Explicação sobre Transformada Z sobre o olhar de Processamento Digital de Sinais

1. A Transformada Z
Cássio Santos, Daniel Andrade e Victor Oliveira
1

2. Roteiro
● Introdução
● Exponenciais complexas como autofunções de sistemas
● A Transformada Z
● Relação com a transformada de Fourier
● Convergência
● Propriedades
● Aplicações práticas
2

3. Introdução
3

4. Introdução
- A transformada de Fourier não converge para todas as sequências
- Não converge para todas as sequências (ex: função degrau)
- Limitada a sinais absolutamente integráveis
- Contrapartida da Transformada de Laplace para sinais discretos no tempo
- Representação de diversos sinais para os quais não existe DTFT
- Para resolução analítica, é mais conveniente usar a representação Z
- Pode ser utilizada para a análise de sinais instáveis
4

5. Exponenciais complexas como autofunções de SLIT
● Em tempo contínuo, uma exponencial complexa aplicada a um SLIT resulta
em na convolução da mesma pelo sistema:
Entrada
Figura 3: Representação da aplicação de uma
exponencial complexa ao sistema LTI.
5

6. Exponenciais complexas como autofunções de SLIT
● Analogamente em um sistema de tempo discreto temos:
○ Entrada:
6
Figura 4: Representação da aplicação de uma
exponencial complexa ao sistema LTI.

7. Definição
- A transformada Z de um sinal arbitrário x[n] é definida como:
- Onde z é uma variável complexa e contínua.
- A relação de correspondência entre a sequência e sua transformada Z é
denotada por:
7

8. Definição
- A equação anterior é conhecida como transformada Z bilateral, ou
transformada Z de dois lados;
- A transformada Z unilateral ou de um lado é definida por:
- A equivalência entre ambas transformadas acontece quando x[n] = 0 para
n < 0.
8

9. Relação entre T. Laplace e a FT
9

10. Relação entre T. Laplace e a FT
- A FT é um caso especial da Transformada de Laplace
10
,

11. Relação entre T. Laplace e a FT
- A FT é um caso especial da Transformada de Laplace
comparando
FT
11

12. Relação entre T. Laplace e a FT
- A FT é um caso especial da Transformada de Laplace
12
,

13. Relação entre T. Laplace e a FT
13
Plano S Figura 5: Relação entre T. Laplace e a FT no
plano S

14. Relação entre Transformada Z e a DTFT
14

15. Relação entre Transformada Z e a DTFT
15
,

16. Relação entre Transformada Z e a DTFT
comparando
DTFT
16

17. O Plano Z
17
● A DTFT é um caso especial da
Transformada Z
○ No perímetro do círculo unitário (r = 1), a
Transformada Z é igual a DTFT
Figura 1: Equivalêcia da Transformada Z e da
DTFT no plano Z

18. Região de Convergência
18

19. - A transformada Z não converge para todas as sequências
- A transformada deve ser absolutamente somável
- A TZ pode convergir mesmo se a FT não convergir
- Devido a exponencial real r-n
(ex: r>1)
Região de Convergência (RDC ou ROC)
19

20. Região de Convergência (RDC ou ROC)
- A convergência pode ser visualizada através do
plano complexo.
- A região de convergência é muito importante,
pois dois sinais podem ter a mesma
transformada Z.
- A região de convergência da soma de
exponenciais é a intersecção das RDCs de
cada exponencial individual.
20
Figura 1: Representação da aplicação de uma
exponencial complexa ao sistema LTI.

21. - Já a função possui o mesmo
valor de transformada.
Região de Convergência (RDC ou ROC)
- A função possui a transformada Z
de:
21

22. Transformada Z Inversa
22

23. Transformada Z Inversa
- Mudando a variável de integração de ɷ para z
- Portanto,
23

24. Transformada Z Inversa
- Integral em um caminho fechado no plano complexo
24

25. Pares comuns da Transformada Z
25

26. Propriedades
26

27. Propriedades
27
- Linearidade:
- Deslocamento no tempo:
- Multiplicação por Exponencial:
- Diferenciação:
- Convolução:

28. Aplicações práticas
28

29. Aplicações
29
- Utilizada principalmente para analizar e processar dados digitais
- Imagens, áudio, vídeo
- Extensivamente utilizada no Processamento Digital de Sinais
- Projeto de Sistemas
- Análise da estabilidade do sistema
- Calcular a resposta em frequência de um sistema
- Resolução de equações de diferenças

30. Análise de sistemas
- Sistemas podem ser representados por equações a diferenças.
- Com a aplicação das propriedades sobre a equação do sistema no tempo discreto, a função
de transferência pode ser determinada pela função de polinômios.
- G(z) é conhecida como função de transferência e sua transformada inversa é
g[n] é a resposta ao impulso unitário.
30

31. Resolução de equações de diferenças
Exemplo:
31
substitui as C.I.
Propriedade

32. Análise e caracterização de sistemas LTI
● Estabilidade
○ Para uma sistema ser estável a região de convergência da sua função deve conter o círculo
unitário
● Causalidade
○ O sistema deve ter uma resposta ao impulso igual a zero para n < 0
○ Para um sistema ser causal a sua região de convergência deve estar fora do polo mais
externo (Lateral direita)
○ Na função de transferência, a ordem do numerador não é maior que a do denominador
32

33. Análise e caracterização de sistemas LTI
Exemplo:
Considerando o sistema LTI para o qual x[n] e y[n] satisfazem a equação de
diferenças linear de coeficiente constante:
33
Aplicando a transformada Z dos dois lados da equação, usando a propriedade de
deslocamento no tempo:

34. Análise e caracterização de sistemas LTI
Organizando a equação:
34
Encontrando a função de transferência:

35. Análise e caracterização de sistemas LTI
Analisando a função de transferência podem existir duas regiões de convergência
possíveis para a expressão. Uma considerando |z| > ½ e outra considerando |z| <
½
35
Considerando inicialmente a ROC para |z| > 1 e escrevendo a função de
transferência como:
Resposta ao impulso unitário:

36. Análise e caracterização de sistemas LTI
Considerando a ROC para |z| < 1 e escrevendo a função de transferência como:
36
Neste caso o sistema é anti-causal e instável
Resposta ao impulso unitário:

37. Referências
[1] Alan V. Oppenheim at al. 1975. Digital Signal Processing (1nd Ed.).
Prentice-Hall, Inc.
37