1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2.1) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί 2.2) Διαίρει και Βασίλευε αλγόριθμος (αναδρομική σχέση και υπολογισμός φραγμάτων) 3.1) (011+11)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική 3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών 4.1) Ανισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας 4.2) Ανισότητα 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης) 5.1) Αναλογία 3 πραγμάτων (Μηχανή Turing) 5.2) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας 6) Σωστά/Λάθος για NP-πληρότητα

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
4 3 log24log log
4
1000
3
2
1
2
3
2)(
)001,1()(
)(log2)(
loglog
log
)(
nn n nn
n
nn
nnf
nnf
nnf
n
nn
nf
+=
+=
+=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατος έχουµε στη διάθεσή µας τέσσερις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά ένα υποπρόβληµα µεγέθους
2n/3 και ένα υποπρόβληµα µεγέθους n/8 και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο nlogn.
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά τριαντα ένα υποπροβλήµατα
µεγέθους n/2 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n5
.
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά δεκάξι υποπρόβληµα µεγέθους
n/128 το καθένα και εξάγει την τελική λύση σε χρόνο
7 4
n
Ο αλγόριθµος ∆ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά ένα υποπρόβληµα µεγέθους n/2
το καθένα και εξάγει την τελική λύση σε χρόνο n
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20)
(1) Εξετάστε αν:
)(O.
)(loglog.Α
23
2
nn
nOn
=Β
=
(2) Να κατασκευάσετε έναν ∆ιαίρει και Βασίλευε αλγόριθµο που υπολογίζει την λύση της αναδροµής X(n)=4X(n-
1)+2X(n-2)+n2
µε οριακές περιπτώσεις Χ(0)=1 και Χ(1)=4. Να υπολογίσετε φράγµατα της χρονικής
πολυπλοκότητας του αλγόριθµου που κατασκευάσατε.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
∆ίδεται η κανονική έκφραση:: 011 11 ∗
(Α) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της γλώσσας.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό ΠΑ
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατική για το ντετερµινιστικό ΠΑ του ερωτήµατος Β

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = { | ∈ 0,1 ∗
, | | 1 }
Β = {02
13
0m
1n
| n∈ , m∈
Γ = ∈ 0,1 ∗| ό 0 ό ά
∆ = {0n
1m
0k
| k>1,n<2,m>4}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω ! µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός " (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε # ∈ ! µε |$| % " να
µπορεί να γραφεί στην µορφή # & '() όπου για τις συµβολοσειρές ', ( και ) ισχύει:
|'(| "
( * +
'(,
) ∈ ! για κάθε φυσικό , % -

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {am
bn
ck
| m+n≤k}
L2 = {am
bn
ck
| m≤n≤k }
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω . µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός / (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ . µε |s| % / να µπορεί να γραφεί στην µορφή 1 & 23 45 όπου για τις συµβολοσειρές
2, 3, , 4 και 5 ισχύει:
|3 4| /
|34| 6 0
237
47
5 ∈ . για κάθε φυσικό 8 % 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Α: Έστω αλφάβητο Σ={b,c} και η γλώσσα: . & 9:;<
=>:;<
9:| / % 1 . Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε
αλφάβητο Σ0={b,c,#,$,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για
κάποιο ∈ ?∗
.
∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και σην
συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ.
Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M,q | η µηχανή Turing Μ δεν διέρχεται ποτέ από την κατάσταση q}. ∆είξτε ότι η L δεν
είναι επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w δεν τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 6 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Χαρακτηρίστε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω δηλώσεις και δώστε σύντοµη αιτιολόγηση. Για τις απαντήσεις
σας θεωρήστε ότι P≠NP.
(1) Το πρόβληµα PATH ανήκει στην κλάση ΝΡ
(2) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος PATH στο 3SAT
(3) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος HAMILTON PATH στο PATH
(4) Το πρόβληµα απόφασης µιας κανονικής γλώσσας ανήκει στην κλάση Ρ
(5) Το πρόβληµα αποδοχής συµβολοσειράς w από ντετερµινιστικό αυτόµατο Α ανήκει στην κλάση Ρ