laplace, ejemplo

1. Contenido
MODELO MATEMÁTICO DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA.............................................. 2
INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 2
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO............................................................................................. 3
DETERMINACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO........................................................................ 3
SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO .................................................................................. 6
EJEMPLO............................................................................................................................... 9
Modelando un Motor Eléctrico por Laplace:........................................................................ 9
Solución:..........................................................................................................................10
CONCLUSIONES....................................................................................................................14
REFERENCIAS........................................................................................................................14

2. MODELO MATEMÁTICO DE UN MOTOR DE
CORRIENTE CONTINUA
INTRODUCCIÓN
Los motoresde corriente continua sonlosmáscomunesy económicos,yse pueden
encontrarenla mayoría de los juguetesapilas,constituidos,porlogeneral,pordos
imanespermanentesfijadosenlacarcasa y unaserie de bobinadosde cobre ubicados
enel eje del motor,que habitualmente suelensertresya su vezson ampliamente
usadosa nivel industrial.Losmotoresde corriente continuapermitenunampliorango
de velocidadypuedenproporcionarunaltopar-motorconcontrol más sencilloy
económicoque cualquiermotorde corriente alterna.Enlaactualidadlosmétodosde
control de velocidadse hanidodesarrollandoconsiderablemente ylos máscomunes
son el control de velocidadporcorriente de campoyel control de velocidadpor
corriente de armadura,que sontécnicasde control nolineal.Parapoderanalizarestos
métodosse requiere delconocimientofísicodel sistema,unidadesde lasconstantes
que aparecenenel modelo,selecciónadecuadade lasvariablesde estadoy
conocimientosde desarrollode ecuacionesdiferencialesutilizandolatransformadade
Laplace.
La selecciónde variablesnoesevidente,sinomásbienresultade laexperienciaenel
modeladode sistemaseléctricosymecánicos,yasí comode la apropiadaselecciónde
constantesfísicascomode fricción,inerciaytorque eléctrico.Enestapropuesta,se
desarrollael modelomatemáticode unmétodode control de velocidadel cual es:
control de velocidadporcorriente de armadura.Para estoel motora utilizarseráun
motor de excitaciónseparadayse tendráun análisisfísicoque explotael
conocimientosobre losparámetrosylasunidadesfísicasdel motorde corriente
continua,así como ciertaexperienciaenidentificarconstantesde tiempoensistemas
eléctricosymecánicos,yal mismotiempose tendráunanálisismatemático,puesse
emplealateoríade control para la selecciónde lasvariablesde estado.Dentrodel
trabajose presentaunasimulaciónyse determinael comportamientode lavelocidad
del motorcon respectoa la corriente de armaduracon condicionesiniciales
establecidas.

3. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO
Un motor de corriente continuaestáformadoporun estatoro inductorque esla
parte fijadel motory un rotor o inducidoque eslaparte móvil.El motor a utilizares
un motorde excitaciónseparada,cuya característicaprincipal eslabobina(inductor)
que generael campomagnéticonose encuentradentrodel circuitodel motor,es
decirno existe conexióneléctricaentre el rotoryel estatorcomo se muestraen la
siguiente figura:
FIGURA 1. Esquemade un motor separadamente excitado.
El modeloilustradoposee característicaseléctricasque constade: Vi la tensiónde
alimentacióndelrotor, Iila corriente que vaa circular por el rotor tambiénconocida
por corriente de armadura, Ri la resistenciadel bobinadodelrotor, Lila inductancia
del bobinadodel rotor,eslafuerzacontra-electromotrizdel motor, Vfeslatensiónde
alimentacióndelestator, Iflacorriente que vaa circular por el estator, Rfla resistencia
del bobinadodel estator, Lf lainductanciadel bobinadodel estator.[1] Paraque el
motor cumplasufunción,normalmentese le colocaunacarga mecánicaenel eje del
rotor y de estodependeránlascaracterísticasmecánicaslascualesson:ω la velocidad
angularde giroa la cual trabajael rotor, J el momentode inerciaequivalente del eje
rotor con la carga que se deseacolocar, B el coeficientede rozamientoviscoso.[2]
DETERMINACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
El modeladomatemáticodel motorde corriente continuarequierede dosecuaciones,
una ecuaciónmecánicayotra ecuacióneléctrica.Estasecuacionesestánacopladasy
se basan enlas Leyesde ladinámicay de Kirchhoff,respectivamente.Porunaparte,la
ecuaciónmecánicamodelaprincipalmenteel movimientodel rotor,yporotra parte la
ecuacióneléctricamodelaloque ocurre enel circuitoeléctricodel inducido.[3] Al
aplicaruna tensiónVi al inducido,circulaporél unacorriente Ii ,y debidoaesta
corriente,porel rotor,se induciráunafuerzacontra electromotriz(leyde Lenz“toda
corriente se opone ala causa que la produce”) cuyovalorvendrádeterminadoporla
expresión:

4. Siendo 𝐾𝑏 laconstante de fuerzacontra-electromotriz[4].Aplicandolaleyde Ohm,la
tensiónútil será:
RemplazandolaEc. (1) enla Ec. (2):
El rotor realizarasumovimientodebidoal torque electromagnético 𝜏 𝑒 generadoporel
campo magnéticoque se produce enel estatorya su vezeste dependeráde la
corriente que circulaenlaarmadura, de esta maneralaecuaciónes:
Siendo 𝐾𝑝 laconstante de torque electromagnético.El motorensu movimiento
giratorioarrastra una carga, creándose porlo tanto,un par-motorresultante 𝜏 𝑐 ,ya
su vezse tiene fricciónenel sistemaque dependede lavelocidadala cual gira el rotor
y este causa un torque 𝜏 𝑓 que es ensentidoopuestoal movimiento,obsérvese estoen
la siguientefigura.
FIGURA 2. Diagramas de torquesenel rotor.
Se define a 𝛼 como la aceleraciónangularde lacarga, de estamanera:
La ecuaciónque describe a 𝜏 𝑐 es:
La ecuaciónque describe a 𝜏 𝑓 es:

5. Ahorase procede a realizarunasumatoriade torque yse obtiene lasiguiente
ecuación:
RemplazandolasEcs.(4),(6) y (7) enla Ec. (8):
Despejando 𝐼𝑖(𝑡) de laEc. (9) y luegoderivándolaconrespectoal tiempodacomo
resultado:
SustituyéndolaenlaEc.(10) y (11) en la Ec. (3),quedaráuna ecuacióndiferencial de
segundoorden(aparece lasegundaderivada),nohomogénea,linealyde coeficientes
constantes[5],comose muestraa continuación:
De estamanerala Ec. (12) describe el modelomatemáticoparaunmotor de corriente
continuoseparadamenteexcitado.

6. SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
El modelomatemáticoyafue descritoyparasu soluciónesnecesarioteneruna
consideraciónde muchaimportancia,el valorde laconstante 𝐿𝑖paramotoresde
corriente continuaseparadamente excitado,esaproximadamente ceroysiendoasíla
ecuacióndiferencial se transformaenunaecuaciónde primerorden,nohomogénea,
lineal yde coeficientesconstantes.
Para el modelose tiene comocondicióninicial que atiempoigual cero(esdecir
cuandoel motor va arrancar) el valorde lavelocidadescero:
Así, ordenando,arreglandolaEc.(13) y aplicandolatransformadade Laplace a ambos
miembrosde laecuación,se obtiene:
Se define alasconstantes 𝛾 y 𝛽 como:

7. Una vez obtenidalaecuaciónde lavelocidadenfuncióndeltiempose procede a
resolvermediante fraccionesparcialeslaEc.(14).
Los valoresde A y B que satisfacenlaecuaciónes:
De estaformala ecuaciónquedadescrita:
Desde este puntolasolucióndel modelomatemáticoyaesevidente,puesse procede
aplicarla transformadade Laplace inversoala Ec. (16).

8. La Ec. (17) describe el comportamientode lavelocidadde rotorenfuncióntiempo,
siendoasíla solucióndel modelomatemáticoparaunmotorde corriente continua
separadamente excitado.

9. EJEMPLO
Modelando unMotorEléctricoporLaplace:
Suponiendo que tenemos una pila con cierta capacidad (ampere hora)
Que alimenta el voltaje constante al motor (constante K) para hacer girar.
¿Cuánto tiempo durara la batería de la pila?
En este caso el circuito RL que lleva el motor por dentro tiene su resistencia e
Inductancia definidas.
En este problema buscaremos el tiempo de descarga de una pila de 12 voltios,
con capacidad de 5Ah que alimenta un motor con constante 10 , y resistencia
de 50 ohms e Inductancia de 1 Henrie .
Fuerza Electromotriz e(t)
Dada por la fórmula
e(t)=KΩ(t)
donde Ω(t) es la velocidaddada
por la función (1 − 𝑒−𝑡)
Resistencia R (ohms) Induntancia L (Henries)
I(t)
Ampere
U(t)
Voltaje
Constante

10. Solución:
Aplicaremos la teoría de Kirchhoff de voltaje
𝑢( 𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅 𝑖( 𝑡) + 𝑒(𝑡)
𝑒( 𝑡) = 𝐾 Ω( 𝑡)
Ω( 𝑡) = (1 − 𝑒−𝑡)
Ecuación diferencial
𝑢( 𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅 𝑖( 𝑡) + 𝐾(1 − 𝑒−𝑡
)
Resolviendo por Laplace
L{ 𝑢( 𝑡)} = L{𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
} +L{ 𝑅 𝑖( 𝑡)} +L{𝐾(1 − 𝑒−𝑡)}
𝑢(𝑡)
𝑠
= 𝐿[ 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝐼(0)]+ 𝑅𝐼( 𝑠) +L{ 𝐾} −L{(𝑒−𝑡
)}
Desarrollo
𝑢(𝑡)
𝑠
= 𝐿[ 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝐼(0)] + 𝑅𝐼( 𝑠) +
𝐾
𝑠
−
𝐾
(𝑠 + 1)
𝑢(𝑡)
𝑠
= 𝐿[ 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝐼(0)] + 𝑅𝐼( 𝑠) +
𝐾
𝑠(𝑠 + 1)
𝑢(𝑡)
𝑠
−
𝐾
𝑠(𝑠 + 1)
= 𝐿[ 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝐼(0)]+ 𝑅𝐼( 𝑠)
𝑢(𝑡)
𝑠
−
𝐾
𝑠( 𝑠 + 1)
= 𝐿𝑠𝐼( 𝑠) − 0 + 𝑅𝐼( 𝑠)

11. 𝑢(𝑡)
𝑠
−
𝐾
𝑠( 𝑠 + 1)
= 𝐼( 𝑠)(𝑅 + 𝐿𝑠)
𝑢(𝑡)
𝑠
−
𝐾
𝑠( 𝑠 + 1)
(𝑅 + 𝐿𝑠)
= 𝐼( 𝑠)
𝐼( 𝑠) =
𝑢(𝑡)
𝑠(𝑅 + 𝐿𝑠)
−
𝐾
𝑠( 𝑠 + 1)(𝑅 + 𝐿𝑠)
𝐼( 𝑠) =
𝑢(𝑡)
𝐿𝑠(
𝑅
𝐿
+ 𝑠)
−
𝐾
𝐿𝑠( 𝑠 + 1)(
𝑅
𝐿
+ 𝑠)
Aplicando fracciones parciales
𝐼( 𝑠) =
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑅
𝐿
+ 𝑠
−
𝐶
𝑠
−
𝐷
𝑠 + 1
−
𝐸
𝑠 +
𝑅
𝐿
𝐴 =
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝐵 = −
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝐶 =
𝐾
𝑅
𝐷 =
𝐾
−𝑅 + 𝐿
𝐸 =
𝐿𝐾
𝑅2− 𝐿𝑅
Reemplazamos

12. 𝐼( 𝑠) =
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝑠
+
−
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝑅
𝐿
+ 𝑠
−
𝐾
𝑅
𝑠
−
𝐾
−𝑅 + 𝐿
𝑠 + 1
−
𝐿𝐾
𝑅2− 𝐿𝑅
𝑠 +
𝑅
𝐿

13. Aplicamos Laplace inversa
i(t)=L −1
{
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝑠 +
−
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝑅
𝐿
+𝑠
−
𝐾
𝑅
𝑠 −
𝐾
−𝑅+𝐿
𝑠+1
−
𝐿 𝐾
𝑅2−( 𝐿𝑅)
𝑠+
𝑅
𝐿
}
i(t)=
𝑢( 𝑡)
𝑅
−
𝑢( 𝑡)
𝑅
𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
−
𝐾
𝑅
−
𝐾
−𝑅+𝐿
𝑒−𝑡
−
𝐿 𝐾
𝑅2 −( 𝐿𝑅)
𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
Introduciendo los valores
𝑖( 𝑡) =
12
50
−
12
50
𝑒−50𝑡
−
10
50
−
10
−49
𝑒−𝑡
−
10
502 − (50)
𝑒−50𝑡
𝑖( 𝑡) = 0.24 − 0.24𝑒−50𝑡
− 0.2 −
10
−49
𝑒−𝑡
−
10
2450
𝑒−50𝑡
𝑖( 𝑡) = −0.24408163𝑒−50𝑡
+ 0.20408𝑒−𝑡
+ 0.04
Integral de la Corriente
𝑞( 𝑡) = ∫ 𝑖( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑖( 𝑡) = −0.24408163𝑒−50𝑡
+ 0.20408𝑒−𝑡
+ 0.04
𝑞( 𝑡) = ∫ −0.24408163𝑒−50𝑡
+ 0.20408𝑒−𝑡
𝑡
0
+ 0.04
[0.00488163𝑒−50𝑡
− 0.20408𝑒−𝑡
+ 0.04𝑡] − [0.00488163 − 0.20408]
0.00488163𝑒−50𝑡
− 0.20408𝑒−𝑡
+ 0.04𝑡 + 0.1991983 = 5𝐴𝑚𝑝/ℎ𝑜𝑟𝑎
𝑡 = 120ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ≌ 5 𝑑𝑖𝑎𝑠

14. CONCLUSIONES
1) El modelomatemáticode lavelocidaddel motorenfuncióndel tiempoobtenido
teóricamente,esunafuncióndel tipo
2) El análisisde losmotoresde corriente continuaseparadamente excitados,
mediante el usode unmodelomatemáticoresultade sumautilidadparapoder
anticiparlosdiferentescomportamientosde lamáquina,ahorrandotiempoy
evitandoeventosindeseados.
REFERENCIAS
[1] Álvarez,M.,Folletode problemasde maquinariaeléctrica1,(ESPOL,Guayaquil,
2008).
[2] Sears,F.,Zemansky,M.,Young,H. andFreedman,R., Físicauniversitaria,11ªEd.
(PearsonEducation,California,2006).
[3] Fraile,M.J., Maquinaseléctricas,5taEd. (Mc Graw Hill,España,2003).
[4] Rodríguez,S.,Rodríguez,R.,González,M.,
http://www.izt.uam.mx/contactos/n75ne/motor.pdf,visitadoenOctubre 7(2011).
[5] Zill,D.,Ecuacionesdiferencialesconaplicacionesde modelado,6taEd.(Thomson,
Virginia,1997).
[7] UniversidadNacional de Quilmes,
http://iaci.unq.edu.ar/Materias/Cont.Digital/Apuntes/Apunt
ePagina/Practica%204.pdf,visitadoenOctubre 7(2011).
[8] Acosta,J.,http://www.esi2.us.es/~jaar/Datos/RegAuto/Practica3.pdf,visitadoen
Octubre 9 (2011).