Modleo de Plano de Aula.

1. Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
Curso: Matemática – Licenciatura
Disciplina: MTM7122 Laboratório de Matemática II (PCC 72
horas)
Professor: Marcelo Sobottka
Aluno: Djeison Machado Matrícula: 08235013
PLANO DE AULA
Conteúdo
Análise Combinátoria – Combinações Simples e com Repetição
Pré-requisitos
Fatorial de um números, princípio multiplicativo da contagem, arranjos e
permutações.
Turma
2ª série do Ensino Médio
Disciplina
Matemática
Duração prevista
Uma aula de 50 minutos
Objetivos
 Aprender os métodos de resolução de problemas de combinações simples
e com repetição;
 Identificar se o problema é uma combinação simples ou com repetição;
 Desenvolver habilidades na resolução dos problemas propostos.

2. Metodologia de Ensino
Aula expositiva dialogada.
Recursos
A) Materiais
Os problemas, exemplos e métodos apresentados deverão ser mostrados em
apresentações gráficas no computador com ilustrações das situações para facilitar a
compreensão.
B) Livro
Deverá ser utilizado como apoio o livro didático escolhido pela Escola. Caso o
livro não aborde o conteúdo desta aula, poderá ser utilizado o livro
 “Matemática: Ciência e Aplicações” Volume 2 do Ensino Médio.
Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e
Nilze de Almeida.
Atual Editora – 2004
Desenvolvimento da Aula
A aula será dividada em três etapas: problematização, construção do
conhecimento e resolução de exercícios.
A) Problematização
A problematização dar-se-á através da exposição dos seguintes problemas:
Problema 1: Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes.
a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?
Solução: Vamos chamar de P1, P2 e P3 as pizzas que podem ser escolhidas pela família.
De cada 15 possibilidades a família pode escolher 3 delas. Então, para resolver esse
problema basta notar que selecionar 3 dos 15 sabores equivale a dividir os 15 sabores
em um grupo de 3 sabores, que são os selecionados, e um grupo de 15-3=12 sabores,
que são os não selecionados. Assim, diz-se que cada possível escolha da família é uma
combinação de 15 pizzas tomadas três a três que pode ser calculada pela seguinte
expressão:

3. Problema 2: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em um local que os
oferece em 4 sabores?
Solução:
(1ª maneira de resolver o problema) Sejam a, b, c e d os sabores oferecidos. Vamos
enumerar todas as possíveis escolhas.
aaa, bbb, ccc, ddd, aab, aac, aad, bba, bbc, bbd, cca, ccb, ccd, dda, ddb, ddc, abc, abd,
acd, bcd
Logo, o total de possibilidades é 20.
(2ª maneira de resolver o problema) Seja xi, i = 1, 2, 3, 4 a quantidade de sorvetes do
sabor i que serão escolhidas. Contar as possibilidades das escolhas dos sabores é o
mesmo que contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação x 1 + x2 +
x3 + x4 = 3. Nosso objetivo agora é contar quantas são as soluções inteiras não negativas
da equação. Vamos representar por bolinhas e traços cada uma das soluções. A solução
(1, 2, 0, 0), por exemplo, possi representação do tipo ( . | .. | | ). Sendo assim, contar o
número de soluções é o mesmo que contar quantas são as permutações de 6 objetos,
sendo 3 traços e 3 bolinhas. Logo o total de soluções da equação (e consequentemente o
total de escolhas para os 3 sorvetes é
B) Construção do conhecimento
1. O problema das combinações simples
De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos de n objetos dados?
Solução: Sejam a1, a2, a3, ..., an os objetos. De quantas maneiras podemos escolher p
desses objetos? Escolher p objetos entre n objetos é equivalente a dividir n objetos em
dois grupos: um com os p objetos selecionados e outro com os n-p objetos descartados.
Uma resposta preliminiar para o problema seria n! Note que nessa contagem cada
divisão foi contada vezes, que são as possíveis permutações dos elementos
em seus respectivos grupos. Portanto, o total de modos de escolher p objetos entre n
objetos dados é
( ).

4. 2. Combinações completas
Vamos denotar por o número de maneiras de selecionar p objetos (nem
todos distintos), dados n objetos distintos. Como já vimos, podemos interpretar o
número como sendo o número de soluções inteiras não negativas da equação x 1 +
x2 + ... + xn = p. Cada solução da equação acima pode ser representada por uma
permutação de p bolinhas e n-1 tracinhos:
.
3. Recomendações básicas
a) Postura: devemos nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a tarefa solicitada
pelo enunciado do problema;
b) Divisão: dividir a tarefa solicitada pelo problema, sempre que possível, em etapas
mais simples;
c) Não adiar dificuldades, pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em
grandes dificuldades da resolução dos problemas.
C) Resolução de exercícios.
Os alunos deverão ser divididos em duplas para resolverem os seguintes
exercícios:
1. Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.
a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas?
Solução: O número de maneiras de escolher os meninos é . O número de
maneiras de escolher as meninas é . Pelo princípio multiplicativo da contagem, o
resulto procurado é: .
b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino?
Solução: O número total de comissões de quatro alunos, sem nenhuma restrição, é
. O número de comissões em que não aparecem meninos é , pois as vagas na
comissão serão preenchidas pelas meninas. Dessa forma, a diferença
.
2. Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação x + y + z ≤ 5?
(resolva de duas formas)
Solução:
1ª maneira: As soluções da inequação x + y + z ≤ 5 dividem-se em 6 grupos:

5. x+y+z=5
x+y+z=4
x+y+z=3
x+y+z=2
x+y+z=1
x+y+z=0
Portanto, a resposta é
.
2ª maneira: Dada uma solução da inequação x + y + z ≤ 5, defina a folga da solução
como sendo f = 5 – (x + y + z). Note que existe uma correspondência biunívoca
entre o número de soluções da inequação x + y + z ≤ 5 e o número de soluções da
equação x + y + z + f = 5. Logo, o total de soluções é .