Propiedades de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

1. NÚMEROS
REALES Y SUS
PROPIEDADES

2. ¿QUE SON LOS NÚMEROS REALES?
 Son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
 Se representa con la letra ℜ
 Características de los números reales
 Además de las características particulares de cada conjunto que compone el superconjunto de
los números reales, mencionamos las siguientes características.
 Orden: Todos los números reales tienen un orden.
 Integral: La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos
en este conjunto de números.
 Infinitud: Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no
tienen final.
 Expansión decimal: Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una
expansión decimal infinita.

3. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
•La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈
ℜ.
•La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
•La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
•La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
•Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a
0: a+(-a)=0
•La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈
ℜ.
•La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
•El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
•En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
•Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el
inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
•Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

4. Si a, b y c son números reales entonces:
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Conmutativa
Suma
Multiplicación
a+(b+c)=
(a+b)+c
Ab = ba
El orden al sumar
o multiplicar
reales no afecta
resultado.
2+8= 8+2
5(-3) = (-3)5

5. EJEMPLO No.2
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Asociativa
Suma
Multiplicación
A+b(b+c)=
(a+b)+c
a(bc) = (ab)c
Puedes hacer
diferentes
asociaciones al
sumar o
multiplicar reales y
no se afecta el
resultado.
7+(6+1)=
(7+6)+1
-2(4x7)7
(-2x4)7

6. EJEMPLO No.3
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Identidad
Suma
Multiplicación
a+0=a
a x1=a
Todo real sumado a 0
se queda igual; el 0 es
la identidad aditiva.
Todo real multiplicado
por 1 se queda igual; el
1 es la identidad
multiplicativa.
-11 + 0 =-11
17 x 1 =17

7. EJEMPLO No.4
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Inversos
Suma
Multiplicación
A+ (-a)=0 La suma de
opuestos es
cero.
El producto de
recíprocos es .
15+(-15)=0

8. EJEMPLO No.5
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Distributiva
Suma respecto a
Multiplicación
a(b+c)=ab + ac El factor se
distribuye a cada
sumando.
2(x+8)=
2(x) + 2(8)

9. Números Irracionales
 Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de
enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I. Aquellas
magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son
también irracionales.
 EJEMPLOS:
 π (pi): Este es quizás el número irracional más conocido de todos. Se trata de la expresión de la relación
que existe entre el diámetro de una esfera y su longitud. Pi entonces es 3.141592653589 (…), aunque en
general se lo conoce simplemente como 3.1416
 e: se trata del número de Euler y se trata de la curva que se observa en los tejidos eléctricos y que figura
en procesos tales como las radiaciones radiactivas o bien en los procesos de crecimiento. El número de
Euler es: 2.718281828459 (…).
 Áureo: este número, que se representa con el siguiente símbolo Φ, que no es más que la letra griega Fi. A
este número también se lo conoce como razón dorada, número de oro, media, proporción áurea, entre
otros. Lo que expresa este número irracional es la proporción que existe entre dos partes de una recta, ya
sea de algo que se encuentre en la realidad o bien, de una figura geométrica. Pero además, el número
áureo es muy utilizado por los artistas plásticos a la hora de establecer proporciones en sus obras. Este
número es: 1.61803398874989.

11. Números Racionales
 Números racionales
 Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y
las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números
racionales se designa con la letra Q:
 Ejemplos
 Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para cada
persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.

12. Números Racionales
 NÚMEROS DECIMALES: Se utilizan para representar números más pequeños que la unidad. Los números decimales se
escriben a la derecha de las unidades separados x una coma es decir: Centenas Decenas Unidades, Décimas
Centésimas Milésimas
 NÚMEROS FRACCIONARIOS: Una fracción es la comparación de dos números naturales mediante una división. El
dividendo se llama numerador y el divisor denominador. Ejemplo:

13. Número Enteros
 El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los
enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Un
número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero.
 Enteros positivos: Corresponde a los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5,…, infinito. Se considera un número positivo al
no tener signo o representar con el signo “+” delante de los números: +1 , +4, +8, +10, etc.
 El cero "0": Se considera un número neutro, no es positivo ni negativo.
 Enteros negativos: Todo número negativo se debe representar con el signo “-“

14. Números Naturales
 De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con
los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números
naturales se designa con la letra mayúscula N.
 Todos los números están representados por los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que
reciben el nombre de dígitos.
 Ejemplo
 Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la cantidad
de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca.

15. UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
 Matemáticas
 Hecho por:
 Dayana Nineth Barillas Juárez -202045138