Materi Mengenai Aljabar Polinomial (suku banyak)

1. Makalah Aljabar
Polinomial (Suku Banyak)
Disusun Oleh :
Kelompok 2
1. Qonitha Amalia (06081281419030)
2. Desty Rupalestari ( 0608128419031)
3. Sholihatun Nisa’ (06081281419033)
Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sriwijaya

2. Polinomial ( Suku Banyak )
1. Pengertian dan Nilai Suku Banyak
A. Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak
dalam x berderajat n dinyatakan dengan:
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ .... + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Dengan syarat n ∈ bilangan cacah 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛−1, … 𝑎0 disebut koefesien-koefesien suku
banyak, 𝑎0 disebut suku tetap dan 𝑎 𝑛 ≠ 0.
Contoh :
1) 6𝑥3
– 3𝑥2
+ 4x – 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien 𝑥3
adalah 6,
koefisien 𝑥2
adalah –3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya –8.
2) 2𝑥2
– 5x + 4 –
7
𝑥
adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu
7
𝑥
atau
7𝑥−1
dengan pangkat –1 bukan anggota bilangan cacah.
B. Nilai Suku Banyak
Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ .. . . + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
di mana n ∈ bilangan cacah dan 𝑎 𝑛 ≠ 0. Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku
banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.
1) Cara substitusi
Misalkan suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑. Jika nilai x diganti k, maka
nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah 𝑓(𝑘) = 𝑎𝑘3
+ 𝑏𝑘2
+ 𝑐𝑘 + 𝑑. Agar lebih
memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.

3. 1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
+ 4𝑥2
– 18 untuk x = 3
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥4
+ 3𝑥3
– 𝑥2
+ 7𝑥 + 25 untuk x = –4
Penyelesaian :
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
+ 4𝑥2
– 18
𝑓(3) = 2. 33
+ 4. 32
– 18
𝑓(3) = 2.27 + 4.9 – 18
𝑓(3) = 54 + 36 – 18
𝑓(3) = 72
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.
2. 𝑓( 𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3– 𝑥2 + 7𝑥 + 25
𝑓(– 4) = (−4)4 + 3(−4)3 – (−4)2 + 7 (– 4) + 25
𝑓(−4) = 256 – 192 – 16 – 28 + 25
𝑓(– 4) = 45
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = –4 adalah 45.
2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik
Misalkan suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 . Jika akan ditentukan nilai
suku banyak 𝑥 = 𝑘, maka:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑
𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑥 + 𝑑
𝑓(𝑥) = ((𝑎𝑥 + 𝑏)𝑥 + 𝑐)𝑥 + 𝑑
Sehingga 𝑓(𝑘) = ((𝑎𝑘 + 𝑏)𝑘 + 𝑐)𝑘 + 𝑑.
Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut:
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan
menjadi pembagi-pembagi berderajat

4. 1. Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga
konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4𝑥3
– 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk 𝑥3
, 𝑥2
, x,
dan konstanta)
2. Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien
derajat tertinggi P(x) Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3
+ P1.S2 + S1 dan seterusnya.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 – 4 untuk 𝑥 = 5
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
– 3𝑥2
+ 9𝑥 + 12 untuk x =
1
2
Penyelesaian :
Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.
2.
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x =
1
2
adalah 16.
3) Cara koefisientak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
contoh soal
1. 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑥 + 5 dibagi 2𝑥2
-x-1 menggunakan cara koefesien tak tentu

5. karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2𝑥3
– 3𝑥2
+ x + 5 = (2𝑥2
– x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2𝑎𝑥3
+ 2𝑏𝑥2
– a𝑥2
– bx – ax – b + cx + d
= 2𝑎𝑥3
+ (2b – a)𝑥2
+ (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
𝑥3
→ 2 = 2a → a = 2/2 = 1
𝑥2
→ –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4
C. Operasi Antar Suku Banyak
1. Penjumlahan, Pengurangan, dan Pembagian
Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat
ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis dari kedua suku
banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan
dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu.Dalam mengalikan suku-suku
dari kedua suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian
terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.
Contoh:
Diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan
𝐹(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 4 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2
a) Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya
b) Tentukan f(x) - g(x) serta derajatnya
c) Tentukan f(x). g(x) serta derajatnya

6. Penyelesaian:
a) 𝐹(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑥3
+ 𝑥2
− 4) + ( 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2)
= (𝑥3
+ 𝑥3
) + ( 𝑥2
− 2𝑥2)+ 𝑥 + (−4 + 2)
= 2𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 – 2
Jadi, 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 – 2 dan 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) berderajat 3
b) 𝐹(𝑥) – 𝑔(𝑥) = (𝑥3
+ 𝑥2
− 4) − ( 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2)
=(𝑥3
− 𝑥3
) + ( 𝑥2
− (−2𝑥2)− 𝑥 + (−4 − 2)
=3𝑥2
− 𝑥 – 6
Jadi, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥 – 6 dan 𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥) berderajat 2
c) 𝐹(𝑥). 𝑔(𝑥) = (𝑥3
+ 𝑥2
− 4 )(𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2)
= 𝑥3( 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2) + 𝑥2( 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2) − 4 (𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 2
= 𝑥6
− 2𝑥5
+ 𝑥4
+ 2𝑥3
+ 𝑥5
− 2𝑥4
+ 𝑥3
+ 2𝑥2
− 4𝑥3
+ 8𝑥2
− 4𝑥 − 8
= 𝑥6
+ (−2𝑥5
+ 𝑥5) + ( 𝑥4
− 2𝑥4)+ ( 2𝑥3
+ 𝑥3
− 4𝑥3) ( 2𝑥2
+ 8𝑥2
−
4𝑥 − 8)
= 𝑥6
− 𝑥5
− 𝑥4
− 𝑥3
+ 10𝑥2
– 4𝑥 – 8
Jadi, 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 = 𝑥6
− 𝑥5
− 𝑥4
− 𝑥3
+ 10𝑥2
– 4𝑥 – 8 dan f(x).g(x) berderajat 6
2. Kesamaan suku banyak
Suku banyak f(x) memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x) , jika kedua suku banyak
itu mempunyai nilai yan sama untuk semua variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku
banyak f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai
𝑭(𝒙) ≡ 𝒈(𝒙)
Dengan lambang ≡ dibaca "kesamaan"
Misalkan diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) yan dinyatakan dalam bentuk
umum.
f(x) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ .... + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
g(x) =𝑏 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑏 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑏 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ .... + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
Jika f(x) mempunyai kesamaan dengan g(x), ditulis f(x) ≡ g(x), maka berlaku hubungan
𝑎 𝑛 = 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛−1 = 𝑏 𝑛−1,… , 𝑎2 = 𝑏2, 𝑎1 = 𝑏1, dan 𝑎0 = 𝑏0

7. Contoh
Tentukan nilai a pada kesamaan 𝑥2
− 3𝑥 + 14 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 3𝑎
Penyelesaian: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan
𝑥2
− 3𝑥 + 14 ≡ 𝑥2
− 3𝑥 + 2 + 3𝑎
𝑥2
− 3𝑥 + 14 = 𝑥2
− 3𝑥 + (2 + 3𝑎 )
Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :
14 = 2 + 3𝑎
𝑎 = 4
Jadi, nilai a pada kesamaan 𝑥2
− 3𝑥 + 14 ≡ 𝑥2
− 3𝑥 + 2 + 3𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎 = 4
3. Pembagian suku banyak
A. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian
Sebagai ilustrasi, misalkan bilangan 4369 dibagi dengan 14 dapa diselesaikan dengan
metode bersusun pendek seperti diperlihatkan pada bagan dibawah. Dari bagan ini terlihat
bahwa 4369 dibagi dengan 14 memberikan hasil 312 denan sisa pembagian 1.
𝟒. 𝟑𝟔𝟗 = 𝟏𝟒 𝒙 𝟑𝟏𝟐 + 𝟏
yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa pembagian
Dengan demikian dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.
𝒀𝒂𝒏𝒈 𝒅𝒊𝒃𝒂𝒈𝒊 = 𝒑𝒆𝒎𝒃𝒂𝒈𝒊 𝒙 𝒉𝒂𝒔𝒊𝒍 𝒃𝒂𝒈𝒊 + 𝒔𝒊𝒔𝒂 𝒑𝒆𝒎𝒃𝒂𝒈𝒊𝒂𝒏
Ternyata pembagian bilangan bersusun pendek dapa diaplikasikan pada pembagian
suku banyak. Sebagai ilustrasi, misalnya suku banyak 𝑥3
− 7𝑥2
+ 4𝑥 + 50 dibagi dengan
𝑥 − 3 akan diselesaikan dengan metode bersusun pendek.

8. hasil bagi
yang dibagi
pembagi
Contoh : sisa pembagian
Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian
suku banyak 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 18 oleh 𝑥 − 3
Penyelesaian
Hasil bagi
Yang dibagi
Pembagi
Sisa pembagian
Dari bagan diatas,diperoleh hasil baginya 2x2
+ 10x + 30 dengan sisa pembagian 72.

9. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear (𝒂𝒙 + 𝒃)
Pembagian suku banyak dengan pembagi (𝑥 – 𝑘) yang telah kamu pelajari, dapat
dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (𝑎𝑥 + 𝑏).
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.
Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 – 𝑘) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k)
sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga 𝑓(𝑥) = (𝑥 – 𝑘) ℎ(𝑥) + 𝑓(𝑘). Pembagian
suku banyak f(x) dibagi (ax + b), dapat diubah menjadi bentuk 𝑓(𝑥) dibagi
𝑥 – (
−𝑏
𝑎
) Berarti, nilai 𝑘 =
𝑏
𝑎
, sehingga pada pembagian suku banyak 𝑓(𝑥) tersebut
dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
𝑓(𝑥) = 𝑥(
−𝑏
𝑎
)ℎ(𝑥) 𝑓(−
−𝑏
𝑎
)
𝑓(𝑥) = (𝑥 +
𝑏
𝑎
).ℎ(𝑥) + 𝑓(
−𝑏
𝑎
)
𝑓(𝑥) =
1
𝑎
(𝑎𝑥 + 𝑏) .ℎ(𝑥) + 𝑓
−𝑏
𝑎
)
𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏.)
ℎ(𝑥)
𝑎
+ 𝑓(
−𝑏
𝑎
)
Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (𝑎𝑥 + 𝑏) menghasilkan
ℎ(𝑥)
𝑎
sebagai hasil bagi dan 𝐹(
−𝑏
𝑎
)
sebagai sisa pembagian, sehingga 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏).
ℎ(𝑥)
𝑎
+ 𝑓(
−𝑏
𝑎
) . Untuk lebih jelasnya,
perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 – 1 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 (2𝑥 – 1)
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 10 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 (2𝑥 + 3)
Penyelesaian
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 – 1 dibagi (2𝑥 – 1) dengan cara horner sebagai berikut.
𝑓( 𝑥) = (𝑥 –
1
2
) (2𝑥2 + 2𝑥 + 6) + 2
= (
2𝑥−1
2
)(2𝑥2 + 2𝑥 + 6) + 2
= (2𝑥 – 1)(𝑥2 + 𝑥 + 3) + 2

10. 2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 10 dibagi (2𝑥 + 3) dengan cara horner sebagai berikut.
Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (a𝒙 𝟐
+ bx + c)
Pembagian suku banyak dengan 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, di mana 𝑎 ≠ 0 dapat dilakukan
dengan cara biasa apabila 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika a𝑥2
+ bx +
c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Misalkan, suatu suku banyak 𝑓(𝑥)
dibagi a𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 ≠ 0 dan dapat difaktorkan menjadi (𝑎𝑥 – 𝑝1)(𝑥 – 𝑝2).
Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.
Contoh soal :
1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika 𝑥4
+ 𝑥2
− 16 dibagi oleh 𝑥2
+ 3𝑥 + 2
Karena 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 dapat difaktorkan , maka ada 2 cara penyelesaiannya :
1. cara susun biasa
2. cara horner
𝑥2
+ 3𝑥 + 2 √𝑥4 + 𝑥2 − 16 = 𝑥2
− 6𝑥 + 17 cara susun
𝑥4
+ 6𝑥3
+ 2𝑥2
−6𝑥3
− 𝑥2
− 16
−6𝑥3
− 18𝑥2
− 12𝑥
17𝑥2
− 12𝑥 − 16
17𝑥2
+ 51𝑥 + 34
−63x− 50
Jadi hasil dari pembagian 𝑥4
+ 𝑥2
− 16 oleh 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 ialah
𝑥2
− 6𝑥 + 7 dan sisanya −63𝑥 − 50
2. Pembagian (𝑥3
– 𝑥2
+ 4x – 4) oleh (𝑥2
– 1) dapat dituliskan sebagai berikut:
P(x) = (x𝑥2
– 1 ) H(x) + sisa
= (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)

11. untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(1) ) = A1 + A0
untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1)) = – A1 + A0
Dari pembagian Horner ini diperoleh :
Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1x, yaitu –5 + 5x.
3. Tentukan cara Horner 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑥 + 5 dibagi 2𝑥2
-x-1
P(x) = 2𝑥2
– x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1: 2x + 1 = 0 → x = –½
P2: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:
H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
Teorema Faktor
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi
dengan (x – k) adalah 0)

12. Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:
Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan
mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa =
0
Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka
pasti salah satu akarnya adalah x = –1
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari 𝑥3
– 2𝑥2
– x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1
adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi 𝑥3
– 2𝑥2
– x + 2 = (x – 1)(𝑥2
– x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}
Menguraikan Dalam Faktor
Ia. ab + ac – ad = a (b+c-d)
Ib. ac+ ad+bc+bd = a (c+d) + b(c+d)
= (a+b) (c+d)
II. 𝐴2
− 𝐵2
= (A+B) (A-B)
III.𝐴2
± 2𝐴𝐵 + 𝐵2
= (𝐴 ± 𝐵)2
IVa. 𝐴3
+ 3𝐴2
𝐵 + 3𝐴𝐵2
+ 𝐵3
= (𝐴 + 𝐵)3
IVb. 𝐴3
- 3𝐴2
𝐵 + 3𝐴𝐵2
− 𝐵3
= (𝐴 − 𝐵)3
Va. 𝐴3
- 𝐵3
= (A-B) (𝐴2
+ 𝐴𝐵 + 𝐵2
)
Vb. 𝐴3
+ 𝐵3
= (A+B) (𝐴2
− 𝐴𝐵 + 𝐵2
)
VIa. 𝐴 𝑛
−𝐵 𝑛
= (A-B) ( 𝐴 𝑛−1
+ 𝐴 𝑛−2
+ ⋯+ 𝐵 𝑛−1
)
VIb. 𝐴2𝑛
− 𝐵2𝑛
= ( 𝐴 + 𝐵)( 𝐴2𝑛−1
− 𝐴2𝑛−2
+ ⋯− 𝐵2𝑛−1 )

13. VIc. 𝐴2𝑛+1
+ 𝐵2𝑛+1
= ( 𝐴 + 𝐵)(𝐴2𝑛
− 𝐴2𝑛 −1
𝐵 + ⋯+ 𝐵2𝑛
)
VII. 𝐴2
+ ( 𝑝 + 𝑞) 𝐴 + 𝑝𝑞 = ( 𝐴 + 𝑝)(𝐴 + 𝑞)
Sifat Akar-Akar Suku Banyak
1. Pada persamaan berderajat 3 :
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = −
𝑏
𝑎
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
𝑐
𝑎
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = −
𝑑
𝑎
2. Pada persamaan berderajat 4:
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑐𝑥2
+ dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = −
𝑏
𝑎
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =
𝑐
𝑎
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = −
𝑑
𝑎
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 =
𝑒
𝑎
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk
persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)
Pembagian Istimewa :

14. Latihan Soal :
1. Hitunglah!
a. (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)10
− (−𝑎 + 𝑏 − 𝑐)10
;
b. (𝑎 − 2𝑏 − 3𝑐)7
− (−𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐)7
.
2. Buktikanlah bahwa (−1) 𝑛(𝑛+1)
= 1.
3. ( 𝑥4
− 3𝑥3
+ 4𝑥2
+ 7𝑥 − 9): ( 𝑥 − 5). 𝐾𝑒𝑟𝑗𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑛𝑒𝑟!
4. Tetapkan harga k dan l agar, 𝑥5
− 4𝑥4
+ 7𝑥3
− 9𝑥2
+ 𝑘𝑥 + 𝑙 dapat dibagi oleh
(𝑥 − 2)2
.
5. Tentukan harga A dan B, agar berlaku :
A(2x-3)+ B(x+2)= 5x-11
6. Buktikan bahwa 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐 dapat dibagi dengan 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, tanpa
melakukan pembagian tersebut.
7. Hitunglah sisa pembagian 𝑥6
− 1 oleh ( 𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
Djabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini :
8. 3𝑎𝑏3
− 𝑏2(2𝑎2
+ 3𝑏) + 2𝑎2(2𝑎 + 𝑏2
− 3) − 3𝑏3
(𝑎 − 1)
9. (𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
)(𝑥2
− 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
− 𝑦3
)
Tetapkanlah hasil bagi-hasil bagi yang berikut :
10. ( 𝑎3
− 5𝑎2
− 4𝑎 − 40):(𝑎 + 4)

15. Kunci Jawaban :
1. A. 0
B.2(𝑎 − 2𝑏 − 3𝑐)7
𝟐. (−1) 𝑛(𝑛+1)
= 1
(−1) 𝑛2
(−1) 𝑛
= 1
𝑛 = 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
(−1) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙2
(−1) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
= 1
(−1) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
(−1) 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
=1
(−1)(−1) = 1
𝑛 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
(−1) 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝2
(−1) 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
= 1
(−1) (-1) = 1
3. ( 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 14𝑥 + 77)( 𝑥 − 5) + 376
4. 𝑘 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑙 = 12
5. 𝐴 =
4
3
𝑑𝑎𝑛 𝐵 =
7
3
6. 𝑐𝑙𝑢𝑒 ∶ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
7. 11𝑥2
+ 10𝑥 − 1
8. 4𝑎3
− 6𝑎2
9. 𝑥4
− 3𝑥4
𝑦 + 9𝑥3
𝑦2
− 2𝑥3
𝑦 − 7𝑥2
𝑦3
+ 𝑥2
𝑦2
− 5𝑥𝑦4
− 3𝑥2
𝑦3
− 𝑦5
10. ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑥2
− 9𝑥 + 32 𝑠𝑖𝑠𝑎 − 168

16. DAFTAR PUSTAKA
Usodo,budi dan Sutrima.2009.Wahana MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengan
Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam.Jakarta: CV.HaKa MJ.
Widjenes,P.1968.Aljadbar Rendah. Djakarta: PradnjaPramita
Wirodikromo,sartono.2007.Matematika untuk Sma Kelas XI.Jakarta: Erlangga.
.