Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
Επιπεδότητα και ∆ένδρα
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Θεωρία Γράφων/2 – Μάθηµα 5.3: Επίπεδα Γραφήµατα
• ∆ένδρα – Μάθηµα 6.1: Βασικοί Ορισµοί στα ∆ένδρα
• ∆ένδρα – Μάθηµα 6.2: Συνδετικά ∆ένδρα (όχι αλγόριθµοι)
• ∆ένδρα – Μάθηµα 6.3: ∆υαδικά ∆ένδρα (όχι αλγόριθµοι)
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Το πακέτο αυτών των µαθηµάτων είναι απαραίτητο για τα Σ/Λ (όπου πέφτουν 2-3 οµάδες που είναι
από τις πιο εύκολες). Θα πρέπει να επαναλάβετε από τα µαθήµατα, εκτός από την θεωρία και τα Σ/Λ
των αντίστοιχων παρουσιάσεων οπωσδήποτε. Οι ασκήσεις Β’µέρους που πέφτουν σε αυτήν την ύλη
είναι αρκετά δύσκολες. Ρίξτε το βάρος στις ασκησεις επιπεδότητας οι οποίες πέφτουν πολύ συχνά στις
εξετάσεις.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7’ και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Τα παρακάτω γραφήµατα είναι δυνατό να κατασκευαστούν.
∆ένδρο µε 10 κορυφές και 12 ακµές.1.
Γράφηµα 6 κορυφών, εκ των οποίων 3 έχουν βαθµό 3 και 3 έχουν βαθµό 4.2.
Επίπεδο γράφηµα 6 κορυφών, όπου όλες έχουν βαθµό τουλάχιστον 3.3.
Συνδεόµενο γράφηµα 10 κορυφών, 14 ακµών που έχει επίπεδη αποτύπωση µε 5 όψεις.4.
Ερωτήσεις 2
Έστω G απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα του οποίου όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθµό. Ποιες από τις παρακάτω
προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
Το G µπορεί να είναι διµερές (διχοτοµίσιµο).1.
2. Το G δεν µπορεί να είναι δέντρο.
3. Το G δεν µπορεί να έχει περιττό αριθµό κορυφών.
4. Το G µπορεί να περιέχει ακµή που δεν ανήκει σε κύκλο.
Ερωτήσεις 3
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
∆ύο οµοιοµορφικά γραφήµατα έχουν πάντα τον ίδιο αριθµό κορυφών1.
Ο τύπος του Euler (F+V=E+2) δεν ισχύει σε µη συνδεόµενα γραφήµατα2.
Οποιαδήποτε επίπεδη αποτύπωση ενός γραφήµατος περιλαµβάνει τον ίδιο αριθµό όψεων3.
Το συµπληρωµατικό ενός δένδρου είναι πάντα επίπεδο γράφηµα4.
Ερωτήσεις 4
Έστω G και H απλά µη κατευθυντικά γραφήµατα που είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις
αληθεύουν;
Αν το G είναι επίπεδο γράφηµα, πρέπει και το Η να είναι επίπεδο γράφηµα.1.
Αν το G είναι δέντρο, πρέπει και το H να είναι δέντρο.2.
Αν τα G και H είναι επίπεδα γραφήµατα, πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος όψεων.3.
Αν τα G και H έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών, πρέπει να είναι ισοµορφικά µεταξύ τους.4.
Ερωτήσεις 5
∆ίδεται απλό γράφηµα G µε 8 κορυφές και 11 ακµές
Το G µπορεί να είναι δένδρο.1.
To G µπορεί να µην είναι συνδεόµενο.2.
Αν το G είναι συνδεόµενο, τότε είναι επίπεδο και έχει ακριβώς 5 όψεις.3.
Αν Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του G, τότε ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα Υ=Α+Α
2
+…+Α
7
θα είναι µεγαλύτερο είτε4.
ίσο του 2
Ερωτήσεις 6
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Σε κάθε δένδρο µε τουλάχιστον 3 κορυφές, τα φύλλα αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας.
2. Υπάρχει δένδρο µε n κορυφές και n(n-1)/2 ακµές.
3. Υπάρχει αυτοσυµπληρωµατικό δένδρο.
4. Ο πίνακας πρόσπτωσης ενός δένδρου έχει n(n-1) στοιχεία.
Ερωτήσεις 7
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Υπάρχει κορυφή του K3,4 που αν αφαιρεθεί προκύπτει επίπεδο γράφηµα
2. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές και n-1 ακµές είναι συνδεόµενο.
3. Η προσθήκη µιας ακµής µεταξύ δύο οποιονδήποτε φύλλων, δηµιουργέί κύκλο µήκους 4.
4. Αν ένα δένδρο έχει 2 φύλλα, τότε ο βαθµός κάθε κορυφής είναι µικρότερο ή ίσος του 2.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 9 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
∆είξτε ότι ένα απλό επίπεδο γράφηµα µε 8 κορυφές και 13 ακµές δε µπορεί να χρωµατιστεί µε δύο χρώµατα.
Άσκηση 2
1. ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο επίπεδο απλό γράφηµα µε τουλάχιστον 3 κορυφές θα έχει τουλάχιστον µία κορυφή µε
βαθµό µικρότερο ή ίσο του 5.
2. ∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο επίπεδο απλό διµερές γράφηµα µε τουλάχιστον 4 κορυφές θα έχει τουλάχιστον µία
κορυφή µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του 7.
Άσκηση 3
∆είξτε ότι κάθε συνδεόµενο απλό επίπεδο γράφηµα µε ελάχιστο µήκος κύκλου (girth) g≠2 ισχύει η σχέση ݉ ൑
௚ሺ௡ିଶሻ
௚ିଶ
όπου
n το πλήθος των κορυφών του γραφήµατος
Άσκηση 4
Ένα δυαδικό δένδρο µε ρίζα ονοµάζεται ισορροπηµένο όταν για κάθε εσωτερική κορυφή v :
i) αν η v έχει δύο παιδιά, τα ύψη των δύο υποδένδρων µε ρίζες τα παιδιά της διαφέρουν το πολύ κατά 1.
ii) αν η v έχει µόνο ένα παιδί, αυτό είναι κατ’ ανάγκη φύλλο.
1) Σχεδιάστε τα ισορροπηµένα δυαδικά δένδρα µε τον ελάχιστο αριθµό κορυφών µε ύψος από 0h = έως 4h = .
Επιβεβαιώστε ότι ο αριθµός των κορυφών hn των ισορροπηµένων δυαδικών δένδρων που κατασκευάσατε, επαληθεύει την
ισότητα:
3 1h hn f += −
όπου 3hf + είναι ο 3h + -οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci.
2) ∆είξτε µε επαγωγή στο ύψος h , ότι η παραπάνω ισότητα ισχύει για τον ελάχιστο αριθµό κορυφών hn κάθε
ισορροπηµένου δυαδικού δένδρου ύψους h .
Υπενθύµιση: Η ακολουθία Fibonacci έχει πρώτους όρους f1 = f2 = 1 και για κάθε φυσικό k ≥ 3, ο k-οστός της όρος δίνεται
από την αναδροµική σχέση fk = fk-1 + fk-2 .
Άσκηση 5
Ονοµάζουµε ένα συνδεδεµένο γράφο «µονοκυκλικό» εάν περιέχει ακριβώς έναν κύκλο. ∆είξτε ότι τα παρακάτω είναι
ισοδύναµα:
1. G είναι µονοκυκλικός
2. G-e είναι δένδρο για κάποια ακµή e.
3. G είναι συνδεδεµένος και |V(G)|=|E(G)|
Άσκηση 6
Έστω µη συνδεδεµένος γράφος G=(V,E), που αποτελείται από k συνεκτικές συνιστώσες. ∆είξτε ότι m ≥ n-k