Dokumen tersebut membahas tentang remidi matematika khususnya sistem persamaan linear dua variabel dan cara penyelesaiannya melalui metode substitusi dan metode grafik."
3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
• Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah
sebuah bentuk relasi sama dengan pada
bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan
keduanya berpangkat satu. Dikatakan
Persamaan Linear karena pada bentuk
persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk
grafik, maka akan terbentuk sebuah grafik
garis lurus (linear).
4. Ciri - ciri SPLDV
• 1. Menggunakan relasi sama dengan
( = )
2. Memiliki dua variabel berbeda
3. Kedua variabelnya berpangkat satu
5. CONTOH SOAL
1. Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12
dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q.
Nilai 4p + 3q adalah . . . . (Gunakan metode
substitusi )
a. 17
b. 1
c. -1
d. -17
6. Pembahasan soal no 1PEMBAHASAN
SOAL NO 1•
• 33x – 2y = 12 .....................................( 1)
• 5x + y = 7 à y = 7 – 5x .................(2 )
• Subsitusikan persamaan ( 2) ke (1 )
• 3x – 2y = 12
• 3x – 2( 7 – 5x = 12
• 3x – 14 +10x = 12
• 13x = 12 + 14
• x = 2................p = 2
•
• Subsitusikan nilai x = 2 ke persamaan (2)
• y = 7 – 5x
• y = 7 – 5( 2)
• y = 7 – 10 = -3 ..................q = -3
•
• maka :
• Nilai 4p + 3q = 4( 2) + 3(-3)
• = 8 – 9
• = -1
• Jadi, jawaban yang benar = -1 ......( C )
7. 2. Himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2
adalah . . . .
• a. {(-2, -4 )}
• b. {(-2 ,4)}
• c. {(2, -4)}
• d. {(2, 4)}
8. Pembahasan soal nomor 2
• Pembahasan :
• x – 2y = 10 à x = 2y + 10 ........ (1)
• 3x + 2y = -2 ..................................... (2)
•
• Subsitusikan persamaan (1) ke (2)
• 3x + 2y = -2
• 3( 2y + 10 ) + 2y = -2
• 6y + 30 + 2y = - 2
• 8y = -32
• y = - 4
•
• Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)
• x = 2y + 10
• x = 2(-4) + 10
• x = -8 + 10
• x = 2
• Jadi, HP adalah {( 2, -4 )}.
9. Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian
sistem persamaan linear dua variabel dengan
menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut :
Tentukan titik potong garis dengan sumbu x, syaratnya
y = 0
Tentukan titik potong garis dengan sumbu y, syaratnya
x = 0
Kedua langkah ini dapat kita sederhanakan dengan
tabel berikut ini
Gambar garis dari setiap persamaan
Menentukan titik potong kedua persamaan, yang
merupakan hasilnya
10. Contoh 1:
Diketahui grafik SPLDV memotong sumbu-sumbu
koordinat di titik (-8, 0) dan (0, 6), dan di titik (-2,
0) dan (0, -3).
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV.
11. Pembahasan soal no 1
Grafik yang melalui titik (-8, 0) dan (0, 6).
Grafik yang melalui titik (-2, 0) dan (0, -3).
12. Contoh soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan linear dua variabel dengan metode
grafik berikut ini :
• 3x + y = 15
• x + y = 7
13. Jawab :
# 3x + y = 15
•Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
3x + 0 = 15
x = 5.
Titik potong (5, 0)
•Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.
3(0) + y = 15
y = 15.
Titik potong (0, 15)
Dalam bentuk tabel
14. x + y = 7
•Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
x + 0 = 7
x = 7.
Titik potong (7, 0)
•Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
0 + y = 7
y = 7.
Titik potong (0, 7)
Dalam bentuk tabel
16. 1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode grafik.
Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secara visual gambaran tentang
daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear yang berbentuk aljabar.
Karena secara umum grafik pertidaksamaan linear seperti ax + by ≥ c, ax +
by > c, ax + by < c, dan ax + by ≤ c berupa daerah yang dibatasi oleh garis ax
+ by = c
maka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaan linear
adalah:
a. menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerahnya;
b. menyelidiki daerah penyelesaian yang dimaksud apakah berada di
sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawah garis batas yang telah
dilukis.
17. Contoh soal 1
Gambarlah daerah himpunan penyelesaian linear
berikut pada bidang Cartesius.
a. 3x + 2y ≥ 6, dengan x, y ϵ R
b. 2x + y > – 4, dengan x, y ϵ R
18. x 0 2
y 3 0
(x, y) (0, 3) (2, 0)
Penyelesaian soal no 1
a. 3x + 2y ≥ 6, dengan x, y ϵ R
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan
linear di atas,
langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut.
1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnya
a)Titik potong dengan sumbu X, berarti y = 0. Kita
b)ubah pertidaksamaan menjadi persamaan 3x + 2y = 6
c)sehingga 3x + 2(0) = 6 ↔ 3x = 6 ↔ x = 2.
d)Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (2, 0).
b) Titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 0. Kita ubah persamaan
menjadi 3x + 2y = 6 ↔ 3(0) + 2y = 6 ↔ 2y = 6 ↔ y = 3.
Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0, 3).
Hal tersebut dapat disajikan dengan tabel berikut.
x 0 2
y 3 0
(x, y) (0, 3) (2, 0)
20. Pembahasan soal no 2
Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)
2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)
3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)
x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)
Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita
eliminasi variabel z
Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20_____ +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ………………….(4)
Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh
6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15____ _
5x = 25
x = 5
Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)
3x + 2y + z = 20
3.5 + 2.3 + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}
21. Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan
cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi
dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah
koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun
bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua
variabel berikut ini.
x+y=3(1)
2x−y=−3(2)
Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik
potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut,
yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan
dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.
22. Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu
(mempunyai titik potong)
pada titik (0,3).
Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y =
3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah
titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing
persamaan.
23. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode
eliminasi
Ada beberapa langkah dalam metode ini:
Langkah 1:
Pilihlah salah satu dari persamaan yang sederhana, kemudian
nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z,
atau z sebagai fungsi x dan y.
Langkah 2:
Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh langkah 1 ke dalam
persamaan lainya sehingga didapat SPLDV.
Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.
24. A. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Jika x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan
bilangan/konstanta, pertidiksamaan linerardapay dituliskan sebagai
berikut: ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, dan ax + by ≥ c.
Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.
1. 2x + 3y < 6
2. 3x + 4y > 12
3. x + y ≤ 10
4. 5x - 2y ≥ 20
Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai
penyelesaian yang berupa daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian
ini merupakan titik-titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan
tersebut.
Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan seperti berikut.
25. Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10. Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis
lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 10. Diperoleh titik (0, 10)
Untuk y = 0, maka x = 10. Diperoleh titik (10, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Untuk mengecek/menyelidiki kebenarannya sebgai berikut.
Daerah yang diarsir memuat (0,0). Jika (0,0) kita substitusikan ke x + y ≤ 10
akan diperoleh
0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan yang benar.
27. Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan 2x + 3y = 18
(persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 6. Diperoleh titik (0, 6)
Untuk y = 0, maka x = 9. Diperoleh titik (9, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.
Perlu diketahui,titik (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18,
karena 2(0) + 3(0) ≥ 18 sebuah pernyataan yang salah.
Jadi, daerah yang memuat (0, 0) tidak diarsir.
28. Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian
pertidaksamaan linear 2x + 3y ≥ 18.
29. 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Kita tahu bahwa pada materi yang lalu dibahas sistem persamaan linear dua
variabel. Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang sistem pertidaksamaan
linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel adalah gabungan
beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang variabel-variabelnya saling
berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari sistem pertidaksamaan
tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih pertidaksamaan itu.
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua veriabel.
ax + by ≤ c
px + qy ≤ r
Tanda ketidaksamaan dapat meliputi ≤, ≥, <, >.
Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya berikut.
Contoh 1
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤10
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0,
y ≥ 0
30. Pembahasan contoh 1
Jawaban:
Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu
Y di (10, 0) dan (0,10).
Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu
Y di (12, 0) dan (0,8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga
daerah yang memuat (0, 0)
merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat
digambarkan seperti di bawah ini.
31. Contoh 2
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≥ 8
5x + 3y ≥ 30
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di
(8, 0) dan (0,8).
Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu
Y di (6, 0) dan (0,10).
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas sehingga
daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian
sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan
seperti di bawah ini.
32.
33. Contoh 3
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤ 12
2x + 5y ≥ 40
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0)
dan (0,12).
Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (20,
0) dan (0, 8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang
memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12.
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga
daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian
pertidaksamaan 2x + 5y ≥ 40.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti
di bawah ini.
34.
35. Contoh soal sptldv
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan linear di bawah ini.
a.2x+3y≥12 c.4x–3y<12
b. 2x – 5y > 20 d. 5x + 3y ≤ 15
36. Penyelesaian:
a. Mula-mula dilukis garis 2x + 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis dengan
sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X berarti y = 0, diperoleh x = 6 (titik (6,0)).
Titik potong garis dengan sumbu Y berarti x = 0, diperoleh y = 4 (titik (0,4)).
Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk
menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan
mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0),
kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
2 x0 + 3x 0 < 12
0 < 12
Jadi 0 ≥ 12 salah, artinya tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah
yang diarsir pada gambar di bawah ini.
37. b. Mula-mula dilukis garis 2x – 5y = 20 dengan menghubungkan titik potong
garis di sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X, y = 0, diperoleh x = 10 (titik (10,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, diperoleh y = –4 (titik (0,–4))
Garis 2x – 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan
dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik
(0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
2 x0 – 5 x0 > 20
0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0),
yaitu daerah yang diarsir pada gambar.
38. c. Mula-mula dilukis garis 4x – 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong
garis di sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 diperoleh y = –4 (titik (0,–4))
Garis 4x – 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan
dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan
diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga
diperoleh:
4 x0 – 3x 0 < 12
0 < 12 (benar), artinya dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu
daerah yang diarsir pada gambar di bawah.
39. d. Mula-mula dilukis garis 5x + 3y = 15 dengan menghubungkan titik potong garis
di sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, diperoleh y = 5 (titik (0,5))
Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk
menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan
mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik
(0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
5 x0 + 3x 0 ≤15
0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah
yang diarsir pada gambar.
40. Mohon maaf bila ada kesalahan
dalam pembuatan power point ini.
Pembuatan ppt ini digunakan untuk remidi
ulangan harian 3 matematika wajib tentang
spldv,spltv,dan sptldv.
Atas nama : DINASTY RSTU SYU DYAH
PYTALOKA
Kelas : X MIA 3
Sekolah : SMA NEGERI 3 LUMAJANG
