Este es una breve teoría, a modo de recapitular los contenidos previos, para introducirnos en el tema de ángulos, para luego trabajar con los alumnos de 7mo. de una forma más compleja, ya sea con las operaciones básicas con el sistema sexagesimal, ecuaciones entre otras alternativas acorde a desarrollo intelectual del grupo aúlico, según el docente lo estime adecuado. Prof. Cruz Teresa Alicia

1. Tema:
Angulos
Definición ...........................................................................................Pág. 2
Semiplano...........................................................................................Pág. 2
Ángulo.................................................................................................Pág. 3
Multilátero..........................................................................................Pág. 3
Clasificación de Ángulos Planos........................................................Pág. 4
Propiedades........................................................................................Pág. 6
Líneas Notable....................................................................................Pág. 8
Mediatriz de un Segmento..................................................................Pág. 8
Bisectriz de un Ángulo......................................................................Pag. 12
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Año 2.011

2. Definición
Semiplano
Se considera un plano α y una recta A tal que A ⊂ α
A
α
La recta A separa al plano  α  en dos partes.
Cada una de esas partes se llama semiplano
A es el borde de los semiplanos.
Para distinguirlos marcamos un punto en cada semiplano.
A y
x
α
Decimos:
Semiplano de borde A que contiene a x.
Semiplano de borde A que contiene a y.
Escribimos en símbolos:
Spl(A,x) y Spl(a,y)
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3. Ángulo
Definición: dados tres puntos no alineados a, b, c, se llama ángulo convexo
abc a la intersección del semiplano de borde ab que contiene a c y el
semiplano de borde bc que contiene a a.
en símbolos:
ˆ
Spl ( ab ,c ) ∩ Spl ( bc ,a ) = abc
a a
ángulo abc
b c b c
ˆ
abc Se lee: ángulo abc.
ba y bc son los lados.
b es el vértice.
Multilátero
Dados tres o más segmentos consecutivos se llama multilátero a la figura
formada por la unión de dichos segmentos
Triláteros cuadriláteros multiláteros
Abiertos
cerrados
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4. Clasificación de Ángulos Planos
Ángulo Agudo
Es el ángulo formado por la unión de
dos líneas rectas en una abertura
mayor de 0º y menor de 90º. A la unión se le llama vértice.
Ángulo Recto
Un ángulo recto es igual a 90º, o Rad.).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí, la proyección
ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con su punto de
intersección.
Ángulo Obtuso
Un ángulo obtuso es superior a 90º e inferior a 180º, esto es entre y
Rad.).
Ángulo Llano
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5. Un ángulo llano o plano es igual a 180º, o Rad.).
Un ángulo de 180º.
En un ángulo llano los dos lados están alineados uno a continuación de otro
dividiendo el plano en dos semiplanos.
Ángulo Cóncavo
Es el ángulo que mide más de 180º y menos de 360°
Ángulo Perigonal o Completo
Un ángulo perigonal es igual a 360º, esto es Rad.).
Este ángulo se obtiene al hacer girar la semirrecta hasta colocarla en su
posición inicial.
Ángulos Complementarios
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6. Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es un
ángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.
Ángulos Suplementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de sus grados es igual a
180º.
Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar
restando sus grados a 180.
Propiedades
Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, son
congruentes entre sí mismos.
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7. Ángulos Opuestos por el Vértice
Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son
semirrectas opuestas a los lados del otro.
los ángulos que no cumplen esta condición son aquellos que solamente están
unidos por un vértice en común y sus lados no son rectas proyectadas.
Teorema:
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. (Esta demostración es
adjudicada a Tales de Mileto)
H) α y β opuestos por el vértice
T) α=β
D) Considerando un ángulo adyacente a α y β:
α+γ=180º por ser adyacentes.
β+γ=180º por ser adyacentes.
por consecuencia del corolario de la propiedad transitiva, los primeros
términos deben ser iguales entre sí:
α+γ=β+γ
Y dado que γ es igual a sí mismo, restándolo en ambos miembros de la
igualdad:
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8. (α+γ)-γ=(β+γ)-γ
α=β
Corolario:
Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son semirrectas
opuestas.
Ángulos Adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no
comunes son semirrectas opuestas.
α y β son adyacentes
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Líneas Notables
Mediatriz de un Segmento
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en
dos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.
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9. En la figura, la recta m es la mediatriz del segmento AB , pues:
m
A B
o
m ⊥ AB en o.
Y o es el punto medio de AB , es decir:
AO = OB
Teorema: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos
del mismo y todo punto que equidista de los extremos de un segmento
pertenece a su mediatriz.
H) m, mediatriz del AB
T) 1º Todo punto de m equidista de A y de B.
2º Todo punto que equidista de A y de B pertenece a m.
Demostración:
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10. 1º se considera un punto cualquiera de la mediatriz: por ejemplo, el P. uniendo
∆ ∆
P con A y B, quedan formados los triángulos POA y POB , rectángulos en o,
por ser m ⊥ AB , y tales que:
P
m
A B
o
t i en
y tienen t i n e  t i  n e  1 r u
Luego estos dos triángulos tienen sus dos catetos iguales, por lo tanto, en
virtud del primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos, son iguales, y ,
en consecuencia, las hipotenusas también son guíales, es decir:
PA = PB
Luego, P equidista de A y de B; y como P es un punto cualquiera de la
mediatriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.
2º Se considera un punto R tal que equidista de A y de B, es decir:
RA = RB
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11. Se une R con el punto medio o del AB , y resultan los triángulos:


 
.
RO R O  2
1  
 R O 2 . 01  r uz e r e s aA
 1  2 . 01 1 AO = OB
 R

RA = RB
 R   2 . 0 1   r  
Por lo tanto estos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales;
luego, en virtud del tercer criterio de igualdad de triángulos, son iguales, es
decir:
∆ ∆
AOR = ROB
En consecuencia, todos sus elementos homólogos son iguales; entre ellos:
ˆ ˆ
ROA = ROB
Como estos ángulos son adyacentes, al ser iguales las rectas que los
determinan son perpendiculares, es decir:
RO ⊥ AB
y como o es el punto medio de AB es RO la perpendicular al AB en su punto
medio. Luego:
RO es mediatriz del AB
o sea:
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12. R pertenece a la mediatriz del AB
Igual razonamiento podría hacerse con cualquier otro punto que equidistara de
los extremos del segmento, luego queda demostrada la segunda parte de la
tesis.
Bisectriz de un Ángulo
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en
dos ángulos iguales. por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Teorema: todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del
mismo, y todo punto interior de un ángulo que equidista de los lados del mismo
pertenece a la bisectriz.
1


 


H) ˆ
BN bisectriz de ABC
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13. T) 1º todo punto de BN equidista de BA y de BC
2º Todo punto que equidista de BA y de BC pertenece a la
bisectriz BN .
Demostración:
1º se considera un punto cualquiera de la bisectriz, el M , por ejemplo.
Trazando las distancias de M a los lados BA y BC , que son respectivamente
∆ ∆
MP y MQ , resultan los triángulos BPM y BQM rectángulos en P y en Q por
ser MP ⊥ BA y MQ ⊥ BC , y tales que:
3   BM
 ˆ M 2
 3 2.
 ˆ M 2 . 01 Cr uz Te e s 
ˆ ˆ
 PBM = MBQ

Estos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo
respectivamente iguales; luego, por el tercer criterio de igualdad de triángulos
rectángulos, son iguales y, en consecuencia son iguales los catetos que se
oponen a ángulos iguales entre ellos: MP y MQ , es decir:
MP = MQ
Luego, M equidista de BA y BC , y como M es un punto cualquiera de la
bisectriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.
ˆ
2º sea R un punto tal que equidista de BA y BC del ángulo ABC , es decir:
RS = RT
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14. Uniendo R con B resultan los triángulos:
∆ ∆
RSB y RTB rectángulos en S y en T 
  4o 2 . 01 1 u z Te r
respectivamente, que tienen:   4o 2 .  o 2 .  1  o . 1
A
S
B R
R
T
C
Estos triángulos rectángulos tienen entonces la hipotenusa y un cateto
respectivamente iguales; luego, por el cuarto criterio de igualdad de
triángulos rectángulos, son iguales, y por lo tanto, todos sus elementos
ˆ ˆ
homólogos son iguales; entre ellos los ángulos SBR y RBT , que se oponen
respectivamente a los catetos SR y RT , o sea:
ˆ ˆ
SBR = RBT
en consecuencia:
ˆ
BR es la bisectriz del ángulo ABC ,
Es decir:
R pertenece a la bisectriz del ángulo.
Como igual razonamiento puede hacerse para cualquier punto que equidista
de los dos lados del ángulo, queda demostrada la segunda parte de la tesis.
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