Materi Aljabar Fungsi Pecahan Rasional

1. MAKALAH FUNGSI RASIONAL
DISUSUN OLEH :
1. Wiwin Ria Utami (06081381419056)
2. Diana Putri Puspita Dewi (06081381419057)
3. Sri Utami (06081381419058)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKANMATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2. FUNGSI RASIONAL
Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak
(polinom). Mislanya
1. 𝑦 =
2
(𝑥+1)3
2. 𝑦 =
2𝑥+2
𝑥2−4𝑥+8
Fungsi 1 dan 2 dinamakan fungsi rasioanal sejati karena derajat pembilang kurang
dari derajat penyebut. Sedangkan fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai
jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati . Misalnya:
𝑦 =
𝑥5
+ 2𝑥3
− 𝑥 + 1
𝑥3 + 5𝑥
= 𝑥2
− 3 +
14𝑥 + 1
𝑥3 + 5𝑥
Hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut.
Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis fungsi rasional dan cara menggambar
grafiknya.
1. Fungsi 𝒚 =
𝒄
𝒙
Fungsi ini tidak memiliki titik potong , nilai dari variable tergantung pada x dan c
Jika : 𝑐 = +, 𝑥 = +, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 = +
𝑐 = +, 𝑥 = −, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 = −
𝑐 = −, 𝑥 = +, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 = −
𝑐 = −, 𝑥 = −, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦 = +
Contoh soal: Buat grafik fungsi 𝑥 =
9
𝑦
Penyelesaian : 𝑥 =
8
𝑦
𝑦 = + , 𝑥 = +
𝑦 = −, 𝑥 = −
𝑇𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑎𝑛𝑡𝑢 ∶ 𝑦 = ±2 , 𝑥 = ±4
𝑦 = ±1 , 𝑥 = ±8

3. 𝐴𝑠𝑖𝑠𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑖 (0,0)
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑥 =
8
𝑦
∶
2. Fungsi 𝑦 =
𝑐
𝑥 2
Fungsi ini tidak memenuhi untuk menentkan titik potong. X akan selalu positif karena
merupakan dalam bentuk kauadrat yang menentukan adalah nilai dari C
Jika: 𝑐 = +, 𝑦 = +
𝑐 = −, 𝑦 = −
Contoh soal :
Buat grafik fungsi 𝑦 =
25
𝑥2
Penyelesaian: 𝑦 =
25
𝑥2
𝐽𝑖𝑘𝑎 ∶ 𝑥 = +, 𝑦 = + 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −, 𝑦
= + 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒 𝐼 𝑑𝑎𝑛 𝐼𝐼
𝑇𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑎𝑛𝑡𝑢 𝑥 = ±1, 𝑦 = 25 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = ±5, 𝑦 = 5
Gambar 𝑥 =
8
𝑦

4. 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑦 =
25
𝑥2 ∶
3. Fungsi 𝑦 =
𝑎𝑥+𝑏
𝑝𝑥+𝑞
𝑝 ≠ 0, jika 𝑝 = 0 maka bentuk ini disebut fungsi linier .
𝑎
𝑝
≠
𝑏
𝑞
, jika
𝑎
𝑝
=
𝑏
𝑞
maka pecahan
tersebut harus disederhanakan. Langkah dalam membuat grafik dengan menentukan:
 Titik potong sumbu x , 𝑦 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑥 =
−𝑏
𝑎
(
−𝑏
𝑎
, 0)
 Titik potong sumbu y, 𝑥 = 0
𝑦 =
0 + 𝑏
0 + 𝑞
𝑦 =
𝑏
𝑞
(0,
𝑏
𝑞
)
 Asimtot datar
𝑦 =
𝑎
𝑝
Gambar 𝑦 =
25
𝑥2

5.  Asimtot
𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
𝑥 =
−𝑞
𝑝
Contoh soal : 𝑦 =
2𝑥−5
5𝑥+3
Penyelesaian: 𝑦 =
2𝑥−5
5𝑥+3
 Titik potong terhadap sumbu x, 𝑦 = 0
2𝑥 − 5 = 0
𝑥 =
5
2
(
5
2
, 0)
 Titik potong terhadap sumbu y, 𝑥 = 0
𝑦 =
0 − 5
0 + 3
𝑦 =
−5
3
(0,
−5
3
)
 Asimtot datar
𝑦 =
2
5
 Asimtot tegak
5𝑥 + 3 = 0
𝑥 =
−3
5

6. Grafik fungsi =
2𝑥−5
5𝑥+3
:
Gambar 𝑦 =
2𝑥−5
5𝑥+3

7. 4. Fungsi y =
ax2
+bx+c
px+q
Fungsi 𝑦 =
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥+𝑞
merupakan bentuk yang ke empat dari macam-macam bentuk fungsi
pecahan. Bentuk fungsi ini sedikit berbeda dari bentuk fungsi sebelumnya, karena fungsi ini
tidak memiliki asimtot datar. Pada fungsi ini hanya memiliki asimtot tegak dan asimtot
miring. Cara mencari asimtot tegak dapat dengan menggunakan rumus 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, dimana
akan didapatkan nilai x dengan rumus 𝑥 =
−𝑞
𝑝
, selain itu cara mencari nilai dari asimtot
miring ialah dengan menggunakan rumus 𝑦 =
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥+𝑞
dimana 𝑦 = ( 𝑚𝑥 + 𝑛) +
𝑐
𝑝𝑥+𝑞
dari
rumus itu yang menjadi asimtot miringnya adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Misalkan 𝑦 =
4𝑥2−20𝑥+49
4𝑥−12
Harga pembilang positif untuk tiap harga x, maka fungsi tidak mempunyai titik nol, lalu
dapat dicari asimtot tegaknya, dari soal itu dapatkan nilai asimtot tegaknya yaitu 𝑥 = 3 cara
mencarinya juga menggunakan rumus asimtot tegak. Tititk potong fungsi dengan sumbu y
adalah (0 , 4
1
2
). Sedangkan asimtot miringnya dapat dicari dengan membagi antara
pembilang dengan penyebut, setelah itu akan didapatkan persamaan 𝑦 = 𝑥 − 2 +
25
4𝑥−12
dari
persamaan itu didapatkan asimtot miringnya yaitu 𝑦 = 𝑥 − 2 , apabila R itu sesuatu titik pada
garis lengkung yang absisnya x, tentulah ordinatnya 𝑥 − 2 +
25
4𝑥−12
, apabila S menyatakan
asimtot miringnya adalah 𝑦 = 𝑥 − 2 yang absisnya sama tentulah ordinat S sama dengan 𝑥 −
2. Hanya 2 asimtot itu sajalah yang ada pada bentuk keempat dari fungsi pecahan. Adapun
sebab-sebabnya adalah agar supaya titik 𝑅 = (𝑥, 𝑦) dapat bergerak melalui garis lengkung
ketempat yang jauhnya tak terhingga, mestilah x atau y menjadi besar tak terhingga. Harga 𝑦
hanyalah tak berhingga, apabila harga pembilang fungsi yang ditentukan itu menjadi tak
berhingga, ataupun jika penyebutnya mendekati nol tak bersyarat. Bagaimanapun juga, harga
𝑥 mestilah menjadi besar tak berhingga, ataupun mendekati 3 tak bersyarat. Dalam hal yang
pertama jarak R terhadap asimtot miring mendekati harga nol dan dalam hal yang kedua,
jarak R terhadap asimtot tegak 𝑥 = 3, selain itu tidak akan ada lagi asimtot yang lainnya.
Selain asimtot hal yang harus dicari adalah harga-harga ekstrim. Yang dapat digunakan untuk
mencari harga-harga ekstrim itu ialah bahwa dikatakan bahwa sesuatu harga x yang riil yang
menghasilkan harga y tersebut, bahwa y umpamanya tidak mungkin sama dengan nol. Harga-

8. harga x yang dalam hal ini menghasilkan harga-harga y yang ditanyakan itu, dapat dicari
dengan persamaan
4𝑥2−20𝑥+49
4𝑥−12
= 𝑦 persamaan ini ekivalen dengan
4𝑥2−20𝑥+49−𝑦(4𝑥−12)
4𝑥−12
= 0 dan oleh karena 4𝑥2
− 20𝑥 + 49 tidak dapat dibagi dengan
𝑥 − 3 , persamaan itu ekivalen pula dengan persamaan
4𝑥2
− 4( 𝑦 + 5) 𝑥 + 12𝑦 + 49 = 0 ........................................ (1)
Akar-akar persamaan ini riil, apabila dipenuhi syarat :
1
16
𝐷 = (𝑦 + 5)2
− (12𝑦 + 49) =
𝑦2
− 2𝑦 − 24 = ( 𝑦 − 6)( 𝑦 + 4) ≥ 0 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑎𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑦 ≥ 6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 ≤ −4.Untuk 𝑦 =
6 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑥 = 5
1
2
, sedangkan untuk 𝑦 = −4 diperoleh 𝑥 =
1
2
. Untuk harga y ini
diskriminan D dari persamaan (1) sama dengan nol, sehingga yang perlu dihitung hanyalah
separuhnya dari hasil jumlah akar-akar pada persamaan (1). Untuk −4 < 𝑦 < 6 persamaan
(1) tidak menghasilkan akar-akar yang riil. Dengan demikian ruang diantara garis 𝑦 =
−4 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 6 tidak mengandung titik-titik garis lengkung. Dari situ diperoleh bahwa titik
yang serendah-rendahnya adalah (5
1
2
, 6) semua titik yang lain pada cabang atasnya terletak
diatas garis 𝑦 = 6, dan yang tertinggi adalah (
1
2
, −4) semua titik yang lain pada cabang
bawahnya terletak dibawah garis 𝑦 = −4. Itulah yang merupakan titik ekstrim dari
persamaan yang telah dibuat tadi.
Contoh Soal:
Gambarkan sketsa grafik 𝑦 =
𝑥2−2𝑥−3
2𝑥−9
Penyelesaian :
 Titik potong sumbu x
Untuk 𝑦 = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0 diperoleh akar-akarnya ( 𝑥 − 3) 𝑑𝑎𝑛 (𝑥 + 1) jadi x1 =
3 dan x2 = -1, maka (3,0) 𝑑𝑎𝑛 (0,−1)
 Titik potong sumbu y
Untuk 𝑥 = 0

9. 𝑦 =
(0)2−2(0)−3
2(0)−9
jadi 𝑦 =
−3
−9
atau 𝑦 = −
1
3
, maka (0, −
1
3
)
 Asimtot tegak
𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 , jadi 𝑥 = −
𝑞
𝑝
2𝑥 − 9 = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 =
9
2
 Asimtot miring
𝑦 =
𝑥2−2𝑥−3
2𝑥−9
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦 = (0,5𝑥 + 1,25)
8,25
2𝑥−9
maka asimtot miringnya adalah
𝑦 = 0,5𝑥 +1,25

10. 5. Fungsi
ax2
+bx+c
px2+qx+r
Fungsi 𝑦 =
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟
merupakan bentuk yang ke lima dari macam-macam bentuk fungsi
pecahan. Pada fungsi ini memiliki asimtot datar dan asimtot tegak, namun selain itu bentuk
fungsi ini juga memiliki titik potong asimtot datar. Cara mencari asimtot tegak 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, selain itu cara mencari nilai dari asimtot datar 𝑦 =
𝑎
𝑝
. Titik-titik nol 𝑦 =
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟
diperoleh dengan jalan mencari harga-harga x dari persamaan 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan
demikian mungkin terdapat dua titik nol yang berlainan dan mungkin juga dua titik nol yang
berimpit, tapi mungkin pula perhitungan sama sekali tidak menghasilkan titik nol. Ordinat
titik potong sumbu y ialah
𝑐
𝑟
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑐 ≠ 0 titik itu terletak pada tempat yang
jauhnya tak berhingga maka dalam hal ini sumbu y merupakan asimtot dari pada fungsi.
Berbicara mengenai kutub berimpit, apabila penyebut fungsi mempunyai bentuk (𝑘𝑥 + 1)2
hal itu sesuai dengan pengertian titik berimpit (titik singgung dengan sumbu-x), yang
dipergunakan apabila pembilang fungsi merupakan kuadrat dari pada suatu bentuk linear
dalam x.
Fungsi itu dapat ditulis dalam bentuk :
𝑝 =
𝑎+
𝑏
𝑥
+
𝑐
𝑥2
𝑝+
𝑞
𝑥
+
𝑟
𝑥2
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 | 𝑥| → ∞ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑎
𝑝
apabila x itu melukiskan
suatu absis yang tertentu, maka selisih diantara ordinat pada garis lengkung yang
bergandengan dan
𝑎
𝑝
sama dengan
1
𝑝2
.
1
𝑥
.
𝑝𝑏−𝑎𝑞+
𝑝𝑐−𝑎𝑟
𝑥
1+
𝑞
𝑝𝑥
+
𝑟
𝑝𝑥2
untuk | 𝑥| → ∞ mempunyai limit nol.
Dengan demikian 𝑦 =
𝑎
𝑝
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟.
Pada fungsi ini, garis lengkung ittu pada umumnya dipotong pula oleh asimtot datar
𝑦 =
𝑎
𝑝
. Absis titik potong itu dapat ditemukan dari persamaan
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟
=
𝑎
𝑝
𝑎𝑡𝑎𝑢 ∶
( 𝑏𝑝 − 𝑎𝑞) 𝑥 + 𝑐𝑝 − 𝑎𝑟 = 0. Sebelum grafik digambar, hendaklah ditetapkan dahulu
dititik nol, titik potong dengan sumbu y, asimtot-asimtot, titik potog dengan asimtot datar,
kemudian tempat garis lengkung disekitar asimtot-asimtot itu, dan tidak lupa menghitung
harga dari titik ekstrimnya.

11. Contoh Soal :
Gambarkan grafik dari fungsi 𝑦 =
3𝑥2−18𝑥−21
2𝑥2−17𝑥+30
Penyelesaian :
𝑦 =
3𝑥2
− 18𝑥 − 21
2𝑥2 − 17𝑥 + 30
 Titik potong sumbu x
Untuk y = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 maka 3𝑥2
− 18𝑥 − 21 = 0 untuk memudahkan mencari akar-akarnya
maka bilang tersebut harus dibagi 3 hingga diperoleh 𝑥2
− 6𝑥 − 7 maka akar-akarnya adalah
( 𝑥 − 7) 𝑑𝑎𝑛 (𝑥 + 1) jadi diperoleh x1 = 7 dan x2 = -1
 Titik potong sumbu y
Untuk x = 0
𝑦 =
𝑐
𝑟
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑦 =
−21
30
𝑎𝑡𝑎𝑢
−7
10
𝑚𝑎𝑘𝑎 (0,−
7
10
)
 Asimtot tegak
2𝑥2
− 17𝑥 + 30 = 0 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑎𝑘𝑎𝑟 − 𝑎𝑘𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 (2𝑥 − 5)( 𝑥 − 6) dengan x1 =
5
2
atau x2 = 6
 Asimtot datar
𝑦 =
𝑎
𝑝
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑦 =
3
2
 Titik potong asimtot datar
3𝑥2
− 18𝑥 − 21
2𝑥2 − 17𝑥 + 30
=
3
2
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
6𝑥2
− 36𝑥 − 42 = 6𝑥2
− 51𝑥 + 90 𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ

12. 15𝑥 − 132 = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 =
132
15
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 =
44
5
𝑚𝑎𝑘𝑎 (
44
5
,
3
2
)

13. LATIHAN
1. Sketsakan grafik 𝑦 =
16
𝑥2
2. Gambarkan grafik fungsi 𝑦 =
−2𝑥+7
3𝑥−5
, kemudian tentukanlah titik-titik potong
grafik itu dengan garis 2𝑥 + 3𝑦 = 13
3. Tentukan Asimtot dari 𝑦 =
2𝑥2
−20𝑥+32
𝑥2−16𝑥+60
4. Gambarkan grafik 𝑦 =
𝑥2
−6𝑥−7
𝑥2−7𝑥+6
5. Gambarlah grafik 𝑦 = 2𝑥 + 3 dan 𝑦 =
18
𝑥
; pada salib sumbu itu juga gambarlah
grafik 𝑦 = 2𝑥 + 3 +
18
𝑥
6. Gambarlah sketsa grafik 𝑦 =
𝑥2
+3𝑥+6
𝑥+5
7. Carilah asimtot-asimtot dari fungsi 𝑦 = 𝑥 +
1
𝑥
dan gambarkan grafiknya
8. Gambarlah sketsa grafik 𝑦 =
1
(𝑥−5)2
9. Grafik 𝑦 =
2𝑥2
+5𝑦−10
𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟
berasimtot garis y=2, x=1, x=-2 . hitunglah nilai p, q, dan r
serta gambar sketsa grafiknya?
10. Gambarlah sketsa grafik 𝑦 =
2𝑥2
−21𝑥+52
2𝑥−9

14. Kunci
1. 𝑦 =
16
𝑥2
2. 𝑦 =
−2𝑥+7
3𝑥−5
dan 2𝑥 + 3𝑦 = 13
Titik-titik potongnya adalah (2,3) dan (7,17 ; -0,44)
3. Asimtot tegak 𝑥 = 10 dan 𝑥 = 6 ; Asimtot datar 𝑦 = 2

15. 4. 𝑦 =
𝑥2
−6𝑥−7
𝑥2−7𝑥+6
5. 𝑦 = 2𝑥 + 3 +
18
𝑥

16. 6. 𝑦 =
𝑥2
+3𝑥+6
𝑥+5
7. Asimtottegak 𝑥 = 0danasimtotdatar y=x
Grafik: 𝑦 = 𝑥 +
1
𝑥

17. 8. Sketsagrafik 𝑦 =
1
(𝑥−5)2
9. Nilai : 𝑝 = 1, 𝑞 = 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑟 = −2
Grafiknya:
𝑦 =
2𝑥2
+ 5𝑦 − 10
𝑥2 + 𝑥 − 2

18. 10. 𝑦 =
2𝑥2
−21𝑥+52
2𝑥−9

19. DAFTAR PUSTAKA
Kuipers.L dan Rawuh.1963.Aldjabar Rendah.Jakarta.:Pradnjaparamita
Purcell.Edwin J. dan Dale Varberg. 1987.Kalkulus dan Geometri Analitik.Jakarta:Erlanggai
Irawan.Rully.2014.Grafik Fungsi Rasional. http://soulmath4u.blogspot.com/2013/10/grafik-
fungsi-rasional.html (online).diakses 13 mei 2015