Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8

1 297 vues

Publié le

...

Publié dans : Formation
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8

  1. 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 1 ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20) (Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους καθώς το n τείνει στο άπειρο: 1)log( 4 )(loglog 3 2 2 1 1 2)( 2log)( 2)( )( −+ − − = += = = nn nn n nf nnf nf nnf n
  2. 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 2 (Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατος έχουµε στη διάθεσή µας τέσσερις αλγόριθµους: Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά δύο υποπροβλήµατα µεγέθους n/7 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n2 Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά εκατό υποπροβλήµατα µεγέθους n/10 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n1/2 . Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει ένα υποπρόβληµα µεγέθους n-1 και βρίσκει την λύση του αρχικού προβλήµατος σε χρόνο logn. Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον ταχύτερο αλγόριθµο. Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: log log ( ) ( ), ( )b ba a (1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−− = Θ= Θ= Θ= Θ log log ( ) ( ), ( log )b ba a (2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ log ( ) ( ), , ( ( )). b a 0 0 (3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια n ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n b εεεε++++ = Ω= Ω= Ω= Ω      ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ         
  3. 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 3 ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20) (1) Εξετάστε αν: )5(ω2. )(log.Α log nn n nOnn =Β = (2) Μας δίνουν µια σειρά από αντικείµενα 1, 2, 3, … , n, µε αντίστοιχες αξίες a[1], a[2], a[3], …, a[n], αντίστοιχα, οι οποίες είναι όλες θετικές. Πρέπει να επιλέξουµε υποσύνολο αντικειµένων µε το µέγιστο δυνατό άθροισµα αξιών. Η λύση όµως πρέπει να ικανοποιεί τον εξής περιορισµό: αν επιλεγεί το αντικείµενο i τότε µένει εκτός το αµέσως προηγούµενό του αντικείµενο, i-1. (Α) Περιγράψτε αναδροµικό αλγόριθµο που επιστρέφει το µέγιστο άθροισµα αξιών. (Β) Γράψτε την αναδροµική εξίσωση χρονικής πολυπλοκότητας του αλγορίθµου. (Γ) Περιγράψτε αλγόριθµο ∆υναµικού Προγραµµατισµού που επιστρέφει το µέγιστο άθροισµα αξιών (σχεδιασµό της αναδροµικής εξίσωσης και χρήση της για αποµνηµόνευση επιµέρους λύσεων σε πίνακα).
  4. 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 4 ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20) (A) Βρείτε µια κανονική έκφραση για τη γλώσσα που αναγνωρίζει το αυτόµατο του παρακάτω σχήµατος. (B) Μετατρέψτε το παραπάνω µη ντετερµινιστικό (µη αιτιοκρατικό) αυτόµατο µε ε κινήσεις σε µη ντετερµινιστικό αυτόµατο χωρίς ε κινήσεις. (Γ) Μετατρέψτε το µη ντετερµινιστικό αυτόµατο του ερωτήµατος Β σε ντετερµινιστικό. (∆) Ελαχιστοποιήστε τις καταστάσεις του αυτοµάτου του ερωτήµατος Γ και δείξτε ότι δεν υπάρχει άλλο ντετερµινιστικό πεπερασµένο αυτόµατο µε λιγότερες καταστάσεις που να δέχεται την ίδια γλώσσα, βρίσκοντας ένα κατάλληλο πλήθος συµβολοσειρών ανά δύο διακρινόµενων.
  5. 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 5 2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση. A = { | w ∈ 0,1 ∗ , | | 1 } Β = { 0 1 | 1 2 Γ = { 0 1 | 2 ∆ = { 1 0 1 | 2 } Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες: Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει: | | ∈ για κάθε φυσικό !
  6. 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 6 ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20) Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι; L1 = { | w ∈ 0,1 ∗ } L2 = { | w ∈ 0,1 ∗ } (A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα: (1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της. (2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της: a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ. b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας, αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε πίνακα.
  7. 7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 7 (Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο λήµµα άντλησης: Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων Έστω " µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε s ∈ " µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή $ %& '( όπου για τις συµβολοσειρές %, &, , ' και ( ισχύει: |& '| |&'| ) 0 %& ' ( ∈ " για κάθε φυσικό 0
  8. 8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 8 ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20) Α: Έστω αλφάβητο Σ={0,1} και η γλώσσα: " 0 1 | 0 . Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε αλφάβητο Σ0={0,1,#,$,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για κάποιο ∈ *∗ . (1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (2) ∆ώστε το γράφηµα ροής (3) ∆ώστε το διάγραµµα καταστάσεων Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M,q | η µηχανή Turing Μ µεταβαίνει στην q µε κάθε είσοδο}. ∆είξτε ότι η L δεν είναι επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.
  9. 9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 8 9 ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20) Αποδείξτε ότι το πρόβληµα D3SAT είναι ΝΡ-πλήρες. Για την απόδειξη χρησιµοποιήστε αποκλειστικά το γνωστό ΝΡ-πλήρες πρόβληµα 3SAT. Ακολουθούν οι ορισµοί των προβληµάτων. 3SAT: ∆ίνεται λογική έκφραση Φ σε Συζευκτική Κανονική Μορφή, που ορίζεται σε n µεταβλητές και αποτελείται από m προτάσεις, µε κάθε πρόταση της να περιέχει ακριβώς τρεις µεταβλητές. Υπάρχει ανάθεση λογικών τιµών που ικανοποιεί την Φ; D3SAT: ∆ίνεται λογική έκφραση Φ σε Συζευκτική Κανονική Μορφή, που ορίζεται σε n µεταβλητές και αποτελείται από m προτάσεις, µε κάθε πρόταση της να περιέχει ακριβώς τρεις µεταβλητές. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο αναθέσεις λογικών τιµών που ικανοποιούν την Φ;

×