Modul ini menjelaskan aturan L'Hopital untuk menghitung limit fungsi yang memiliki bentuk tak tentu seperti 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞ - ∞, dan 0°, ∞°, 1∞. Aturan ini mengubah limit fungsi asli menjadi limit turunan fungsinya."

1. MODUL 7
BENTUK-BENTUK TAK TENTU
Oleh: Muchammad Abrori
7.1. ATURAN LHOPITAL (LHOPITAL’S RULE)
Yang dimaksud dengan bentuk-bentuk tak tentu adalah :
0 
, ,0.,   ,0, ,1
0 
Apabila kita hendak mencari harga limit suatu fungsi di x = a menunjukkan bentuk-
bentuk tak tentu di atas, maka kita akan mengalami kesukaran dalam hal menentukan
harga limit fungsinya. Untuk itu dipergunakan suatu teorema di bawah ini yang disebut
aturan LHopital’s
0
A. BENTUK
0
Teorema : Apabila f(x) dan g(x) differensibel di sekitar x = a dan f(a) = g(a) = 0
sedangkan f(a) dan g(a) keduanya tidak nol, maka :
lim f ( x) lim f ' ( x)

x  a g ( x) x  a g ' ( x)
Apabila f(n-1)(a) = g(n-1)(a) = 0, sedangkan f(n)(a) dan g(n)(a) keduanya tidak nol untuk n 
2, maka teorema diatas menjadi :
lim f ( x) lim f ( n) ( x)

x  a g ( x) x  a g ( n ) ( x)
Sebagai contoh :
limit sin x limit cos x
 111
x0 x x0 1

B. BENTUK

Apabila f(x)  , dan g(x)  , untuk x  a, maka :
1

2. lim it f ( x) 
berbentuk
x  0 g ( x) 
Namun aturan Lhopital dapat dipakai, sebab bentuk tersebut dapat ditulis :
lim f ( x) lim 1 g ( x) 0
 yang mempunyai bentuk
x  a g ( x) x  a 1 f ( x) 0
Sehingga :
g ' ( x)
limit f ( x) limit 1 g ( x) limit ( g ( x))2
 
x  a g ( x) x  a 1 f ( x) x  a f ' ( x)
( f ( x))2
2
lim it f ( x) lim it g ' ( x) lim it  f ( x) 
 .  
x  a g ( x) x  a f ' ( x) x  a  g ( x) 
atau :
lim f ( x) lim f ' ( x)

x  a g ( x) x  a g ' ( x)

Jadi benar bahwa aturan Lhopital bisa dipakai untuk bnetuk tak tentu , dan diambil

sebagai contoh :
lim ln x lim 1 x
  0 1 0
x x x 1
C. BENTUK 0. 
Apabila f(x)  0, dan g(x)  , untuk x  a, maka f(x).g(x) mempunyai bentuk 0.
f ( x) 0
Hasil kali ini bisa ditulis sebagai hasil bagi yang bentuknya , ataupun sebagai
1 g ( x) 0
hasil bagi :
g ( x) 
yang bentuknya , sehingga aturan LHopital bisa digunakan sebagai contoh :
1 f ( x) 
lim 2 limit ln x limit x 1
x ln x  
x0 x  0 x  2 x  0  2  x 3
2

3. lim it x 2
= 0
x 0 2
D. BENTUK  - 
Apabila f(x)   dan g(x)   untuk x  a maka f(x) – g(x) mempunyai bnetuk  - ,
dan bentuk ini bisa ditulis sebagai berikut :
1 g ( x)  1 f ( x)
1 0
f(x) – g(x) = yang mempunyai bentuk
f ( x).g ( x) 0
sehingga aturan LHopital bisa digunakan, sebagai contoh :
lim it lim it 1  sin x lim it  cos x
(sec x  tg x)   0
x  2 x   2 cos x x   2  sin x

E. BENTUK 0, ,1
Bentuk-bentuk ini timbul dari fungsi berbentuk y = f(x) . g(x)
1. Apabila f(x)  0 dan g(x)  0, maka timbul bentuk 0
2. Apabila f(x)   dan g(x)  0, maka timbul bentuk  
3. Apabila f(x)  1 dan g(x)   , maka timbul bentuk 1
Adapun penyelesaian dari bentuk-bentuk itu, dengan mengambil harga logaritma dari
fungsi y = f(x)g(x), yaitu :
limit y = limit f(x)g(x)
limit ln y = limit g(x) . ln f(x)
Sebagai contoh :
1
lim it
Hitunglah (1  3x) 2 x = 1
x
1
Misalkan : y = (1  3x) 2x
1 ln(  3x)
1
ln y = . ln(  3x) 
1
2x 2x
limit limit ln(  3x)
1
ln y 
x x 2x
3

4. lim it 3
=
x   2(1  3x)
limit
y  e  1
x
1
limit
(1  3x) 2 x  1
x
Beberapa contoh soal :
lim x 2  x  6 6 6
1. Hitunglah 10. Hitunglah lim (  x )
x  2 x2  4 x 0 x e 1
lim x  sin 2 x cos x
2. Hitunglah
x  0 x  sin 2 x
11. Hitunglah lim tgx
 
x
2
lim sin x sin x
3. Hitunglah
x   x 
12. Hitunglah lim x
x 0 
lim e x 1  x 2x
4. Hitunglah
x  1 ( x  1) 2
13. Hitunglah lim e
x 
x2
1
x3 tg ( x )
2
5. Hitunglah lim
x e5 x
14. Hitunglah lim x
x 1
2  x2
15. Hitunglah lim 1  tgx( x  )
1
6. Hitunglah lim
x  x x 
2
7. Hitunglah lim x
x0
ln x
8. Hitunglah lim (1  tgx).sec2x

x
4
9. Hitunglah lim (cosecx  ctgx)
x 0
4