Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang dapat dicari dengan beberapa cara seperti faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus. Jenis akar ditentukan oleh nilai diskriminan.
Kelompok 1 Bimbingan Konseling Islami (Asas-Asas).pdf
Persamaan Kuadrat
1. PERSAMAAN KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya
mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 2.
Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam x adalah :
…. rumus 1
Dengan :
0≠a dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan nyata.
Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu :
01 2
=++→= cbxxa : persamaan kuadrat biasa
00 2
++→= cxb : persamaan kuadrat murni
00 2
=+→= bxxc : persamaan kuadrat tak lengkap
Contoh :
(a) 0442
=++− xx
(b) 022
=+ xx
(c) 092
=+x
02
=++ cbxax
B. Akar – akar Persamaan Kuadrat
Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar
persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan x
02
=++ cbxax
1 dan x2.
Akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara,
yaitu :
1. Faktorisasi
Bentuk diuraikan kebentuk02
=++ cbxx
…………rumus 2
0)2()1( =−− xxxx
2. Contoh :
2202
3103
0)2()3(
0652
−=→=+
−=→=+
=++→
=++
xx
xx
xx
xx
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk , dijabarkan kebentuk02
=++ cbxx
…………..rumus 3
Contoh :
a. 0142
=−+ xx
kemudian masing – masing suku ditambah
dengan 4
→=+ 142
xx
52
5)2(
4144
2
2
±=+
=+
+=+++
x
x
xx
Maka 251 −=x dan 252 −−=x
b. 0262
=−− xx
kemudian masing–masing suku ditambahkan
dengan 9
→−− 262
xx
311311113
11)3(
9296
21
2
2
+−=+=→±=−
=−
+=+−
xdanxx
x
xx
qpx =+ 2
)(
3. Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat , mempunyai akar – akar
persamaan :
02
=++ cbxax
………rumus 4
a
acbb
x
2
42
2,1
−±−
=
3. Cara mencari rumus tersebut adalah sebagai berikut :
02
=++ cbxax → kemudian masing – masing suku dikalikan 4a
0)4()44(
0)(444
0444
2222
2222
22
=−−++
=−+++
=++
acbbabxxa
bbacabxxa
acabxxa
→=−−+ 0)4()2( 222
acbbax kemudian masing-masing suku
diakar
→=−−+ 0)42( 2
acbbax harga dari akar bisa (+) dan (-)
Sehingga diperoleh rumus :
…………rumus 4
Nilai b2
- 4ac disebut diskriminan dari persamaan ax2
+ bx + c= 0 dan diyulis
dengan huruf D. maka rumus diatas menjadi :
a
acbb
x
2
42
2,1
−±−
=
………rumus 5
Contoh :
Carilah akar – akar dari persamaan kuadrat : 4x2
+ 5x + 1 = 0
Jawab
4x2
+ 5x + 1 = 0 → a = 4, b = 5 dan c = 1
4
1
8
35
1
8
35
1
8
35
8
16255
4.2
1.4.455
2
2,1
2,1
2
2,1
−=
+−
=−=
−−
=
±−
=
−±−
=
−±−
=
xx
x
xx
a
Db
x 2,1
±−
=
2
a
Db
x
2
2,1
±−
=
4. C. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
Misal akar – akar dari persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 adalah x1
dan x2. Rumus pemyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut :
a
Db
x
2
1
+−
= dan
a
Db
x
2
2
−−
=
Maka jumlah akar-akar tersebut adalah :
a
DbDb
xx
2
21
−−+−
=+
Atau ……………rumus 6
Sedangkan hasil kali akar – akar tersebut adalah :
{ }
2
22
2
22
21
4
4
4
)()(
,
a
acbb
a
Db
xx
+−
=
−−
=
Atau ………..rumus 7
Selisih akar – akar tersebut adalah :
a
D
xx
2
2
21 =− sehingga ….rumus 8
a
b
xx
−
=21 ,
a
c
xx =21 ,
Atau ………rumus 9
a
D
xx =− 21
Contoh :
2x2
+ 4x + 6 = 0
Tentukan nilai x1
2
+ x2
2
tanpa mencari x1 dan x2
2
21x2
)( xaD −=
5. Jawab
23.2)2(
..2)(
3
2
6
.
2
2
4
64,20642
2
21
2
21
2
2
2
1
21
21
2
−=−−=
−+=+
==
−=−=+
===→=++
xxxxxx
xx
xx
cdanbaxx
D. Jenis akar – akar persamaan kuadrat
Akar – akar persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 adalah x1 dan x2
dimana
………..rumus 5
D = b2
– 4ac adalah disriminan.
Jenis akar – akar persamaan berdasarkan diskriminan adalah :
a
Db
x
2
2,1
±−
=
a
Db
x
2
2,1
±−
=
1. Jika D > 0, Maka terdapat dua akar real yang tidak sama ( x1 ≠ x2 )
2. Jika D = 0, Maka akar – akarnya kembar atau sama dan real ( x1 ≠
x2 ).
3. Jika D < 0, Maka kedua akar tidak real atau tidak mempunyai akar
– akar yang real.
Contoh :
1). Tentukan q supaya persamaan x2
+ qx + a = 0 mempunyai dua
akar nyata dan berlainan.
Jawab
x2
+qx + q = 0
mempunyai dua kar berlainan, maka D > 0
D = b2
- 4ac = q2
-4 . 1 . q = q2
– 4q > 0
6. Atau q (qa – 4 ) > 0
q1 = 0 ; ( q – 4 ) = 0 →q2 = 4
Maka : q < 0 ataua q > 4.
2). Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat x2
– ( 2 + p)x + 4= 0
mempunyai akar – akar kembar.
Jawab :
x2
– ( 2 + p)x +4 = 0
akar – akarnya kembar, maka D = 0
D = b2
– 4ac
= - ( 2 + p ) 2
-4 . 1. 4
= 4 + 4p + p2
– 16
p2
+ 4p - 12 = 0
(p + 6 ) ( p – 2 ) = 0
p1 = -6 dan p2 = 2
E. Contoh Soal dan Penyelesaian
1). Apabila m menjalani bilangan – bilangan nyata, selidikilah
banyaknya akar – akar persamaan : x2
– 2 (1 + 3m) x + 7 (3 +
2m) =0
Jawab
Banyaknya akar – akar persamaan kuadrat ditentukan adanya
diskriminan itu. Kita hitung dahulu besarnya diskriminan itu
yaitu :
D = 4 (1 + 3m)2
– 28 (3 + 2m)
= 4 + 24m + 36m2
– 84 – 56m
= 36m2
– 32m – 80
Ada 3 kemungkinan :
a). Kalau D > 0 atau 36m2
– 32m 80 > 0 maka
36m2
– 32m-80 > 0 disederhanakan menjadi
4 (9m2
– 8m – 20) > 0
7. 4 (9m + 10) (m – 2 ) > 0
Kalau D > 0, maka m > 2 atau m <
9
10
−
Yang berarti persamaan di atas mempunyai dua akar yang
nyata dan berlainan
b). Kalau D = 0 atau 36m2
– 32m - 80 = 0 akan memberikan m1
= 2 atau m2 =
9
10
−
untuk m1 dan m2 sebesar tersebut diatas, maka persamaan
tersebut diatas mempunyai dua akar yang nyata dan kembar.
Untuk m =
9
10
− , akar kembar itu adalah :
a
Db
x
2
2,1
±−
= → karena D = 0 maka
3/7
3/101)9/10.(31
2
9/10.(62
1.2
)31(2
2
2,1
−=
−=−+=
−+
=
+
=
−
=
m
a
b
x
c). kalau D < 0 atau 36m2
– 32m 80 < 0, maka persamaan
diatas tidak mempunyai akar yang nyata.
2). Tentukan akar – akar persamaan
9
21
1
9
7
2
2
2
2
−
−
=+
−
−
x
x
x
xx
Jawab:
Jika 1 diganti dengan
9
9
2
2
−
−
x
x
maka
9
21
1
9
7
2
2
2
2
−
−
=+
−
−
x
x
x
xx
x2
– 7x + x2
– 9 = x2
- 21
x2
- 7x + x2
- 9 = -21
x2
- 7x + 12 = 0
(x-4) (x-3) = 0
8. x – 4 = 0 → x1 = 4
x – 3 = 0 → x2 = 3
x2 = 3 apabila dimasukkan ke soal, persamaannya tidak
terdefinisikan.
Maka akarnya adalah x = 4
3). Akar – akar persamaan kuadrat 2x2
– 6x – p = ialah x1 dan x2
jika x1
2
– x2
2
= 15.
Tentukan harga p !
Jawab :
x1 + x2 =
a
b−
maka x1 + x2 = - 3
2
)6(
=
−
……….. (1)
x1 . x2 =
a
c
maka x1 . x2 = -
2
P
……….. (2)
x1
2
– x2
2
= 15 ……….. (3)
(x1 + x2) (x1 – x2) = 15 (*)
3(x1 – x2) = 15 → (x1 – x2) = 5 ……….. (4)
Dengan mengeleminasi persamaan (1) dan (4) :
x1 + x2 = 3
x1 – x2 = 5+ → x1 = 4 → -1
2x1 = 8
Dari persamaan (2) → x1 . x2 = -
2
P
4.(-1) = -
2
P
→ p = 8
9. Catatan :
(*)
ingat rumus x1
2
– x2
2
= (x1 + x2) (x1 – x2)
= 3(x1 – x2)
4). Tentukan harga x dari persamaan 03
64
2
=−−
xx
Jawab :
Bentuk lain dari persamaan tersebut adalah 4.x-2
– 6.x-1
– 3 = 0
Selanjutnya direduksi dengan memisalkan t = x-1
,
Sehingga t2
= x-2
Dengan demikian persamaan di atas menjadi 4.t-2
– 6.t – 3 = 0
t1,2 =
8
46366
4.2
)3(4.4)6()6( 2
+±
=
−−−±−−
t1 =
8
846 +
dan t2 =
8
846 −
karena t = x-1
maka x =
t
1
sehinga :
x1 = 5275,0
846
8
8
846
11
1
=
+
=
+
=
t
x2 = 5275,2
846
8
8
846
11
2
−=
−
=
−
=
t