2. Una expresión algebraica es una combinación de letras y
números ligados por las operaciones matemáticas (suma, resta,
multiplicación, división, potenciación, radicación, ...). Las letras,
que suelen representar cantidades desconocidas, no tienen un
valor fijo y se denominan variables. Los números se denominan
constantes porque tienen un valor fijo. La manipulación de
expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la
manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se
comportan como si fuesen números.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b,
c, d, etc. representan valores fijos en la expresión. Estas
letras también se pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros
símbolos, representan variables que pueden tomar
valores dentro de un subconjunto de números reales.
3. Proceso mediante el cual se busca unir los términos semejantes de la
operación para así poder resumirlo al menor número de términos posibles y
obtener un resultado más concreto, esto solo puede ocurrir si en la
operación hay términos similares, si este no es el caso se dejan escritos tal y
como están
El signo de agrupación usado es el
Formula
Ejercicio 1(Monomio)
Ejercicio 2
(Polinomio)
(6x+z)+(2x+3y)+(−y−5z)
Al retirar los paréntesis, el signo ++ no afecta a los
signos operacionales de los términos de los polinomios
encerrados quedando:
6x+z+2x+3y−y−5z6z
y reduciendo términos semejantes, tenemos:
6x+2x+3y−y+z−5z=(6+2)x+(3−1)y+(z−5z)=8x+2y−4z
(8x)+(4x)+(−3y)+(−5y)+(2z)+(z)
Eliminamos los paréntesis, el signo operacional suma + no
afecta a los signos de los monomios encerrados, la
expresión quedaría simplemente así:
8x+4x–3y–5y+2z+z=(8+4)x+(−3−5)y+(2+1)z=12x−8y+3z
4. Al igual que la suma, busca unificar los términos semejantes
para así obtener el menor número de términos en la operación,
pero a diferencia de la suma al restar el signo de agrupación
(-) afecta a cada termino, esto es, cambia los signos
operacionales de cada termino luego de eliminar los
paréntesis.
Formula
(4a)–(−2a)–(−3b)–(−5b)–(2c)–(c)
Eliminando los paréntesis, resulta:
4a+2a+3b+5b–2c–c
Reduciendo términos semejantes:
6a+8b–3c
(8m+6n)–(2m–5n)–(−p)
Eliminando paréntesis se cambian los
signos de 2m−5n a −2m+5n y −p a p:
8m+6n−2m+5n+p
Reduciendo términos semejantes:
6m+11n+p
Ejercicio 1
(Monomio) Ejercicio 2 (Polinomio)
5. El valor numérico de una expresión algebraica, para un
determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir
en ésta por valor numérico dado y realizar las
operaciones indicadas.
Hallar el valor numérico de las
siguientes expresiones para:
a = -6 ; b = 15
5a + 8b
= 5. (-6) + 8 . 15
= -30 + 120
=90
Hallar el valor numérico de las
siguientes expresiones para:
a = -48 ; b = 19 ; c = 5
-6a + 3b + 7c
=-6. (-48) + 3. 19 + 7. 5
=288 + 57 + 35
=380
6. Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica,
en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un
resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada
multiplicando y multiplicador.
Multiplicación entre monomios
• Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
• Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según
las leyes de los exponentes que estudiamos anteriormente.
• Aplicamos las ley distributiva
• Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los signos.
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio,
aplicaremos la ley distributiva, esto es, se multiplica el monomio
a cada termino del polinomio, luego, realizar el proceso de
multiplicación entre monomios. Este tipo de multiplicación tiene
la siguiente forma:
Multiplicación de monomio por un polinomio
Multiplicación entre polinomios
Para saber como resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo
debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la ley se signos y
las leyes de la potenciación.
La forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos
polinomio es de la forma (a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd, esto es, la
multiplicación entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es tan
solo aplicando la propiedad distributiva.
7. Multiplicar (x–3)(x+4)
(x–3)(x+4)=
x⋅x+x⋅4+(−3)⋅x+(−3)⋅4=
x2+4x+(−3x)+(−12)=
=x2+4x−3x−12
=x2+x−12
Por lo general, llamamos
multiplicando al factor de la
izquierda x-3, y multiplicador
al factor de la derecha x+4
Multiplicar a,
−3a2b y −ab3
(a)(−3a2b)(−ab3)=
(1−3−1)(a⋅a2b⋅ab3)=
(3)(a1+2+1b1+3)=
3a4b4
Por lo que se ve la variable de
color rojo x multiplica a cada
termino de la suma del factor x+4
y el numero de color verde -3
multiplica al igualmente los
mismos términos del factor x+4
El resultado obtenido es x2 + x -12
Tanto los signos de agrupación
como el punto, indican que los
factores se están multiplicando
siempre y cuando no exista algún
operador entre los factores
Ejercicio
1(Monomio)
Ejercicio 2 (Polinomio)
8. División de expresiones algebraicas
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra
expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. Al trabajar con con polinomios, se debe tener en cuenta un punto
importante: el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún término
del divisor.
División entre monomios
Reglas que debemos seguir para dividir dos monomios:
• Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
• Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la
ley de exponentes.
División de un polinomio entre un monomio
Esta es una división muy sencilla, su residuo es siempre cero se debe
usar la propiedad distributiva para realizar esta división. Se divide cada
termino del polinomio por el monomio. La propiedad distributiva
prosigue de la siguiente manera:
Resultado
• Los polinomios el dividendo y divisor deben estar ordenados en forma
descendente.
• Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor y se obtiene el primer término del cociente.
• El primer término del cociente se multiplica por cada término del
divisor y se les cambia de signo, lo colocamos debajo del dividendo
con su correspondiente término semejante.
• Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término
del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.
• Se procede como el paso numero 1.
• Se procede la operación hasta llegar a la ultima columna del
dividendo.
División entre polinomios
División Clásica
10. Producto notable de expresiones algebraicas
Se llama producto notable a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede
ser escrito sin verificar la multiplicación.
Suma de Binomio al cuadrado
Un binomio es un polinomio de 2 términos no semejantes
como a + b, al elevarlo al cuadrado produce un polinomio
de 3 términos:
Si le cambiamos el signo de b por −b, a la anterior formula nos
encontramos con una diferencia de dos términos al cuadrado, que
también es un binomio al cuadrado y toma la siguiente forma:
Resta de Binomio al cuadrado
Binomio conjugado
Es otro binomio que se diferencia únicamente por el signo de uno de
los términos. Para resolver los binomios deben ser exactamente
iguales con la única diferencia que el signo es diferente, uno es
positivo y el otro es negativo.
Binomio al cubo
Resulta ser igual al cubo del primero mas el triple del cuadrado
del primero por el segundo mas el triple del primero por el
cuadrado del segundo mas el cubo del tercero.
Matemáticamente se expresa para la suma y resta así:
Suma y resta
12. Factorización
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos
o más polinomios llamados factores, de tal modo
que, al multiplicarlos, se obtenga el polinomio
original. La Factorización de Polinomios, significa,
transformar una suma algebraica en un producto
de factores.
Factorización de producto notable
Suma de Binomio al cuadrado Resta de Binomio al cuadrado Binomio conjugado
13. Binomio conjugado
9x2-4 =
Debido a su composición se da a
entender que es un binomio conjugado
y al buscar factorizarlo el resultado es:
(3x+2)(3x-2) = 9x2 - 4
Suma de binomio al cuadrado
4y2 + 8xy + 4x2
Se agarran el primer y el ultimo termino
como base luego se factorizan el
resultado es el siguiente:
(2y+2x)
Ejercicio 1 Ejercicio 2
