Probabilitas, teori bayes dll

1. Nama : Debora Elluisa Manurung
STATISTIKA DAN PROBABILITAS NPM : 11312760
TUGAS II Dosen : Prof. Dr. Johan Harlan
SMTS 06 2012 B
1. Diketahui :
Sebuah mobil tanpa ban serep akan mogok jika sebuah (atau lebih) bannya kempes,
sedangkan mobil dengan satu ban serep akan mogok jika dua (atau lebih) bannya
kempes. Misalkan P menyatakan probabilitas sebuah ban kempes dalam suatu
perjalanan.
Ditanya : Hitung dan bandingkan probabilitas mobil dengan dan tanpa ban
serep untuk menyelesaikan perjalanan, masing-masing dengan nilai
P = 0,001 dan 0,01 dan 0,1 !
Jawab :
p = peluang terjadinya ban kempes
n (banyaknya ban yang terdapat pada mobil) = 4
x = banyaknya kejadian ban kempes
Menggunakan rumus binomial : P (X = x) = CXn px qn-x
o Untuk p = 0.001
P (X=0) = C04 p0 q4-0 (kejadian 0 ban kempes)
= ( (

2. =1( (
= 0.9960
P (X=1) = C14 p1 q4-1 (kejadian 1 ban kempes)
= ( (
=4( (
= 0.0039
P (X=2) = C24 p2 q4-2 (kejadian 2 ban kempes)
= ( (
=6( (
= 0.0000053
P (X=3) = C34 p3 q4-3 (kejadian 3 ban kempes)
= ( (
=4( (
= 3.9 x 10-9
P (X=4) = C44 p4 q4-4 (kejadian 4 ban kempes)

3. = ( (
=1( (
= 10-12
Mobil tanpa ban serep = 0.9960
Mobil dengan ban serep = 0.9999
o n= 4 P= 0.01
x= 0 P(x=0) : 0,9606
1 P(x=1) : 0,0388
2 P(x=2) : 0,0006
3 P(x=3) :0,0000
4 P(x=4) : 0,0000
Mobil tanpa ban serep : 0,9606
Mobil dengan ban serep : 0,994
o n= 4 P=0,1
x= 0 P(x=0) : 0,6561

4. 1 P(x=1) : 0,2916
2 P(x=2) : 0,0486
3 P(x=3) :0,0036
4 P(x=4) : 0,0001
Mobil tanpa ban serep : 0,6561
Mobil dengan ban serep : 0,9477
2.Diketahui :
Supaya dapat terbang, sekurang-kurangnya setengah mesin pesawat terbang harus
berfungsi baik. Misalkan pada penerbangan, peristiwa kegagalan tiap mesin terjadi
secara independen dengan probabilitas P.
Ditanya : Manakah diantara pesawat terbang dengan 1, 2, 3 atau 4 mesin yang
lebih aman untuk dinaiki?
Jawab :
Note :
p = kemungkinan mesin rusak
q = kemungkinan mesin tidak rusak
Jadi :

5.  Kemungkinan mesin rusak adalah ½ atau probabilitas 0.5. Berarti
kemungkinan mesin tidak rusak adalah ½ atau probabilitas 0.5. Selain itu
dalam sebuah pesawat terbang bisa terbang dengan baik, jika mesin tidak
rusak dengan probabilitas q ≥ 0.5.
 Jika terdapat 1 mesin, dan terjadi kerusakan mesin rusak dengan probabilitas q
> 0.5, itu berarti p < 0.5, berarti kemungkinan mesin berfungsi hanya bisa
sekitar ±50%. Itu jika hanya setengah mesin yang rusak namun jika p = 0.8,
maka pesawat tidak akan bisa terbang.
 Jika terdapat 2 mesin dan terjadi kerusakan satu buah mesin dengan
probabilitas p < 0.5 dan q > 0.5, berarti setidaknya masih ada 1 mesin yang
berfungsi dengan baik, namun jika p = 0.8, berarti pesawat pun tidak akan bisa
terbang karena hanya 40% dari sebuah mesin yang berfungsi.
 Dan jika terdapat 2 mesin atau semakin banyak atau dengan batas maksimal 4
mesin, maka pesawat dengan 4 mesin, akan lebih aman jika dinaiki, karena
jika terjadi kerusakan probabilitas p < 0.5 dan q > 0.5, itu menandakan masih
ada 2 mesin yang berfungsi dengan baik. Dan bahkan jika kerusakan mencapai
p = 0.8, itu berarti masih ada sekitar 80% dari sebuah mesin yang berfungsi
dengan baik dan pesawat pun akan tetap bisa terbang.
3. Diketahui :
Spesifitas : P (hasil uji (+) | kerusakan ada)
Sensitivitas : P (hasil uji (-) | kerusakan tidak ada)
Proporsi kerusakan = 5%
Ditanya : Jika hasil ujia (+), berapa peluang yang diperiksa rusak?

6. Jawab :
Menggunakan Teorema Bayes
‡ proporsi kerusakan, p = 5 % / 0.05
‡ proporsi tidak rusak, q = 95% / 0.95
Berarti kemungkinan mesin rusak berdasarkan pengujian adalah 50% : 50% atau P =
0.5 dan Q = 0.5. Ternyata setelah diuji, terdapat hasil uji (+) itu berarti (kerusakan
ada).
P (p P) = P (p) . P (P)
= 0.05 X 0.5
= 0.025

7. Jawab :
Menggunakan Teorema Bayes
‡ proporsi kerusakan, p = 5 % / 0.05
‡ proporsi tidak rusak, q = 95% / 0.95
Berarti kemungkinan mesin rusak berdasarkan pengujian adalah 50% : 50% atau P =
0.5 dan Q = 0.5. Ternyata setelah diuji, terdapat hasil uji (+) itu berarti (kerusakan
ada).
P (p P) = P (p) . P (P)
= 0.05 X 0.5
= 0.025

8. Jawab :
Menggunakan Teorema Bayes
‡ proporsi kerusakan, p = 5 % / 0.05
‡ proporsi tidak rusak, q = 95% / 0.95
Berarti kemungkinan mesin rusak berdasarkan pengujian adalah 50% : 50% atau P =
0.5 dan Q = 0.5. Ternyata setelah diuji, terdapat hasil uji (+) itu berarti (kerusakan
ada).
P (p P) = P (p) . P (P)
= 0.05 X 0.5
= 0.025