2. SABIAS QUE…
Los diferentes tipos movimientos
oscilatorios son estudiados por la
ingeniería civil, industrial, ambiental,
mecatrónica, electrónica, minas y
geológica.
3. ¿QUÉ ENTIENDES POR MOVIMIENTO
OSCILATORIO?
ANALICEMOS…
¿QUÉ ENTIENDES POR MOVIMIENTO
PERIÓDICO?
4. LOGRO
Al finalizar la sesión, el
estudiante resuelve
problemas del movimiento
armónico simple (MAS),
péndulo simple, péndulo de
torsión y péndulo físico; de
forma correcta, con orden y
precisión en el cálculo.
5. CONTENIDO TEMÁTICO
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
CANTIDADES
FÍSICAS
PÉNDULOS
Movimiento
periódico,
oscilatorio,
rectilíneo dado
por una fuerza
recuperadora y
en una
superficie sin
asperezas
• Periodo
• Frecuencia
• Amplitud
• Frecuencia
angular
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿
DEFINICIÓN
ECUACIÓN DEL
MAS
• Péndulo
simple
• Péndulo
físico
• Péndulo
de torsión
ENERGÍA DE UN
MAS
𝐸𝑀 =
1
2
𝐾𝐴2
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
𝜔 =
𝑘
𝑚
6. 1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
• El MAS es aquel movimiento oscilatorio, periódico,
rectilíneo y que esta gobernado por una fuerza, la cual se
denomina fuerza recuperadora en una superficie libre de
asperezas.
7. 2. CANTIDADES FÍSICAS EN EL MAS
a) Período (𝑻): Es el tiempo
que emplea una partícula en
realizar una oscilación
completa. Unidad (s).
b) Frecuencia ( 𝒇 ) : Es una
magnitud que indica la rapidez
con la cual una partícula
realiza una oscilación
completa.
c) Frecuencia cíclica (𝝎)
(
𝐫𝐚𝐝
𝐬
)
d) Amplitud (𝑨): Es el máximo
alejamiento de un oscilador,
respecto de la PE.
𝒇 = Τ
𝟏 𝑻 Hertz (Hz)
f
T
2
2 =
=
8. 3.ECUACIÓN BÁSICA DEL MAS
• Se obtiene combinando la segunda ley de newton con la expresión de la fuerza
que produce un MAS, esto es
−
=
=
=
kx
F
dt
x
d
m
ma
F 2
2
Ecuación básica
del MAS
kx
dt
x
d
m −
=
2
2
0
2
2
=
+ kx
dt
x
d
m
Como m
k
=
2
0
2
2
2
=
+ x
dt
x
d
Una de las soluciones de la ecuación diferencial es Ԧ
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿
Ԧ
𝑥 = 𝐴sen 𝜔𝑡 + α Ecuación de la posición
Pero también se puede usar como
solución:
Las dos soluciones son validas solo que se
encuentran desfasados por
𝜋
2
9. 3.1. ECUACIONES CINEMÁTICAS
De la ecuación:
Representación del desplazamiento en
función del tiempo
Ecuación de la velocidad :
Ԧ
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿
Ԧ
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝜔𝐴se𝑛 𝜔𝑡 + 𝛼 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴
, se tiene:
Ԧ
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝜔2𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛼 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝐴
Ecuación de la aceleración:
Periodo del MAS:
m
k
=
2
= m
k
k
m
T
2
=
2
=
T
10. APLICACIÓN 1
La posición en función del tiempo, de una masa de 1,5
kg, adherida a un resorte, está dado por la siguiente
ecuación:
𝑥(𝑡) = 6,50. 𝑐𝑜𝑠(4,16. 𝑡 − 4,24) 𝑚
Calcule:
a) El tiempo que tarda una vibración completa
b) La constante de rigidez del resorte
c) La rapidez máxima de la masa
d) La fuerza máxima que actúa sobre la masa
e) La posición, rapidez y aceleración de la masa en
t = 2 s.
11. 3.2. ENERGÍA MECÁNICA EN EL MAS
2
2
kA
EM =
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2
+
1
2
𝑘𝑥2
=
1
2
𝑚 𝜔2
𝐴2
s𝑒𝑛2
𝜔𝑡 + 𝛼
𝑣2
+
1
2
𝑘 𝐴2
𝑐𝑜𝑠2
𝜔𝑡 + 𝛼
𝑥2
⇒ 𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴2sen2 𝜔𝑡 + 𝛼 +
1
2
𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝛼
⇒ 𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴2
𝑠𝑒𝑛2
𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜔𝑡 + 𝛼
En el MAS ¿La energía mecánica se conserva? ¡SÍ! Porque la fuerza que mantiene el
MAS es una fuerza conservativa (fuerza elástica). La energía mecánica del sistema
masa-resorte de un MAS se evalúa así:
12. APLICACIÓN 2
Un deslizador de 0,5 kg, conectado al extremo de un
resorte ideal con constante de fuerza 𝑘 = 450 N/m,
desarrolla un MAS, con una amplitud de 0,04 m. Calcule:
a) La rapidez máxima del deslizador
b) Su aceleración máxima
c) La energía cinética y la energía potencial cuando
𝑥 = −0,015 m
d) La energía mecánica total en cualquier punto
de la trayectoria.
13. 4. PÉNDULO SIMPLE
•Se define como una partícula de masa 𝑚 suspendida de un punto, mediante una cuerda de
longitud 𝑙 de masa despreciable.
•Cuando 𝑚 se separa de la posición de equilibrio y se suelta
describe un movimiento oscilatorio, que se debe a la componente
tangencial del peso.
•Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial se
obtiene
ml
ma
FR =
= 2
2
sen
dt
d
ml
mg
=
− 0
sen
2
2
=
+
l
g
dt
d
•Que difiere de la ecuación básica de un MAS por el término
𝑠𝑒𝑛. Sin embargo si el ángulo es muy pequeño (0° < 𝜃 ≤ 15°),
entonces 𝑠𝑒𝑛 y se tiene
0
2
2
=
+
l
g
dt
d
Ecuación básica de un
MAS de frecuencia l
g
=
2
siendo el periodo de oscilación
g
l
T
2
=
14. APLICACIÓN 3 – 4
Dos péndulos iguales son colocados
uno en la Tierra, y el otro en un planeta
donde la magnitud de la aceleración de
la gravedad es 9 veces el valor de la
misma en la Tierra. Determine la
relación entre los períodos de ambos
péndulos.
Un péndulo oscila en un plano vertical
con período de 2 segundos. Al aumentar
la longitud de la cuerda en 25 cm, el
nuevo período es 3 segundos. ¿Cuál es
la longitud inicial de la cuerda?
15. 5. SISTEMA PÉNDULO DE TORSIÓN
La rueda de balance de un reloj mecánico tiene
un momento de inercia 𝐼 alrededor de su eje.
El resorte ejerce un momento de torsión
proporcional al desplazamiento angular respecto
a la posición de equilibrio.
La segunda ley de Newton para el cuerpo rígido
es:
𝜏𝑧 = −𝑘𝜃
−𝑘𝜃 = 𝐼𝛼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑘
𝐼
𝜃 = 0
cuya solución es:
Donde 𝜔 es la frecuencia angular del péndulo de
torsión:
Cuyo periodo es:
𝜃 𝑡 = 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑
𝜔 =
𝑘
𝐼
𝑘 : constante de
torsión del alambre
𝐼 : momento de
inercia
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑘
17. APLICACIÓN 5 – 6
Un disco metálico delgado cuya
masa es de 2 × 10−3 kg y de radio
2,20 cm se une en su centro a una
fibra larga. Si se tuerce y suelta,
oscila con un periodo de 1 s.
Determine la constante de la fibra.
𝑘 = 1,91 × 10−5
Nm
rad
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑘
⟹
𝑇
2𝜋
2
=
𝐼
𝑘
𝑘 = 𝐼
2𝜋
𝑇
2
=
4. 𝜋2
𝑇2
. 𝐼
𝑘 =
4. 𝜋2
𝑇2
.
1
2
𝑚𝑅2
Un péndulo de torsión, consiste de un
bloque de madera de forma rectangular
de dimensiones 8 cm x 12 cm x 3 cm y
cuya masa es de 0,5 kg, está suspendido
por medio de un alambre que pasa por su
centro, de tal modo que el lado más corto
es vertical. El periodo de las oscilaciones
torsionales es 24 s. Determine la
constante de torsión del alambre.
𝑘 = 5,94 × 10−5
Nm
rad
𝑘 =
4. 𝜋2
𝑇2
. 𝐼
𝑘 =
4. 𝜋2
𝑇2
.
1
12
. 𝑚. 𝑎2 + 𝑏2
Se tiene que
Se tiene que
18. 6. SISTEMA PÉNDULO FÍSICO
Un péndulo físico es cualquier péndulo
real, que usa un cuerpo de tamaño finito
en contraste con el modelo idealizado
del péndulo simple.
De acuerdo con la figura, se observa
que existe un torque restaurador, cuya
expresión está dada por:
Pero, para ángulos pequeños:
(0° < 𝜃 ≤ 15°)
Por otro lado, la ecuación del torque es:
𝜏𝑧 = − 𝑚. 𝑔 . 𝑑. 𝑆𝑒𝑛𝜃
𝜏𝑧 = − 𝑚. 𝑔. 𝑑 . 𝜃
Σ𝜏 = 𝐼. 𝛼
19. 6. SISTEMA PÉNDULO FÍSICO
Escribiendo la expresión del torque en la ecuación del torque y la
aceleración angular .
Definiendo la frecuencia angular.
De donde se obtiene el periodo de oscilación del péndulo físico.
𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= − 𝑚. 𝑔. 𝑑 . 𝜃 ⟹
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑚. 𝑔. 𝑑
𝐼
. 𝜃 = 0
𝜔 =
𝑚. 𝑔. 𝑑
𝐼
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑚. 𝑔. 𝑑
20. APLICACIÓN 7
Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y
lograr que tenga una oscilación completa con un ángulo
pequeño, una vez cada 2 s. Calcule el radio que debe tener el
aro.
Por teorema de ejes paralelos
Reemplazando en el la ecuación del periodo:
𝑅 = 0,496 𝑚
𝐼 = 𝑚. 𝑅2
+ 𝑚. 𝑅2
= 2. 𝑚. 𝑅2
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑚. 𝑔. 𝑑
⟹ 𝑇 = 2𝜋
2. 𝑚. 𝑅2
𝑚. 𝑔. 𝑅
𝑇
2𝜋
2
=
2. 𝑅
𝑔
⟹ 𝑅 =
𝑔. 𝑇2
8. 𝜋2
21. En equipos de tres o cuatro
estudiantes, desarrollamos
las actividades propuestas
en la hoja de trabajo de la
sesión señalado por el
docente.
8. TALLER DE TRABAJO
22. 9. CONCLUSIÓN
Todo movimiento
periódico, oscilatorio,
rectilíneo esta dado
por una fuerza
recuperadora y en una
superficie libre de
asperezas.
Las cantidades físicas
que se presentan en un
MAS son: periodo,
frecuencia, amplitud y
frecuencia angular.
ECUACIÓN DEL MAS
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿
𝜔 =
𝑘
𝑚
ENERGÍA DE UN MAS
𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝟏
𝟐
𝑲𝑨𝟐
TIPOS DE PÉNDULOS
• Péndulo simple
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
• Péndulo de torsión
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑘
• Péndulo físico
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑚. 𝑔. 𝑑
23. 10. METACOGNICIÓN
• ¿En qué casos cotidianos observas movimientos
oscilatorios?
• ¿Cuál es el objetivo de encontrar la ecuación de un
MAS?
• ¿Por qué es importante encontrar la energía mecánica
de un MAS?
24. 14. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería.
7° edición. Ed.Cengage Learning.
• J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson
Educación.
• Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Ed.
Pearson Educación.
