa.
EJERCICIO (1)
1) En la zona baja de Managua hay 27 pozos para suministrar agua a la ciudad Capital.
Los caudales de dichos pozos se miden en galones por minuto. (GPM) y sus
mediciones son las siguientes.
800 2200 1212 1200 2230 1115 1100 511 1100
1000 800 800 1000 1200 800 750 710 700
1200 600 550 450 400 380 350 1200 1000

37
a) Agrupe estos datos en una tabla de distribución de frecuencias TDF que
tenga 6 clases.
b) Calcular la media, mediana y moda
c) Calcular la varianza y la desviación estándar
d) Trazar el histograma de frecuencias.
2) Los datos son mediciones de la intensidad solar directas (en Watts / m2
) realizados en
diferentes días en una localidad.
562 869 708 775 704 775 809
856 655 806 878 909 918 558
768 870 918 940 946 661 820
898 935 952 957 693 835 905
tenga 5 clases.
d) Trazar el polígono de frecuencias.
3) Los contenidos de nicotina, en miligramos de 40 cigarrillos de cierta marca son:
1.09 1.79 2.03 1.63 1.69 0.85 1.64 1.51
1.74 1.37 1.86 2.31 1.88 2.17 1.75 1.82
1.58 1.75 0.72 1.97 1.40 1.68 2.28 1.67
2.11 1.92 2.46 1.70 2.37 1.85 1.24 2.09
1.64 1.47 1.93 1.90 1.79 2.08 2.55 1.69
tenga 6 clases.

38
d) Trazar el polígono de frecuencia acumulada.
4) En la redacción de un diario, el tiempo requerido para formar la página completa fue
registrada durante 50 días. El dato redondeado a la décima de un minuto más cercana
se da a continuación.
20.8 22.8 21.9 22 20.7 20.9 25 22.2 22.8 20.1
25.3 20.7 22.5 21.2 23.8 20.9 22.9 23.3 23.5 19.5
23.7 20.3 23.6 19 25.1 19.5 24.1 24.2 25 21.8
21.3 21.5 23.1 19.9 24.2 24.1 19.8 23.9 22.8 22.7
19.7 24.5 23.8 20.7 23.8 24.3 21.1 20.9 21.6 22.7
tenga 7 clases.
b) Interprete la quinta clase.
5) Los precios en dólares de un repuesto para computadora en una ciudad son:
32 38 42 39 41 35.4
47.8 40 36.7 38.3 36.7 41.5
39.6 41.52 15.7 43.6 39.4 45.6
49.4 48 43.7 42.6 45.6 44
48.6 34.2 31.2 47.6 43.5 30.4
a) Construya una tabla de distribución de frecuencias.
b) Interprete la frecuencia absoluta y acumulada de la cuarta clase.
c) Interprete el porcentaje de frecuencia relativa y el porcentaje acumulado de la
clase de mayor frecuencia.

39
Medidas de posición
• Deciles: Son valores posicionales que dividen a la información en diez partes iguales.
El primer decil deja 10% de la información por debajo de él y el 90% por encima de
él. Los deciles se representan por Di donde i = 1, 2, 3, . . . 10
• Cuartiles: Son valores posicionales que dividen a la información en cuatro partes
iguales, el primer cuartil deja el 25% de la información por debajo y el 75% por
encima. El segundo cuartil al igual que la mediana divide a la información en dos
partes iguales. Por último, el tercer cuartil deja 75% por debajo y el 25% por encima.
Los cuartiles se representan por Qi donde i= 1, 2, 3, 4.
• Percentiles: Son valores posicionales que dividen a la información en cien partes
iguales. Los percentiles se representan por Pi donde 1 < i < 100.
Representación gráfica
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10
P 10% 20% 30% 40% 60% 70% 80% 90%
100%
Q1 Q2 Q3
25% 50% 75%
Deciles Di = Lir + C
f
Af
in
c
a
.10










−
Cuartiles Qi = Lir + C
f
Af
in
c
a
.4










−

40
Percentiles Pi = Lir + C
f
Af
in
c
a
.100










−
Ejemplo 8. Con los datos de la tabla del ejemplo (7);
Lir Lsr f fa
38,35 39,45 3 3
39,45 40,55 2 5
40,55 41,65 3 8
41,65 42,75 3 11
42,75 43,85 5 16
43,85 44,95 17 33
44,95 46,05 7 40
Total 40
Calcular:
a) El decil 2 d) Percemtil 10
b) Cuartil 1 e) Percentil 90
c) Cuartil 3
a) Di = Lir + C
f
Af
in
c
a
.10










−
D2 = 40.55 + )1.1.(
3
5
10
)40(2










−
D2 = 41.65

41
b) Qi = Lir + C
f
Af
in
c
a
.4










−
Q3= 43.85 + )1.1.(
17
16
4
)40(3










−
Q3 = 44.76
c) Qi= Lir + C
f
Af
in
c
a
.4










−
Q1= 41.65 + )1.1.(
3
8
4
)40(1










−
Q1 = 42.38
d) Pi = Lir + C
f
Af
in
c
a
.100










−
P10 = 39.45 + )1.1.(
2
3
100
)40(10










−
P10 = 40.00
e) Pi = Lir + C
f
Af
in
c
a
.100










−
P90 = 44.95 + )1.1.(
7
33
100
)40(90










−
P90 = 45.42
Interpretación:
El D2 significa que el 20% de los datos de la muestra, tienen un rendimiento de 41.65 km
por galón o menos. El Q1indica que el 25% de los datos de la muestra tienen un rendimiento
menor o igual a 42.38 km por galón. De manera similar se interpretan las otras medidas.
Coeficiente de curtosis (K)
Otra manera de medir la forma de la distribución es con la curtosis, la cual nos dice qué tan
puntiaguda es la gráfica de una distribución y se presenta en tres tipos:
Platicúrtica: La forma geométrica es aplanada
Mesocúrtica: Tiene una forma que no es ni aplanada ni puntiaguda. Leptocúrtica: La forma
geométrica es puntiaguda o esbelta.

42
Platicúrtica Mesocúrtica Leptocúrtica
K =
1090 PP
Q
−
Q =
2
13 QQ −
Q =
2
38.4276.44 −
Q = 1.19
K =
4042.45
19.1
−
K = 0,2195A Q se le conoce como rango semi intercuartil.
Ejemplo 9.La siguiente distribución de frecuencia representa el tiempo promedio en minutos
que 20 clientes de un banco, llevan a cabo una transacción bancaria.
Tiempo en
minutos
Li Ls
Lir Lsr
Cantidad de
clientes (f)
Tiempo
promedio
3
4 2,1
6
3
2 6,0
2
Total 20
a) Completar la tabla de distribución de frecuencias.
b) Calcular la desviación estándar S e interpretarla.
c) ¿Qué porcentaje de clientes realizó su transacción bancaria entre 1.95 y 5.50 minutos.
2,1 + C + C + C = 6,0 3C = 6,0 – 2,1 = 3,9 C = 1,3
Lir = Xc -
2
C
Se usa para calcular el límite inferior real.

43
Lsr = Xc +
2
C
Se usa para calcular el límite superior real.
a)
Li Ls Lir Lsr f Xc fa fXc Xc - X (Xc - X)2
f (Xc - X)2
0,2 1,4 0,15 1,45 3 0,8 3 2,4 -2,795 7,812 23,436
1,5 2,7 1,45 2,75 4 2,1 7 8,4 -1,495 2,235 8,9401
2,8 4,0 2,75 4,05 6 3,4 13 20,4 -0,195 0,038 0,2282
4,1 5,3 4,05 5,35 3 4,7 16 14,1 1,105 1,221 3,6631
5,4 6,6 5,35 6,65 2 6 18 12 2,405 5,784 11,568
6,7 7,9 6,65 7,95 2 7,3 20 14,6 3,705 13,727 27,454
20 Σ 71,9 Σ 75,29
b)
Media aritmética
n
fX
X
c=
20
9.71
=X X = 3,595 minutos
La varianza S2
=
( )
1
2
−
−
n
XXf c
S 2
= 3,9626 S = 1,9906 minutos
c) Pi = Lir + C
f
Af
in
c
a
.100










−
1.95 está en la segunda clase y 5.50 en la quinta.
1,95 = 1.45 + )3.1.(
4
3
100
)20(










−
i
i = 22.69 %
5.50 = 5.35 + )3.1.(
2
16
100
)20(










−
i
i = 81.15 %
Por tanto el porcentaje es 81.15% – 22.69 % = 58.46%

44
Interpretación
Inciso (b) El tiempo promedio que los clientes se tardan en realizar sus transacciones
bancarias es de 3.595 minutos con una desviación estándar de 1.99. Esto quiere decir que la
variación de los tiempos que se tardan los clientes en realizar sus operaciones bancarias es
de 1.99 minutos con respecto al tiempo promedio.
Inciso (c) El 58.46 % de los clientes se tardan entre 1.95 y 5.50 minutos en realizar las
operaciones bancarias.
EJERCICIO (2)
1) Una compañía de computadoras recopiló datos con respecto al tiempo (en minutos)
que requerían cada uno de los 40 vendedores para realizar una venta. La siguiente
tabla representa la distribución de tiempo requerido por vendedor.
Li Ls F fr
1 10 0.075
11 20 1
21 30 4
31 40
41 50 2
51 60 0.375
61 70 0.225
71 80 5
a) Completar la tabla
b) Calcular el coeficiente de asimetría
c) Calcular el coeficiente de curtosis
d) Interpretar la forma de la distribución.
2) Una fábrica de cremalleras manufactura 15 productos básicos. La compañía tiene
registros del número de elementos de cada producto fabricado al mes con el fin de

45
examinar los niveles relativos de producción. A partir de los datos obtenidos, la
dirección de la Compañía construyó la siguiente tabla.
Clases frecuencia
9,700 9,899 3
9,900 10,099 8
10,100 10,299 2
10,300 10,499 0
10,500 10,699 2
a) ¿Qué nivel de producción excedió el 75% de sus productos durante ese mes?
b) ¿Qué nivel de producción excedió el 90% de sus productos durante ese mes?
c) Analice la forma de la distribución.
3) La responsable de la biblioteca de una Universidad ordenó un estudio del tiempo que
un estudiante tiene que esperar (en minutos) para que le sea entregado el libro
solicitado para consulta. Se tomó una muestra a 20 estudiantes en un día normal. Los
datos fueron:
12, 16, 11, 10, 14, 3, 11, 17, 9, 18, 16, 4, 7, 14, 15, 16, 5, 6, 7, 7
a) Hallar la media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana y moda.
b) ¿Cuánto tiempo máximo se debe suponer que el 75 % de los estudiantes debe esperar
para obtener su libro de consulta?
8- Gráficas para datos que representan variables ordinales o nominales.
1- Diagramas de barras
Se elabora mediante la utilización de barras rectangulares de ancho igual y con la misma
distancia de separación entre una y otra. Puede ser simple o compuesto.
Ejemplo 10.
La tabla siguiente muestra los datos sobre las preferencias de algunos deportes como
Baloncesto, fútbol, natación y atletismo, para hombre y mujeres.

46
Hombres % Mujeres %
Baloncesto 6 31.58 13 68.42
Fútbol 15 78.95 4 21.05
Natación 11 57.89 8 42.11
Atletismo 8 42.11 11 57.89
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Baloncesto Fútbol Natación Atletismo
Cant.deatletas
Disciplina
Preferencia de algunos deportes
según el sexo
Homres
mujeres

47
2- Diagrama Circular con los datos del ejemplo 10.
Ejemplo 11. El Banco Central de Nicaragua registró las exportaciones en el período
2001 - 2004 (en millones de dólares)
Exportaciones
Rubro 2001 2002 2003 2004
Café 103 74 86 124
Carne 66 78 84 110
Mariscos 76 79 69 88
Oro 30 35 35 47
Azúcar 49 29 26 29
.
Baloncesto
15%
Fútbol
37%
Natación
28%
Atletismo
20%
Preferencia por algunos deportes
según el sexo

48
0
20
40
60
80
100
120
140
2001 2002 2003 2004
MIllones$
Años
Exportaciones de Nicaragua Fuente:
Banco Central de Nicaragua
Café
Carne
Marisco
Oro
Azúcar

49
Unidad II. Probabilidades
Objetivos de la Unidad
Objetivos Conceptuales
▪ Explicar el concepto y las diferentes definiciones de probabilidad
▪ Explicar los conceptos de variable aleatoria y función de distribución
Objetivos Procedimentales
▪ Aplicar el concepto y las diferentes definiciones de probabilidad en la resolución de
ejercicios.
▪ Aplicar el concepto de variable aleatoria y establecer su correspondiente distribución
de probabilidad.
Objetivos Actitudinales
▪ Valorar la importancia de la probabilidad y sus aplicaciones en su entorno.
▪ Ser consciente de la utilidad de las propiedades de la probabilidad para resolver
diferentes situaciones relativas al entorno social.
Contenidos Conceptuales Contenidos Procedimentales Contenidos Actitudinales
Concepto y diferentes
definiciones de
probabilidad,
Variables aleatorias
Fenómenos aleatorios,
determinísticos, espacios
muéstrales finitos y
enumeración, eventos o
sucesos. Incertidumbre,
posibilidad, evolución
histórica del concepto de
probabilidad. Relación y
diferencia entre
Aplicación del concepto y
de las diferentes
definiciones de probabilidad
en la resolución de ejercicios
y problemas de la vida
cotidiana.
Aplicación del concepto de
variable aleatoria en la
resolución de ejercicios y
problemas de la vida
cotidiana.
Diagramación de árbol,
principio de Multiplicación,
Valoración de la
importancia de la
probabilidad como
herramienta para la solución
de problemas de su entorno
social.
Concientización sobre la
importancia de la
probabilidad como
herramienta para la solución
de problemas de su entorno
social.

50
Contenidos Conceptuales Contenidos Procedimentales Contenidos Actitudinales
probabilidad y estadística.
Definición de probabilidad:
subjetiva, clásica o de
Laplace, frecuencial o
empírica, axiomática. Ley
de los grandes números.
Concepto de variable
aleatoria y función de
distribución. Variables
aleatorias discretas y
continuas, media y varianza.
Distribución Bernoulli y
Binomial.
Distribución Normal.
permutaciones,
combinaciones. Definición
subjetiva, clásica,
frecuencial y axiomática de
probabilidad, espacio de
probabilidad. Regla aditiva
de Probabilidad.
Probabilidad condicional e
independencia de sucesos.
Regla multiplicativa de
probabilidad. Teorema de
Bayes
Experimentos probabilístico
Binomial, distribución
Binomial. Distribución
Normal.
Participación activa en las
distintas formas
organizativas del proceso
enseñanza aprendizaje
basada en la cooperación
grupal
Introducción:
Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, en algún momento se deben tomar
decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá que hacerse sin conocer todas las
consecuencias de tales decisiones. Por ejemplo, los inversionistas deben decidir sobre la
conveniencia de invertir en una acción en particular, con base a las expectativas sobre
rendimientos futuros. Los empresarios, al decidir comercializar un producto, enfrentan la
incertidumbre sobre la posibilidad de éxito.
En la actualidad, vemos que la teoría de las probabilidades ocupa un lugar importante en
asuntos de negocios. La póliza de seguros de vida, por ejemplo, se basa en tablas de
mortalidad y éstas a su vez, se basan en la teoría de las probabilidades. Otras tasas de seguros
tales como seguros de bienes raíces y de automóviles se determinan de manera similar. La

51
probabilidad también juega un papel importante en la estimación del número de unidades
defectuosas en un proceso de fabricación.
La probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar, las venta potenciales de un nuevo
producto, los apostadores profesionales, un evento deportivo, etc son ejemplos de aplicación
de la teoría de las probabilidades.
Definiciones
Probabilidades
Se define probabilidades como el estudio de experimentos aleatorios o de libre determinación
Experimento
En estadística la palabra experimento se utiliza para describir un proceso que genera un
conjunto de datos cualitativos o cuantitativos. En la mayoría de los casos, los resultados del
experimento dependen del azar, por lo tanto no pueden pronosticarse con exactitud.
Experimento aleatorio
Definición. Un experimento aleatorio es todo proceso que consiste de la ejecución de un
acto (o prueba) una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en
consecuencia no se puede predecir con certeza.
Ejemplos 1, son experimentos aleatorios: lanzar un dado y observar el resultado, contar
objetos defectuosos producidos diariamente por cierto proceso, aplicar una encuesta para
obtener opiniones, etc.
Experimento no aleatorio
Son aquellos en donde el resultado sí puede predecirse con toda certeza
Ejemplo 2. En condiciones normales elevamos la temperatura del agua a 100 grados en la
escala centígrada, de hecho sabemos que se evaporará.
Ejemplo 3. Tomamos un dado y marcamos con un mismo número en todas sus caras, al
lanzarlo sabemos con toda seguridad cuál número va a caer.

52
Espacio Muestral
Definición. Se denomina espacio muestral al conjunto que consiste de todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio. Este conjunto se denotará por S.
Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral. A
cada elemento del espacio muestral se denomina también punto muestral. Esto es, el espacio
muestral se describe por
𝑆 = { 𝑥
𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙}
Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos es posible enlistar a todos estos,
y si el número de elementos es grande o infinito el espacio muestral se describirá mediante
un enunciado o regla.
Ejemplo 4.
A continuación se dan algunos experimentos aleatorios y sus correspondientes espacios
muéstrales:
1) El experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado obtenido, es de una
sola prueba, cuyo espacio muestral se puede escribir como el siguiente conjunto de puntos
muéstrales:
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2) El experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces, consiste de 3 pruebas, cuyo
espacio muestral puede escribirse como el conjunto de ternas ordenadas:
S2 = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}.
NOTA. Los espacios muestrales de experimentos aleatorios que consisten de dos o más
pruebas sucesivas se obtienen también de un diagrama tipo árbol, como el de la figura para
S2.

53
S
C
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
Puntos muestrales
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
1a.Prueba
2a.prueba
3a.prueba
Diagrama del árbol.
3) Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta
que aparezca la primera cara, su espacio muestral es el conjunto:
S4 = {C, SC, SSC, SSSC,...etc.}.
4) Si el experimento aleatorio es medir la vida útil (en horas) de una marca de artefacto
eléctrico, su espacio muestral es el conjunto:
𝑆5 = { 𝑡 ∈ ℝ/𝑡 ≥ 0}
(Aquí, ℝ representa a los números reales).
Clasificación de los espacios muestrales. Por el número de elementos o puntos muestrales,
los espacios muestrales se clasifican en:
1) Discretos finitos, consisten de un número finito de elementos, por ejemplo, los espacios
S1, S2, S3.
2) Discretos infinitos, consisten de un número infinito numerable de elementos, por
ejemplo, el espacio S4.
3) Continuos, consisten de un número infinito no numerable de elementos, por ejemplo,
los espacios S5, y S6
Suceso aleatorio
Se llama suceso aleatorio a todo suceso que puede ocurrir o puede no ocurrir como resultado
de la realización de un fenómeno.

54
Suceso elemental
Se llama suceso elemental a aquel suceso A que no se puede expresar como suma de dos
sucesos diferentes de A. Los sucesos elementales se identifican con los elementos del espacio
muestral y éstos son los resultados posibles del hecho o experimento.
𝑆 = { 𝑐, 𝑠}
Ejemplo 5.
Suceso elemental { 𝑐}
Suceso elemental { 𝑠}
Suceso compuesto
Es el resultado de dos o más sucesos elementales.
Ejemplo 6.
Al lanzar un dado corriente el espacio muestral, es S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 luego:
1 ,2 3 4 5 6 Son elementales: en cambio, los sucesos:
1,2 1, 2, 3 2, 3, 5 etc. Son sucesos compuestos.
Algunas definiciones y operaciones con conjuntos
Conjunto universo: Comprende la totalidad de los elementos. Se representa por U.
Ejemplo 7.
a) El conjunto formado por las letras vocales. U = a, e, i, o, u
b) El conjunto formado por los números dígitos. U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Conjunto unión: Se define como el conjunto formado por los elementos que pertenezcan al
primer conjunto, al segundo conjunto y a ambos.
Se denota por A U B = x/ x Є A, x Є B y x Є (A∩B)
Conjunto intersección: Se define como el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a ambos conjuntos. Se denota por A ∩ B = x / x Є A y x Є B
Conjunto complemento: Se define el complemento de A como el conjunto formado por los
elementos que están en el universo pero que no están en el conjunto A.

55
Se denota por Ac
= x / x Є U y x Є A
Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos denotada por A – B se define
como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero que no
pertenecen al conjunto B.
A – B = x / x Є A y x Є B
Conjunto vacío: El conjunto vacío se caracteriza por la carencia de elementos. Se denota
por Ø o bien por.
Ejemplo 8.
Sean los conjuntos:
U = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9 A = 1, 4, 7 B = 3, 4, 5, 8 C = 1, 7, 8
Calcular:
1) A U B, 3) (A ∩ B) - (B ∩ C) 5) Ac
∩ Bc
2) A U (B – C), 4) (A U B) c
,
Solución:
1) A U B = 1, 3, 4, 5, 7, 8
2) A u (B – C) = 1, 3, 4, 5, 7
3) (A ∩ B) - (B ∩ C) = 4
4) (A U B)c
= 9
5) A ∩ B′ = 3, 5, 8, 9 ∩ 1, 7, 9 = 9
Definición clásica de probabilidad (modelo clásico o a priori)
Si un experimento aleatorio tiene n resultados igualmente posibles (n > 0) de los cuales m
son favorables a la ocurrencia de un suceso A, entonces se llama probabilidad de un suceso
A al cociente m / n y se denota por P(A); es decir:
P(A) =
n
m

56
m: Son casos favorables al suceso A
n: Son casos posibles (o totales) del experimento.
Propiedades
1- 0 ≤ P(A) ≤ 1
2- P (S) = 1
3- P (A U B) = P (A) + P (B) si (A ∩ B) = Ø
4- P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) si (A ∩ B) ≠ Ø
5- P (Ø) = 0
6- P (Ac
) = 1 - P (A)
Tipos de probabilidad
Probabilidad Objetiva: La probabilidad objetiva se divide en dos:
1) Probabilidad clásica (O A PRIORI): Esta se basa en la suposición de que los
resultados de los experimentos son igualmente probables. Usando el punto de vista
clásico la probabilidad de que un evento ocurra, se calcula dividiendo el número de
casos favorables, entre el número de posibles resultados. Esto es:
Ejemplo9.:
Se lanza un dado corriente ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
Solución: P(par) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0.50 o bien 50 %
Otros ejemplos cásicos son:
• Lotería estatal
• Juegos de cartas, etc.
2) Probabilidad empírica (MODELO A POSTERIORI): Se basan en la frecuencia
relativa histórica. Esto es, la probabilidad de que un evento ocurra a lo largo del
Número de casos favorables
Probabilidad de un evento = -------------------------------------------
Número de resultados posibles
Probabilidad de un evento = ----------------------------------------------
Número de resultados posibles

57
tiempo, se determina observando el número de veces que eventos similares ocurrieron
en el pasado.
Ejemplo 10.
Un estudio de 751 administradores graduados en una Universidad, mostraron que 383
no fueron empleados en su área principal de estudio. Como ilustración, una persona
que se especializó en contabilidad, es ahora Gerente de mercadotecnia en una empresa
procesadora de tomates. ¿Cuál es la probabilidad de de que un determinado graduado de
negocios, sea empleado en un área distinta a su área principal de la escuela?
P(A) =
751
383
Por tanto, P(A) = 51 %
Otros ejemplos empíricos son:
• Establecer tasas de seguros
• Reportear índices de curación de varias enfermedades y condiciones, etc.
3) Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que un evento particular ocurra, que es
asignada por un individuo, basándose en la información que tenga disponible.
Ejemplo 11.
• Apostar en eventos atléticos.
• Estimar el futuro de una industria.
4) Probabilidad Conjunta: Es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más
eventos ocurran simultáneamente. No son mutuamente excluyentes:
P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Número de veces que ocurrió
el evento en el pasado
Probabilidad de que un evento ocurra = ----------------------------------------------
Número de observaciones

58
Ejemplo 12.
Las probabilidades de que la recepcionista de un dentista, su asistente o ambos se enfermen
cierto día son 0.04, 0.07 y 0.02 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando
menos uno de los dos se enferme ese día?
P(A U B) = 0,04 + 0,07 – 0,02
P(A U B) = 0,09
Sucesos independientes
Si la ocurrencia de un suceso A no altera la probabilidad de ocurrencia de otro suceso B, se
puede adoptar el término de independencia para describir esta situación y decir que A y B
son independientes. Dos sucesos A y B de llaman independientes si y sólo si:
P (A ∩ B) = P (A) . P (B)
Sucesos dependientes
Se dice que dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos, afecta la ocurrencia
del otro.
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional o probabilidad de un suceso A condicionada por la
ocurrencia de otro suceso B al cociente.
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

= P(B) ≠ 0.P(A / B): Léase “Probabilidad de A dado B”.
Ejemplo 13.
La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es P(D) = 0,83;
la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y la de que despegue y llegue a tiempo es P( )AD 
= 0,78. Encuentre la probabilidad de que un avión:
a) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.
b) Despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.
a) P(A / D) =
( )
( )DP
DAP 
P(A / D) =
0,78
0,83
= 0,94

59
b)P(D / A) =
( )
( )AP
ADP 
P(D / A) =
0,78
0,82
= 0,9512
Ejemplo 14.
Una universidad que proporciona educación para ambos sexos tiene tres carreras: ciencias,
administración e ingeniería. La inscripción es la siguiente:
Ciencias Administración Ingeniería Total
Hombre 250 350 200 800
Mujer 100 50 50 200
Total 350 400 250 1,000
Si se ha de seleccionar aleatoriamente un estudiante:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie ciencias dado que es varón?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer dado que es estudiante de ingeniería?
a) P(C / H) =
( )
( )HP
HCP 
P(C / H) =
1000
800
1000
250
=
800
250
= 0,3125
b) P(M / I) =
( )
( )IP
IMP 
P(M / I) =
1000
250
1000
50
=
250
50
= 0,20
Regla de la multiplicación
Sean A y B dos eventos contenidos en S (espacio muestral), entonces la probabilidad de que
se dé A y B es igual al producto de la probabilidad de B por la probabilidad de A dado B; es
decir: P (A ∩ B) =P(B) . P (A / B)
Ejemplo 15.
Una urna contiene 5 pelotas rojas, 3 azules y 2 blancas. Si se extraen dos de ellas (primero
una y después la otra) y sin remplazamiento. Hallar la probabilidad de que:

60
a) ambas sean rojas
b) una sea roja
c) la primera sea roja
d) al menos una sea roja
e) ninguna sea roja.
a) P (RR) = P(R) . P(R) = (5/10) . (4/9) = 20 / 90 = 2/9
b) P (una sea roja) = P (RA) + P (RB) + P (AR) + P/BR)
= (5/10) (3/9 ) + (5/10) ( 2/9 ) + (3/10) (5/9) + (2/10) (5/9)
= 15/90 + 10/90 + 15/90 + 10/90 = 50/90 = 5/9
c) P (la primera es roja) = P(RR) + P/RA) + P(RB)
= (5/10) (4/9) + (5/10) (3/9) + (5/10) (2/9)
= 20/90 + 15/90 + 10/90 = 45/90= 1 / 2
d) P (al menos una sea roja) = P(1 roja) + P(2 rojas) = 5 / 9 + 2 / 9 = 7 / 9
e) P (ninguna sea roja) = P (AA) + P (AB) + P (BA) + P (BB)
R
4/9
R 3/9 A
5/10
2/9 B
R
5/9
3/10 2/9 A
A
2/9
B
2/10 R
5/9
3/9
B A
1/9
B

61
= (3/10) (2/9) + (3/10) (2/9) + (2/10) (3/9) + (2/10) (1/9)
= 6 / 90 + 6 / 90 + 6 / 90 + 2 / 90 = 20 / 90 = 2/9
Probabilidad total
Si B1, B2, . . . . .Bn representa una partición de S y se B es un evento arbitrario sobre S,
entonces la probabilidad total sobre A está dado por:
P(A) = P(B1) . P/A / B1) + P(B2) . P/A / B2) + . . . . . P(Bk) . P/A / Bk)
Este teorema es muy útil ya que existen numerosas situaciones prácticas en las cuales P(A)
no puede calcularse directamente, sin embargo con la información de que B ha ocurrido, es
posible evaluar P(A / B) y por tanto, determinar a P(A) cuando se obtienen los valores de
P(B). Otro resultado importante de la ley total de probabilidad es conocida como teorema de
Bayes.
Regla de Bayes
Si B1, B2, . . . . Bk constituye una partición del espacio de muestreo S y si A es un evento
arbitrario sobre S, entonces para r = 1, 2, . . . . . k.
P (Br / A) =
( ) ( )
( ) ( )i
k
i
rr
BAPBP
BAPBP
/
/
1
o bien:
Ejemplo 16.
Tres compañías suministran transistores NPN a un fabricante de equipo de telemetría.
Supuestamente todos los transistores están hechos de acuerdo a las mismas especificaciones.
Sin embargo, el fabricante ha probado durante varios años dos parámetros de calidad de los
transistores. Y los registros indican la siguiente información, declarándose defectuoso a un
transistor si cualquiera de los parámetros está fuera de especificación.
P(Br / A) =
( ) ( )
( )kk
rr
BAPBPBAPBPBAPBP
BAPBP
/)(.............)/()()/().(
/
2211 ++

62
__________________________________________________________________
Firma Proporción de defectuoso Proporción suministrada por
_________________________________________________________________
1 0,02 0,15
2 0,01 0,80
3 0,03 0,05
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Debido a los costos involucrados el fabricante ha cesado las pruebas, y puede considerarse
de manera razonable que las fracciones de defectos y la mezcla en inventario son las mismas
que durante el período en que se realizaron los registros. El director de producción selecciona
aleatoriamente un transistor, lo lleva al departamento de prueba y descubre que es defectuoso.
Si A es el evento de que un elemento es defectuoso, y si B es el evento de que el elemento
proviene de la compañía i (i = 1, 2, 3), entonces es posible evaluar P (Bi /A). Por ejemplo,
suponga que se desea determinar P(B3 / A). Entonces:
P (B3/ A) =
( ) ( )
( )332211
33
/)()/()()/().(
/
BAPBBAPBPBAPBP
BAPBP
++
P (B3/ A) =
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )03.005.001.080.002.015..0
03.005.0
++
P (B3/ A) = 12.0
25
3
=
Ejercicio
1.- Las probabilidades de que una estación de televisión reciba 0, 1, 2, 3, 4, . . . 7 o cuando
menos 8 quejas después de transmitir un programa de controversia son, respectivamente
0.02, 0.04, 0.07, 0.12, 0.15, 0.19, 0.18, 0.14 y 0.09: ¿Cuáles son las probabilidades de que
después de transmitir un programa la estación reciba:
a) Cuando menos 5 quejas?
b) Cuando mucho 3 quejas?
c) De dos a cuatro quejas?.

63
2.-Las probabilidades de que la utilidad de una nueva máquina de escribir se clasifique como
difícil, muy difícil, promedio, fácil o muy fácil son respectivamente 0,11; 0,16; 0,35; 0,28 y
0,10. Determine las probabilidades de que la utilidad de la nueva máquina de escribir se
clasifique como:
a) difícil o muy difícil.
b) difícil, promedio o fácil.
c) fácil o muy fácil.
3.- Un artista que ha introducido una pintura al óleo grande y una pequeña a una exposición,
siente que las probabilidades son respectivamente 0,15; 0,18 y 0,11 de que venderá el óleo
grande, el pequeño o ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que venderá alguna de las dos
pinturas?.
4.- La probabilidad de que un conductor imprudente será multado, se le revocará la licencia
o ambas son, respectivamente; 0,88; 0,60 y 0,55; ¿Cuál es la probabilidad de que será
multado o de que se le revocará la licencia?.
5.- La probabilidad de que un concierto dado reciba la publicidad adecuada es 0,80; y la
probabilidad de que recibirá la publicidad adecuada y también será un gran éxito es 0,76.
¿Cuál es la probabilidad de que si el concierto recibe la publicidad adecuada será un gran
éxito?.
6.- La profesora de inglés piensa que la probabilidad es 0,60 de que un examen final por
escrito que recibe estará bien redactado. Si la probabilidad es 0,51 de que este examen final
estará bien escrito y también recibirá una buena calificación. ¿Cuál es la probabilidad de que
un examen final bien escrito recibirá una buena calificación?.
7.- En dos tiros de un dado equilibrado, determine las probabilidades de obtener:
a) Dos seis.
b) Primero un seis y después algún otro número.

64
8.- Un zoólogo tiene cuatro cerdos de guinea machos y ocho hembras y elige a dos de ellos
al azar para realizar un experimento; ¿cuáles son las probabilidades de que:
a) ambos animalitos sean machos.
b) ambos animalitos sean hembras.
c) habrá uno de cada sexo.
9.- La probabilidad es 0,70 de que una rara enfermedad tropical se diagnostique
correctamente. Si ésta se diagnostica en forma correcta la probabilidad es 0,90 de que el
paciente se sanará. Si no, la probabilidad es 0,40 de que el paciente se sanará. Si se cura un
paciente que tiene esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya diagnosticado
correctamente?.
10.- En una fábrica de zapatos se sabe por experiencia pasada que la probabilidad es 0,82 de
que un trabajador que ha asistido a un programa de capacitación de la fábrica, cumplirá con
la cuota de producción, y que la probabilidad correspondiente es 0,53 para un trabajador que
no asistió al programa de capacitación. El 60 % de los trabajadores asisten al programa de
capacitación de la fábrica. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador que cumple con la
cuota de producción habrá asistido al curso?.
11) En una ciudad se seleccionó una muestra de 500 personas para determinar diversas
informaciones relacionadas con el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas
hechas se encontraba ¿Prefiere comprar productos nacionales o importados?. De 240
hombres, 140 contestaron que prefieren comprar productos importados y 80 mujeres
expresaron que prefieren productos nacionales.
a) Elabore una tabla de contingencias en donde las variables cualitativas son sexo y
preferencias por sus productos.
b) Se selecciona una persona de manera aleatoria. Determinar la probabilidad de que el
entrevistado:
1) Sea hombre
2) Sea mujer

65
3) Prefiera comprar productos importados
4) Prefiera comprar productos nacionales
TECNICAS DE CONTEO
A) Notación factorial
El producto de los enteros positivos de 1 a n inclusive ocurre con mucha frecuencia en
matemáticas. Este se representa por el símbolo especial n! Que se lee “n factorial”. Es decir:
n! = 1 .2 .3 . . . . (n – 2) (n – 1) n = n (n – 1) ( n – 2) . . . . 3 .2 . 1
Ejemplo 17.
:
a) 5! = 5 .4 .3 .2 . 1 = 120 e) 1! = 1
b) 4! = 4 .3 .2 . 1 = 24 f) 0! = 1
c) 3! = 3 .2 . 1 = 6 g) 56
!6
!6.7.8
!6
!8
==
d) 2! = 2 . 1 = 2 h) 12 .11 . 10 =
!9
!12
!9
!9.10.11.12
=
B) Coeficientes binomiales
El símbolo 





r
n
donde n y r son números enteros positivos con r < n (léase “nCr” o “n
tomado r en r”) se define de la siguiente manera.






r
n
=
( )( ) ( )
( ) 1.2.3....1
1.....21
−
+−−−
rr
rnnnn
o 





r
n
=
( ).!!.
!
rnr
n
−
Ejemplo 18.






2
8
=
( ).!28!.2
!8
−
=
!6.2
!6.7.8
=
2
7.8
=
2
56
= 28

66






3
10
=
( ).!310!.3
!10
−
=
!7.1.2.3
!7.8.9.10
=
1.2.3
8.9.10
=
6
720
= 120
C) Permutaciones
Cualquier ordenamiento (o arreglo) de un conjunto de n objetos en un orden dado se
denomina una permutación de los objetos tomados todos al tiempo. Cualquier ordenamiento
de cualquier r < n de estos objetos en un orden determinado se denomina una permutación r
(o una permutación de n objetos tomados r a la vez).
1) P(n.n) = n! Cuando r = n
2) P(n.r) =
( ).!.
!
rn
n
−
Cuando r < n
3) P(n.r) =
!!....!..
!
21 nrnn
n
Cuando hayan repeticiones y n = n1 + n2 + . . . . + nr.
4) P(n) = (n – 1)! Cuando se trate de un arreglo circular.
Ejemplo 19.
¿De cuántas maneras se pueden colocar 5 bolas de diferentes colores en una línea horizontal?
Solución: P (5, 5) = 5! = 120 maneras.
Ejemplo 20.
¿De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas en un banco que tiene capacidad para
cuatro?
Solución: P (8, 4) =
( ).!48.
!8
−
=
!4
!8
=
!4
!4.5.6.7.8
= 8 .7 .6 .5 = 1, 680 maneras.
Ejemplo 21.
¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 10 banderas de las cuales 4 de ellas son
rojas, 3 son blancas, 2 son azules y 1 es amarilla?.
Solución: P (10.4) =
!!....!..
!
21 nrnn
n
=
!1!.2!.3!.4.
!10
2
=
)1)(2)(6)(24(
800,628,3
=
288
800,628,3
=12,600

67
Ejemplo 22.
¿De cuántas maneras se pueden sentar a comer 5 personas alrededor de una mesa redonda?.
Solución: P (5, c) = (5 - 1)! = 4! = 4 .3 .2 . 1 = 24 maneras.
D) Reglas de adición y de multiplicación
Ejemplo 23.
Un restaurante tiene en su menú de postres, 4 clases de ponqués, 2 clases de galletas y 3
clases de helados. Encuentre el número de formas en que una persona puede selecciona:
a) Uno de los postres Solución 4 + 2 + 3 = 9 R. 9
b) Uno de cada clase de postres. Solución (4) (2) (3) = 24 R. 24
Ejemplo 24.
Una clase está conformada por 8 estudiantes hombres y 6 estudiantes mujeres. Encuentre el
número de formas en que la clase puede elegir:
a) Un representante para la clase. Solución 8 + 6 = 14 R. 14
b) 2 representantes para la clase, un hombre y una mujer. Solución. (8) (6) R. 48
c) Un presidente y un vicepresidente. Solución (14) (13)= 182 R. 182
E) Combinaciones
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n
objetos, tomados r a la vez, es cualquier selección de r objetos donde el orden no
cuenta. En otras palabras, una combinación r de un conjunto de n objetos es cualquier
subconjunto de r elementos.
Ejemplo 25.
Encuentre el número de combinaciones de cuatro objetos  ,,,, dcba tomados en grupos de a
tres y compare con las permutaciones de los cuatro objetos tomados en grupos de a tres.
Combinaciones Permutaciones
abc
abd
acd
bcd
abc, acb, bac, bca, cab, cba
abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

68
La fórmula para las combinaciones es: 





r
n
=
( ).!!.
!
rnr
n
−
Ejemplo 26.
Una señora tiene 11 amigos de confianza.
a) ¿De cuántas maneras puede invitar 5 de ellos a comer?
b) ¿De cuántas maneras si dos de ellos son casados y sólo asisten si van juntos?
c) ¿De cuántas maneras si dos de ellos están disgustados y no asistirán juntos?
Solución:
a) 





5
11
=
( ).!511!.5
!11
−
=
.!6!.5
!11
=
.!6!.5
!6.7.8.9.10.11
=
.120
7.8.9.10.11
=
120
440,55
= 462
b) 





2
2






3
9
+ 





0
2






5
9
= 1(84) + 1(126) = 84 + 126 = 210
c) 





1
2






4
9
= 2 (126) = 252
Ejemplo 27.
Una clase está conformada por 9 varones y 3 mujeres. El profesor quiere organizar un comité
de cuatro personas.
a) ¿De cuántas maneras puede formar el comité?
b) ¿Cuántos comité tendrán exactamente 1 mujer?
c) ¿Cuántos comité tendrán 1 mujer por lo menos?
Solución:
a) 





4
12
=
( ).!412!.4
!12
−
=
!8!.4
!12
=
!8!.4
!8.9.10.11.12
=
!.4
9.10.11.12
=
.24
9.10.11.12
=
.24
880,11
= 495
b) 





1
3






3
9
= 3 (84) = 252
c) 





1
3






3
9
+ 





2
3






2
9
+ 





3
3






1
9
= 3 (84) + 3 (36) + 1 (9) = 252 + 108+ 9 = 369

69
EJERCICIO
Permutaciones
12) ¿Cuántos números impares de 4 cifras pueden formarse con los números dígitos (0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
13) Encuentre el número de formas cómo se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños, si el
más pequeño debe recibir 3 juguetes, y cada uno de los otros, dos juguetes.
14) Un grupo que debate está conformado por 3 muchachos y 3 niñas. Encuentre el número
n de formas en las cuales se pueden sentar en una fila donde a) no hay restricciones, b) los
muchachos y las niñas se sientan juntas, c) solamente las niñas se sientan juntas.
15) Encuentre el número n de formas en que un juez puede otorgar el primero, segundo y
tercer lugares en un concurso con 18 participantes
16) Encuentre el número n de formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros
pequeños se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo tamaño
estén juntos.
Reglas de adición y de la multiplicación
17) Suponga que una clave consiste en 4 caracteres donde el primer carácter debe ser una
letra del alfabeto, pero cada uno de los demás caracteres puede ser una letra o un dígito.
Encuentre el número de:
a) Palabras claves
b) Palabras claves que empiezan con una de las cinco vocales
18) Hay 6 caminos entre A y B y 4 caminos entre B y C. Encuentre el número n de formas
en que una persona puede conducir:
a) Desde A hasta C a través de B,
b) Viaje de ida y regreso desde A hasta C a través de B.

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