Varios ejercicios prácticos de Integrales 2. Matematica

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Análisis
Integrales 2
1. Calcular la integral:
1. x2
+2x+1 dx 2.
x2
+1
3
dx 3.
3dx
2x
4.
(x-1)2
x
dx
5. (3x+4)3
dx 6.
dx
1-4x
7.
3xdx
4+x2
8.
xdx
1-x2
9.
ln x
x
dx
10.
2cosx
sen4
x
dx 11.
dx
4-x2
12.
x-1
1-x2
dx 13.
xdx
1+x4
14. (2x+1)ex
dx 15. x2
lnx dx 16.
lnx
x4
dx 17. x3
ex
dx
18. x3
cos2x dx 19. ln2
x dx 20.
2x2
+1
x
dx 21.
x2
+1
x2
-1
dx
22.
2x2
+x-2
x2
-4
dx 23.
x3
x2
-2
dx 24.
x2
+1
x2
-2x+1
dx 25.
x3
x2
+x+2
dx
2. Las gráfica (i), (ii) y (iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una función derivable f, su función
derivada f ´ y una primitiva F de f. Indentifica cada gráfica con su función, justificando la respuesta.
X
Y
(i)
X
Y
(ii)
X
Y
(iii)
3. (1) Calcular la integral
senx
cos3
x
dx realizando el cambio de variable cosx = t.
(2) Calcular la misma integral del apartado anterior pero haciendo el cambio de variable tgx = u.
(3) ¿Se obtiene el mismo resultado en ambos casos? Justifica la respuesta.
4. De una función f:ℜ→ℜ se sabe que su gráfica corta al eje OX en x = 1, la gráfica de su derivada pasa por el origen y
la gráfica de su segunda derivada es la recta y = 2. Determinar la función.
5. Hallar una función f sabiendo que tiene un máximo en el punto M(1,2) y su segunda derivada es f ´´(x) = 2x+3.
6. Hallar una función f, sabiendo que la recta 2x+y-1 = 0 es tangente a su gráfica en el punto (1,-1) y su segunda
derivada es f ´´(x) = 2x.
7. De una función f:ℜ→ℜ se sabe que su representación gráfica pasa por el punto (1,1) y es tangente en dicho punto ala
recta x+12y = 13. También se sabe que en cualquier punto x se verifica f ´´(x) = x2
-1. Determinar la función.
8. De la función f:ℜ→ℜ se sabe que f ´´(x) = x2
+2x+2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2).
Hallar la expresión de f.
9. De la función polinómica f se sabe que su función derivada tiene como representación gráfica la recta de ecuación
3x-2y+1 = 0.
(1) ¿Tiene f algún extremo local? Si la respuesta es afirmativa, indica si se trata de un máximo o de un mínimo y en
qué valor de x se alcanza.
(2) Si es f(0) = 1, encuentra la expresión analítica de f [es decir, dado x∈ℜ, determina el valor de f(x)].
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10. Encontrar la función derivable f:[-1,1]→ℜ que cumple: f(1) = -1 y f ´(x) =
x
2
-2x si -1 ≤ x < 0
e
x
-1 si 0 ≤ x ≤ 1
1 2 3 4 5 6
1
2
-1
X
Y
11. La función derivada de una función derivable f:ℜ→ℜ viene dada por la gráfica de la
figura. Además, se sabe que f(-1) =
9
2
.
(1) Determinar una expresión algebraica de f.
(2) Calcular lim
x→3
f(x).
12. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considerar la función f: (0,+∞) → ℜ definida por f(x) = xLn(x). Calcular:
(a) f(x)dx
(b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1,0).
13. Calcular una primitiva de la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = 2x2
sen(x) cuya gráfica pase por el origen de
coordenadas.
14. Calcular la integral:
1.
e
dx
x
1
2.
1
2dx
1+x2
0
3.
2
x2
1+x3
dx
0
4.
2
dx
x2
+4
0
5.
1
x·ex
dx
0
6.
5
dx
x2
+x-2
2
7.
2
2x
3
-x
2
-12x-3
x
2
-x-6
dx
-1
15. Haciendo el cambio de variable t = ex
, calcular
1
ex
e2x
+3ex
+2
dx
0
16. Hallar una función polinómica de 2º grado, sabiendo que f(0)=f(1)=0 y que
1
f(x)dx = 1
0
.
17. Considerar la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = 2+x-x
2
. Calcula α, α < 2, de forma que
2
f(x)dx
α
=
9
2
18. (1) Describir el procedimiento de integración por partes.
(2) Calcular
e
Ln(x) 2
dx
1
.
19. Considerar la función valor absoluto, es decir, la función f:ℜ→ℜ dada por f(x) = |x|.
(1) Estudiar la derivabilidad de f.
(2) Dibujar la gráfica de f.
(3) Hallar
2
|x|dx
-2
.
20. Dada la función f definida por f(x) =
-2 , x ≤ -2
x , -2 < x < 2
2 , x ≥ 2
(1) Estudiar la continuidad y derivabilidad.
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(2) Calcular
3
f(x)dx
-1
y
3
f(x)dx
-3
21. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) = x2
-1.
(a) Esbozar la gráfica de f.
(b) Estudiar la derivabilidad de f.
(c) Calcular
2
f(x)dx
0
.
22. (1) Calcular los extremos relativos y absolutos de la función f:[-7,1]→ℜ definida por f(x) = x3
+6x2
+49.
(2) Sea β el punto en el que f alcanza su máximo absoluto. Calcular
-7
f(x)dx
β
.
23. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) =
1
1-x
si x < 0
1-mx-x2 si x ≥ 0
.
(a) Determinar m sabiendo que f es derivable.
(b) Calcular
1
f(x)dx
-1
.
24. Se sabe que la función f:ℜ→ℜ dada por f(x) = x2
+ax+b , si x < 1
cx , si x ≥ 1
es derivable en todo su dominio y que en los
puntos x = 0 y x = 4 toma el mismo valor.
(1) Hallar a, b y c.
(2) Calcular
2
f(x)dx
0
25. (1) Demostrar que si f es función par, se cumple:
a
f(x)dx
-a
= 2
a
f(x)dx
0
.
(2) Demostrar que si f es función impar, se cumple:
a
f(x)dx = 0.
-a
26. (1) Describir el procedimiento de integración por cambio de variable.
(2) Haciendo el cambio de variable x = 1+t2
, calcular la integral
2
x x-1dx
1
27. Las coordenadas (a,b) del centro de gravedad de una lámina de densidad uniforme que está limitada por la curva
y = sen(x) y la porción del eje OX comprendida entre x = 0 y x =
π
2
, vienen dadas por: a =
π/2
x·sen(x)dx
0
π/2
sen(x)dx
0
y
b =
π/2
(sen(x))2
dx
0
2
π/2
sen(x)dx
0
.
(1) Describir el método de integración por partes.
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(2) Utilizar dicho método para calcular el centro de gravedad de la lámina, sabiendo que
π/2
(sen(x))2
dx =
π
4
0
.
28. De las funciones f,g:ℜ→ℜ se sabe que
2
f(x)+g(x) dx = 3
1
,
3
3f(x)-g(x) dx = 3
2
,
3
f(x)dx = 3
1
y
2
2f(x)dx = 3
1
.
Calcular, si es posible,
3
g(x)dx
1
y, si no es posible, decir por qué.
29. Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta debido a la acción de una fuerza F que depende continuamente de la
posición x del objeto en dicha línea recta. Se sabe que el trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto desde
x = a hasta x = b viene dado por W =
b
F(x)dx
a
.
(1) Si la fuerza es F(x) =
2
(x-1)2
, calcular el trabajo para ir desde x=3 hasta x=5.
(2) Determinar razonadamente si la fuerza G(x) =
2
x2
+1
2
realiza más o menos trabajo que la fuerza F anterior para
el mismo desplazamiento.
30. De una función integrable f:[-1,1]→ℜ se sabe que para cada x en dicho intervalo se tiene: |f(x)| < 1+x2
. De los
números -3, -2, -1, 2´5 y 2´75, ¿cuáles pueden ser el valor de la integral
1
f(x)dx
-1
? Justificar la respuesta.
31. Calcular la derivada de la siguiente función, sin efectuar la integral: f(x) =
x
sent dt
0
32. Hallar los máximos y mínimos relativos de la siguiente función: f(x) =
x
t2
+t-2 dt
0
33. Considerar la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = ex
sen(2x).
(1) Sea F:ℜ→ℜ la función definida por F(x) =
x
f(x)dx
0
. ¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo integral sobre
la función F?
(2) Hallar F(π).
34. Calcular el área del recinto limitado por:
1. La curva y = 9-x2
y el eje OX. 2. La parábola y = x2
-4x y la recta y = 2x-5.
3. La curva y = x
3
-4x y el eje de abscisas. 4. Las curvas y = x2
e y = x.
5. La curva y = x3
-6x2
+8x y el eje OX.
6. Las gráficas de las funciones y = ex
, y = e-x
, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = -1 y x = 1.
7. Las curvas y = senx e y = cosx en el intrervalo 0 ,
π
2
.
8. La curva y = ex
y la cuerda que une los puntos de la curva de abscisas 0 y 1.
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1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
X
Y
35. La gráfica de la función f de la figura corresponde a una función polinómica de 2º grado.
(1) Determinar una expresión algebraica de la función f.
(2) Calcular el área comprendida entre la función y el segmento indicado.
36. Dibujar la región (y calcular su área) limitada por:
1. La recta y+x = 0 y la curva de ecuación y = x2
+4x+4.
2. La curva de ecuación y = x(3-x) y la recta de ecuación y = 2x-2.
3. Las curvas de ecuaciones y2
= x e y = |x-2|. 4. Las gráficas de la funciones f(x) = x2
y g(x) = x3
-2x.
5. Las curvas de ecuaciones y = sen(x), y = cos(x), x = 0 y x =
π
3
.
6. Las curvas y = e
x+2
, y = e
-x
y x = 0.
37. (1) Representar las curvas de ecuaciones y = x2
-3x+3 e y = x, calculando dónde se cortan.
(2) Hallar el área del recinto limitado por dichas curvas.
38. Sea f:ℜ→ℜ la función definida por f(x) =
5x+10 , si x ≤ -1
x2
-2x+2 , si x > -1
.
(1) Esbozar la gráfica de f.
(2) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x=3.
39. Considerar la función f:[0,4]→ℜ dada por f(x) = (x+1)e-x
.
(1) Hallar el máximo y el mínimo de la función en el intervalo dado y los puntos en los que se alcanzan dichos valores.
(2) Calcular el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las dos rectas cuyas ecuaciones son x = 0
y x = 4.
40. Sea f:ℜ→ℜ una función polinómica dada por f(x) = -2x3
+15x2
-24x+80.
(1) Determinar el intervalo [a,b] en el que f es creciente.
(2) Calcular el área limitada por la parte de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a,b], el eje OX y las rectas
x=a y x=b.
41. Considerar la función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = (x-2)ex
.
(1) Determinar los intervalos en los que la función es creciente.
(2) Dibujar la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x=1 y x=3.
(3) Hallar el área de la región descrita en el apartado anterior.
42. La velocidad de un móvil, que parte del origen, viene dada, en m/s, por la gráfica que se
indica.
(1) Calcular la función espacio recorrido.
(2) Dibujar la gráfica de la función espacio recorrido.
(3) Probar que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total
recorrido.
43. (1) Hallar la recta tangente a la curva de ecuación y = x3
-3x en el punto de abscisa x = -1.
(2) Dibujar el recinto limitado por dicha tangente y la curva dada y calcular su área.
44. (1) Dibujar la región limitada por la gráfica de la función f:[0,1]→ℜ definida por f(x) = Ln(x+1), la recta tangente ala
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gráfica de f en el origen y la recta x=1. (Nota: Ln(t) es el logaritmo neperiano de t)
(2) Hallar el área de dicha región.
45. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x2
y la recta y=1 en dos regiones de igual área,
mediante una recta y=a. Hallar el valor de a.
46. Calcular el volumen engendrado por la rotación del recinto del primer cuadrante limitado por la parábola y = x y las
rectas x = 2 e y = 0 alrededor del eje OX.
47. Calcular el volumen del cuerpo de revolución engendrado por la rotación alrededor del eje OX del recinto limitado
por la curva y = ex
y las rectas y = 0, x = 1 y x = -1.
Soluciones
1.1.
x3
3
+ x2
+ x + c 1.2.
x3
9
+
x
3
+ c 1.3.
3·ln|x|
2
+ c 1.4.
x2
2
- 2x + ln|x| + c 1.5.
(3x+4)4
12
+ c 1.6.
- 1-4x
2
+ c 1.7.
3
2
ln 4+x2
+ c 1.8.
- 1-x2
+ c 1.9.
ln2
x
2
+ c 1.10. -
2
3sen3
x
+ c 1.11. arc sen
x
2
+ c 1.12. - 1-x2
- arc sen x + c 1.13.
1
2
arc tg x2
+ c 1.14. (2x-1)ex
+ c 1.15.
(3lnx - 1)x3
9
+ c 1.16.
-3lnx - 1
9x3
+ c 1.17. x3
-3x2
+6x-6 ex
+ c 1.18.
4x3
-6x sen2x + 6x2
-3 cos2x
8
+ c 1.19. ln2
x - 2lnx + 2 x + c 1.20. x2
+ ln|x| + c 1.21. x - ln|x+1| + ln[1x-1| + c 1.22. 2x - ln|x+2| + 2ln|x-2| + c 1.23.
x2
2
+ ln x+ 2 + ln x- 2 + c 1.24. x + 2ln|x-1| -
2
x-1
+ c 1.25.
x2
2
- x -
1
2
ln x2
+x+2 +
5 7
7
arc tg
2x+1
7
+ c 2. f: (i) ; f ´: (iii) ; F: (ii) 3. (1)
1
2cos2
x
+ c (2)
tg2
x
2
+ c (3) Si 4. f(x) = x2
- 1 5. f(x) =
x3
3
+
3x2
2
- 4x +
25
6
6. f(x) =
x3
3
- 3x +
5
3
7. f(x) =
x4
12
-
x2
2
+
7x
12
+
5
6
8. f(x) =
x4
12
+
x3
3
+ x2
-
10x
3
+
47
12
9. (1) Mínimo en x =
-1
3
; (2) f(x) =
3x2
4
+
x
2
+ 1 10. f(x)
=
x3
3
- x2
+ 1 - e si -1 ≤ x < 0
ex
- x - e si 0 ≤ x ≤ 1
11. (1) f(x) =
-
x2
2
+ 2x + 7 , x < 3
-x +
23
2
, x ≥ 3
(2)
17
2
12. (a)
x2
2
ln x -
x2
4
+ c (b)
x2
2
ln x -
x2
4
+
1
4
13. F(x) = 4-2x2
cosx +
4xsenx - 4 14.1. 1 14.2.
π
2
14.3.
52
9
14.4.
π
8
14.5. 1 14.6.
2ln4 - ln 7
3
14.7. 6 - ln 2
5
8 15. ln
e+1
e+2
16. -6x2
+6x 17. -1 18. e-2 19.
(1) ℜ-{0} (2)
1 2 3-1-2-3
1
2
3
X
Y
(3) 4 20. (1)
Continua en ℜ
Derivable en ℜ - {-2,2}
(2)
7
2
, 0 21. (1)
1 2-1-2
1
2
3
X
Y
(2) ℜ - {-1,1} (3) 2 22. (1)
Mínimo relativo: 0. Máximo relativo: -4
Mínimo absoluto: -7. Máximo absoluto: -4
(2)
-1035
4
23. (a) -1 (b) ln2 +
7
6
24. (1) -
7
4
; 1 ;
1
4
(2)
5
6
26.
9
10
27. 1 ,
π
8
29. (1) 1 (2) menos
30. -2, -1 ó 2´5 31. f ´(x) = sen x 32. maximo: -2 ; mínimo: 1 33. F(π) =
2 - 2e
π
5
34.1. 36 34.2.
32
3
34.3. 8 34.4.
1
3
34.5. 8 34.6.
2(e-1)
e
34.7. 2 2-1 34.8.
3-e
2
35. (1) f(x) =
1
4
x2
- 3x + 9 (2) 9 36.1.
9
2
36.2.
27
6
36.3.
13
6
36.4.
37
12
36.5.
4 2- 3-3
2
36.6. e2
- 2e + 1 37.
4
3
38.
71
6
39. (1) Máximo: (0,1). Mínimo: 4 ,
5
e5
(2)
2e5
-e-5
e5
40. (1) [1,4] (2)
495
2
41. (1) (1,+∞) (2) (3) 2e(e-1) 42. (1)
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e(t) =
t2 , 0 ≤ t < 1
2t - 1 , 1 ≤ t ≤ 3
-
t2
2
+ 5t -
11
2
, 3 < t ≤ 5
(2)
1 3 5-1
1
3
5
X
Y
43. (1) y=2 (2)
27
4
44. (1) (2)
3 - 4·ln2
2
45.
3
1
4
46. 2π
47.
π e2
-1
e
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