1. O documento discute conceitos de entrelaçamento em sistemas quânticos com 4 e 6 qubits. 2. Apresenta métricas para quantificar entrelaçamento bipartido e tripartido, e propõe novas métricas para estados com mais qubits. 3. Discute aplicações das métricas em estados específicos como GHZ e W, e compara os resultados.

1. CÁLCULO DO ENTRELAÇAMENTO DE
ESTADOS PUROS COM QUATRO E SEIS
QUBITS
David Sena Oliveira
Rubens Viana Ramos

2. SUMÁRIO
 1. Conceitos Básicos.
 2. Entrelaçamento Groveriano.
 3. Entrelaçamento Residual.
 4. Aplicações com estados de 4 qubits.
 5. Extensibilidade de p4.
 6. Medida g6.
 7. Conclusões e trabalhos Futuros.
2

3. 1.Conceitos
Aceitamos muitos conceitos porque eles parecem
ser as respostas lógicas a nossas questões. Mas
será que fizemos as questões certas?“
Harold L. Klawans”
3

4. ENTRELAÇAMENTO BIPARTE
 Entropia de Von Neumman
 Concurrencia
 Negatividade
4
       *
1 2 3 4max 0, y y y yC                
   
   
†
2 max 0,
1A A
j
j
T T
AB AB AB
N
N Tr
 
  
 
 

       ln lnA B A A B BS S tr tr         

5. NOMECLATURAS
Nível de entrelaçamento Nível de Separabilidade Descrição
Desentrelaçado Completamente
separável
Não há qualquer tipo de entrelaçamento no
estado quântico
Parcialmente
entrelaçado ou apenas
entrelaçado
Parcialmente separável
ou apenas separável
Possui algum tipo de entrelaçamento, porém
não é completamente entrelaçado
Completamente
entrelaçado
Inseparável Todos as partes estão entrelaçadas entre si.
Também é equivalente a afirmar que o estado
possui entrelaçamento genuíno
5

6. TIPOS DE ENTRELAÇAMENTO
 Um estado puro de N partes
 Ele é completamente desentrelaçado quando
 Ele é parcialmente entrelaçado quando
 Não é completamente entrelaçado, mas pode possuir
entrelaçamento em alguns subsistemas
 Ele é completamente entrelaçado quando
 Todas as partições tomadas dois a dois são mistas
6
...
...AB N A B N
      

7. REPRESENTAÇÃO VISUAL
 O cálculo da Entropia
7
A B
CD
1 AD BC  

8. REPRESENTAÇÃO VISUAL
 Estados reduzidos de um qubits
8
A B
CD
1 AD BC  

9. REPRESENTAÇÃO VISUAL
 Pares de qubits
9
A B
CD
1 AD BC  

10. REPRESENTAÇÃO VISUAL
 Pares de qubits
10
A B
CD
1 AD BC  

11. PURO COMPLETAMENTE SEPARÁVEL
 Exemplo
11
A B
CD
1 A B C D    

12. PURO SEPARÁVEL
 Exemplo
12
A B
CD
1 A BC D   

13. PURO INSEPARÁVEL
 Exemplo
13
A B
CD
1 ABCD 

14. COMPLETAMENTE ENTRELAÇADO
 4 qubits
14
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C

15. K-SEPARABILIDADE E
NÚMERO DE VIAS
 K-Separabilidade número de partições puras
mínimas no qual se pode particionar um estado.
 Número de vias de um entrelaçamento é o número
de qubits na maior das subpartições puras.
15
A
B
C
D
E
F
2 ABCDEF AF BCD E
     

16. 2.Entrelaçamento:
Um Problema de Busca
O homem na ânsia de buscar a felicidade,
se esquece de ser feliz.
Autor: Desconhecido
16

17. ENTRELAÇAMENTO GROVERIANO
 Como relacionar
 probabilidade de se resolver um problema de busca
 quantidade de entrelaçamento existente da base
17

18.  Entrelaçamento
Groveriano (EG)
 Entropia relativa de
entrelaçamento
ENTRELAÇAMENTO GROVERIANO
 A base de dados é definida
como um estado quântico.
 Se a base de dados é uma
composição
 Se a base de dados é
separável, a probabilidade
de se encontrar a resposta
Pmax=1.
 Quanto maior o
entrelaçamento da entrada
menor o Pmax.
  2
max
max
1
( ) max
S
G P
P


  

 

18
1
0
1 N
i
i
N



 
     minE
D
E S S

    

 
18

19. CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (1/3)
 Seja um estado se-
parável
 Maximizar em rela-
ção aos ângulos
 Derivar em função
dos 2n2 ângulos que
definem a função
 Dificuldade em em-
contrar fórmulas
analíticas
19
   
2
1 1
1 2
1 2
max 1 1
,..., , ,...,
2
...
cos 0 sin 1
00..0 00..1 11..1
max ,..., , ,..., ,
0 para k=1,..,
k
n n
nn
i
k k kk k
n n nn
n n
k k
e e e e
e e
a a a
P P
P P
n

   
 

     
 
   
 
  

 
 
 

20. CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (2/3)
20
 Função avaliação:
F(,)
 Codificação do
indivíduo
 Crossover: dois
pontos
 Elitismo: dois
indivíduos
 Mutação: flip no gene
 Várias combinações
e implementações
foram tentadas
 Tipos de crossover
 Variação nas taxas
 Métodos auxiliares de
aproximação
 Não obtendo grande
variação de melhora,
deixou-se a versão
mais simples do GA
1 1 2 2
[0101000011010010 11110010]
n n    

21. CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (3/3)
21
 Estados W  Estados GHZ
0 1
2
n n
GHZ n

 


2 2
4
0000 1111a b  
 1
00 01 00 10 01 00 10 00
2
n n
W     
 
1
1
1
n
n
n
G W
n

 
  
 

22. 3.ENTRELAÇAMENTO
RESIDUAL
Se você se acha muito pequeno para fazer
a diferença, você nunca esteve na cama
com um mosquito.
Betty Reese
22

23.  Desigualdade de CKW
 Residual Concurrencia
 Tangle 3 (t3)
ENTRELAÇAMENTO TRIPARTE
23
 
2 2 2
AB AC A BC
C C C 
2 2 2
( )
2 2 2
( )
2 2 2
( )
ABC A BC AB AC
B AC BA BC
C AB CA CB
C C C
C C C
C C C
t   
  
  
 Residual Negatividade
 
2 2 2
AB AC A BC
E E E 
 
2 2 2
AB AC A BC
N N N 
2 2 2
( )
2 2 2
( )
2 2 2
( )
A A BC AB AC
B B AC BA BC
C C AB CA CB
N N N
N N N
N N N
p
p
p
  
  
  
 
1
3
ABC A B Cp p p p  

24. COMPARAÇÃO
24
 t3(GHZ3)=1
 t3(W3)=0
 Porém W3, é completa-
mente entrelaçamento.
 p3(GHZ3)=1
 p3(W3)>0
t3 E p3
1ABC
p GHZ p W   

25. RESIDUAL PARA MÚLTIPLOS QUBITS
 Extensão p4
25
 4
2 2 2 2
_
2 2 2 2
_
2 2 2 2
_
2 2 2 2
_
1
4
A B C D
A A BCD AB AC AD
B B ACD AB BC BD
C C ABD AC BC CD
D D ABC AD BD CD
N N N N
N N N N
N N N N
N N N N
p p p p p
p
p
p
p
   
   
   
   
   

26. RESIDUAL PARA MÚLTIPLOS QUBITS
 c00
26
Entrelaçamento
p2
G
p4
 0
1
0000 0011 0101 0110
2
    
 1
1
1001 1010 1100 1111
2
    

27.  O p3 (Y 3)>0 apenas se Y possuir entrelaçamento
triparte
 O residual p4 detecta entrelaçamento p4 (Y)>0 para
qualquer estado que possui entrelaçamento no mínimo
triparte.
 O p4G altera o p4 para utilizar a média geométrica de
forma a mensurar apenas entrelaçamento genuíno
RESIDUAL GEOMÉTRICO p4G
  4
4 4
1
4
A B C D G A B C Dp p p p p p p p p p     
27

28. ENTRELAÇAMENTO P4G
 Mensurando entrelaçamento em 4 vias
28
0 1
2
 
c


   
   
0 cos 0000 sin 0011
sin 0101 cos 0110
  
 
 
 
   
   
1 cos 1001 sin 1010
sin 1100 cos 1111
  
 
 
 

29. Comparação p4G e p4
Estado p4 p4G
W4 0,6213 0,621
GHZ4 1 1
c 1 1
1 0,75 0
2 0,75 0
W30 0,412 0
GHZ30 0,75 0
GHZ2GHZ2 0 0
GHZ200 0 0 29

30. Comparação p4G e EG
30
Estado Quântico EG π4
1=(01+10)/21/2(0+1)/21/2(0+1)/21/2 0.707 0
2=(00+11)/21/2(00+11)/21/2 0.866 0
3=(000+111)/21/2(0+1)/21/2 0.707 0
4=(001+010+100)/31/2(0+1)/21/2 0.745 0
ξ0=(0000-0011-0101+0110)/2
ξ1=(1001+1010+1100+1111)/2
5≡χ00=(ξ0+ξ1)/21/2
0.707
0.707
0.866
0
0
1
6=(0000+1111)/21/2 0.707 1
7=(0001+0010+0100+1000)/2 0.76 0.6213
8=(0000+0101+1000+1110)/2 0.707 0.7140
9=(0000+1011+1101+1110)/2 0.81 0.9306

31. ENTRELAÇAMENTO EM ESTADOS GRAFOS
31
 Codificação 0 3 51 2 4
4
12 13 14 23 24 34
0 1
2
b b bb b b
G U U U U U U

 
  
 
Estados Maximamante entrelaçados
em quatro vias
Estados desentrelaçados em 4
vias
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
 0 0 1 0 1 1b 
 0 0 1 1 0 1b 
 011010b 
 0 0 0 1 1 1b 
 001100b 
 1 0 0 0 1 0b 
 0 1 2 3 4 5
b b b b b b b

32. ESTADOS MAXIMAMENTE ENTRELAÇADOS
32
   
 
2
4
[BSSB05]
1
1100 0011 1010 0101 1001 0110 ,
6
1 3 2,
0 1 0 11
0000 011 1101 110 ,
2 2 2
0000 0111 1011 1101 1110
.
3 6
HS
m
i
  



       
  
      
       
     
  
 

33. 3.Aplicações
Para 4 Qubits
A aplicação das leis é mais importante que
a sua elaboração.
Thomas Jefferson
33

34. APLICAÇÃO: TELEPORTAÇÃO DE
CIRCUITO
 Alice, Bob e Charlie compartilham o estado de 4
qubits maximamente entrelaçado
34
H
H
ZXZ
X Z
Portas de um qubit controladas
classicamente
Informação
Clássica
 00 01 10 11 EF
  g   
A
B
C
D
E
ZZ
Z
 0000 0101 1010 1111
2
ABCD
  
00 01 10 11 g    
F
Informação
Clássica
Z
ZSW
00 01 10 11  g    00 01 10 11 g    

35. APLICAÇÃO: CANAL RUIDOSO
35
 Enviando o estado
 Canal modelado por
 Como varia o
entrelaçamento?
00 11
2
AB AB
AB

Y 
A
U
B
U
0
0
00 11
2

A
B
e1
e2
AB
 1 2e ABe
Y

36. APLICAÇÃO: ENVIO DE INFORMAÇÃO
 Estados grafos localmente equivalentes
36
H
H
Classicaly controlled single-qubit gates
Classical
Information
Classical
Information
 00 11
EF
  A
B
C
D
F
X
 0000 0111 1000 1111
2
ABCD
  
00 11 
E
Z
ZZXz
 11
1 2 3 4
0000 0111 1000 1111
2
I H H Hc
       

37. CRIANDO E DESTRUINDO
ENTRELAÇAMENTO(1)
37
I
i Z Z
e
 
 0000 0011 0110 1001 1100 1111
6
A B C D
    
A
B
C B C

 Y
D
I

38. CRIANDO E DESTRUINDO
ENTRELAÇAMENTO(2)
38
I
i X X
e 
 
2
ABCD
       
      Y Y  Y Y
A
B
C
AC
 Y
D
I
BD

39. 5. O futuro de p4
O futuro não é mais incerto que o
presente.
Walt Whitman
39

40. NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO EG
40
V=1
V=2
V=3
E()=0 E()>0
Monótono EG

41. NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
41
V=1
V=2
V=3
E()=0 E()>0
t3
W
GHZ

42. NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
42
V=1
V=2
V=3
E()=0 E()>0
p3

43. NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
43
V=1
V=2 V=3
E()=0 E()>0
p4
V=4
p4G

44. ENTRELAÇAMENTO
 Se o qubit X possui entrelaçamento em mais de 3 vias então p4X>0
44
1
2
3
4
A B C D
AB CD
ABC D
ABCD




   
 
 

p4G

45. ENTRELAÇAMENTO
45
1
2
3
4
5
A B C D E
AB CDE
ABC DE
ABCD E
ABCDE





    
 
 
 

p5

46. ENTRELAÇAMENTO
46
1
2
3
4
5
6
A B C D E F
AB CDEF
ABC DEF
ABCD EF
ABCDE F
ABCDEF






     
 
 
 
 

p6
3 ABC DEF  
 6 3 0p  

47. 6. Medida para 6
qubits
Há seis requisitos necessários para um
casamento ser feliz: o primeiro chama-se
Fé, e os outros cinco, Confiança.
Elbert Hubbard
47

48. EQUIVALÊNCIAS
 Para o caso de falha de p6 tem-se:
48
   
   
   
   
   
   
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
,
,
,
,
,
.
A A
B B
C C
D D
E E
F F
abcdef abc
abcdef abc
abcdef abc
abcdef def
abcdef def
abcdef def
p p
p p
p p
p p
p p
p p






ABCDEF
ABC DEF  

49. 6, uma nova medida
49
6
6
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
6 3
,
( ),
( ),
( ),
( ),
( ),
( ).
A B C D E F
A A A
B B B
C C C
D D D
E E E
F F F
abc
abc
abc
def
def
abc
      
 p p
 p p
 p p
 p p
 p p
 p p

 
 
 
 
 
 

50. 6, uma nova medida
50
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2 2 2
_ _
2 2 2
_ _
,
,
,
,
,
A A BCDEF A BC AD AE AF
B B ACDEF B AC BD BE BF
C C ABDEF C AB CD CE CF
D D ABCEF D EF AD BD CD
E E ABCDF E DF AE BE CE
F F ABCDE F DE AF
N N N N N
N N N N N
N N N N N
N N N N N
N N N N N
N N N
g
g
g
g
g
g
    
    
    
    
    
    2 2
.BF CFN N

51. 51
1
2
3
4
5
6
A B C D E F
AB CDEF
ABC DEF
ABCD EF
ABCDE F
ABCDEF






     
 
 
 
 

3 ABC DEF  
 6 3 0  
6, uma nova medida

52. NÚMERO DE VIAS E VALOR DO
ENTRELAÇAMENTO
52
V=1
1<V<6
V=6
E()=0 E()>0
6

53. Composição de 6
 A A B C D E F
 B A B C D E F
 C A B C D E F
 D A B C D E F
 E A B C D E F
 F A B C D E F 53

54.  A medida não é invariante sob permutação
de qubits
 Isso é bom ou mal, certo ou errado?
 Utilidade de um estado de seis qubits para
teleportação [YMQW09]
 Entrelaçamento Operacional ou Global?
 Circuitos Quânticos
 Teleportação
 Solução
 Trabalhar com todas as permutações 54
Complicações 6

55. 55
1 1 2 3 4 5 6
34
2 1 1 2 4 3 5 6
35
3 1 1 2 5 4 3 6
36
4 1 1 2 6 4 5 3
24
5 1 1 4 3 2 5 6
25
6 1 1 5 3 4 2 6
26
7 1 1 6 3 4 5 2
14
8 1 4 2 3 1 5 6
15
9
,
.
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
.
SW
SW
SW
SW
SW
SW
SW
SW
a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U a b c d e f
U

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 1 5 2 3 4 1 6
16
10 1 6 2 3 4 5 1
,
. .SW
a b c d e f
U a b c d e f 

 
Permutações de 6

56. 56
Matriz de Permutações
                   
                   
                   
                   
                   
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
         
         
         
         
         
         
 



 














57. 57
Configurações da Matriz
                   
                   
                   
                   
                   
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
         
         
         
         
         
         
 



 













                   
                   
                   
                   
                   
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
         
         
         
         
         
         
 



 













                   
                   
                   
                   
                   
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
         
         
         
         
         
         
 



 













                   
                   
                   
                   
                   
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F F
M
         
         
         
         
         
         
 



 













Entrelaçados em 6 vias
Operacionais Não Operacionais
Partições com 1 ou 2 vias Estados 3x3
a bcdef
ac bdef


abc def
abf cdf



58. MENSURANDO ESTADOS QUÂNTICOS
58
    6 6max . ,i
i
Cg      
 6 000000 111111 2,GHZ  
 6
100000 010000 001000 000100 000010 000001 6.W      
g6(|GHZ6)=1, g6(|W6)0.5019, g6(|6)=1
 6 0 1 0 1
0
1
4 4
0 0 1 1
1
,
2
0000 0011 0101 0110 2,
1001 1010 1100 1111 2,
, ,X X
       


   
   
 
    
      
      
 

59. SIMULAÇÕES: SMOLIN
59
 6
00 01
4 4
.
3
10 1 11
4 4
EF EFAB CD AB CD
EF EFAB CD AB CD
p p
p
p p

   
   
 
      
 
 
Y Y   Y Y 
 
  
2 2 2
_ _ _
2 2 2
6 _ _ _
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
.
6
2
A BCDEF B ACDEF C ABDEF
ms D ABCEF E ABCDF F ABCDE
AB AC AD AE AF BC BD
BE BF CD CE CF DE DF EF
N N N
E p N N N
N N N N N N N
N N N N N N N N

 
 
   
 
    
 
                   
  2
2 .ms N k ij
k i j
E C N t

 
  
 
 

60. SIMULAÇÕES: SMOLIN
60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
p
I
II
IIIEnt
rela
ça
me
nto
Entrelaçamento do estado versus p: I) g6; II) Ems; III) .

61. SIMULAÇÕES: GRAFOS
61
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
q
I
II
III
IV
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
    
6
1 12 16 23 34 45 56 cos 0 sin 1G U U U U U U  

 
    
6
2 12 13 16 23 25 34 45 46 56 cos 0 sin 1G U U U U U U U U U  

 
0 0 1 1ij j ji i
U I Z   
,
,
.

62. GERANDO ENTRELAÇAMENTO
62
 
 
 
 
1
2
3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 n
i t
i t
i t
G
i t
e
e
U e
e




 
 
 
   
 
 
  
 1 ,
i
i i
f
t
f t
t
  p
 
    
 
 
1
2 ,
n i
i i
f
t
f t
t
  p
 
 
    
 
 3 2log 1 .
i
i i
f
t
f t
t
  p
 
    
 

63. GRAFO CONECTADO
63
Variação do entrelaçamento 6(6) versus t. I - f1, II - f2, III - f3.

64. GRAFO CONECTADO E 3X3
64
Figura 6.5 – Variação do entrelaçamento e 6(6) (I) e 6(3_3) (II) versus t.

65. CONTRIBUIÇÕES
 Um algoritmo genético para cálculo de EG.
 Uma medida de 4 qubits para calcular o
entrelaçamento genuíno de estados puros de 4
qubits.
 Aplicações que utilizam estados puros
maximamente entrelaçados em 4 vias.
 Uma medida para medição de entrelaçamento
operacional de estados puros de 6 qubits.
 Uma medida para medição de entrelaçamento
genuíno em estados puros de 6 qubits.
65

66. PERGUNTAS?
66

67. FIM
67