Este documento resume las principales aplicaciones del cálculo integral en diferentes áreas como geometría, física, economía y biología. Explica cómo se usa la integral para calcular el área entre dos curvas, volúmenes de sólidos de revolución, trabajo realizado por una fuerza, y la ubicación del centro de masa. También presenta ejemplos ilustrativos de cada aplicación.

1. Tema 5: Aplicaciones de
integración

2. El cálculo integral se utiliza para varias áreas:
 EN GEOMETRÍA-MATEMÁTICAS
 Hallar el área de regiones planas.
 Determinar la longitud de arco de una curva.
 Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad).
 Conocer el valor promedio de una función.
 EN FÍSICA
 Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro.
 Obtener velocidades y aceleraciones de móviles.
 Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa o
centroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente).
 EN ECONOMÍA
 Conocer el superávit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar
un artículo a un precio dado).

3.  EN BIOLOGÍA
 Determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad
de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por
unidad de tiempo.
 Obtener los volúmenes de sólidos de revolución.
 Encontrar la presión ejercida por un fluido.
 Obtener los volúmenes de sólidos de revolución.
 Calcular volúmenes de sólidos con secciones conocidas.
 EN GEOGRAFÍA
 La geografía es una ciencia que, al hacer uso de las matemáticas, en este caso del cálculo integral,
se prolonga y enaltece desde el punto de vista epistemológico, por lo que entonces su relación se
hace necesaria. Esta necesidad es la que nos conduce a trabajar esta ciencia. utiliza la integral
como herramienta eficaz en la resolución de problemas geográficos

4. 5.1. Área de una región entre dos curvas
Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos
funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥), las cuales tiene que ser continuas en los
intervalos [𝑎, 𝑏]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica 𝑦 = 𝑔(𝑥) esta
debajo de la grafica 𝑦 = 𝑓(𝑥), se puede interpretar geométricamente el área de
la región entre las graficas, es decir restar el área de la función 𝑦 = 𝑔(𝑥) al
área de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) , esto nos dará el área entre 2 curvas en
determinados intervalos.
El área se obtiene:
𝑨 =
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙

5. Ejemplos:
• Hallar el área de la región limitada por la gráfica de las funciones 𝑓 𝑥 =
𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥
• Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones 𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 2𝑥 y 𝑔 𝑥 = −𝑥2
+ 4𝑥

6. 5.2. Cálculo de volúmenes por el método del
disco
Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje
de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de
ancho x , el ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco (región plana circular) con la fórmula de
área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo
(x) que lo forma.
El volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región R sobre el eje “x”, está dada por:
𝑽 = 𝝅
𝒂
𝒃
𝒇(𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 = 𝝅
𝒂
𝒃
𝒚𝟐
𝒅𝒙
Cuando el eje de rotación es el eje “y”, y una curva 𝑥 = 𝑔 𝑦 entre 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑, el volumen del sólido de
revolución esta dada por:
𝒗 = 𝝅
𝒄
𝒅
𝒇(𝒚) 𝟐
𝒅𝒚 = 𝝅
𝒂
𝒃
𝒙𝟐
𝒅𝒚

7. Ejemplos:
• La región entre la curva 𝑦 = 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 25 y el eje x se gira alrededor del
eje x para generar un sólido. Hallar su volumen
• Hallar el volumen generado por el área bajo la curva por el segmento de recta
𝑦 = 1 +
𝑥
3
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 12. Calcular primero el giro con respecto a “x” y después
con respecto a “y”

8. 5.3. Cálculo de volúmenes por el método de
las secciones
Para secciones transversales de área A(x) perpendiculares al eje “x” :
Si el área de la sección de un sólido situado entre los planos verticales x = a y x = b en el
plano perpendicular al eje “x” , en el punto de abscisa x, viene dada por la función
continua A(x), entonces, el volumen del sólido es:
𝑉 =
𝑎
𝑏
𝐴 𝑥 𝑑𝑥
Para secciones transversales de área A(y) perpendiculares al eje “y”:
Si el área de la sección de un sólido situado entre los planos horizontales y = c y y = d en
el plano perpendicular al eje “y” , en el punto de ordenada y , viene dada por la función
continua A(y) , entonces, el volumen del sólido es:
𝑉 =
𝑎
𝑏
𝐴 𝑦 𝑑𝑦

9. Ejemplos:
• La base de un sólido es la región limitada por un círculo de radio 6 cm.
Determine el volumen del sólido si todas las secciones planas,
perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros, con uno de sus lados en
la base del sólido.
• La base de un sólido es la región del plano limitada por la recta 𝑦 = 2𝑥 y la
parábola 𝑦 = 𝑥2
.
Determine el volumen del sólido si las secciones planas paralelas
perpendiculares al eje y son semicírculos que tienen su diámetro en la base
del sólido.

10. 5.4. Cálculo de arcos y superficies de revolución
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o
generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el
mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
• Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela
al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado
cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina
radio.
• Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un
eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que
la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita alvolumen denominado
cono.
• Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia
alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
• Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia
alrededor de un eje que no la intersectan en ningun punto.

11. Definición (Área de Superficie de Revolución).
Sea f que pertenece a un intervalo 𝑎, 𝑏 y f´que pertenece a un intervalo 𝑎, 𝑏 , entonces el área de la
superficie de revolución que se obtiene al hacer girar la curva alrededor del eje x, es:
𝑺 = 𝟐𝝅
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝟏 + 𝒇´(𝒙) 𝟐 𝒅𝒙
Si el giro es correspondiente al eje y y con intervalos 𝑎, 𝑏 sobre el eje y:
𝑺 = 𝟐𝝅
𝒂
𝒃
𝒇 𝒚 𝟏 + 𝒇´(𝒚) 𝟐 𝒅𝒚

12. Ejemplos:
• Determine el área de la superficie que se obtiene al hacer girar el arco de
curva dada por la función: 𝑓 𝑥 =
𝑥3
12
+
1
𝑥
en el intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. entorno al
eje x.
• Determine el área de la superficie que se obtiene al hacer girar el arco de la
curva dada por la función: 𝑦 = 𝑥3, en el intervalo 0,2 , entorno al eje x.
• El arco de la parábola 𝑦 = 𝑥2
de puntos (1 , 1) a (2, 4) hace girar entorno al
eje y. Encuentre el área de la superficie resultante

13. 5.5. Aplicaciones al cálculo de trabajo
Por definición, el trabajo realizado por una fuerza se llama W y se define como la fuerza multiplicada por la
distancia en la que actúa la fuerza.
𝑊 = 𝐹 × 𝑑
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎; 𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
Cuando la fuerza es constante a lo largo de la distancia basta con hacer la multiplicación y listo.
Lo que pasa es que no siempre la fuerza es constante a lo largo de la distancia, lo que dificulta el cálculo del
trabajo. En tales casos, tomaremos intervalos infinitesimales donde podemos considerar a la fuerza como constante.
Entonces escribo esta expresión en su forma infinitesimal. Así:
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑥
Entonces, en los problemas en los que quiero calcular el trabajo realizado por una fuerza variable en la dirección
del eje x, necesito saber la expresión de F como una función de x, lo que nos permite escribir esta función en su
forma integrada:
𝑾 =
𝒂
𝒃
𝑭 𝒙 𝒅𝒙

14. Ejemplos:
• Ejemplo 1 – Resorte
Determinen el trabajo necesario para estirar un resorte comenzando desde su longitud
inicial de 1m hasta una longitud de 2m más allá de su longitud original si la constante
del resorte es K=95Nm.
• Ejemplo 2 - Levantar un cuerpo
¿Qué trabajo se ha hecho para levantar un balde que pesa 5𝑁 del suelo a velocidad
constante con una cuerda de 20𝑚 de longitud sabiendo que la cuerda pesa 0.08
𝑘𝑔
𝑚
?
• Ejemplo 3 - Tirar de un cuerpo
Un caballo tira de un carro a lo largo de una carretera recta, ejerciendo una fuerza
variable en el tiempo: 𝐹(𝑡) = 3 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑁. El carro se mueve a una velocidad constante
de 7
𝑚
𝑠
. Encuentren el trabajo realizado por el caballo en los primeros 30 segundos.

15. 5.6. Aplicaciones al cálculo de momentum,
centro de masa y centroides
El centro de masa es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema
de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema,
ponderadas de acuerdo a sus masas.
Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica
en el centroide. Por ejemplo, el centro de masa de un disco uniforme estaría en
su centro. Algunas veces el centro de masa no está en ningún lado sobre el
objeto. El centro de masa de un anillo, por ejemplo, está ubicado en su centro,
en donde no hay material.

16. Para formas más complicadas, necesitamos una definición matemática más general del centro de masa: es
la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman
cero.
Para calcular el centro de masa para una figura compuesta por una sola función, las coordenadas del centro
de masa se obtiene:
𝑥 = 𝑎
𝑏
𝛿𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝛿𝑓 𝑥 𝑑𝑥
; 𝑦 =
𝑎
𝑏 𝛿
2
𝑓(𝑥) 2
𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝛿𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝛿 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
Para calcular el centro de masa para una figura compuesta por mas de una función, las coordenadas del
centro de masa se obtiene:
𝑥 = 𝑎
𝑏
𝛿𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝛿 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
; 𝑦 =
𝑎
𝑏 𝛿
2
𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝛿 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝛿 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑

17. Ejercicio:
Determinar las coordenadas 𝑥 𝑦 𝑦 del centro de masa de una lámina plana
delgada con la forma de la región plana delimitada por las gráficas de la
funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 =
𝑥2
7
.

18. 5.7. Cálculo a la presión y fuerza de un fluido
De acuerdo con la física, se sabe que cuanto más profundamente se sumerge un
objeto, mayor es la presión que sufre (entendiendo como presión la fuerza ejercida
sobre cada unidad de área). La fórmula que se calcula la presión es:
𝑃 = 𝜌 ∗ ℎ
Donde 𝜌 es la densidad del fluido y ℎ la altura bajo la superficie.
Si ABCD (de la figura 1) representa una parte de la superficie vertical de una pared de
un aljibe, y si se desea conocer la presión total del fluido sobre dicha superficie, se
trazan los ejes coordenados tal y como está indicado en la figura 1, ubicando el eje y
sobre la superficie del fluido. Luego, se divide AB en n subintervalos y se construyen
rectángulos horizontales dentro de la superficie ABCD.

19. Por tanto, la presión de un fluido sobre una
superficie vertical sumergida limitada por una
curva, el eje x y las dos rectas horizontales 𝑥 = 𝑎
y 𝑥 = 𝑏, se obtiene con la fórmula:
𝑷 = 𝝆
𝒃
𝒂
𝒙𝒚𝒅𝒙
El valor de 𝒚 ha de sustituirse en términos de
𝒙, deducido de la ecuación de la curva dada.

20. Ejercicios:
• Una cañería circular de 4 m de diámetro (figura 2) está medio llena de
agua. Calcular la presión sobre la compuerta que cierra dicha cañería.

21. Ejercicio 2:
• Una presa tiene una compuerta vertical en forma de trapecio (figura) que
mide 12 m en su lado superior, 8 m en su base y 4m de altura. ¿Cuál es la
fuerza total ejercida sobre la compuerta si su lado superior está 4 m bajo
la superficie del agua?