ADALID_DIEZ_DE_U_CLARAMARTHA_algebra_Basica_Soluciones_con_e(1).pdf

Soluciones con el paquete Mathematica
• CLARAMARTHA ADALID DÍEZ DE U. • EDITH ARIZA GÓMEZ • VÍCTOR
A. BREÑA VALLE • JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA • ANDRÉS MORALES
ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZ • VICENTE RAMÍREZ
• ARACELI RENDÓN TREJO • JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO • ANGÉLICA
ROSAS HUERTA • JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO • IRENE
SÁNCHEZ GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL
Casa abierta al tiempo
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades
COLECCIÓN
LA LLAVE
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

ÁLGEBRA BÁSICA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
Rector general, doctor Luis Mier y Terán Casanueva
Secretario general, doctor Ricardo Solís Rosales
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-XOCHIMILCO
Rectora, doctora Patricia Elena Aceves Pastrana
Secretario, doctor Ernesto Soto Reyes Garmendia
DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES
Director, licenciado Gerardo Zamora Fernández de Lara
Secretario académico, maestro Roberto Martín Constantino Toto
Jefe de la Sección de Publicaciones, licenciado Miguel Ángel Hinojosa Carranza
COMITÉ EDITORIAL
Presidente, Carlos Alfonso Hernández Gómez
Marta G. Rivas Zivy / Martha Griselda Martínez Vázquez / Myriam Cardozo Brum
Enrique Cerón Ferrer / Teseo Rafael López Vargas / Rogelio Martínez Flores

Álgebra básica
Soluciones con el paquete Mathematica
CLARAMARTHA ADALID DIEZ DE U. Y EDITH ARIZA GÓMEZ
• VÍCTOR A. BREÑA VALLE Y JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA
r
ANDRÉS MORALES ALQUICIRA • ANAELENA NARRO RAMÍREZ
T VICENTE RAMÍREZ T ARACELI RENDÓN TREJO
T JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO T ANGÉLICA ROSAS HUERTA
T JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO T IRENE SÁNCHEZ
GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL
j ^ UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
casaabiertaaitiempo UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades
2001

Cuidado de la edición: Dora LuzJuárez Cerdi, Renata Soto-Elízaga y los autores
Diseño de la portada: Mónica Cortés Genis
Composición y formación: Irma Leticia ValeraJaso
Elaboración de gráficas y cuadros: Laura Mier
Producción editorial: Centro Editorial Versal, s.c.
Primera edición, diciembre de 2001
D.R.© 2001 Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Xochimilco
Calzada del Hueso 1100
ColoniaVilla Quietud, Coyoacán
0496oMéxico,D.F.
ISBN de la colección: 970-654-452-6
ISBN:970-654-902-1
Impreso y hecho en México /Printedandmade in México

ÍNDICE
PRESENTACIÓN 15
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS 17
Objetivos 19
Estructura del capítulo 19
Introducción 19
1.1. Conceptos básicos de conjuntos 20
1.1.1. Definición de conjunto 20
1.1.2. Notación 20
Ejemplos de 1.1.2 21
1.1.3. Conjuntos especiales 21
1.2. Relaciones entre conjuntos 22
1.2.1. Igualdad y contención 22
1.2.2. Subconjuntos de un conjunto 23
Ejercicios de 1.2.2 23
1.3 Operaciones entre conjuntos 24
1.3.1. Complementación 25
1.3.2. Intersección 25
1.3.3. Unión 26
1.3.4. Diferencia de conjuntos 26
Ejemplos de 1.3 26
1.4. Diagramas de Venn 28
1.4.1. Regiones en los diagramas 30
1.5. Aplicaciones 31
1.5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos 31

8 Álgebra básica
1.6. El paquete Mathematica 41
1.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos 42
1.6.2. Mathematica y teoría de conjuntos 46
Solución a los ejercicios propuestos 52
Bibliografía 53
CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 55
Objetivos 57
Introducción 57
2.1. Números enteros y fraccionarios 58
2.1.1. Los números negativos 60
2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones 63
2.2. Números reales 67
2.2.1. Números irracionales 67
2.3. Leyes y propiedades 73
2.3.1. Axiomas relativos a los números 73
2.3.2. Propiedades de igualdad 79
2.3.3. Postulados de orden 80
2.3.4. Postulado de tricotomía 80
Ejercicios de 2.3 83
2.4. Valor absoluto 84
Ejemplos de 2.4 85
2.6. El paquete Mathematica y los sistemas numéricos 89
Bibliografía 101
Capítulo 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 103
Objetivos 105
Introducción 105

índice
3.1. Potenciación
3.1.1. Potencia de un monomio
Ejemplos de 3.1.1
3.2. Exponentes enteros
3.2.1. Producto de potencias de igual base
Ejemplos de 3.2.1
3.2.2. Elevar una potencia a otra potencia
Ejemplos de 3.2.2
3.2.3. Producto elevado a una potencia n
Ejemplos de 3.2.3
3.2.4. Elevar un cociente a una potencia n
Ejemplos de 3.2.4
3.2.5. Cociente de dos potencias de igual base y exponente diferente
Ejemplos de 3.2.5
3.3. Exponente cero y negativo
3.3.1. Exponente cero
Ejemplos de 3.3.1
3.3.2. Exponente negativo
Ejemplos de 3.3.2
Ejercicios de 3.1, 3.2 y 3.3
3.4. Radicales
3.4.1. Exponente fraccionario
Ejemplos de 3.4.1
3.4.2. Radicales semejantes
Ejemplos de 3.4.2
3.4.3. Simplificación de un radical
Ejemplos de 3.4.3
3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical
Ejemplos de 3.4.4
3.4.5. Suma de radicales semejantes
Ejemplos de 3.4.5
3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros, con índice igual
al m.c.m. de los índices
Ejemplos de 3.4.6
3.4.7. Suma y resta de radicales
Ejemplos de 3.4.7
3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice
Ejemplos de 3.4.8
3.4.9. División de radicales del mismo índice
106
107
107
107
107
108
108
108
108
109
109
109
110
110
111
111
111
111
112
113
114
114
115
117
117
117
117
118
118
118
118
119
119
119
120
121
121
121

10 Algebra básica
3.5
Ejemplos de 3.4.9
3.4.10. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante)
Ejemplos de 3.4.10
3.4.11. Radicación de radicales
Ejemplos de 3.4.11
3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio
Ejemplos de 3.4.12
3.4.13. Racionalización del denominador de una fracción cuando
es un binomio con raíces cuadradas
Ejemplos de 3.4.13
Ejercicios de 3.4
Polinomios
3.5.1. Suma de monomios
Ejemplos de 3.5.1
3.5.2. Suma de polinomios
Ejemplos de 3.5.2
3.5.3. Ley distributiva de la multiplicación
Ejemplos de 3.5.3
3.5.4. Sustracción de monomios
Ejemplos de 3.5.4
3.5.5. Sustracción de un polinomio
Ejemplos de 3.5.5
3.5.6. Multiplicación
Ejemplos de 3.5.6
3.5.7. Multiplicación de monomios
Ejemplos de 3.5.7
3.5.8. Monomio por polinomio
Ejemplos de 3.5.8
3.5.9. Multiplicación de dos polinomios
Ejemplos de 3.5.9
3.5.10. División
3.5.11. Propiedades de la división
3.5.12. División de monomios
Ejemplos de 3.5.12
3.5.13. División de un polinomio por un monomio
Ejemplos de 3.5.13
3.5.14. División de dos polinomios
Ejemplos de 3.5.14
Ejercicios de 3.5
122
122
122
123
123
123
123
124
124
125
128
128
128
129
129
130
130
131
132
132
132
134
135
136
136
138
138
139
139
141
141
142
142
143
143
145
145
148

índice 11
3.7. Manejo de polinomios con Mathematica 152
Bibliografía 165
CAPÍTULO 4. FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 167
Objetivos 169
Introducción 169
4.1. Factorización de polinomios 170
4.2. Productos notables 171
Ejemplos de 4.2 173
4.3. Factorización con factor común, productos notables
y combinación de ambos 174
4.3.1. Factorización con factor común 174
4.3.2. Factorización con productos notables 175
4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos 177
4.4. Factorización por agrupamiento 179
Ejemplos de 4.4 180
4.5. Factorización de una ecuación cuadrática 181
Ejemplos de 4.5 181
4.5.1. Factorización de un trinomio de segundo grado 182
Ejemplo de 4.5.1 183
4.6. Descomposición factorial de polinomios 184
4.6.1. Raíces de polinomios 184
4.6.2. Teorema del residuo 186
4.6.3. División por Regla de Ruffini 186
4.6.4. Descomposición factorial de polinomios 189
4.7. Fracciones algebraicas 190
4.7.1. Propiedades de las fracciones 191
4.8. Simplificación mediante factorización 192

12 Álgebra básica
Ejemplos de 4.8 192
4.9. Multiplicación y división de fracciones algebraicas 193
4.9.1. Multiplicación de fracciones 193
4.9.2. División de fracciones 196
4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas 198
Ejemplo de 4.10 200
4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones 201
4.12. Productos notables y factorización con Mathematica 204
Bibliografía 216
CAPÍTULO 5. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES 217
Y DESIGUALDADES
Objetivos 219
Introducción 219
5.1. Ecuaciones de primer grado 220
Ejemplos de 5.1 221
5.2. Ecuaciones de segundo grado 221
5.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura 222
5.2.2. Solución de la ecuación cuadrática pura por descomposición
en factores 225
Ejemplos 5.2.2 226
5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta 228
5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completa
por descomposición en factores 230
5.2.5. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa
por el procedimiento de completar el cuadrado perfecto 232
5.2.6. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por medio
de la fórmula general 236

índice 13
Ejemplos de 5.2.6
Ejercicios de 5.2
5.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
Ejemplos de 5.3
5.3.1. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Ejemplos de 5.3.1
Ejercicios de 5.3.1
5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados
Ejemplos de 5.4
Ejercicios de 5.4
5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo grado
Ejemplos de 5.5
Ejercicios de 5.5
5.6. Desigualdades
5.6.1. Concepto
Ejemplos de 5.6.1
5.6.2. Desigualdades con una incógnita
Ejemplos de 5.6.2
Ejercicios de 5.6.2
5.6.3. Sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita
Ejemplos de 5.6.3
Ejercicios de 5.6.3
5.6.4. Desigualdades lineales con dos incógnitas
Ejemplos de 5.6.4
Ejercicios de 5.6.4
5.6.5. Sistemas de desigualdades lineales con dos variables
Ejemplos de 5.6.5
Ejercicios de 5.6.5
5.7. Aplicaciones
5.7.1. El ingreso nacional
Ejemplos del 5.7.1
5.7.2. Modelo de mercado con dos bienes
Ejemplos del 5.7.2
5.7.3. Análisis de optimización
Ejemplo del 5.7.3
5.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el paquete Mathematica
Apéndice del 5.6
Bibliografía
237
238
239
239
241
241
243
244
244
249
249
250
253
253
253
254
255
255
258
258
258
260
260
260
262
263
264
265
266
266
269
271
273
277
278
280
297
299

PRESENTACIÓN
L
A PRESENTE OBRA está dirigida a cubrir los temas básicos de álgebra que
los estudiantes de ciencias sociales deben conocer y manejar, en especial los de
política y gestión social, economía y administración; también de aquellas ca-
rreras en las que no requieran conocimientos muy avanzados de matemáticas como:
comunicación social, sociología y psicología, entre otras.
Este material tiene como objetivo apoyar a los alumnos que ingresan a la
universidad en los temas básicos de álgebra. Los contenidos se plantean de forma
accesible, cuidando que el balance sea el adecuado entre la teoría, los cálculos y
las aplicaciones; haciendo énfasis en las técnicas y métodos que el estudiante
requiere para solucionar problemas específicos. En cada uno de los capítulos, el
estudiante puede avanzar paso a paso para adquirir el conocimiento en forma
gradual. Después de cada nuevo concepto se procede a ilustrarlo con varios ejem-
plos, complementando algunos de ellos con su solución por medio del paquete
de computación Mathematica. Se incluyen aproximadamente 600 ejemplos, de los
cuales 250 están resueltos con Mathematica y se identifican con el símbolo de la
computadora (B). Al final de cada capítulo se encuentran los problemas por
resolver, para que el estudiante reafirme y maneje las diferentes técnicas
algebraicas en la solución de los mismos, empleando la forma tradicional o utili-
zando Mathematica.
El primer capítulo se conforma de dos partes importantes, en la primera se
describen los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, como son su definición,
su notación, la relación entre conjuntos, las operaciones básicas entre conjuntos,
la representación de éstas a través de diagramas de Venn y sus aplicaciones. En la
segunda parte se dan a conocer los elementos básicos para el manejo del paquete
de computación Mathematica, en la solución de cálculos numéricos y en la aplica-
ción a la teoría de conjuntos.
En el capítulo dos se estudia el sistema de números reales: los números enteros
y fraccionarios, los números irracionales, sus leyes y propiedades más usuales;
15

también se trata el concepto de valor absoluto y el manejo de los sistemas numéri-
cos con el paquete Mathematica.
El capítulo tres se divide en cuatro partes, para estudiar las operaciones con
expresiones racionales e irracionales. En la primera sección se aborda la
potenciación, exponentes enteros, negativos y cero. En la segunda parte se estu-
dian los exponentes fraccionarios, los radicales, la racionalización del denomina-
dor cuando es un monomio y la racionalización del denominador cuando es un
binomio con radicales de segundo grado. En la tercera sección se explica la forma
de efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre monomios,
entre monomio y polinomio y entre polinomios. En la última parte se presenta el
manejo de polinomios con el paquete Mathematica.
El capítulo cuatro se refiere a la factorización y las operaciones con fracciones
algebraicas. En el primer caso se analiza la factorización de polinomios, productos
notables, factorización común, factorización con productos notables y la combina-
ción de ambos; asimismo, se plantea cómo factorizar por agolpamiento, la factori-
zación de la ecuación cuadrática y la descomposición factorial de polinomios. Para
el caso de las fracciones algebraicas, se estudian sus propiedades, la simplificación
mediante la factorización, así como las operaciones de suma, resta, multiplicación
y división. En la última parte del capítulo se indica cómo dar solución a los pro-
ductos notables y a la factorización con el paquete Mathematica.
El capítulo cinco está dividido en cuatro partes. En la primera se trabaja con las
ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución; la solución de la ecua-
ción cuadrática pura, cuadrática mixta incompleta, cuadrática mixta completa por
descomposición de factores, mixta completa por el procedimiento de completar el
cuadrado perfecto, cuadrática mixta completa por descomposición de factores y
mixta completa a partir de la ecuación general. La segunda parte se refiere a la
solución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, utilizando
los métodos de igualación, sustitución, diferencia y determinantes; y la solución
para sistemas de ecuaciones de segundo grado. En la tercera parte se tratan los
conceptos básicos de las desigualdades, la solución de desigualdades con una in-
cógnita, sistema de desigualdades simultáneas con una incógnita, desigualdades
lineales con dos incógnitas y el sistema de desigualdades con dos incógnitas. En la
última parte del capítulo se presenta la solución de las desigualdades con el paque-
te de cómputo Mathematica.
Los autores

CAPÍTULO 1
Teoría de conjuntos

1. TEORÍA DE CONJUNTOS
Al terminareste capítulo, el lector podrá:
y Identificar los elementos de unconjunto.
</ Calcularla cardinalidadde unconjunto.
/ Realizaroperacionesconconjuntos.
/ Resolverproblemasutilizando los conjuntos y
las regiones quedefinen.
Estructura del capítulo
Introducción
.1. Conceptosbásicos deconjuntos.
.2. Relaciones entreconjuntos.
.3. Operaciones entreconjuntos.
.4. Diagramas deVenn.
.5. Aplicaciones.
.6. El paquete Mathematica.
Solución a los ejerciciospropuestos
INTRODUCCIÓN
A
UNQUE SIEMPRE hemos estado rodeados de conjuntos, e incluso formamos
parte de diversos conjuntos, la noción de conjuntotardó en aparecer, segura-
mente debido al nivel de abstracción que requiere este concepto, semejante
al de los números; por ejemplo, la cinquidadftiz captada bastante tiempo después de
la utilización del cinco ligado a cinco cosas.
A pesar de su tardía puesta en escena, la teoría de conjuntos es tan valiosa que ha
afectado significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas.
Sin miedo a exagerar, puede afirmarse que todas las ramas de la matemática
utilizan conjuntos. Por ejemplo, en aritmética se trabaja con los conjuntos de nú-
meros y las operaciones efectuadas con ellos; la geometría estudia los conjuntos de
puntos que definen diversas figuras y sus propiedades; el muestreo analiza las
características de subconjuntos de una población, etcétera.
Se puede atribuir el nacimiento de las ideas conjuntistas a los trabajos de los
matemáticos alemanes Richard Dedekind (1831 -1916) y Georg Cantor (1845-1918).
19

20 Álgebra básica
Aunque ambos estaban fundamentalmente preocupados por conjuntos infinitos (con
un número infinito de elementos), construyeron las bases de los números naturales
sobre el concepto de conjunto. Por su parte, el matemático alemán Ernst Zermelo
(1861-1953) estableció los axiomas sobre los que sedesarrolló la teoría de conjuntos.
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS
1.11. Definición de conjunto
Se llama conjunto a una colección de objetos de cualquier índole, relacionados
o ajenos.
Así, por ejemplo, se puede hablar en la UAM Xochimilco del conjunto de li-
bros de la biblioteca, del conjunto de bienes que conforman el inventario, del con-
junto de reglamentos, del conjunto de proveedores, del conjunto de egresados, del
conjunto de docentes, del conjunto de alumnos reprobados en el trimestre pasado,
etcétera. También puede hablarse de conjuntos en los que no hay relación explícita
entre los objetos que los integran: "número,papel, vestido,planta, gises"o "refresco,
árbol, auto, computadora, piedra".
Las reglas que rigen la construcción de conjuntos son:
1. La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certeza
cuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no.
El conjunto no está bien definido cuando hay ambigüedad sobre los ele-
mentos que lo componen o se requiere incorporar criterios adicionales para
identificar tales elementos. Por ejemplo, si el conjunto está formado por las
15 empresas más importantes del país, se requiere conocer los criterios que
confieren importancia a las empresas: volumen de ventas, capital social, nú-
mero de empleados, etcétera.
2. Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos deben
ser distintos. Por ejemplo, el conjunto de letras que forman la palabra
Cacahuamilpa es: c, a, h, u, m, i, I,p.
3. El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia.
1.1.2. Notación
Para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas, por ejemplo A =
{letras consonantes} que se lee: A es el conjunto de letras consonantes. Las

/ Teoría de conjuntos 21
llaves sirven para encerrar entre ellas los componentes del conjunto o su des-
cripción.
Los objetos que forman parte del conjunto se conocen como elementosr
y gene-
ralmente se simbolizan mediante letras minúsculas. Se utiliza el símbolo e para
indicar pertenencia y £ para negarla. Así, con respecto al conjunto A mencionado
antes, se puede afirmar que/? e A y que o£ A.
Se emplean dos formas para especificar un conjunto:
1. Por extensión, que consiste en listar todos los elementos que constituyen el
conjunto, separados por comas y encerrados entre llaves.
2. Por comprensión, indicando dentro de las llaves las propiedades que sirvan
para describir los elementos del conjunto.
Ejemplos de 1.1.2
^={0,7, 14,21,28} = {x xe Aí,x=7n,Q<n<4} B
C- {x xzs proveedor de El Palacio de Hierro}
D- {x I .res ciudadano mexicano}
1.1.3 Conjuntos especiales
En el análisis de una situación particular, la colección de todos los elementos que
intervienen constituye un conjunto especial denominado conjunto universal,que se
representa por £1 Debe tomarse en cuenta que este conjunto universal no es único,
pues cambia con el problema que se pretende resolver.
Otro conjunto especial es aquel que no contiene elementos; este conjunto se
denomina conjunto vacío y se denota por <|)o por {}.
Al número de elementos del conjunto A se le llama cardinalidady se denota por
8{A). Un conjunto se consideray?////¿> cuando su cardinalidad es un número natu-
ral, de otra manera se le dice infinito. Cuando es infinito pero puede contarse,
ponerse en correspondencia con los números naturales, se le llama numerable.
1
Ejemplos resueltos utilizando el paquete de computación Mathematica.

22 Álgebra básica
Ejemplos de 1.1.3
C- N— {números naturales), 8(C) es infinita numerable.
/?= {O,2, 4, 6, 8, ...}, 8{D) es infinita numerable.
^ = 91= {números reales}, 8{E) es infinita no numerable.
F- {números irracionales}, 8{F) es infinita no numerable.
1.2. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
/ 2.1. Igualdad y contención
Se dice que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos y se
denota por A = B; cuando no sucede así se indica mediante A^ B. La definición
formal de conjuntos distintos es:
A^Bsiy sólo si 3 (existe) x^ A^ (tal que)x<£ Bf o bien 3 (existe)
(tal que)y& A.
Dados dos conjuntos cualesquiera, AyB, se dice que uno incluye a otro, A c B
(se lee A es subconjunto deBoB incluye a^)si¿?e^/=> (implica que) a e B.
Es importante destacar la diferencia entre la relación de pertenencia (e) que se
da entre un elemento y un conjunto y la relación de inclusión (c) que se establece
entre dos conjuntos. Sin embargo, puede suceder que los elementos de un conjunto
sean a su vez conjuntos.
Ejemplos de 1.2.1
SiA= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B= {0, 2, 4, 6, 8} y C= {1,3, 5, 7} entonces
BczAy CaA,peroB<£C, C<zB,A<zBf Aa C

/ Teoría deconjuntos 23
SiZ>= {{1,2}, {3,5,7}, {0,4,6,8}} entonces {1,2} e D, {3,5,7} e D,
{0, 4, 6, 8} e D y {{1,2}} c D (el conjunto con un elemento que es un
conjunto es subconjunto de D), {{1,2}, {3,5, 7}} cz£>, {{0,4, 6, 8}}
Una manera más formal de establecer la igualdad entre conjuntos consiste en
afirmar A =B, si y sólo si cada elemento de uno de los conjuntos es también ele-
mento del otro, esto es:
a e A=>ae B (que significa A c B) y
G B=>be A (que significa B c A)
Siempre es cierto que A - A, y en particular AczA, pero a este tipo de inclusión
se le llama inclusión impropiay se simboliza por c; las demás inclusiones se dicen
propias. Es igualmente cierto que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto,
(|)c4
1.2.2. Subconjuntos de un conjunto
Al conjunto de subconjuntos de un conjunto A se le llama conjuntopotencia y se le
denota por 2A
; esta notación puede explicarse porque cuando el conjunto es finito,
con cardinalidad n, la cardinalidad del conjunto de subconjuntos correspondiente
es precisamente 2n
.
Ejercicios de 1.2.2
1. Colocar un signo = o ^ según convenga:
a) {a+b, (b-a)(b+a), a+a) {b2
- a2"a+¿>}
b) {5 + 1, 7, 34 + 16, 0} {5 - 5, 50, 6, 8 - 1}
c) {34
,2o
, 52
, 25} {92
, 1, 25} {81,37°, 25,25}
d) {0, 1, 2o
, 3 - 3,1°} {0, 1}
2. Anota sobre la línea si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos:
a) {P = {P,$}

24 Algebra básica
b) {c{>, O, 1} = {<}>, 1 }
c) Ws = {0}
d) {2-2} = {0}
f) 0 = W
£> {5} = 5
y^ {x
3. Completa la tabla siguiente, colocando el símbolo de c, c o <
Z según convenga:
Conjuntos
*
{1}
{1,3}
{0,1}
{0,1,3}
{0}
{1} {0} {1,0} {3,0,1}
1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinar conjuntos
para formar nuevos conjuntos. Las operaciones más importantes son: complemen-
tación, intersección, unión y diferencia.

/. Teoría deconjuntos 25
1.3.1. Complementación
SiAc Q, elcomplemento de^ con respecto aÍ2 eselconjunto deelementos de Q,
que noestán en Ayserepresenta como:
A',Ac
={xe
Ejemplos de 1.3.1
1. SiQ,eselconjunto delectores deLaJornada yA son lossuscriptores de ese
periódico, entonces Ac
- {lectores de LaJornadano suscriptores}.
2. SiÍ2 eselconjunto de mexicanos yAes elconjunto de ciudadanos con derecho
a voto, Ac
- {mexicanos sinderecho avoto}.
13.2. Intersección
Si A y B sondossubconjuntos delconjunto universal, la intersección deestos
conjuntos eslacolección deelementos que pertenecen aambos:
AnB= {xe £l xe Ayxe A}
Propiedades:
*(An£)c
=Ac
v£c
Donde u significa unión, operación definida acontinuación.
Cuando An B- Olos conjuntos sellaman ajenos odisjuntos.

26 Algebra básica
1.3.3. Unión
Si AyBsondos subconjuntos delconjunto universal, launión deestos conjuntos
es lacolección deelementos quepertenecen almenos aunodeellos:
AuB= {XGQ|XG Ay XG B)
Propiedades:
Donde B- Crepresenta la diferencia deconjuntos, que esla siguiente opera-
ción explicada. Esta propiedad también sedapara laintersección.
B-C) =(AnB)-(AnC)
1.3.4. Diferencia de conjuntos
SiAy Bson dossubconjuntos delconjunto universal, ladiferencia deestos conjun-
tos eslacolección deelementos quepertenecen alprimero deellos ynoalsegundo:
J-B={xe Q| xe Ayx£ B}
Propiedades:
-C) = (AnB)-(AnC)
Ejemplos de 1.3
1. Se efectúa unaencuesta entre 250 empleados deunaempresa, acerca de un
nuevo plan dejubilación. Losresultados sonlos siguientes:

Respuesta
En favor
En contra
Indiferentes
Total
Trabajadores
Directores
1
2
1
4
Gerentes
5
8
2
15
Empleados
88
32
11
131
Temporales
52
38
10
100
Total
146
80
24
250
Los 250 empleados de la encuesta son los elementos del conjunto universal. Si
los elementos que contestan en favor, N los que están en contra, Z> los direc-
tores, Glos gerentes, irlos empleados de base yT los empleados temporales
a) Determinar el número de empleados en cada uno de los siguientes conjuntos:
S,D, G, T,Du G, Sn T,(SuN)', (Eu T) n N, N- (Tu E(SU N)'
n G, T- (SKJ N)
b) Escribir cada uno de los siguientes conjuntos usando sólo los símbolos S, N,
GE, T/,u,r
• El conjunto de empleados que contestaron en favor yno son empleados
de base.
• El conjunto de empleados indiferentes.
• El conjunto de empleados indiferentes que son trabajadores de base.
• El conjunto de empleados que se pronunciaron en contra del proyectoy
son trabajadores temporales.
Solución:
a) S(S) = 146, 8(D) = 4, 8(G) =15
5(7*) = 100, 5(¿>u G) = 19, S(Sn T) =52,
8{{Ev T)nJV) = 70, 8(N-(Tu E))=10,
8(T-(Su JV))= 10
b)
• Sc(Du Gu T)
• (SuNY
• (Su N)' n E
• NrT
N)' = 24
N)' nG

28 Algebra básica
2. Sean £2= {0,1,2,3,4,5,6,7} elconjunto universal ysussubconjuntos A={0,
1,2,3}, B= {0,2,4, 6}, C= {1,3,5,7},£>= {7},aplicando lasdefinicionesde
operaciones obtener:A', B', C,Av£,{AvB) A-B, An QB'n C, B- Cf A
Solución:
• A'= {4,5,6, 7},B'= {1,3,5,7}, r = {0,2,4, 6}
• AuB= {0,1,2,3,4,6}
• (AvB)'= {5,7 } , ^ - ^ = {1,3}
-C=B,A-D =A, ¿7-Z?={l,3,5}
={l, 3,7}, i?u C= fí, (^X = {0, 1,2,3}
1.4. DIAGRAMAS DE VENN
Al trabajar con los conjuntos, susrelaciones y operaciones, esútil contar con un
sistema derepresentación gráfica que permita visualizar loqueocurre einterpretar
con diagramas lasrelaciones lógicas correspondientes.
El procedimiento usual, queconsiste endibujar rectángulos ycírculos, seconoce
como diagramade Venn-Euler. Eneste diagrama, elconjunto depuntos interioresal
rectángulo eselconjunto universal. Lossubconjuntos delconjunto universal serepre-
sentan apartir delospuntos interiores aloscírculos trazados dentro delrectángulo.
Los diagramas correspondientes alejemplo anteriorson:
f :
D
7
V
,- -
5
/
c
( 1
1 3
/
) (
A
-~
' 0 ^
2
/
B
6 )
-

/. Teoría de conjuntos 29
AUB
(AU
/T ¿5
1 í7
V V
v
_5
._
) (
c
3 j
...
• •
A
í 0 >
i 2 ,
4 -
6 j
y
B
ACC
f

^ D
>r 5 21
w
C A
/o 4
6
y
. y
B

30 Álgebra básica
C-D
1.4.1. Regiones en los diagramas
En todo diagrama de Venn-Euler se pueden identificar regiones que son útiles para
reconocer relaciones de pertenencia.
En el caso de un subconjunto se aprecian dos regiones: Rv que es la región de
los puntos en A; y Rv la región de los puntos fuera de A.
En el caso de dos subconjuntos, se obtienen cuatro regiones:

xe Ay xe B}=AnB
xe Ay x£ B}=A-B
x£ Ay xe B}=B-A
x£ Ay x£ B}=(A'KJB')
En elcaso de tres subconjuntos, seobtienen ocho regiones:
R2={x
4
R5={x
Rn={x
R = {x
xe A, xe By xe C) •
xeA,xeByx<£ C}
xe A, x<£. By xe C)
J Í A, xe By xe C)
xe A,xí By xí C}
x£ A,xe Byx<Z C)
x£A, xéByxe C}
x<£ A, x£ By x<£ C}
--AnBnC
--ArBrC
-•AnB'nC
--A'nBnC
--AnB'nC
--A'nBnC
--A'nB'nC
--A'nB'nC
1.5.APLICACIONES
/ 5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos
Una de lasrelaciones másutilizadas en las aplicaciones de teoría de conjuntoses
aquella que permite conocer lacardinalidad delaunión devarios conjuntos,
a partir del conocimiento delacardinalidad decada uno deellos y lade sus
intersecciones.
Dados dos conjuntos, oson ajenos otienen intersección distinta del vacío.
Cuando son disjuntos, elnúmero deelementos delaunión no esmás que la
suma de los elementos de ambos conjuntos S(Au B) =S(A)+S(B), siAn B= <j),

32 Álgebra básica
de otra manera, 8{A u B) = 8(A) + 8(B) - 5(^ n B), ya que al sumar los ele-
mentos de A con los de B, los elementos comunes son contados dos veces por
lo que es necesario restarlos.
Ejemplos de1.5.1
1. Si todos los estudiantes del grupo SJO1 compraron boletos para asistir a los
encuentros de fútbol el próximo fin de semana: 24 compraron para el partido
Atlas-Toluca, 10 tienen boletos para eljuego de Cruz Azul-Morelia y seis asis-
tirán a los dos juegos. ¿Cuántos estudiantes forman este grupo?
Solución:
8(A) =24, 8(B) =10, = 69 entonces 8{Au B) =24 + 10 - 6 = 28
2. La "técnica de panel", que consiste en seleccionar una muestra de la población
y entrevistarla repetidas veces en diferentes intervalos de tiempo, en relación
con el consumo de un producto determinado, es un método muy utilizado en la
investigación de mercado.
Por ejemplo, se elige una muestra de 2000 empleados, a los que se entrevista
preguntándoles si utilizan cierta marca de productos para oficina, para analizar
los efectos de la publicidad sobre el consumo. Seis meses después se entrevista
a esas mismas personas para preguntarles si continúan utilizándolos y lo mismo
se hace un año después. Sean P,Sy T los conjuntos de personas que respondie-
ron afirmativamente a las entrevistas en la primera, segunda y tercera ocasio-
nes. En el cuadro siguiente se especifican los datos obtenidos:
Conjuntos
P
S
T
POS
PDT
SDT
PDSDT
Personas que
respondieron
afirmativamente
838
827
808
542
474
498
317
Entrevistas
Ia
2a
3a
Ia
y 2a
Ia
y 3a
2a
y 3a
Ia
, 2a
y 3a

Utilizando el diagrama deVenn-Euler para tres conjuntos, sedeterminará la
cantidad de usuarios quepertenecen a cada unade las ocho categorías o
subconjuntos deempleados. Esto es,loselementos delasregiones R2 aJ?r
a) Como 8(Sn T) =498y 8(PnSn T) = 317 y
<5(7?4
)=8{P'nSn T) =8(Sn T) - 8(Pn Sn T) entonces
5 ( ^ = 498-317=181
Esto significa que enlamuestra hay 317 personas que respondieron en
las tres oportunidades que utilizan los productos investigados, mientras que
hay 181 personas que informaron que no los usaban enlaprimera entrevista
y respondieron afirmativamente enlasegunda ytercera entrevistas.
b) Análogamente 8(Pn S) =542 y 8{Pn Sn T) =317,
de donde 8(Pn Sn 7")= 8(Pn S) - 8(Pn Sn T) =542 - 317 =225
Entonces, 225 personas respondieron que utilizaban los productos en la
primera y enla segunda entrevistas, pero noenlatercera. Entérminos de
regiones deldiagrama
c) Delamisma manera setiene que
S(Pn T) =474 y 8(Pn Sn T) - 317, dedonde
8{Pn S'n T) =8(Pn T) - 8(Pn Sn T) =474- 317= 157
Esto es,hubo 157 entrevistados que informaron que utilizaban los pro-
ductos enlaprimera ytercera ocasiones enque fueron interrogados, perono
en la segunda. Entérminos deregiones
d) Por otro lado, sesabe que
8(P)= 838, 8(J>n S) = 542, S(Pn T) = 474
y 8(/>n Sn T) = 317 =
>8(Pn Sf
n 7")
= 8(P)- 8(Pn S) - 8(Pn T) + 8(Pn Sn T)
= 838-542-474 + 317=139
que corresponde alaregión R$, esdecir, los consumidores que respondieron
afirmativamente sólo enlaprimera entrevista.

34 Álgebra básica
e) Además, 8(S) = 827,8(Pn S) = 542,5(^n 7*)=498
y 8(Pn Sn T) = 317 => b{F n Sn F)
= 5(J) - S(Pn S) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T)
= 827- 542- 498+ 317= 104,quecorresponde a la región R6.
f) Se tiene que 8{T) = 808, 5(^n T7
) - 474, 5(^n T7
) - 498
y 8(Pn Sn T) = 317, de donde
5(/"n ^n r) = 5(r) - 8(Pn T) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T)
= 808- 474- 498+ 317= 153, quecorresponde a la región Rr
g) Finalmente, para determinar elnúmero deelementos delaregión Rg serecurre
a la fórmula queproporciona la cardinalidad de launión detres conjuntos:
T) = 8{P) + 8{S)+ 8{T)- 8(Pn S) - 8(Pn T) - 8(Sn T)
+ 8{Pn Sn T) = 838 + 827 + 808 - 542 - 474 - 498 + 317 = 1276
Porlotanto 8(P'n S'n F) =8(O)- 8(Pu Su T) =2000- 1276= 724
que corresponde a la región Rg.
La conclusión correspondiente al análisis de los datos obtenidos delos
cuestionarios eslasiguiente: alcomparar lascifras derespuestas afirmativas
en cada entrevista, se observa quelapoblación de consumidores semantie-
ne aproximadamente estable, conunaleve declinación: 8(P) = 838, 8(S) =
827 y 8{T) =808. Sinembargo, lacifra 8(Pn Sn T) =37 está indicando
que la cantidad de consumidores fieles al producto es mucho menor. En
términos porcentuales, lasrespuestas afirmativas constituyen respectivamente
41.9,41.4 y40.4% delapoblación muestreada, mientras elporcentaje"cau-
tivo" de esemercado es sólo de 15.8porciento.
Suponiendo que la información original es fidedigna, estos hechos se pue-
den interpretar de la siguiente manera:
I. 8(Pn S' n T) =157significa que7.8% delosconsumidores no estuvieron
muy convencidos delaspropiedades delproducto; queenelmomento dela
segunda encuesta estaban experimentando conalgún producto competidor
y que finalmente hanregresado al producto original.
II. S(Pn Sn F) = 225 significa que 11.3% de los consumidores estaban
probando otros productos al ser interrogados en la tercera ocasión.
III. 8{P/
n Sn T) = 181puede interpretarse como el incremento de mercado
logrado durante elperiodo queseestá analizando, querepresenta 9%deltotal.

IV. 5(Pc S' n T') = 139 puede interpretarse como la disminución de merca-
do ocurrida en ese periodo, que es cercana a 7% del total.
V. Tanto 5 ( ^ n Sn T') = 104 como S(P'n S"n T) = 153 representan
grupos de consumidores sobre los cuales ha influido lapublicidad efectuada
en el periodo considerado; 5.2% probaron los productos investigados en
la época de la segunda encuesta y al no convencerse de sus cualidades
volvieron a usar el producto que consumían originalmente. Por otra parte,
7.6% de los consumidores estaban experimentando con estos productos al
efectuarse la tercera entrevista.
VI. 8(P'c S' n T') =724 significa que 36.2% del mercado no consume estos
productos y que la publicidad no ha tenido efecto sobre esas personas.
VIL En resumen: los productos son conocidos por 63.8% de la población so-
metida a las entrevistas; 15.8% es mercado "cautivo" de los productos; el
efecto neto de la publicidad ha sido aumentar 2% ese mercado (puntos III
y IV), a ese 15.8% debe agregarse 7.8% de consumidores que ha vuelto a
usar este producto después de experimentar con otros y, además, que hay
11.3% de consumidores no satisfechos.
3. Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2000 personas para apreciar los efectos
de tres campañas publicitarias, con los siguientes resultados:
580 personas conocen la campaña^.
840 personas conocen la campaña B.
920 personas conocen la campaña C.
260 personas conocen las campañas A y B.
220 personas conocen las campañas A y C.
300 personas conocen las campañas i? y C.
100 personas conocen las tres campañas.
Se desea saber:
a) ¿Cuántas personas conocen sólo la campaña A?, ¿sólo la campaña B?, ¿sólo
la campaña C?
b) ¿Cuántas personas conocen sólo las campañas A y B?, ¿sólo las campañas A
y C?, ¿sólo las campañas By C?
c) ¿Cuántas personas conocen la campaña B, la Co ambas?
d) ¿Cuántas personas conocen al menos una de las campañas?
e) ¿Cuántas personas no conocen ninguna de las campañas?

36 Algebra básica
Solución:
Los datos conlosquesecuentason:
8{A) =580 8(AnB) =260 S(AnBnC) = 100
8{B)=840 8(AnC) =220 5(Q) - 2000
= 920 8(£nC) = 300
a) "Sólo lacampaña^ "significa elconjunto AnB'n C,queeneldiagrama
de Venn-Euler corresponde alaregiónRy
Se sabe que:
8(AnB'nC/
) =S(A)-S(AnB)-8(AnC) + S(AnBnC)
-580-260-220+100 = 200
Análogamente, "sólo lacampaña B"significa elconjunto A'cBr C
que enundiagrama deVenn-Euler corresponde alaregiónR6.
Utilizando losdatos originales, seobtiene:
8(A'nBn C) = 8(0)- 8(AnB)- 8(Bn C)+S(AnBn C)
= 840-260-300 + 100-380
De lamisma manera, "sólo lacampaña ¿""corresponde alconjunto A'n
B' c C,osea, laregión Rn deundiagrama deVenn-Euler.
Como enlosdoscasos anteriores:
8(A' n JFn C)=8(C) - S(AnC)- 8(Bn C)+S(AnBn C)
= 920-220-300+100 = 500
b) "Sólo las campañas AyB"corresponde alaregión R2 deundiagramade
Venn-Euler. Sucardinalidad secalculaasí:
S(A n Bn C) =8{A n B)- 8(An Bn C)=260 - 100 = 160
"Sólo lascampañas Ay ¿^'corresponde alconjunto An B'n C,osea,a
la región R3 deundiagrama deVenn-Euler ysucardinalidades:
8{AnB'n C)=8{An C)- 8{AnBn C)=220- 100= 120

1. Teoría de conjuntos 37
Y "sólo lascampañas By C"corresponde a laregión R4 deun diagrama
de Venn-Euler y
8(A'nBn C) = 8(£n C)-8(AnBnC) =300- 100 =200
c) "Lacampaña B, ola C,oambas", eneldiagrama deVenn-Euler corresponde
a ^ u C quesonlasregiones Rp R2, R3,J?4, i?6,i?r Elnúmero de elementos
se calcula:
8{BKJ C) = 8(B) + 8{C) - 8(Bn C) = 840 + 920 - 300 - 1460
d) "Almenos unade lascampañas" corresponde a lasregiones Rv Rv Rv R4,
R5, R6,Rr Sucardinalidad se calcula:
= 580+ 840+ 920- 260- 220- 300 + 100 = 1660
e) "Ninguna delastres" corresponde a laregión R queeselconjunto A'c B'
n C Utilizando el resultado de 8{Au £j C) - 1660 setiene:
8{A'c B'n C) =8(íl) -8(AUBKJ C) =2000 - 1660 =340
La información obtenida permite efectuar análisis semejantes al del ejemplo
anterior.
4. Se desea comparar la preferencia de unapoblación sobre el consumo de tres
productos y para esto sehacontratado auninvestigador demercados. Esnatu-
ral quealgunas de laspersonas entrevistadas declaren quelesgustan todoslos
productos investigados, quealgunos gusten desólo dosdeellos y a otros no les
guste ninguno. Elinvestigador decidió queestas últimas personas noseinclui-
rían en la muestra y entrevistó a 1000 personas quegustaban deal menosuno
de losproductos. Elreporte quepresentó indicaba que:
729 gustan delproducto 1.
592 gustan de losproductos 1y2.
465 gustan de losproductos 1y3.

38 Álgebra básica
411 gustan de los productos 2 y 3.
300 gustan de los tres productos.
La empresa que contrató al investigador sospecha que las entrevistas no se rea-
lizaron con honestidad, es decir, que algunas de las cifras presentadas fueron in-
ventadas por el investigador. Se trata de comprobar esta hipótesis.
Solución:
Sean
1 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 1.
Entonces,
1 u 2 u 3 = Conjunto de personas entrevistadas.
1 n 2 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1y 2.
1 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1y 3.
2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 2 y 3.
1 n 2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los tres productos.
De acuerdo con la información reportada:
5(1 u 2 u 3) = 1000 5(1 n 2) = 592
5(1) =729 5(1 n 3) = 465
5(2) =814 5(2 n 3) = 411
5(3) =628 5 ( l n 2 n 3 ) = 300
Si el investigador no miente, se debe satisfacer la ecuación de la cardinalidad
de la unión de tres conjuntos 5(1 u 2 u 3) = 1000 =>
5
(
1u2u3) = ^
w = 5(1) + 5(2) + 5(3) - 5(1 n 2) - 5(1 n 3) - 5(2n 3) + 5(1 n 2n 3) =
w= 729+ 814+628- 592-465 -411 +300
w= 1003
Por lo que se concluye que el reporte no es internamente consistente.

/ Teoríade conjuntos 39
Ejercicios de 1.5.1
1. El departamento de publicidad de El Palacio de Hierro interroga a una muestra
de 1000 clientes, seleccionados de entre todos los que abrieron su cuenta de
crédito en el pasado mes de diciembre, y se les pregunta si su crédito fue utili-
zado para comprar artículos para el hogar, artículos de vestir o juguetes.
Los resultados fueron los siguientes:
Mercancía
Artículos para el hogar
Artículos de vestir
Juguetes
Artículos del hogar y de vestir
Artículos del hogar y juguetes
Artículos de vestir y juguetes
Artículos de vestir, del hogar y juguetes
Número de personas
275
400
550
150
110
250
100
Se desea saber:
a) ¿Cuántas personas no usaron su crédito en alguna de esas tres mercancías?
b) ¿Cuántas personas utilizaron su crédito sólo para comprar artículos de vestir?
c) ¿Sólo para artículos del hogar?, ¿sólo para juguetes?
2. Un investigador de mercados efectúa una encuesta sobre los hábitos de lectura
de periódicos de la ciudad, con los siguientes resultados:
Periódico
La Jornada
El Financiero
Reforma
La Jornada y El Financiero
La Jornada y Reforma
El Financiero y Reforma
Al menos uno de los tres
Lectores
9.8%
22.9%
12.1%
5.1%
3.7%
6.0%
32.4%

40 Álgebra básica
Calcular el porcentaje de personas que:
a) No leen ninguno de los periódicos mencionados.
b) Leen dos de los periódicos.
3. La compañía Central de Suministros Metálicos, distribuidora de artículos de
ferretería, ha adquirido un lote de tuercas a granel en una subasta de la Direc-
ción deAduanas. Una muestra de 500 tuercas reveló que éstas pueden utilizarse
en tres diferentes operaciones básicas, como se indica a continuación:
Operación
Contrapieza
Soporte
Contrapieza y soporte
Contrapieza y nivelación
Sólo para nivelación
Contrapieza o soporte
Nivelación y soporte
Tuercas
255
215
25
125
105
395
60
Se desea conocer:
a) Número de tuercas que pueden utilizarse en las tres operaciones.
b) Número de tuercas que tienen que ser desechadas.
4. AMSA realizó una encuesta de opinión sobre la preferencia de los productos Tía
Rosa. Se entrevistó a 900 amas de casa y se obtuvieron los siguientes datos:
Productos de preferencia
Sólo conchas
Sólo cuernitos
Sólo mantecadas
Conchas y cuernitos
Cuernitos y mantecadas
Conchas y mantecadas
Los tres productos
Personas
130
88
32
144
86
89
205

Se pregunta:
a) ¿Cuántas personas consumen al menos conchas o cuernitos?
b) ¿Cuántas personas no consumen alguno de estos productos?
c) Analiza la información obtenida. En caso de sernecesario, obten la información
adicional que requiere este análisis mediante operaciones entre conjuntos.
5. En una investigación referente a los hábitos de fumar del consumidor, se efec-
tuó una encuesta y se obtuvo la siguiente información:
55% fuma cigarros Boots.
50% fuma cigarros Delicados.
40% fuma cigarros Benson.
10% fuma las tres marcas de cigarros.
20% fuma las dos primeras pero no la tercera.
18% no fuma las dos primeras pero sí la tercera.
5% sólo fuma la tercera y segunda marcas o no fuma.
Se pregunta:
a) ¿Qué porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros?
b) ¿Qué porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?
1.6. EL PAQUETE MATHEMATICA
Debido a los grandes avances logrados en el campo de la computación aplicada, se
han creado herramientas que, además de ser fáciles de manejar e interactivas, cons-
tituyen un gran apoyo para quien usa las matemáticas.
Mathematica, más que un paquete, es un sistema general de computación y
un lenguaje; permite manipular símbolos, hacer cálculos numéricos y granear
de manera simple; calcula integrales indefinidas; resuelve ecuaciones y siste-
mas de ecuaciones; encuentra la solución de una ecuación diferencial o de un
sistema de ecuaciones diferenciales; resuelve problemas de programación li-
neal, no lineal y entera. Además, es posible extender sus alcances programando
en el lenguaje que incluye.

42 Álgebra básica
1.6.1. Elementos básicosy cálculos numéricos
Para utilizar este paquete es necesario entrar aWindows y después abrir Mathematica
marcando dos veces el icono correspondiente.
Una vez dentro se pueden incluir comentarios, títulos o explicaciones sobre la
operación que se realizará, tecleando e ingresando con enter (véase imagen 1.1).
IMAGEN 1.1
Efe £tót Qel £raph ¿ction
Aqui se muestra el icono de Mathematica,
así como el menú que aparece en pantalla y
el corchete a la derecha acompaña
cada operación
Mathematica Front End Ready
Cada operación consiste en un pequeño diálogo con el paquete. El texto que
aparece en las líneas marcadas con InfnJ es lo que se tecleó en el renglón n, o
mejor dicho, es la operación n-ésima. Lo que aparece en el renglón marcado con
Outfn] es la respuesta correspondiente a esa operación proporcionada por el pa-
quete; cuando no cabe en un solo renglón, se indica con y se continúa en el
renglón siguiente.
Para obtener el resultado de la operación que se desea efectuar, es necesario
apretar simultáneamente las teclas shifty enter.
Cada operación queda indicada con un paréntesis rectangular o corchete, que
aparece del lado derecho; al solicitar el resultado, una recta da por terminada la
operación. Cuando el cursor se coloca arriba de la recta se tiene la oportunidad de

aumentar el número de instrucciones para la misma operación y si el cursor se coloca
por debajo de esta línea y se oprime return,sepuede introducir una nueva operación,
tecleando otro conjunto de instrucciones marcadas con un nuevo corchete del lado
derecho.
Es importante notar que la primera letra de cada instrucción es la única ma-
yúscula, las demás deben ser minúsculas.
El menú que aparece en la ventana de Mathematica contiene las funciones:
File, Edit, Cell, Graph,Action, Style, Options, Windowy Help. Aquí se señalan las
operaciones más usuales.
Cuando se selecciona File aparece un menú que ofrece, entre otras, la op-
ción New, que permite crear un archivo nuevo; se obtiene el mismo resultado
apretando simultáneamente las teclas Controly No el icono de hoja blanca (véase
imagen 1.2).
IMAGEN 1.2
£d¡l £©B firaph Action £lyle fiptíoms
New Ctrl+N
upen... Ctrl+O
Save As...
import..
Export...
Print...
Ctrl+S
Drl+P
AU+F4
1AAC0NJUNT0.MA
Z NOTEBOOKSCHAOS.MA
3D0CSNWINFEAT.MA
fclelp
i
Ctose the current Notebook.
i j ^ inicio | i£J Disco de 3H (A;)
f [15876K Bytes Fi
| % f Microsoft Word* capi.doc |[%& Mathematica for Win. 20:58
Open sirve para abrir un archivo existente y puede sustituirse oprimiendo Con-
trol7
y OOQI icono de carpeta semiabierta; Ciósese utiliza para cerrar el archivo con
el que se está trabajando y corresponde a oprimir Control^ F4; Save y Save as se
utilizan para grabar un archivo, laprimera en el disco en el que se trabaja y la segunda

44 Álgebra básica
en el que se seleccione, y estas operaciones pueden realizarse también apretando
las teclas Controly S, Shifty Controly So el icono del disco; para imprimir, aquí
aparece la instrucción Print, también puede usarse el icono de impresora o las
teclas Controly P; para salir, en este menú aparece como última opción Exit. Otra
opción interesante que aparece en File es la que se llama Palettes, que proporciona
símbolos, como extensiones del teclado, muy útiles para simplificar la entrada de
datos; por ejemplo, la correspondiente a operadores generales de caracteres com-
pletos es la que se muestra en la imagen 1.3:
IMAGEN 1.3
t
> Letters
t
> Letter—I iIce Forms
^ ^ O^ierators
35 •
.,„£,.!
.w i
"V :
« :
u
t
<
-*-1
3FI;
£j
m
j j
>
—.

n
r
±,
3 »
«E>
**.
n
i
y
mm
.TU
<&*
•v •
u
n
W>
- • •
s
*_-
•o
^ .
XX
H
s
O í
En lo que respecta a iT¿///(véase imagen 1.4), el menú que aparece al apretar
esta opción ofrece, entre otras operaciones, Cuty Clear, que se usan para borrar; la
forma de aplicarlos consiste en: primero, marcar lo que se desea borrar, posando el
cursor en el paréntesis de la derecha, correspondiente a las instrucciones o resulta-
dos que se deseen desaparecer, después se pulsa Edit y luego Cut o Clear o
Control y X. El icono de Copyse utiliza para reproducir lo que ya se tecleó, proce-
diendo de la misma manera que con las instrucciones anteriores o apretando el
icono de las dos hojas; su instrucción compañera es Paste, que sirve para que
aparezca en el lugar en el que se ponga el cursor lo que se había copiado con la
instrucción anterior.

IMAGEN 1.4
jlnput
£ite § ü | £ell £raph éction £tyle Qptions
Undo Ctrl+2
Cu]
iJJ
Drl+X
Drl+C
Clear Del
Paúe and Discard
Auto Paste
Find... SNII+F3
FindandReplace...
SelectAHCells Shift-Drl+A
,_IJA-J-.J.J—I-J-JJ:L-J-.J-.L.J-J-.J.J.ÍLJ.
Seiect aJIthecells inthe Notebook.
I g f Microsoft Word -oapi.doc ||^MathemaUca foi Win.. 21:05
Cuando se tenga alguna duda se puede recurrir al menú Help (véase imagen
1.5), que presenta una explicación amplia sobre lautilización del paquete y funciona
ofreciendo opciones enmenús sucesivos hasta llegar a la respuesta buscada.

46 Álgebra básica
IMAGEN 1.5
About Mathematica...
V/hv the Beep?... DrkH
Mathematíca Help contents page.
I ]^f Microsoft Word -capi.doc ||^pMathematíca for Win.. 21:09
/ 6.2. Mathematicay teoría de conjuntos
Mathematica utiliza la notación ^r/^//jr
/V¿7para denotar los conjuntos, esto es, entre
llaves enumera sus elementos, separándolos por comas (véase imagen 1.6).

IMAGEN 1.6
¡g] £¡le Edil £ell Graph Action Style üptions V¿indow Help -Ifli xj
ú L I JL I I K i l M I fl-IMlS,!,^]S C m i IMiTTtl
Ejemplos de la seccitfn 1.1.2
^7,14,21,28} ={lo5 mineros THturales x =7n, 0<=¿TK=4}
C={Proveedores de El Palacio de Hierro}
D={ciudadaTOs mexicanos}
About M athematica. 15878K Byte$ Ftee
jgB Inicio | ^JDi$code3^(A:l |Jgy Microsoft Word • capVdoc | | ^ Matemática for Win... ü s ü & J 21:15
Unión de conjuntos
La unión de conjuntos se obtiene a partir de la instrucción
Unionfconjunto,, conjunto2, ..., conjuntoj
Ejemplo
A= {1,3,5,7,9}
B = {2,3,4,5,8}
In[2]:=Union[A,B]
Out[2]={l,2,3,4,5,7, 8,9}

48 Álgebra básica
Intersección
También maneja la notación comprensiva, definiendo el conjunto a partir de sus
propiedades. La intersección se indica mediante
Intersection[conjunto1? conjunto2,..., conjuntoj
In[3]:=
A = Table[2A
n-l, {n, 1, 16}]
B = Table[Prime[i], 1,5000}]
In[4]:= Intersection[A, B]
Out[4]={3,7,31, 127,8191}
La función Table[2A
n-l, {n, 1, 16}] representa una tabla que contiene el con-
junto de números de la forma 2n
~ donde n- 1, ...,16. Análogamente, el conjunto B
está expresado mediante una tabla, que contiene los números primos entre 1 y
5000, y la función intersectionfA, B] devuelve los elementos comunes a ambos
conjuntos.
Complementación
Otra instrucción relativa a conjuntos es la que permite encontrar el complemento
de un conjunto o una colección de conjuntos:
Complementfuniverse, Ap A2,...] proporciona los elementos del primer
conjunto que están fuera de los conjuntos señalados posteriormente.
Ejemplo
In[5]:=
Enteros ={1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14,15,16, 17, 18,19,20}
Primos ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Números ={1,3, 7, 15,31}
In[6]:= Complement[Enteros, Primos]
Out[6]= {1,4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

/. Teoríade conjuntos 49
In[7]:= Complement[Enteros, Primos, Números]
Out[7]= {4,6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
En lasimágenes 1.7y 1.8 semuestra laforma como seintroducen lasoperacio-
nes entre conjuntos y aparecen losresultados.
IMAGEN 1.7
m UrttílletM
mil]:- A = U , 3, 5, 7, 9}
B = { 1 , 2, 3 , 4 , 5, 7, 8, 9}
Union[A, B]
Intersection[A, B]
Out[1]= ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9}
Out[2]= { 1 , 2, 3 , 4, S, 1, 8, 9}
Out[3]= { 1 , 2, 3, 4, 5 , 1, 8, 9}
0ut[4]= { 1 , 3 , 5 , 1, 9}
l
n
[
5
]
:
= L = {0, 3, 5, 11, 15}
F = { 1 , 2, 3, 6,12}
Union [A, B, L, F]
Intersection[A, B, L, F]
Out[5]= { 0 , 3 , 5 , 1 1 ,15}
Out[6]= { 1 , 2 , 3 , 6 , 12}
Out[7]= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 1 , 1 2 , 15}
Out|8]= {3}

50 Algebra básica
IMAGEN 1.8
ln[9]:= U - { X , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, XO ,
Out[0]=
Out[1D]=
ln[11]:=
Out[11]=
ln[12]:«
Quil-
ín [13]:-
Out[13]=
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5,
<1O, 1 3 , 14}
Coir^leirentCa,
{ }
C o ^ l e n e n t C F ,
<2, 6, 12}
Com^leineiit [L ,
{O, 5 , 1 1 , 15}
. 6, 7
B ]
A ]
1
-f%
;-
En las imágenes 1.9 y 1.10 se muestran las operaciones entre conjuntos sugeri-
das en el ejemplo 2 de la sección 1.3. Observe que las etiquetas de los conjuntos C
y D son sustituidas por Fy G, debido a que las letras Cy D son reservadas por el
paquete Mathematica para usos predeterminados internos.

IMAGEN 1.9
U . {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; A -{O, 1, 2, 3}; B - { 0 , 2 , 4 , ( } ;
F * {1, 3, 5, 7}; G- {7};
Canvlenent[U, A]
, B]
U, F]
Union[A, B]
CoiTi)lejnent[U, Unió*[A, B]];
Coiri>le™>nt[A, B]
IntersectionCA, F]
Intersection[B, F]
B, F]
A, G]
F, G]
Union[Intersection[A, F ] , G]
, Ccnt*lei«nt[U, A]]
IMAGEN 1.10
Outp2]« { 4 , 5, 6, 7}
Outp3]= { 1 , 3 , 5, 7}
0utp4]= { 0 , 2, 4, 6}
Outp5]= { 0 , 1 , 2, 3, 4 , 6}
Outp6]= { 5 , 7}
Outp?]= { 1 , 3}
Outp8]= { 1 , 3}
Outp9]= {}
Outp0]= { 0 , 2, 4, 6}
Outpi]= { 0 , 1 , 2, 3}
Outp2]= { 1 , 3 , 5}
Outp3]= { 1 , 3, 7}
0utp4]= { 0 , 1 , Z, 3}
J
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3.
'A
}',
'•'',

52 Álgebra básica
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Tema 1.2.2
1. a) *
bj =
2. a) (f)
c)
d)
ej
f)
h)
0
J)
(í)
(v)
(f)
(í)
(í)
(v)
(f)
3.
Conjuntos
•
{1}
{1,3}
{0,1}
{0,1,3}
{0}
{1}
C
c
{0}
c
t
<t
t
c
{1,0}
c
c
t
Q
t
c
{3,0,1}
c
t
c
c
c
c
Tema ]. 5.1
1. tfy1
185
^ 100
c) Sólo hogar: 115
Sólo juguetes: 290
2. 67.6%
10%

1. Teoría de conjuntos 53
3. a) 20
b) 0
4. a) 142
^ 126
5. a) 42%
b) 32%
BIBLIOGRAFÍA
Bartle, Bartle, y Sheerbert Donald, Introducción al análisis matemático de una
variable, Limusa, México, 1994.
Kleiman, Ariel, Teoría de conjuntos para economía y administración, Limusa,
México, 1997.
Lipschutz, Seymour, Probabilidad, McGraw-Hill, México, 1994.
Lovaglia, Florence, et al, Álgebra, Haría, México, 1997.
Sauvegrain, Robert, et al, Tópicos de matemáticaspara administracióny econo-
mía, Trillas, México, 1993.
Weber, E. Jean,Matemáticasparaadministración yeconomía, Haría, México, 1994.

CAPÍTULO 2
Sistemas numéricos

2. SISTEMAS NUMÉRICOS
Al terminareste capítulo, el lector podrá:
Identificar los elementos de los distintos
sistemasnuméricos.
Conocer sus propiedadesy limitaciones.
Efectuar las distintas operacionesdefinidas
entre suselementos.
Dominar las leyes querigenestasoperaciones.
Estructura del capítulo
Introducción
2.1. Números enteros y fraccionarios.
2.2. Númerosreales.
2.3. Leyes ypropiedades.
2.4. Valor absoluto.
2.5. Aplicaciones.
2.6. El paqueteMathematicay los sistemas
numéricos.
Solución a los ejerciciospropuestos
INTRODUCCIÓN
A
sí COMOESTAMOSacostumbrados a ver el Sol, la Luna y las estrellas en el
cielo y no nos llama la atención su existencia ni valoramos su grandeza,
también aceptamos nuestro sistema de números. Pero hay una diferencia:
nos vemos forzados al aprendizaje de números y operaciones numéricas cuando
somos pequeños y no podemos apreciarlos, por lo que crecemos en la creencia de
que los números son monótonos y aburridos. Sin embargo, el sistema de números
merece toda nuestra atención, no sólo porque es la base de las matemáticas, sino
porque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones.
Entre las civilizaciones del pasado, fueron los griegos quienes mejor evaluaron
el prodigio y las virtudes del concepto de número. Hubo otros pueblos bien dota-
dos intelectualmente, pero debido a que no consideraron los números de manera
abstracta, no pudieron comprender su naturaleza. Para los griegos fue un maravi-
lloso descubrimiento el hecho de abstraer de muchas y diversas colecciones de
objetos una propiedad como la cinquidad(á& cinco).
57

58 Álgebra básica
En este capítulo se presentan los sistemas numéricos más utlizados, sus propie-
dades y operaciones.
2.1. NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONARIOS
Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N- {1, 2, 3, 4, ...},
utilizados para contar y ligados siempre con objetos. Sujustificación fue la necesi-
dad de distinguir entre las diferentes cantidades de objetos, pues no es lo mismo
poseer tres animales que cinco y fue necesario diferenciarlos de alguna forma. Por
lo tanto, los números se utilizaban como calificativos de las cosas y era difícil
hacer una separación entre ellos y los objetos.
Por esta dependencia, no fue fácil concebir el número correspondiente a la au-
sencia de cosas, el cero, además de que presenta mayor dificultad distinguir entre
lo que es ausencia de cosas y lo que significa vacío. Los mismos griegos no lo
lograron. Esta distinción puede entenderse claramente en los siguientes ejemplos:
no es lo mismo no tener calificación por haber faltado a un curso que tener cero
después de haber presentado el examen; asimismo, es distinto no tener cuenta en el
banco, y por consiguiente carecer de saldo, que tener en su cuenta bancada un
saldo de cero. Al sistema formado por los números naturales y el cero se le repre-
senta por ^ = N u {0}.
Además, incluyendo al cero en el sistema numérico, fue posible establecer el
método actual de escritura de números: primero se cuentan las unidades, las grandes
cantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas de dece-
nas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa 252. El 2 de la iz-
quierda significa dos decenas de decenas, el 5 indica cinco veces 10 y el 2 de la
derecha simboliza dos unidades. El concepto de cero hace que sea práctico el sis-
tema de escribir cantidades, pues permite, por ejemplo, distinguir entre 22 y 202.
Como el 10 desempeña un papel fundamental en el sistema numérico, se le llama
sistema decimal, en el cual el 10 es la base. Lo más seguro es que el uso del 10
resulte del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y,
habiendo pasado por todos los dedos de las manos, consideraba que el número al
que había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de un
número es lo que determina la cantidad que representa resulta lanotación posicional.
El sistema decimal de notación posicional que usamos es un legado hindú.
Pero volviendo a los griegos, es interesante resaltar las ideas de los seguido-
res de Pitágoras con respecto a los números; a los pitagóricos les emocionaban
los números y, dado que eran místicos, les asignaban importancia y significados
que ahora juzgamos infantiles. Creían que el número "uno" era la esencia o la

2. Sistemas numéricos 59
naturaleza misma de la razón, pues de ésta resulta solamente un cuerpo de doc-
trina. El número "dos" lo identificaban con la opinión, ya que ésta implica clara-
mente la posibilidad de que exista opinión contraria y, por consiguiente, hay por
lo menos dos. En el "cuatro" reconocían la justicia, porque es el primer número
que resulta un producto de iguales. Los pitagóricos representaban los números
como puntos en la arena o por medio de piedritas. Para cada número, los puntos
o las piedritas se ordenaban de manera especial. El "cuatro", por ejemplo, se
representaba con cuatro puntos, que sugerían un cuadrado. Así quedaban vincu-
lados también el cuadrado y lajusticia. Hasta hoy, "cuadrar" significa en español
ajustar una cosa a otra. "Cinco" denotaba matrimonio por ser la unión del primer
número masculino, tres, con el primer femenino, dos (los números impares eran
masculinos y los pares, femeninos). El número "siete" indicaba salud y el "ocho",
amistad o amor.
Operaciones aritméticas
Las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división
nos resultan tan familiares que no percibimos que son en extremo complejas y, a la
vez, de notable eficiencia. Se remontan a los tiempos de los griegos y poco a
poco fueron evolucionando, a medida que mejoraban los procedimientos para
escribir números y aparecía el concepto de cero. Los europeos heredaron de los
árabes los procedimientos correspondientes. Primero, los europeos utilizaron el
sistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron que
basarse en este sistema. En parte, porque estos procedimientos eran laboriosos y
en parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que poseían el
arte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad, los pro-
cedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de la mayo-
ría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban tales ha-
bilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran conocidos
como practicantes del "arte negro".
Una operación definida entre los números naturales es una función de Nx N{X)
en N(operación: Nx N —> JV), que asocia a cada par de números naturales otro
número llamado resultado de la operación. Se dice que una operación está bien
definida cuando satisface la cerradura, esto es, para cualquier par de números el
resultado es un número del mismo conjunto.
(1)
Ax Bes producto cartesiano entre los conjuntos A y B, es la colección de parejas ordenadas (a, b)
con a e A y óe B.

60 Álgebra básica
Las operaciones bien definidas entre los números naturales son la adición y la
multiplicación (adición abreviada), pero al trabajar con la suma s de dos números
a y b se observó que no siempre era posible encontrar en los números naturales un
número b que al ser sumado con a diera s. Por ejemplo, no hay un número que
sumado a 5 dé 3, por esta razón la resta no está bien definida entre los números
naturales, ya que para encontrar la solución de b + 5 = 3 es necesario restar 5 de 3,
esto es, b = 3 - 5 y este número no está entre los naturales.
Para que fuera posible restar entre cualquier pareja de números fue necesario
ampliar el sistema numérico y agregar el cero y los números negativos. Cuando el
sistema numérico incluye el cero y los negativos se llama sistema de los números
enteros, Z- {..., -5, -4, -3, -2, - 1 ,0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. En este sistema están bien
definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
2.1.1. Los números negativos
Añadir los números negativos al sistema numérico fue también idea de proceden-
cia hindú. Es común usar los números para representar cantidades de dinero, en
particular las que se deben. Quizá porque la condición normal de los hindúes era la
de estar endeudados, se les ocurrió que sería útil disponer de números que repre-
sentaran el monto de las deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se co-
noce como números negativos; para distinguir claramente los números positivos
de los negativos se añade un signo - antes del número para indicar que es negativo.
En los bancos y las grandes empresas comerciales, que manejan constantemente
números negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta roja, mientras para
los positivos utilizan tinta azul.
El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación de
ingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativas
las temperaturas por debajo de 0o
y como positivas las que están por encima de
esta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar también
con números positivos y negativos, respectivamente. A veces, tiene sus ventajas
representar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado con números
negativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de Cristo como punto
de partida, el año 50 a.C. se podría indicar como el año -50.
Para sacar el máximo provecho al concepto de números negativos debe ser
posible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entender
las operaciones con números negativos, así como con números negativos y
positivos simultáneamente, si se tiene en mente el significado físico de estas
operaciones.

Como los números negativos representan deudas, y por lo regular la sustrac-
ción tiene el significado físico de "quitar", entonces la resta de un número negativo
significa la eliminación de una deuda. Por consiguiente, si una persona tiene, por
ejemplo, $3.00 y le pagan una deuda de $8.00, entonces la cancelación de ésta deja
a la persona con $11.00. En términos matemáticos se ve que +3 - (-8) = +11.Y en
palabras se dice que, para sustraer un número negativo, se añade el número posi-
tivo correspondiente. Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5.00
por día. A los tres días de una fecha dada, tendrá una deuda de $15.00. Si denota-
mos la deuda de $5.00 con -5 y si se endeuda arazón de $5.00por día durante tres días,
su deuda se representa matemáticamente como 3(-5) = -15.Así, la multiplicación
de un número positivo por otro negativo produce un número negativo, cuyo valor
numérico es el producto de los valores numéricos implicados.
Hay una definición más sobre los números negativos, cuya veracidad es fácil
de percibir. Por razones obvias, se dice de los números positivos y del cero que 3 es
mayor que 2, que 2 es menor que 12y que cualquier número positivo es mayor que
cero. De los números negativos se dice que sonmenores que lospositivos y que elcero.
Además, que -5 es menor que -3 o que -3 es mayor que -5.
Es fácil comprender la posición relativa de los números positivos, los negativos
y el cero imaginando estos números como los puntos de una línea que crecen hacia
la derecha, como en la figura siguiente. Lo que se aprecia en ella no difiere mucho
de lo que se observa cuando se pone la escala de un termómetro en posición hori-
zontal (véase figura 2.1):
FIGURA 2.1
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
Dirección de crecimiento
Los subconjuntos más importantes del conjunto Zson:
N- {1,2, 3, 4,...} los números naturales o enteros positivos.
W— {0, 1, 2, 3, 4,...} los enteros no negativos.
{..., -4, - 3 , -2, -1} los enteros negativos.
{..., -4, - 3 , -2, -1,0} los enteros no positivos.

62 Álgebra básica
Reglas de los signos
Para operar con los números enteros es importante tener presentes las reglas de los
signos:
• Para sumar dos elementos del conjunto /Fsólo se suman y su resultado está
en /F(la suma de positivos es positiva y con magnitud(2)
igual a la suma de las
magnitudes), así 8 + 23 = 31.
• Para sumar dos elementos del conjunto de enteros negativos, se suman sus
magnitudes y al resultado se le asigna el signo negativo, -7 + (-13) = -20.
• La suma entre un número positivo y un negativo es igual a la resta de
sus magnitudes con el signo correspondiente al de mayor magnitud, 36 +
(-47) =-11.
• La multiplicación de números con el mismo signo (positivo o negativo)
es igual al producto de los números con signo positivo, (5)(8) = (-5)
(-8) = 40.
• La multiplicación de dos números con distinto signo es igual al producto de las
magnitudes de los números y su signo es negativo, (7)(-8) = (-7)(8) = -56.
Ejercicios de 2.1.1
1. Supóngase que una persona tiene $3.00 y contrae una deuda de $5.00. ¿Cuál es
su capital neto?
2. Una persona debe $5.00 y luego adquiere una deuda nueva de $8.00. Utiliza
números negativos para determinar su situación financiera.
3. Un comerciante debe $5.00 y gana $8.00. Utiliza números positivos y negati-
vos para calcular su capital neto.
4. Supóngase que una persona debe $13.00 y paga una deuda de $8.00. Utiliza
números positivos y negativos para calcular su capital neto.
5. Una persona pierde dinero en los negocios a razón de $100.00 por semana.
Indica este cambio de capital con -100, el tiempo futuro con números positivos
y el tiempo pasado con números negativos.
a) ¿Cuánto perderá esta persona en cinco semanas?
b) ¿Cuánto tenía hace cinco semanas?
(2)
Se llama magnitud a la distancia del número al cero en la recta.

2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones
Como ya se mencionó, en el sistema de los números enteros están bien definidas la
suma, la resta y la multiplicación, que son cerradas. La resta, además, es la opera-
ción inversa a la suma, deshace lo que la suma hizo. Pero la multiplicación no
posee una operación inversa, pues la división, que tiene este papel, no está bien
definida en este conjunto. Para que sea factible su definición es necesario ampliar
nuevamente el sistema de números, agregando las fracciones.
Así, los números fraccionarios deben su existencia a la operación división.
Se dice que un número b divide a otro número a, y se indica como b/a, si existe
un número c tal que cb = a, pero no todos los números son divisibles entre los
demás; cuando existe c tal que cb =a, se dice que c y b son factores o divisores de a.
Si b no divide exactamente a a, se indica como bYa,entonces el resultado no es un
número del mismo conjunto, es una fracción.
Es importante destacar que se deduce de la definición de la división que ésta no
es posible entre cero, pues para que O/ase requiere que exista c tal que Oc = a, lo
que no es cierto para ninguna a^Q porque el resultado de multiplicar por cero es
siempre cero.
Cuando se empiezan a manejar fracciones y la división es también una opera-
ción bien definida, se está trabajando con el sistema de los números racionales Q-
{p/qp,q e Z, con q± 0}, es decir, £?es el conjunto de cocientes de enteros con
denominador diferente de cero.
Aunque el procedimiento común de escribir fracciones, por ejemplo 2/3 o 7/5,
para expresar partes de un todo no es difícil de comprender, las operaciones con
fracciones parecen tener algo de misterioso. Para sumar 2/3 a 7/5 se lleva a cabo el
siguiente proceso:
2, 7 10 21 31
+ +
Lo que se hizo fue expresar cada una de las fracciones en su forma equivalente,
de modo que los denominadores fueran iguales,y luego se sumaron los numeradores.
Para convertir una fracción en otra equivalente basta multiplicarla por la unidad
expresada como fracción, con el numerador y el denominador iguales. En este
caso, la primera se multiplicó por 5/5 y la segunda por 3/3.
Los números fraccionarios se agrupan en clases de fracciones equivalentes, y
cada clase tiene un representante llamado fracción irreducible. Así, están en la
misma clase
1 = 1(2) = 2 = 1(3) _ 3 _ 1(4) _ 4 _ 5
2 " 2(2) " 4 " 2(3) " 6 " 2(4) ~ 8 " 10

64 Algebra básica
El representante de esta clase es 1/2, el cual es irreducible.Una fracción se dice
irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes, es
decir, sonprimos relativos.^ Es recomendable utilizar este representante irreducible
para simplificar los cálculos. La operación que consiste en reducir una fracción a
su representante irreducible se llama simplificación y se efectúa cancelando los
factores comunes a numerador y denominador.
En el ejemplo anterior los denominadores 3 y 5 son primos relativos, por eso
basta con cruzarlos; es decir, la primera fracción se multiplica por el denominador de
la segunda y la segunda por el denominador de la primera, y el común divisor resulta
ser el producto de los denominadores; pero, en general, el que funciona como
común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores, y para
averiguar el número por el que se debe multiplicar cada fracción, para convertirla
en otra equivalente con un denominador igual al denominador común, es necesario
dividir el máximo común divisor entre el denominador correspondiente:
3 _5___3x3 5x2__9_ 10__19^
8 12 " 8x3 12x2 " 24 24 ~ 24
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se obtiene descomponiendo los denomi-
nadores en sus factores primos y se multiplican todos los factores primos distintos
a la mayor potencia a la que aparecen. Así,
m.cm. (8, 12) =
12
8 - 23
12 = 22
x 3 entonces m.c.m. (8, 12) = 23
x 3 = 24
además 24/8 = 3 y 24/12 = 2
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denomi-
nadores; ésta es la operación que se utilizó cuando se multiplicó cada fracción por
la unidad, convertida en una fracción con el numerador y el denominador iguales:
> Dos números se dicen primos relativos cuando su máximo común divisor es 1.

1 7 7
—x —= —
3 5 15
o también
. 1 7 . 7 14
O V v / V
3 5 15 15
La operación de dividir una fracción entre otra consiste en multiplicar el nume-
rador por el inverso del denominador, por ejemplo:
3
2
- T
3
| 1 2 2
3
= x =
} 5 2 10
Notación decimal
Lasfracciones,como los números enteros, sepueden escribir ennotación posicional.
Así,
j L _ ^ 5 _ _ ^ 0 _ _5__J2_ _5_
4 ~ 100 ~ 100 100 ~ 10 100

66 Álgebra básica
Si se conviene en suprimir las potencias de 10, esto es, 10 y 100, así como las
mayores potencias cuando las haya, entonces se puede escribir 1/4 = 0.25. El punto
decimal recuerda que el primer número es en realidad 2/10, el segundo 5/100, y así
sucesivamente. Los babilonios ya empleaban la notación posicional para las frac-
ciones, pero utilizaban 60 como base en lugar de 10, igual que para los números
enteros. La base decimal para las fracciones fue introducida por los algebristas
europeos del siglo XVI.
Las operaciones con fracciones se pueden efectuar también en forma decimal.
Lo que resulta frustrante de la representación decimal de fracciones es que no todas
las fracciones simples se pueden escribir como decimales con un número finito de
dígitos. Así, cuando se trata de expresar 1/3 como decimal, resulta que no basta
con 0.3, ni con 0.33, ni con 0.333, etcétera. Todo lo que puede decirse de éste y
otros casos parecidos es que, agregando dígitos, es posible aproximarse cada vez
más a la fracción, pero ningún número finito de dígitos dará la respuesta exacta.
Este hecho se expresa con la notación:
- = 0.333...,
en donde los puntos suspensivos indican que se debe añadir continuamente un 3
para aproximarse más y más a la fracción 1/3. Es importante resaltar que la expre-
sión decimal de los números fraccionarios es finita o periódica; en el ejemplo ante-
rior el periodo que se repite es el número 3, lo cual también se indica como:
-- = 0.333...,= 0.3
Cuando la expresión decimal de un número no es de ninguno de los tipos men-
cionados, esto es, cuando es infinita no periódica, el número correspondiente no es
racional y se llama entonces irracional:
{irracionales} = Qf
- complemento de los racionales Q.
Ejercicios de 2.1.2
1. ¿Cuál es el principio de la notación posicional?
2. ¿Por qué es indispensable el número cero en el sistema de notación posicional?
3. ¿Qué significa la afirmación de que el cero es un número?
4. ¿Cuáles son las dos maneras de representar fracciones?

2.2. NÚMEROS REALES
2.2.1. Números irracionales
Los pitagóricos, como se hizo notar antes, fueron los primeros en captar el concep-
to mismo de número y en tratar de emplear los números para describir los fenóme-
nos fundamentales de los mundos físico y social. Para los pitagóricos, los números
también fueron interesantes en sí mismos y por sí mismos. Les gustaron los núme-
ros cuadráticos, es decir, números como 4,9,16,25,36, etcétera, y observaron que
las sumas de ciertos números cuadráticos, o cuadrados perfectos, eran también
números cuadráticos. Por ejemplo, 9 + 16 = 25, 25 + 144 = 169 y 36 + 64 = 100.
También se pueden escribir así estas relaciones:
32
+42
=52
, 52
+122
=132
62
+82
=102
A los conjuntos de tres números, cuyos cuadrados satisfacen igualdades como
éstas, se les sigue llamando ternas pitagóricas. Así, 3, 4 y 5 constituyen una terna
pitagórica porque: 32
+ 42
= 52
.
Los pitagóricos trabajaron mucho con estas ternas, fundamentalmente porque
se prestaban a una interesante interpretación geométrica (Teorema de Pitágoras).
Si los dos números más pequeños son las longitudes de los lados que forman el
ángulo recto de un triángulo rectángulo, es decir, los catetos, entonces el tercer
número será la longitud de la hipotenusa (véase figura 2.2).
FIGURA 2.2
13
Los pitagóricos edificaron una filosofía, para ellos muy satisfactoria, en la que
se aseguraba que todos los fenómenos naturales y los conceptos éticos y sociales
no eran, en esencia, más que números enteros o relaciones entre números enteros.

68 Álgebra básica
Pero cierto día, a uno de los miembros de la secta se le ocurrió examinar el caso, al
parecer más sencillo, del Teorema de Pitágoras: supongamos que cada uno de los
catetos de un triángulo (figura 2.3) tiene una longitud de 1. ¿Cuál será entonces la
longitud de la hipotenusa? El Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado (de
la longitud) de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.
Por lo tanto, si llamamos c a la longitud desconocida de la hipotenusa, de acuerdo
con el teorema tendremos que:
c2
=2
FIGURA 2.3
-J2
Pero 2 no es un número cuadrático, es decir, un cuadrado perfecto, y entonces c
no es un número entero. Pero podría ser una fracción, esto es, seguramente habría
una fracción cuyo cuadrado fiiera 2. La fracción 7/5 se acerca al valor correcto
porque (7/5)2
= 49/25, que es casi 2. Pero por muchas pruebas que se hagan no se
encontrará la fracción cuyo cuadrado sea 2.
Para investigar si existe o no una fracción cuyo cuadrado sea 2, se razonó así: se
requiere encontrar un número cuyo cuadrado sea 2. Supóngase ahora que 2 es la
fracción [a/ó]2
, en donde ay b son números enteros. Para simplificar más el proble-
ma, se supone que ya se han eliminado todos los factores comunes de a y b (a/b es
una fracción irreducible).
La operación inversa de elevar al cuadrado es obtener la raíz cuadrada:
De ser correcta la ecuación 1, entonces, elevando al cuadrado sus dos miembros,
paso que se funda en el axioma de que números iguales multiplicados por números

iguales dan resultados iguales (multiplicando el miembro izquierdo por VJ Ye
^dere-
cho por alb), se obtiene:
Aplicando el axioma anterior, se multiplican ambos miembros de la ecuación
por b2
y se tiene:
2b2
•= a2
(2)
El miembro izquierdo de esta ecuación es un número par porque contiene 2
como factor. Por lo tanto, el miembro derecho deberá ser también un número par.
Pero si a1
es par, entonces, según los resultados del ejercicio 3, a deberá ser par
también. Si a es par debe contener 2 como factor, esto es, a=2d, en donde ¿/es un
número entero. Sustituyendo este valor de a en la ecuación 2 se obtiene:
2b2
=(2d)2
=(2d)(2d) = Ad2
(3)
Como: 2b2
=4d2
se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2 para obtener
b2
=2d2
(4)
Por lo que b2
es número par y recurriendo una vez más al resultado del ejercicio 3,
b tendrá que ser igualmente número par.
Lo que demuestra esta argumentación es que si V2" - Qlb> entonces a y b deben
ser números pares. Pero la fracción es irreducible, y a y b siguen conteniendo 2
como factor común. ¡Contradicción! Como el razonamiento es correcto, la única
posible equivocación estriba en el supuesto de que V2" equivale a una fracción. En
otras palabras, VJ no puede ser la razón de dos números enteros.
El símbolo ^/2 es un número porque representa la longitud de una línea, la
hipotenusa de un triángulo, pero este número no es ni un entero ni una fracción.
También descubrieron que hay una colección infinita de otros números que tampo-
co son enteros o fracciones. Así, VJ, V5~ y V7> e n
general, la raíz cuadrada de
cualquier número que no sea cuadrado perfecto, la raíz cúbica de cualquier núme-
ro que no sea cubo perfecto, y así sucesivamente, son números que ni son enteros
ni son fracciones. El número TC,que es la razón de la circunferencia a su diámetro,
tampoco es entero o fraccionario. Todos estos "nuevos" números se llaman números

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