1. 16/02/2010
CAPITULO
6
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
Análise e Projeto de
Vigas em Flexão
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introdução
• Objetivo – Análise e projeto de vigas.
• Vigas – membro estrutural suportando cargas ao
longo do seu comprimento.
• Cargas transversal em vigas são classificadas em
cargas concentradas ou cargas distribuídas.
• As cargas aplicadas resultam em forças internas,
consistindo de esforço cortante e momento
fletor, gerando tensões de cisalhamento e
tensões normais, respectivamente.
• A tensão normal é, comumente, o critério crítico
usado para o projeto:
s x = - My
I
sm =
Mc M
=
I
W
Requer a determinação da localização e da
magnitude do momento máximo.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tipos de Vigas
Classificação das vigas quanto aos apoios:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Esforço Cortante e Momento Fletor
• A determinação da tensão normal e de
cisalhamento
máximas,
requer
a
identificação do esforço cortante e do
momento fletor máximos atuantes na viga.
• O esforço cortante e o momento fletor em um
determinado ponto de uma viga é encontrado,
passando-se uma seção através do ponto
desejado e aplicando-se as equações de
equilíbrio da estática para o trecho cortado.
• Convenção de sinais para os esforços V e V’
e para os momentos M e M’
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2

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Exemplo 6.1
Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de
esforço cortante e de momento fletor e determine a tensão normal máxima
devido à flexão.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Exemplo 6.1
SOLUÇÃO:
• Aplique as equações de equilíbrio da estática e
determine as reações de apoio para a viga:
 Fy = 0 =  M B : RB = 40 kN RD = 14 kN
• Seccione a viga e aplique as condições de
equilíbrio para cada parte:
 Fy = 0
- 20 kN - V1 = 0
V1 = -20 kN
 M1 = 0
20 kN 0 m   M1 = 0
M1 = 0
 Fy = 0
- 20 kN - V2 = 0
V2 = -20 kN
 M2 = 0
20 kN 2.5 m   M 2 = 0
M 2 = -50 kN  m
V3 = 26 kN
M 3 = -50 kN  m
V4 = 26 kN
M 4 = 28 kN  m
V5 = -14 kN
M 5 = 28 kN  m
V6 = -14 kN
M6 = 0
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Exemplo 6.1
• Construa o diagrama de esforço cortante e
de momento fletor, identificando os valores
máximos (em módulo).
Vm = 26 kN M m = M B = 50 kN  m
• Aplique a equação para tensão normal
máxima, encontrando o valor desejado
da tensão máxima.
2
W = 1 b h 2 = 1 0 .080 m 0 .250 m 
6
6
= 833 .33  10 - 6 m 3
sm =
MB
S
=
50  10 3 N  m
833 .33  10 6 m 3
s m = 60.0 106 Pa = 60MPa
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Relações: Carga, Esforço Cortante e Momento Fletor
• Relação entre carga e esforço cortante:
 Fy = 0 : V - V  V  - w x = 0
V = - w x
dV
= -w
dx
xD
VD - VC = -  w dx
xC
• Relação entre
momento fletor:
 M C = 0 :
esforço
cortante
e
M  M  - M - V x  wx x = 0
M = V x - 1 w x 2
2
2
dM
=0
dx
xD
M D - M C =  V dx
xC
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Exemplo 6.2
Construa o diagrama de esforço cortante e de
momento fletor para a viga da figura.
SOLUÇÃO:
• Determine as reações de apoio:
 Fy = 0 = - 1 w0 a  RC
2
a

M C = 0 = 1 w0 a L -   M C

2
3

RC = 1 w0 a
2
a

M C = - 1 w0 a L - 
2
3

a
 
x 2 
 x
VB - VA = -  w0 1 -  dx = -  w0  x - 


 a
0
  2a   0
a
VB = - 1 w0 a
2
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Exemplo 6.2
• Momento Fletor:
a
a


 x 2 x3 
x2  
M B - M A =   - w0  x -   dx = - w0  - 

 2 6a 

2a  

0



 0


M B = - 1 w0 a 2
3
L


M B - M C =  - 1 w0 a dx = - 1 w0 aL - a 
2
2
a
a w0 
a
M C = - 1 w0 a3L - a  =
L- 
6
2 
3
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Projeto de Vigas Prismáticas
• A tensão normal máxima ocorre no ponto onde o momento
fletor é máximo.
sm =
M max c M max
=
I
W
• O projeto de vigas requer que a tensão normal máxima não
ultrapasse o valor da tensão admissível do material da qual ela
será construída. Este critério nos leva a determinar o módulo
de resistência minimo aceitavel para a seção da viga.
s m  s adm
W
min =
M max
s adm
• Entre as seções de viga que satisfazem esta condição, será
escolhida aquela mais econômica, ou seja, aquela que
apresenta o menor peso por unidade de comprimento ou
menor área da seção transversal.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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PROJETO DE VIGAS PARA FLEXÃO
COEFICIENTE DE SEGURANÇA (CS)
Fator de correção com a finalidade de aumentar as dimensões da estrutura
garantindo, desse modo, maior segurança ao projeto.
TENSÃO ADMISSÍVEL
A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão de escoamento do material
utilizado no projeto pelo coeficiente de segurança empregado, pode ser calculada
do seguinte modo:
EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO
A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforço de flexão
é dada por:
MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
Representa em termos numéricos como determinado tipo de seção reage ao
esforço, ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão.
Para cada tipo de seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se
calcular o valor de W.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o
dimensionamento da seção transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na
construção de estruturas mecânicas.
TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
Os principais tipos de seção transversal estudadas na presente seção são: quadrada,
circular, retangular, tubular e caixão, também são estudados os perfis industriais
tipo WF, I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais).
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA
Pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado o valor numérico
do comprimento l que representa a dimensão do lado da seção transversal
quadrada.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
A partir das Equações (1.4), chega-se a uma equação geral que fornece como
resultado numérico os valores de b e h, que representam as dimensões de base e
altura da viga de seção retangular.
Note-se que existem duas incógnitas, b e h, portanto, é interessante assumir uma
relação entre b e h. Assim, define-se a variável x como a relação entre h e b, ou
seja, h = xb.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR
A partir da Equação (1.5), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como
resultado o valor numérico do diâmetro d.
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR
A partir da Equação(1.6), chega-se a uma equação geral que fornece como
resultado numérico os valores de D e d, que representam as dimensões de
diâmetro externo e diâmetro interno de uma viga de seção transversal tubular.
Novamente percebe-se que se tem
duas incógnitas D e d. Fazendo: d=yD
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO
A partir da Equação (1.7), chegamos a uma equação geral que fornece como
resultado numérico os valores de a e b, que representam as dimensões dos lados,
externo e interno, de uma viga de seção transversal caixão.
Percebe-se, novamente que se
tem duas incógnitas a e b.
Fazendo: b= za
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE PERFIS INDUSTRIAIS
Ao contrário do se possa parecer, a solução de problemas de dimensionamento de
vigas com seção transversal formada por perfis industriais é mais simples que a
solução apresentada para os casos anteriores. Determina-se o valor do módulo de
resistência em relação ao eixo x (Wx), resultando em:
Com o valor encontrado, recorre-se a tabelas de perfis
industriais, selecionando aquele que oferece Wd≥Wx e que
apresenta o menor peso por unidade de comprimento.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Propriedades dos Materiais
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Exemplo 6.3
A viga simplesmente apoiada da
figura deve suportar o carregamento
indicado. Sabendo-se que atensão
admissível do material usado é de
160MPa, selecione o perfil de abas
largas a ser utilizado.
SOLUÇÃO:
• Determine as reações de apoio:
 M A = 0 = D5 m  - 60 kN 1.5 m  - 50 kN 4 m 
D = 58.0 kN
 Fy = 0 = Ay  58.0 kN - 60 kN - 50 kN
Ay = 52.0 kN
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Exemplo 6.3
• Construa o diagrama de esforço cortante e
determine o momento fletor máximo:
V A = Ay = 52.0 kN
VB - V A = - área sob a curva, carregamento = -60 kN
VB = -8 kN
M max = área sob a curva, no trecho AE
= 67 .6 kN
• Determine o módulo de resistência minimo
aceitável.
Perfil
W mm3
,
W410  38.8
637
W360  32.9
474
W310  38.7
549
W250  44.8
535
W200  46.1
W =
min
M max 67.6 kN  m
=
sadm
160 MPa
448
= 422.5  10- 6 m3 = 422.5 103 mm3
• Escolha na tabela o perfil mais economico e que
atenda a este critério.
W 360 32.9
1 - 20
10