1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2) Αναδρομικός Αλγόριθμος (Ψευδοκώδικας για αναδρομική σχέση δυναμικού προγραμματισμού και εύρεση κάτω φράγματος) 3.1) (ab+aab)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική 3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών 4.1) Ισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας 4.2) Αναλογία 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης) 5.1) Αναλογία 2 πραγμάτων (Μηχανή Turing) 5.2) Αναγωγή μη επιλυσιμότητας 6) Το At Least 6 SAT είναι NP-complete

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
nn
n
nn
nnf
nnnf
nnf
nnnf
n
2log4)(
25)(
3)(
)(
5.25 10
4
log6log
3
3
2
loglog
1
4
2
+=
+=
+=
+=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατο έχουµε στη διάθεσή µας τρεις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά τέσσερα υποπροβλήµατα
µεγέθους n/2 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο O(n).
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά πέντε υποπροβλήµατα
µεγέθους n/5 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο Θ(n3
).
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά ένα υποπρόβληµα µεγέθους n-1
το καθένα και εξάγει την τελική λύση σε χρόνο Ω(n3
).
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο για την επίλυση του προβλήµατος.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20)
∆ίδεται η ακολουθία 2 3 µε 0 και 1
1. Προτείνετε έναν αλγόριθµο αναδροµικό αλγόριθµο που υπολογίζει τον n-οστό όρο της ακολουθίας
2. Υπολογίστε ένα κάτω φράγµα της πολυπλοκότητας του αλγορίθµου του (1).

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: (ab+aab)*
(Α) ∆ώστε ένα Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές που παράγονται από την παραπάνω
κανονική έκφραση.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο του ερωτήµατος Α
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατική για το ντετερµινιστικό ΠΑ του ερωτήµατος Β

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {an
bm
ck
| n ≤ m<k}
B = {an
bm
ck
| 0≤n≤3, m≥0, k≥0}
Γ = {an
bm
ck
| n<k, m ≥ 2}
∆ = {an
bm
ck
| n=m, n,m ≤ 2,k=0}
E = {an
bm
ck
| n≤2,m>2,k>3}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να
µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει:
| |
∈ για κάθε φυσικό

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {an
bk
cm
| n-k=m}.
L2 = {an
bn+2
c2n+2
| n≥0}.
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή !"#$% όπου για τις συµβολοσειρές
!, ", #, $ και % ισχύει:
|"#$|
|"$| & 0
!"'
#$'
% ∈ για κάθε φυσικό ( 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Α: Εξετάστε το κατά πόσον µια συµβολοσειρά του αλφαβήτου {a,b} περιέχει διπλάσια α από β είναι επιλύσιµο
πρόβληµα.
Β: ∆εδοµένου ότι η γλώσσα L={M,w | H M τερµατίζει µε είσοδο w} δεν είναι επιλύσιµη δείξτε ότι η γλώσσα
L’={M,q | H M µε είσοδο 01 µεταβαίνει στην κατάσταση q} δεν είναι επιλύσιµη.

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 3 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Α. Στο πρόβληµα της ΕΞΑΠΛΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ δίνεται µια φόρµουλα φ σε κανονική συζευκτική
µορφή και ερωτάται αν υπάρχουν τουλάχιστον 6 αποτιµήσεις που την ικανοποιούν. Εξετάστε αν η ΕΞΑΠΛΗ
ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ανήκει στην NP.
B. ∆ώστε πολυωνυµική αναγωγή του προβλήµατος της ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ στο πρόβληµα της ΕΞΑΠΛΗΣ
ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ.