DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS CAPACITANCIA EJEMPLOS DE CAPACITANCIA CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS

1. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 6
DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA
Ingeniería Eléctrica – Electrónica y de Comunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Nov 2009 – Ene 2010
Santo Domingo, RD

2. TABLA DE CONTENIDO
1. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS
2. CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS
3. CAPACITANCIA
4. EJEMPLOS DE CAPACITANCIA
5. CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS

3. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS
Preliminar
La presencia de un campo eléctrico
en un material aislante desplaza las
cargas [∆d] formando grupos de
dipolos eléctricos. Este efecto se
mide por medio de la constante
dieléctrica o permitividad relativa.
El desplazamiento de carga es el
principio de almacenamiento de
carga en los capacitores.
Un dieléctrico se puede considerar
como un arreglo de dipolos
microscópicos compuestos por
cargas positivas y negativas cuyos
centros no coinciden perfectamente.
1
Las cargas de estos dipolos no son
libres, por tanto, no contribuyen a la
corriente de conducción. Las
mismas sólo pueden cambiar su
posición ligeramente por efecto de
campos eléctricos externos, y se les
conoce como cargas ligadas.
Todos los dieléctricos (sólidos,
líquidos o gases) tienen la
capacidad de almacenar energía,
cambiando las posiciones relativas a
las cargas positivas y negativas
ligadas, en contra de las fuerzas
moleculares y atómicas.

4. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Polarización en Dieléctricos
Moléculas Polares: presentan un
desplazamiento permanente entre
el centro de gravedad de un par de
cargas que actúa como dipolo, y los
dipolos restantes.
Con estas moléculas se verifica lo
siguiente:
2
Orientación dipolos sin el efecto
de un campo eléctrico →
Aleatoria.
Orientación dipolos con el efecto
de un campo eléctrico →
Alineados en la misma dirección.
Moléculas No Polares: no presentan
arreglos dipolares sino hasta que se
aplica un campo.
En ambos tipos de dipolos, la nube
de electrones presenta una
distribución de carga que se puede
describir por su momento dipolar,
en la forma:
dp Q=
Carga ligada + de las que
forman el dipolo.
Vector que se dirige desde
la carga – a la +
Vector Momento Dipolar.

5. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Polarización en Dieléctricos (Cont.)
La formación de n dipolos en un
volumen ∆v debidos al campo
eléctrico, presenta un momento
dipolar total :
Si los pi están alineados en la misma
dirección, ptotal es significativo.
Si los pi están alineados en forma
aleatoria, ptotal es aproximadamente
cero.
3
∑
∑
=
=
=
=+⋅⋅⋅++
N
i
iitotal
N
i
iinn
Q
QQQQ
1
1
2211
dp
dddd
La Polarización se define como el
momento dipolar por unidad de
volumen, esto es:
[C/m2
]
Suponiendo que se tiene un material
dieléctrico cuyas moléculas son no
polares, es decir, pi=0, entonces: P=0
en el interior del material.
v
Q
N
i
ii
v ∆
=
∑=
→∆
1
0
lim
d
P

6. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Polarización en Dieléctricos (Cont.)
Consideremos un elemento de
superficie ∆S en el interior de un
dieléctrico en el cual está presente
un campo eléctrico E.
4
En la parte b observamos moléculas
no polares formando momentos
dipolares p y polarización P. En este
caso existe una transferencia neta de
cargas ligadas a través de ∆S.
Como existen n moléculas/m3
, la
carga total que cruza ∆S hacia arriba
es :
Considerando la notación de
Polarización, se tiene:
( ) Sd∆=∆=∆ nQSdnQQligadas θcos
ddP nQdvQ
v
vn
=
∆
= ∫
∆
0
1
SP ∆⋅=∆ ligadasQ

7. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Polarización en Dieléctricos (Cont.)
Si evaluamos la expresión :
en una superficie cerrada, con ∆S
hacia fuera, se tiene:
De la Ley de Gauss:
5
SP ∆⋅=∆ ligadasQ
∫ ⋅−=
S
ligadas dQ SP
∫ ∫=⋅==
S vol
v
Encerrada
Total dvdQ ρψ SD
Observando estas expresiones, y
recordando que la Carga Total
Encerrada [QT] =QLIBRES + QLIGADAS.
Despejando y sustituyendo, se tiene:
En términos generales:
( )∫ ⋅+=
−==
S
LigadasTotalLibres
dQ
QQQQ
SPE0ε
PED += 0ε
Aplica a un material
polarizable.

8. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Polarización en Dieléctricos (Cont.)
Cargas y Densidades Volumétricas
aplicables:
6
∫
∫
∫
=
=
=
v
t
Encerrada
Total
v
vLibres
v
lLigadas
dvQ
dvQ
dvQ
ρ
ρ
ρ
( ) ( )∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
=⋅∇=+⋅∇→=⋅+−=
=⋅∇→=⋅=
−=⋅∇→=⋅−=
S vol
vvLibres
S vol
tt
Encerrada
Total
S vol
llLigadas
dvdQ
dvdQ
dvdQ
ρερε
ρερ
ρρ
DPESPE
ESD
PSP
00
0
Aplicando el Teorema de la
Divergencia, se verifican las
siguientes relaciones equivalentes
divergentes:

9. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Polarización en Dieléctricos (Cont.)
La polarización se puede expresar en
función de E, tomando en cuenta
que la misma depende del tipo de
material y considerando su
limitación a los materiales
isotrópicos [las mismas propiedades
en todas las direcciones] en donde E
y P varían linealmente. Esta relación
es:
Xe es la suceptibilidad eléctrica del
material, y es adimensional.
Dado que , entonces:
7
EP 0εeX=
PED += 0ε
( ) ED
EED
0
0
ε
εε
⋅+=
+=
e
e
X
X
1
0
Resulta :
La expresión : 1+Xe se conoce como
permitividad relativa o constante
dieléctrica, y es adimensional, esto
es:
( )
ED
ED
ED
ε
εεε
εε
ε
=
=
=
+=
0
0
01
r
r
eX

10. NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
8
En la práctica los dieléctricos no son
ideales, y cuando el campo eléctrico
es muy grande, arrebatan electrones
a las moléculas hasta que se
convierten en conductores, en este
caso ha ocurrido una → disrupción
dieléctrica.
La resistencia dieléctrica es el
campo eléctrico máximo que un
dieléctrico puede tolerar o soportar
sin disrupción.
Cápsulas …

11. 9
D6.1
Cierta placa de material dieléctrico tiene una
constante dieléctrica relativa de 3.8 y una densidad
de flujo eléctrico uniforme de 8 nC/m2
. Si el
material no tiene pérdidas, encontrar:
(a)|E|
(b)|P|
(c)Número promedio de dipolos por m3
si el momento
promedio del dipolo es de 10-29
C.m.
NATURALEZA DE LOS MATERIALES
DIELÉCTRICOS (CONT.)
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)238 V/m
b)5.89 nC/m2
c)5.89 x 1020
m-3

12. 10
Considere la frontera entre dos
dieléctricos perfectos con ε1 y ε2 , como se
muestra en la figura:
1. Evaluamos la componente tangencial de
E a través de la trayectoria cerrada,
mediante:
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS
∫ =⋅ 0LE d
Cont. 1 …
Resultando :
Para este escenario se ha supuesto
que ∆h → 0, reduciendo la
contribución normal, y por tanto,
limitando el análisis a la superficie.
02tan1tan =∆−∆ wEwE
2tan1tan EE =
Componente continua a través de
la frontera.

13. 11
2. Evaluamos la componente tangencial de
D a través de la misma trayectoria:
Como , entonces:
3. Ahora evaluamos las condiciones de
frontera a las componentes normales,
aplicando la Ley de Gauss, esto es:
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
ED 0ε=
2
2tan
1
1tan
εε
DD
=
2
1
2tan
1tan
ε
ε
=
D
D
Componente discontinua a través
de la frontera.
sNN
sNN
DD
SQSDSD
ρ
ρ
=−
∆=∆=∆−∆
21
21
Cont. 3…
Debido a que el análisis se realiza
para un dieléctrico perfecto, no hay
cargas libres en la interfase, por
tanto:
y en el caso del campo:
21 NN DD =
Componente Continua
2211 NN EE εε =
Componente Discontinua

14. 12
Análisis de Refracción en la Interfase
Dieléctrica
En la siguiente figura se analiza la
refracción de D en la interfase
dieléctrica. Para el caso mostrado, ε1>
ε2, E1 y E2 están dirigidos a lo largo de
D1 y D2, con D1 >D2 y E1 < E2.
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
En la frontera se cumple que:
Por tanto:
(1)
Por otro lado:
Verificando que:
(2)
21 NN DD =
2211 coscos θθ DD =
2
1
2tan
1tan
ε
ε
=
D
D
2
1
22
11
2tan
1tan
sin
sin
ε
ε
θ
θ
==
D
D
D
D
112221 sinsin θεθε DD =

15. 13
Análisis de Refracción en la
Interfase Dieléctrica (Cont.)
Dividiendo (2) entre (1), se tiene:
De la ecuación (1) :
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
Elevando al cuadrado la expresión
anterior, se tiene:
Multiplicando por 1, se verifica:
Reacomodando:2
1
2
1
1221
11
112
22
221
tan
tan
tantan
cos
sin
cos
sin
ε
ε
θ
θ
θεθε
θ
θε
θ
θε
=
=
=
D
D
D
D
2
1
1
2
cos
cos
θ
θ
=
D
D
2
2
1
2
2
1
2
cos
cos
θ
θ
=





D
D
[ ]2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
cossin
cos
cos
θθ
θ
θ
+=





D
D






+=





2
2
2
2
1
2
2
1
2
cos
sin
1cos
θ
θ
θ
D
D
Sigue

16. 14
Análisis de Refracción en la
Interfase Dieléctrica (Cont.)
Distribuyendo y reacomodando:
Sustituyendo:
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
Se tiene:
Por tanto, la magnitud de la densidad
de flujo es:
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
cos
cos
sin
cos θ
θ
θ
θ ⋅+=





D
D
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
sin
tan
tan
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
⋅+=





⋅⋅+=





D
D
D
D
1
2
1
2
2
1
2
1
tan
tan
;
tan
tan
ε
ε
θ
θ
ε
ε
θ
θ
==
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
sincos θ
ε
ε
θ ⋅





+=





D
D
1
2
2
1
2
1
2
12 sincos θ
ε
ε
θ ⋅





+⋅= DD
Sigue

17. 15
Análisis de Refracción en la Interfase
Dieléctrica (Cont.)
En el caso de la magnitud del Campo
Eléctrico, partimos de la expresión (2):
Reacomodando y después elevando al
cuadrado:
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
Multiplicando por uno:
Reacomodando y distribuyendo:
2211
221112
sinsin
sinsin
θθ
ε
θεθε
EE
D
E
DD
=
=
=
Sigue
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
sin
sin
sin
sin
θ
θ
θ
θ
=





=
E
E
E
E
[ ]2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
cossin
sin
sin
θθ
θ
θ
+=





E
E






⋅+=











+=





2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
sin
cos
sinsin
sin
cos
1sin
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
E
E
E
E

18. 16
Análisis de Refracción en la Interfase
Dieléctrica (Cont.)
Incorporando Artificio y reacomodando:
Como:
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)






⋅⋅+=











⋅⋅+=





1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
sinsin
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
E
E
E
E
1
2
1
2
2
1
2
1
tan
tan
;
tan
tan
ε
ε
θ
θ
ε
ε
θ
θ
==
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
21
1
1
2
2
1
2
cossin
cos
tan
tan
sin
θ
ε
ε
θ
θ
θ
θ
θ
⋅





+=





⋅+=





E
E
E
E
Por tanto:
Resultando:
1
2
2
2
1
1
2
12 cossin θ
ε
ε
θ ⋅





+⋅= EE

19. 17
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
D6.2
Sea la región z<0 compuesta por un material dieléctrico uniforme cuya εr=3.2,
mientras que la región z>0 está caracterizada por εr=2. Sea D1=-30ax+50ay+70az
nC/m2
, encontrar :
(a)DN1
(b)DT1
(c)DT1
(d)D1
(e)θ1
(f)P1
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)70 nC/m2
b)-30ax+50ay nC/m2
c)58.3 nC/m2
d)91.1 nC/m2
e)39.8°
f)-20.6ax+34.4ay + +48.1az nC/m2

20. 18
CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES
DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)
D6.3
Continuar el problema anterior, encontrando:
(a)DN2
(b)DT2
(c)D2
(d)P2
(e)θ2
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)70az nC/m2
b)-18.75ax+31.25ay nC/m2
c)-18.75ax+31.25ay + 70az nC/m2
d)-9.38ax+15.63ay + 35az nC/m2
e)27.5°

21. 19
Capacitancia
Consideremos dos conductores cargados
con cargas opuestas, M1 y M2, rodeados
por un dieléctrico uniforme. No existen
otras cargas presentes, por tanto la carga
total es cero.
CAPACITANCIA
Algunos detalles :
1.M2 lleva la carga positiva.
2.El flujo eléctrico se dirige de M2 a
M1.
3.El transporte de una carga
positiva desde M1 hasta M2 implica
la realización de un trabajo.
4.Consideremos la diferencia de
potencial entre M2 y M1 como Vo.

22. 20
Capacitancia (Cont.)
Definición: La capacitancia C del
Capacitor es la razón de la magnitud
de la carga en una de las placas a la
diferencia de potencial entre ellas, es
decir:
[F, C/V]
La supresión del signo negativo que
precede a :
De debe a que lo que nos interesa es el
valor absoluto de V.
CAPACITANCIA (CONT.)
∫
∫
⋅
⋅
==
LE
SE
d
d
V
Q
C
ε
0
∫ ⋅−= LE dV
La obtención de C implica :
1.Presuponer Q y calcular V en
términos de Q → implica Ley de
Gauss.
2.Presuponer V y se calcula Q en
términos de V → implica ecuación de
Laplace.
Cápsula:
Los valores comunes de capacitancia
son fracciones muy pequeñas de un
farad, y consecuentemente es más
práctico utilizar unidades como: μF,
nF, pF.

23. 21
Capacitancia Capacitor Placas Paralelas
Sean dos planos conductores paralelos
infinitos, con una separación d entre ellos.
El conductor inferior se localiza en z=0 y
el superior en z=d, como se muestra en la
siguiente figura:
Una carga superficial +ρs se encuentra en
un conductor y -ρs en el otro.
CAPACITANCIA (CONT.)
Recordemos que en este escenario
se produce un campo eléctrico
uniforme igual a:
Como D se dirige hacia arriba, la
carga del plano inferior es
positiva, resultando que:
Por otro lado, la diferencia de
potencial entre los planos es:
z
S
aE
ε
ρ
=
SzN DD ρ==
ddzdV s
d
s
ε
ρ
ε
ρ
=−=⋅−= ∫∫
0
LE

24. 22
Capacitancia Capacitor Placas
Paralelas (Cont.)
La carga total es infinita en
cualesquiera de los planos
infinitos.
Suponiendo que los planos
tienen una superficie S, cuya
dimensión lineal es mayor a la
distancia d, entonces se puede
considerar una distribución de
carga uniforme en todos los
puntos alejados de la orilla
(carga insignificante en esta
región).
CAPACITANCIA (CONT.)
Esto es:
También:
Por tanto:
d
S
V
Q
C
dV
SQ
s
s
ε
ε
ρ
ρ
==
=
=
d
S
Ed
ES
Ed
DS
V
Q
C
ESDSSQ s
εε
ερ
====
===
d
S
C
ε
=La capacitancia es independiente del potencial y de
la carga total porque es constante.

25. 23
D6.4
Encontrar la permitividad relativa de un material dieléctrico utilizado en un
capacitor de placas paralelas si:
(a)S=0.12 m2
, d=80 μm, V0=12 V y el capacitor contiene 1μJ de energía.
(b)La densidad de energía almacenada es de 100 J/m3
, V0=200 V y d=45 μm.
(c)E=200 kV/m, ρs=20 μm/m2
y d=100 μm.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)1.05
b)1.14
c)11.3
CAPACITANCIA (CONT.)

26. 24
Capacitancia Cable Coaxial
Capacitancia Capacitor Esférico
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA






=
=





==
a
b
L
C
L
Q
a
b
V
V
Q
C L
L
ln
2
ln
2
πε
ρ
πε
ρ






−
==






−==
ba
ba
abr
rr
V
Q
C
rr
Q
V
r
Q
E
11
4
11
44 2
πε
πεπε
Si la esfera exterior es de radio
infinito [rb→∞], se obtiene la
capacitancia de un conductor, esto
es:
rrC a πεπε 44 ==

27. 25
D6.5
Demostrar capacitancia equivalente en un capacitor de placas paralelas con 2
dieléctricos e interfase común :
(a)paralela a las placas conductoras
(b)Normal a las placas conductoras
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)Capacitancia equiv. en serie.
b)Capacitancia equiv. en paralelo.
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)

28. 26
D6.6
Determinar la capacitancia de:
(a)Un cable coaxial 35B/U de 1 pie de longitud, que tiene un conductor interno
de 0.1045 pulgadas de diámetro interno, un dieléctrico de polietileno (εr=2.26) y
un conductor externo con diámetro interno de 0.680 pulgadas.
(b)Una esfera conductora de 2.5 mm de diámetro cubierta con una capa de
polietileno de 2 mm de espesor rodeada por una esfera conductora de radio
igual a 4.5 mm.
(c)Dos placas conductoras metálicas de 1 por 4 cm con un espesor despreciable,
entre las cuales existen tres capas de dieléctrico, cada una de 1 por 4 cm y 0.1
mm de espesor, con constantes dieléctricas de 1.5, 2.5 y 6.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)20.5 pF
b)1.41 pF
c)28.7 pF
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)

29. 27
Capacitancia Línea 2 Hilos
Comencemos analizando dos líneas de
carga de longitud infinita, como se
muestra en el siguiente gráfico:
Una línea de carga pasa por x=a y la
otra por x=-a. Ambas descansan en el
plano xz.
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
El potencial de una sola de las líneas
cuya referencia cero se ubica en un
punto de radio Ro, es:
Campos de potencial combinados:
HaciendoR10=R20 localizamos la
referencia cero a igual distancia de
cada línea (superficie plano x=0), se
tiene:






=
R
R
V oL
ln
2πε
ρ
120
210
2
20
1
10
ln
2
lnln
2 RR
RR
R
R
R
R
V LL
πε
ρ
πε
ρ
=





−=
1
2
ln
2 R
R
V L
πε
ρ
=

30. 28
Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.)
Expresando R1 y R2 en función de las coordenadas x e y, se tiene:
Supongamos una superficie equipotencial V=V1 y que el parámetro
adimensional K1 =f(V1). Sea el artificio K1:
De manera que:
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
( )
( )
( )
( ) 22
22
22
22
ln
4
ln
2 yax
yax
yax
yax
V LL
+−
++
=
+−
++
=
πε
ρ
πε
ρ
LV
eK ρπε /4
1
1
=
( )
( ) 22
22
1
yax
yax
K
+−
++
=

31. 29
Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.)
Multiplicando y agrupando se verifica:
Completando cuadrado:
Puesto que la superficie equipotencial V=V1 no depende de z (cilindro) y corta al
plano xy en un círculo de radio b, se expresa:
Centro x=h, y=0:
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
0
1
1
2 22
1
12
=++
−
+
− ay
K
K
axx
2
1
12
2
1
1
1
2
1
1








−
=+





−
+
−
K
Ka
y
K
K
ax
1
2
1
1
−
=
K
Ka
b
1
1
1
1
−
+
=
K
K
ah

32. 30
Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.)
Considere un plano conductor a
potencial cero ubicado en x=0 y un
cilindro de radio b con potencial V0
con su eje situado a una distancia h del
plano. En este caso se tiene:
Recordando que el potencial del
cilindro V0 es:
Despejando:
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
b
bhh
K
bha
22
1
22
−+
=
−=
LV
eK ρπε /2
1
0
=
1
0
ln
4
K
V
L
πε
ρ =
Para una longitud L en la dirección z,
la capacitancia entre el cilindro y el
plano es:






=







 −+
=
===
−
b
h
L
C
b
bhh
L
C
K
L
K
L
V
L
C L
1
22
110
cosh
2
ln
2
ln
2
ln
4
πε
πε
πεπερ

33. 31
Ejercicio
El círculo de la figura siguiente
muestra un sección transversal de un
cilindro de radio de 5 m que se
encuentra a un potencial de 100 V en el
vacío, con su eje a 13 m de distancia de
un plano con potencial cero. Así, b=5,
h=13, V0=100.
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
Solución
1.Primero se localiza la línea de carga
equivalente:
2.Se determina el valor del parámetro
de potencial K1:
3.Se determina la densidad de carga
lineal:
mbha 12513 2222
=−=−=
25
5
5
51313
1
2222
1
=
=
−+
=
−+
=
K
b
bhh
K
( )
mnC
K
V
L
L
/46.3
25ln
10010854.84
ln
4 12
1
0
=
×
==
−
ρ
ππε
ρ

34. 32
Solución …
4. Se determina la capacitancia entre el
cilindro y el plano:
5. Ahora identifiquemos la superficie
equipotencial cilíndrica localizada a
50V, con sus nuevos parámetros K1, h
y b. Primero:
Nuevo radio
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
5. Cont…
( ) mpF
b
h
C /6.34
5
13
cosh
10854.82
cosh
2
1
12
1
=






×
=






=
−
−
−
ππε
( ) 5
912
1 1046.3/5010854.84/4
1 ===
−−
××πρπε
eeK LV
m
K
Ka
b 42.13
15
5122
1
2
1
1
=
−
×
=
−
=
m
K
K
ah 18
15
15
12
1
1
1
1
=
−
+
=
−
+
=

35. 32
Solución …
6. Recordemos que el campo eléctrico
corresponde a menos gradiente de
potencial:
Desarrollamos y determinamos la
densidad de flujo eléctrico:
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
7. Evaluando Dx en x=h-b, y=0
obtenemos la densidad de carga
superficial máxima:
( )
( ) 





+−
++
−∇= 22
22
ln
4 yax
yaxL
πε
ρ
E
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 





+−
+−
−
++
++
−==






+−
+−
−
++
++
−=
2222
2222
2
2222
4
yax
yax
yax
yax
yax
yax
yax
yax
yxyxL
yxyxL
aaaa
ED
aaaa
E
π
ρ
ε
πε
ρ
( ) ( ) 





−−
−−
−
+−
+−
=
−= =−=
22max,
0,,max,
2 abh
abh
abh
abh
D
L
S
ybhxxS
π
ρ
ρ
ρ
( ) ( ) 





−−
−−
−
+−
+−×
=
−
22
9
max,
12513
12513
12513
12513
2
1036.3
π
ρS
2
max, /165.0 mnCS =ρ

36. 33
Solución …
8.Evaluando la densidad de carga
superficial mínima, se tiene:
9.Comparando ambas densidades, se
verifica que:
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)
10. Determinando la capacitancia para
b<<h, se tiene:
( ) ( )
2
min,
22
9
min,
0,,min,
/073.0
6
12513
30
12513
2
1046.3
mnC
D
S
S
ybhxxS
=





 −+
−
++×
=
=
−
=+=
ρ
π
ρ
ρ
min,max, 25.2 SS ρρ =
( )hb
b
h
L
C
b
h
b
bhh
<<




=




=







 −+
2
ln
2
2
lnln
22
πε

37. 34
D6.6
Un cilindro conductor de radio igual a 1
cm y a un potencial de 20V se ubica
paralelamente a un plano conductor que
está a potencial cero. El plano está a 5 cm
de distancia del eje del cilindro. Si los
conductores se encuentran inmersos en un
dieléctrico perfecto cuya εr=4.5, encontrar:
(a)La capacitancia por unidad de longitud
entre el cilindro y el plano.
(b)Densidad de carga superficial máxima
en el cilindro.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)109.2 pF/m
b)42.6 nC/m
VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)

38. GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN