1. Un po’ di Fisica dell’atmosfera
Riccardo Rigon Giorgione - La tempesta, 1507-1508
Tuesday, March 6, 12
2. “La pioggia cade, la foglia
trema”
Robindronath Tagore
Tuesday, March 6, 12
3. Le Precipitazioni
Obbiettivi:
• Introdurre i fenomeni di circolazione generale e una descrizione dei
fenomeni atmosferici correlati alla produzione delle precipitazioni
•Parlare delle precipitazioni, della loro formazione in atmosfera e della
loro caratterizzazione al suolo
3
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
4. Le Precipitazioni
La radiazione
• Il motore di tutto è la radiazione
solare
Wikipedia - Sun
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
5. Le Precipitazioni
I meccanismi di formazione delle precipitazione:
- Frontizio
- Orografico
- Convettivo
5
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
6. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
TheEsiste un complesso
general circulation
sistema di circolazione
in a rotating atmosphere
globale
Foufula-Georgiou, 2008
6
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
20. Le Precipitazioni
Perchè piova
•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla
superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
21. Le Precipitazioni
Perchè piova
•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla
superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.
•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento,
subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
22. Le Precipitazioni
Perchè piova
•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla
superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.
•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento,
subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis.
•Questa situazione:
•genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa
pressione
•discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità
nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto
•genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere
“scivolano” sopra altre, innalzandosi.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
24. Le Precipitazioni
Perchè piova
•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
25. Le Precipitazioni
Perchè piova
•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta.
•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale
delle masse d’aria.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
26. Le Precipitazioni
Perchè piova
•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta.
•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale
delle masse d’aria.
•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
27. Le Precipitazioni
Perchè piova
•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta.
•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale
delle masse d’aria.
•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.
•L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in
misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità
atmosferica
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
29. Le Precipitazioni
Perchè piova
•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica
(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo
possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
30. Le Precipitazioni
Perchè piova
•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica
(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo
possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo.
•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua
liquida o solida, sospese in aria.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
31. Le Precipitazioni
Perchè piova
•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica
(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo
possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo.
•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua
liquida o solida, sospese in aria.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
36. Le Precipitazioni
Nubi stratiformi
25
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
37. Le Precipitazioni
Nubi stratiformi
26
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
38. Le Precipitazioni
Ciclone extratropicale
Houze, 1994
27
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
39. Le Precipitazioni
Nubifragi
Houze, 1994
28
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
40. Le Precipitazioni
Nubifragi
Houze, 1994
29
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
41. Le Precipitazioni
Fattori che influenzano la natura e la quantità
delle precipitazioni al suolo
•La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in
funzione dei sistemi di circolazione generale
•L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la
quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride).
•La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la
posizione generale dell’orografia
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
42. Le Precipitazioni
a large range of scales
pixel = 4 km pixel = 125 m
km
2
512 km
km
4
Foufula-Georgiou, 2008
(mm/hr)
0 4 9 13 17 21 26 30
R (mm/hr)
31
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
43. Le Precipitazioni
Spatial Rainfall
Foufula-Georgiou, 2008
32
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
44. Le Precipitazioni
Caratteristiche delle
precipitazioni al suolo
•Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada)
•L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area
(proiettata), spesso espressa in mm o cm.
•La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con
continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di
registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere
dalla continuità della stessa)
•L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo
di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
45. Le Precipitazioni
Caratteristiche delle
precipitazioni al suolo
•L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive
(storm inter-arrival time)
•La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia
•La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con
altezza e durata assegnate
•La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
52. Le Precipitazioni
Precipitazioni Estreme
41
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
53. Le precipitazioni estreme
Kandinski -Composition VI (Il diluvio)- 1913
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
54. Le precipitazioni Estreme
Obbiettivi:
•Descrivere le precipitazioni estreme e delle loro caratteristiche
•Calcolare le precipitazioni estreme con assegnato tempo di ritorno con R
43
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
55. Le precipitazioni Estreme
Consideriamo le precipitazioni massime annuali
Queste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche:
1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla
prefissata durata.
anno 1h 3h 6h 12h 24h
1 1925 50.0 NA NA NA NA
2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6
......................................
......................................
46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.2
47 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.4
51 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.2
52 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2 44
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
56. Le precipitazioni Estreme
Consideriamo le precipitazioni massime annuali
Precipitazioni Massime a Paperopoli
150
Precipitazione (mm)
100
50
1 3 6 12 24
durata
Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni 45
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
57. Le precipitazioni Estreme
Precipitazioni Massime a Paperopoli
150
Precipitazione (mm)
100
50
1 3 6 12 24
Mediana durata
>boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione
(mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 46
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
58. Le precipitazioni Estreme
Precipitazioni Massime a Paperopoli
150
Precipitazione (mm)
100
50
1 3 6 12 24
upper quantile durata
47
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
59. Le precipitazioni Estreme
Precipitazioni Massime a Paperopoli
150
Precipitazione (mm)
100
50
1 3 6 12 24
durata
lower quantile
48
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
60. Le precipitazioni Estreme
1 ora 3 ore 6 ore
25
15
15
20
10
15
10
Frequenza
Frequenza
Frequenza
10
5
5
5
0
0
0
20 40 60 80 20 40 60 80 100 40 60 80 100
Precipitazion in mm Precipitazion in mm Precipitazion in mm
49
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
61. Le precipitazioni Estreme
12 ore 24 ore
12
8
10
6
8
Frequenza
Frequenza
6
4
4
2
2
0
0
40 60 80 100 120 40 80 120 160
Precipitazion in mm Precipitazion in mm
50
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
62. Le precipitazioni Estreme
Tempo di ritorno
E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si
ripete (o è superata). Sia:
T
l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura
Siano
n
le misurazioni fatte in T e
m=T/n
il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento
considerato).
51
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
63. Le precipitazioni Estreme
Tempo di ritorno
Allora il tempo di ritorno della misura h* è
T m m m
T r := =n = =
l l ECDF (h⇥) 1 F r(H < h )
dove Fr= l/n è la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*).
Se l’intervallo di campionamento è unitario (m=1), allora il tempo di ritorno
è l’inverso della frequenza di superamento del valore h*.
Si osservi, che in base a quanto sopra, esiste una relazione biunivoca
tra quantili e tempo di ritorno
52
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
64. Le precipitazioni Estreme
Precipitazioni Massime a Paperopoli
150
Precipitazione (mm)
100
q(0.75) -> Tr = 4 anni
50
1 3 6 12 24
durata
q(0.25) -> Tr = 1.33 anni
Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni
53
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
65. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp
54
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
66. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp
altezza di
precipitazione
legge di potenza
55
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
67. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp
altezza di
precipitazione
coefficiente
dipendente dal
tempo di ritorno
56
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
68. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp
altezza di
precipitazione
d u r a t a
considerata
57
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
69. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
esponente (non
dipendente dal
h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp tempo
ritorno)
di
altezza di
precipitazione
58
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
70. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp
Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente
della durata, allora n >0
E’ noto però che l’intensità media della precipitazione:
h(tp , Tr )
J(tp , Tr ) := = a(Tr ) tn
p
1
tp
decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
71. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica
Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472
Tr = 100 anni a = 40.31
Tr = 200 anni a = 44.14
log(prec) [mm]
curve di possibilità pluviometrica
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1 10 tp[h] 100
60
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
72. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele
tra loro nel piano bilogaritmico
log(prec) [mm]
curve di possibilità pluviometrica
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1 10 tp[h] 100
61
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
73. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele
tra loro nel piano bilogaritmico
log(prec) [mm]
curve di possibilità pluviometrica
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.6
tr = 500 anni
1.5 h(,500) > h(200)
tr = 200 anni
1.4
1 10 tp[h] 100
62
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
74. Le precipitazioni Estreme
Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele
tra loro nel piano bilogaritmico
log(prec) [mm]
curve di possibilità pluviometrica
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1
2
1.9
1.8 tr = 500 anni
1.7
tr = 200 anni
1.6
1.5 Invece h(,500) < h(200) !!!!
1.4
1 10 tp[h] 100
63
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
75. Le precipitazioni Estreme
Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle
probabilità e dell’analisi statistica
E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra
quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.
Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di
probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori
estremi di tipo I, o curva di Gumbel
h a
P [H < h; a, b] = e e b
⇥<h<⇥
b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (in effetti la moda)
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
78. Le precipitazioni Estreme
Distribuzione di Gumbel
La media della distribuzione e data da:
E[X] = b + a
dove:
0.57721566490153228606
è la costante di Eulero-Mascheroni:
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
79. Le precipitazioni Estreme
Distribuzione di Gumbel
La mediana:
a b log(log(2))
La varianza :
2
V ar(X) = b 2
6
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
80. Le precipitazioni Estreme
Distribuzione di Gumbel
La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate
le grandezze significative) è
y
P [Y < y] = e e
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
82. Le precipitazioni Estreme
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di
adattamento dei parametri.
Ne useremo nel seguito 3:
- Il metodo dei minimi quadrati
- Il metodo dei momenti
- Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood)
Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn}
71
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
83. Le precipitazioni Estreme
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i
momenti della popolazione. Siano, ad esempio
µH
2
H
La media e la varianza e
(t)
MH
il momento t-esimo del CAMPIONE
72
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
84. Le precipitazioni Estreme
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei
momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti
della popolazione, che risultano definiti da:
⇥
MH [1; ] = EH [h] = h pdfH (h; ) dh
⇥
⇥
MH [t; ] = (h EH [h]) pdfH (h; ) dh t > 1
t
⇥
Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti
momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la
funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate
numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a
secondo membro ammette una soluzione analitica.
73
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
85. Le precipitazioni Estreme
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel
porre:
MH [1; a, b] = µH
MH [2; a, b] = ⇥H
2
o:
b + a = µH
2 2
b 6 = ⇤H
2
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
86. Le precipitazioni Estreme
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la
serie temporale registrata:
P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]
Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:
N
P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] = P [hi ; a, b]
i=1
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
87. Le precipitazioni Estreme
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
N
P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] = P [hi ; a, b]
i=1
La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza
rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri.
76
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
88. Le precipitazioni Estreme
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Meglio: rappresenta la distribuzione dei parametri condizionata alle misure
(in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
89. Le precipitazioni Estreme
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Se la serie osservata è sufficientemente lunga, si ritiene che i parametri più
affidabili (veri!) siano i più probabili.
Nel caso della figura, a*.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
90. Le precipitazioni Estreme
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Per semplificare i calcoli si definisce anche la funzione detta di log-
verosimiglianza:
N
log(P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]) = log(P [hi ; a, b])
i=1
79
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
91. Le precipitazioni Estreme
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere
da:
⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b])
⇥a =0
⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b])
⇥b =0
Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.
80
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
93. Le precipitazioni Estreme
Metodo dei minimi quadrati
Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità
di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1
e nel minimizzarlo
82
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
94. Le precipitazioni Estreme
Metodo dei minimi quadrati
Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità
di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1
scarto
quadratico
e nel minimizzarlo
82
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
95. Le precipitazioni Estreme
Metodo dei minimi quadrati
Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità
di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1
scarto
ECDF
quadratico
e nel minimizzarlo
82
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
96. Le precipitazioni Estreme
Metodo dei minimi quadrati
Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità
di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1
scarto
ECDF Probabilità
quadratico
e nel minimizzarlo
82
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
97. Le precipitazioni Estreme
Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto
agli m parametri
⇤ (⇥j )
2
=0 j =1···m
⇤⇥j
Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie.
83
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
98. Le precipitazioni Estreme
Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...
Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un verto senso ottimi.
Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare
un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson.
84
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
99. Le precipitazioni Estreme
Il Test di Pearson
Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:
1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali
85
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
100. Le precipitazioni Estreme
Il Test di Pearson
Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:
2 - derivarne una suddivisione del dominio
86
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
101. Le precipitazioni Estreme
Il Test di Pearson
Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:
3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)
87
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
102. Le precipitazioni Estreme
Il Test di Pearson
Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:
6 - Valutare la funzione
dove:
P [H < h0 ] = P [H < 0]
P [H < hn+1 ] = P [H < ]
88
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
103. Le precipitazioni Estreme
Il Test di Pearson
e nel caso della figura delle slides precedenti
(P [H < hj+1 ] P [H < hj ]) = 0.2
Quindi:
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
104. Le precipitazioni Estreme
Il Test di Pearson
6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo
Per completare il tutto
7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24
ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durata
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
105. Le precipitazioni Estreme
Dopo aver applicato Pearson
e ripetuto l’operazione per ognii durata
1.0
0.8
0.6
1h
3h
P[h]
6h
12h
0.4
24h
0.2
0.0
0 50 100 150
Precipitazione [mm]
91
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
106. Le precipitazioni Estreme
Dopo aver applicato Pearson
e ripetuto l’operazione per ogni durata
1.0
Tr = 10 anni
0.8
0.6
1h
3h
P[h]
6h
12h
0.4
24h
0.2
h1 h3 h6 h12 h24
0.0
0 50 100 150
Precipitazione [mm]
92
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
107. Le precipitazioni Estreme
Si ottengono infine per interpolazione le
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica
180
160
140
120
t [ore]
100
80
60
40
0 5 10 15 20 25 30 35
h [mm]
93
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
108. Le precipitazioni Estreme
Si ottengono infine per interpolazione le
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica
160
140
120
100
h [mm]
80
60
0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0
t [ore]
94
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
109. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e
varianza unitaria, allora la variabile
e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato
da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con
che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione
Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà”
95
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
110. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
from Wikipedia
La distribuzione, in effetti, è:
E la sua cumulata:
dove () è la funzione “gamma” incompleta
96
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
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111. Le precipitazioni Estreme - Addendum
La funzione gamma incompleta
La funzione Gamma
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
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112. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
from Wikipedia
98
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
113. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
from Wikipedia
Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà
E( k) =k
La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà
V ar( k) = 2k
La moda è pari a
99
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
114. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
from Wikipedia
2
In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per
stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una
distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il
test ha la forma generale
100
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
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115. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
from Wikipedia
Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia
distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei
2
quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero
di addendi diminuito di 1.
In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte
l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione
degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con
k-1 gradi di libertà.
101
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
116. Le precipitazioni Estreme - Addendum
Ovvero
Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi,
Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k.
Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
117. Le precipitazioni Estreme - Addendum
Se
Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2:
•dalla distribuzione ipotizzata, ma ottenendo un campione relativamente raro
•da un’altra distribuzione
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
118. Le precipitazioni Estreme - Addendum
2
Il
from Wikipedia
2
Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente
esclusive. L’ipotesi zero:
che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione
E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa:
che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione
104
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
119. Le precipitazioni Estreme - Addendum
Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro
L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal
vero con certezza
Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una
differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson),
ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili
ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti
tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che
i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata.
Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una
confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
120. Le precipitazioni Estreme - Addendum
L’accettazione dell’ipotesi zero
E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato
secondo un criterio assunto come “ragionevole”.
Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si
accetta”.
A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale.
Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e da risultati
ripetibili.
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
121. Le precipitazioni Estreme - Addendum
In pratica
Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità
ovvero:
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
122. Le precipitazioni Estreme - Addendum
Se
Si rigetta l’ipotesi zero
Viceversa
si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare)
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
Tuesday, March 6, 12
123. Le precipitazioni Estreme - Addendum
Corollario
Avendo a disposizione più ipotesi zero valide
Si accetta
Quella con più piccolo
Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di
confidenza.
Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento
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124. Le precipitazioni estreme -
GEV
Michelangelo, Il diluvio, 1508-1509
Riccardo Rigon
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125. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un
Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la
distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità
non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:
I) Distribuzione di Gumbel
z b
G(z) = e e a
⇥<z<⇥
a>0
111
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
126. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un
Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la
distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non
può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:
II) Distribuzione di Frechèt
0 z b
G(z) = ( za b )
e z>b
a>0 >0
112
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
127. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
II) Distribuzione di Frechèt
from Wikipedia
P [X < x] = e x
Media
Moda
Mediana
Varianza
113
Riccardo Rigon
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128. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
R:
dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE)
pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)
qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)
rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1)
114
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
129. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un
Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la
distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non
può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:
III) Distribuzione di Weibull
e [ ( z a b )] z<b
G(z) =
1 z b
>0
a>0
115
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
130. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
from Wikipedia
III) Distribuzione di Weibull
(P. Rosin and E. Rammler, 1933)
116
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
131. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
from Wikipedia
Quando k = 1, la distribuzione di Weibull
III) Distribuzione di Weibull si riduce alla distribuzione esponenziale.
(P. Rosin and E. Rammler, 1933)
Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull
diventa molto simile alla distribuzione
normale.
Media
Moda
Mediana
Varianza
117
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
133. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una
distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV
G(z) = e [1+ ( z
⇤
µ
)] 1/⇥
z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0
⇥<µ<⇥ ⇤>0
⇥<⇥<⇥
Per =0 la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel
Per >0 la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt
Per <0 la distribuzione diviene una Weibull
119
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
134. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una
distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV
G(z) = e [1+ ( z
⇤
µ
)] 1/⇥
z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0
⇥<µ<⇥ ⇤>0
⇥<⇥<⇥
120
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
135. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una
distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV
gk = (1 k )
121
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
136. Le precipitazioni Estreme - GEV
A little more formal
R
dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE)
pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)
qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)
rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0)
122
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
137. Distribuzioni Autosimilari
Grazie per l’attenzione!
G.Ulrici, 2000 ?
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
138. Bibliografia e Approfondimenti
Bibliografia e Approfondimenti
•Albertson, J., and M. Parlange, Surface Length Scales and Shear Stress: Implications
for Land-Atmosphere Interaction Over Complex Terrain, Water Resour. Res., vol. 35,
n. 7, p. 2121-2132, 1999
•Burlando, P. and R. Rosso, (1992) Extreme storm rainfall and climatic change,
Atmospheric Res., 27 (1-3), 169-189.
•Burlando, P. and R. Rosso, (1993) Stochastic Models of Temporal Rainfall:
Reproducibility, Estimation and Prediction of Extreme Events, in: Salas, J.D., R.
Harboe, e J. Marco-Segura (eds.), Stochastic Hydrology in its Use in Water Resources
Systems Simulation and Optimization, Proc. of NATO-ASI Workshop, Peniscola,
Spain, September 18-29, 1989, Kluwer, pp. 137-173.
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
139. Bibliografia e Approfondimenti
•Burlando, P. e R. Rosso, (1996) Scaling and multiscaling Depth-Duration-Frequency
curves of storm precipitation, J. Hydrol., vol. 187/1-2, pp. 45-64.
•Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin
hydrology. 1. Precipitation scenarios for the Arno River, central Italy, Hydrol.
Process., 16, 1151-1175.
•Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin
hydrology. 2. Impacts on runoff variability of the Arno River, central Italy, Hydrol.
Process., 16, 1177-1199.
• Coles S., An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer,
‘‘
2001
• Coles, S., and Davinson E., Statistical Modelling of Extreme Values, 2008
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
140. Bibliografia e Approfondimenti
•Foufula-Georgiou, Lectures at 2008 Summer School on Environmental Dynamics,
2008
•Fréchet M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société
Polonaise de Mathematique, Crocovie, vol. 6, p. 93-116, 1927
•Gumbel, On the criterion that a given system of deviations from the probable in
the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably
supposed to have arisen from random sampling, Phil. Mag. vol. 6, p. 157-175, 1900
• Houze, Clouds Dynamics, Academic Press, 1994
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
141. Bibliografia e Approfondimenti
• Kleissl J., V. Kumar, C. Meneveau, M. B. Parlange, Numerical study of dynamic
Smagorinsky models in large-eddy simulation of the atmospheric boundary layer:
Validation in stable and unstable conditions, Water Resour. Res., 42, W06D10, doi:
10.1029/2005WR004685, 2006
•Kottegoda and R. Rosso, Applied statistics for civil and environmental engineers,
Blackwell, 2008
•Kumar V., J. Kleissl, C. Meneveau, M. B. Parlange, Large-eddy simulation of a diurnal
cycle of the atmospheric boundary layer: Atmospheric stability and scaling issues,
Water Resour. Res., 42, W06D09, doi:10.1029/2005WR004651, 2006
•Lettenmaier D., Stochastic modeling of precipitation with applications to climate
model downscaling, in von Storch and, Navarra A., Analysis of Climate Variability:
Applications and Statistical Techniques,1995
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
142. Bibliografia e Approfondimenti
•Salzman, William R. (2001-08-21). "Clapeyron and Clausius–Clapeyron
Equations" (in English). Chemical Thermodynamics. University of Arizona. Archived
from the original on 2007-07-07. http://web.archive.org/web/20070607143600/
http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html.
Retrieved 2007-10-11.
•von Storch H, and Zwiers F. W, Statistical Analysis in climate Research, Cambridge
University Press, 2001
•Whiteman, Mountain Meteorology, Oxford University Press, p. 355, 2000
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
143. Distribuzioni Autosimilari
•Equazione del moto della parcella (equazione di Eulero)
In un ambiente in equilibrio (velocita’ media nulla)
Dalle slides di Dino
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
144. Distribuzioni Autosimilari
Assumendo l’equilibrio idrostatico
si ottiene
Dalle slides di Dino
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
146. Distribuzioni Autosimilari
usando ora l’assunzione che la parcella si muova di moto adiabatico:
e l’equazione di stato dei gas ideali
si ottiene:
Dalle slides di Dino
Riccardo Rigon
Tuesday, March 6, 12
147. Distribuzioni Autosimilari
da cui:
ed infine l’equazione differenziale ordinaria:
Dalle slides di Dino
Riccardo Rigon
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148. Distribuzioni Autosimilari
per :
si ha equilibrio neutrale
equilibrio instabile (la soluzione diverge
esponenzialmente)
per :
equilibrio stabile (la soluzione oscilla con frequenza
detta di Brunt - Vaisala
Dalle slides di Dino
Riccardo Rigon
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