1. KELOMPOK V
 Delima panjaitan (09 050 148)
 Subanul Waton (09 050 164)
 Wanti roulina (09 050 137)
 Butet ita maluhae ( 09 050 187)
 Abinhot simamora (09 050 157)
 Anti sihotang (09 050 181)
 Elvira alia ( 08 050 014)

2. I. Pemetaan atau Fungsi
Merupakan suatu aturan yang
mengawankan setiap anggota / unsur h di H
dengan unsur tunggal k= f(h) di K.
f=H→K
Dimana :
 H disebut domain
 K disebut kodomain
 k = f(h) disebut bayangan unsur h di H oleh f

3.  Jika jangkauan f (H) = K, Maka f disebut onto
atau surjektif.
 Jika Sembarang pasangan h1,h2 € H dan h1 ≠
h2 maka fungsi itu disebut injektif atau 1-1
 Jika fungsi tersebut injektif dan surjektif maka
fungsi itu di sebut bijektif atau koresponden
satu-satu.

4. 1. Pemetaan f : H → H
Disebut pemetaan identitas jika f terdefinisi
oleh persamaan maka f(x) = x ,x € H
2. Pemetaan f : H → H
Disebut pemetaan konstanta jika f
terdefinisikan oleh persamaan f (x) = k , x € H dan
k konstanta

5. II. Definisi Barisan
Jika dalam pelajaran SMA kita mengetahui bahwa
barisan itu adalah
a1,a2,a3,a4,...
3,5,7,9,…
Yang dibentuk dengan cara atau aturan tertentu.
Tapi saat ini untuk mendefinisikan suatu barisan kita
akan menggunakan beberapa definisi, yaitu:

6. Definisi 2.1
Dengan menggunakan Notasi atau disebut pemetaan
terdaftar
f : Io → A
I = { 1,2,3,4,.....}disebut him bil asli urutan boleh sembarang
Io = < 1,2,3,…n,….> disebut him bil asli urutan alami
A = < a1,a2,a3,….an,…> disebut bil him asli
f = < (1,a1),(2,a2),(3,a3),(n,an),,,> disebut himpunan bil
sembarang
Definisi 2.2
Suatu barisan adalah suatu himpunan yang telah diberi
daftar/di urutkan.
Tetapi tidak setiap himpunan dapat dikatakan barisan,agar
suatu himpunan dapat dikatakan barisanmaka harus ada
terdapat suatu pengurutan titk-titik dalam himpunan itu
yang di peroleh dari urutan alami dari himpunanbilangan
asli melalui suatu pemetaan daftar.

7. Definisi 2.3
Barisan selalu di tandain oleh < an>
Teorema 2.1
Io adalah sebuah barisan.
Dimana pemetaan terdaftarnya adalah pemetaan
identitas dimana,
f : Io → Io, n € Io, f(n) = n.
Contoh 1.:
1. DiDefenisikan pemetaan onto f : lo → l , n € lo

8. f (n) = n+ 1 jika n genap
n-1 jika n genap
f (n) = n- (-1) pangkat n, n € Io
Maka jika n=1, f(1) = 1- (-1) = 2
n=2 ,f(2) = 2 – 1 = 1
n=3 ,f(3) = 3 – (-1)= 4
dst.....
Jadi ,pemetaan di f untuk menentukan barisan nya
adalah < 2,1,4,3,6,5,....>
Note : Ada kemungkinan mendifinisikan suatu barisan
yang merupakan himpunan terurut dari lo.

9. Contoh 2..
Misalkan A adalah himpunan bilangan asli genap, yang
didefinisikan dari pemetaan onto f : lo → A, n € lo dan
f(n)= 2n dimana lo<1,2,3,4,.....n>
Tentukanlah barisannya..
Penyelesaiannya:
f(n) = 2n
n= 1 → f(1) = 2
n= 2 → f(2) = 4
n= 3 → f(3) = 6
n = 4 → f(4) = 8
Dst......
Maka barisannya adalah ..
<2,4,6,8,.....>
Jika diBandingkan A dgn Io maka keduanya merupakan
A C Io

10. Definisi 2.4..
Barisan a = < ni > adalah subbarisan dari lo jika dan
hanya jika :
1.Setiap ni, merupakan suatu bilangan asli A C I.
2. Untuk setiap bilangan asli i, ni < ni + 1
Definisi 2.5
Suatu barisan <bn> adalah subbarisan atau barisan-
barisan dari barisan <an> jika dan hanya jika
terdapat suatu barisan <n1> dari lo sedemikian
rupa sehingga bi = ani , i € A.

11. Contoh 1
Misalkan <an> adalah sebuah barisan : yakni <an>=
<a1,a2,a3,....>
Misalakn <ni> adalah subbarisan dari
lo, <ni>=<3,6,9,13..> didefinisikan ni=3i
Tentukanlah subbarisan <bi> dari barisan <ai>
,dimana untuk setiap i, bi = a3i..
Penyelesaian :
bi = a3i
bi = ani
Maka, b1 = a3
b2 = a6
b3 = a9 , dst....
Jadi sub barisan <bi> = <a3,a6,a9,..> yang terambil
dari setiap suku ke tiga dari barisan <an>.

12. Definisi 2.6
Semua barisan yang didefinisikan secara eksplisit
adalah merupakan sebuah barisan dengan suku-
suku yang berlaian.
Jika <an> adalah suatu barisan sedemikian rupa
sehingga ai ≠ aj apabila i ≠ j.
Maka <an> disebut sebuah barisan dengan suku-
suku yang berlainan.

13. Contoh 1.
Misalkan suatu k bilangan yang diketahui barisannya
adalah k =<k1,k2,k3,...> untuk setiap n € lo,f(n) = k.
Maka definisikanlah suatu pemetaannya dalam sebuah
daftar .
Penyelesaian:
k= <k1,k2,k3,...> , n € lo
f(n) = 1 jika n gajil
0 jika n genap
Maka f (n) = { 1 – (-1) pangkat n} / 2
n=1 → f(1) = 1
n=2 → f(2) = 0
n=3 → f(3) = 1
n=4 → f(4) = 0, dst..............
Maka pemetaan barisannya adalah <1,0,1,0,1,0,...>

14. Definisi 1
 Bilangan nyata b adalah batas atas untuk barisan
<xn> jika dan hanya jika xn ≤ b untuk setiap n.
 Bilangan real a adalah batas bawah untuk barisan
<xn> jika dan hanya jika xn ≥ a untuk setiap n.
Sedangkan barisan <xn> adalah terbatas ke atas jika
dan hanya jika barisan mempunyai batas atas :dan
Terbatas ke bawah jika dan hanya jika barisan
mempunyai batas bawah..
Terbatas jika dan hanya jika barisan itu memiliki
batas atas dan batas bawah.

15. Perhatikan barisan <an> dimana an= 2 + 3/n ,untuk
setiap n € lo..
Carilah pemetaan barisannya dan batas atas dan
bawahnya.
Penyelesaian:
Pemetaan barisannya= <5, 3 ½ , 3, 2 ¾,...>
Jadi
 barisan ini terbatas keatas dengan batasnya : 5,6,7
,...
 Barisan ini terbatas ke bawah dengan batasnya :
2,1,0,...
 Sehingga <an> terbatas.

16. Barisan ,xn. Adalah barisan terbatas jika dan hanya
jika terdapat bilangan tag negatif M sedemikian
rupa sehingga Ixnl ≤ M untuk setiap n.
BUKTINYA:
Diketahui <xn> terbatas,sehingga menurut definisi 1
barisan mempunyai batas atas M1 dan M2 batas
bawahnya dengan sifat Xn ≤ M1 Dan Xn ≥ M2
untuk setiap n € lo..
Tetapkan M = Maks ( M1,M2) Maka;
-M ≤ Xn ≤ M atau lXnl ≤ M
Batas atas M
Batas bawah -M

17. Setiap subbarisan dari barisan yang terbatas adalah
terbatas,ternyata setiap batas untuk suatu barisan
induknya adalah batas atas untuk setiap
subbarisan ,dan setiap batas bawah untuk barisan
induknya adalah batas bawah untuk setiap
subbarisannya.
BUKTI :
Misalkan <bi> adalah subbarisan dari <an> yang
terbatas.
Sama dengan teorema 1.

18.  Suatu barisan < Xn > adalah monoton tidak turun
jika dan hanya jika Xn ≤ Xn + 1, n € asli
 Suatu barisan <Xn> adalah monoton tidak
naik jika dan hanya jika Xn ≥ Xn + 1 , n € asli
 Suatu barisan adalah monoton jika dan
hanya jika barisan itu monoton tidak turun
atau monoton tidak naik.

19. Suatu barisan monoton tidak turun adalah barisan
yang suku-suku nya boleh sama atau naik,tetapi
tidak pernah turun , <1,2,2,3,3,3......> disebut
barisan monoton tidak turun..
Dan <1,1,1,1,...> disebut barisan monoton tidak turun
dan tidak naik.

20. 1. Suatu barisan monoton <Xn> adalah monoton
naik jika dan hanya jika Xn < Xn +1 ,Untuk semua
bil.asli n
2. Suatu barisan <Xn> adalah monoton turun jika
dan hanya jika Xn> Xn + 1 untuk setiap bil.asli n
3. Suatu barisan < Xn> adalah monoton langsung
jika dan hanya jika barisan itu monoton naik atau
turun.
4. Teorema 3
5. Setiap subbarisan dari I o adalah monoton naik.

21. Teorema 4
1. Setiap subbarisan dari barisan monoton tidak naik
adalah monoton tidak naik
2. Setiap subbarisan dari barisan monoton tidak
turun adalah monoton tidak turun
3. Setiap subbarisan monoton naik adalah monoton
naik
4. Setiap subbarisan monoton turun adalah monoton
turun

22. 1. Contoh 1.
2. Diketahui sebuah barisan <1,2,1,4,1,6,1,8....>
tentukan apakan barisan ini dapat memuat
subbarisan monoton ?
3. Penyelesaiannya:
4. <1,2,1,4,1,6,1,8,.....> tidak lah merupakan
subbarisan monoton,tetapi memuat subbarisan
monoton tidak turun <1,1,1,1,..> dan juga memuat
subbarisan monoton naik <2,4,6,8,..>
5. Note : Setiap barisan bilangan real harus memuat
subbarisan monoton.

23. 1. BILANGAN AKSIOMA BAIK ( well-Ordering)
untuk Io
2. Himpunan bilangan asli lo adalah well-
ordered,yakni setiap himpunan tak hampa tetapi
mempunyai elemen terkecil
3. AKSIOMAN PILIHAN (Axiom of choice) untuk
barisan
4. Misalkan < An > suatu himpunan bagian tag
hampa dari semesta U. Maka terdapatlah
subbarisan <pn> terdiri atas titik-titik dari U
sedemikian rupa sehingga diberikan n € lo, Pn €
An.

24. Misalnya:
<an,0> = <a1,a2,a3,a4,....>
<an,1> = < a2,a3,a4,a5,...>
<an,2> = < a3,a4,a5,a6,...>
<an,3> = <a4,a5,a6.a7,....>
Note : Bahwa setiap barisan dalam daftar ini adalah
suatu subbarisan dari semua barisan yang
mendahului; yakni untuk setiap bilangan asli
n,Jika k adalah bil cacah <an,N+k> adalah
subbarisan dari <an,N>.

25. Misalkan <an> adalah barisan
sedemikian rupa sehingga untuk
setiap bilangan cacah N terdapat
suatu elemen dari barisan <an,N>
yang merupakan batas bawah dari
barisan <an>. Maka <an>
mempunyai subbarisan monoton
tidak turun.

26. Misalkana <an> adalah barisan dengan
sifat berikut:
1. Terdapat bilangan cacah N sedemikian
rupa sehinga tidak ada elemen dari
barisan < an,N> yang menjadi batas
bawah untuk <an,N>. Maka barisan
<an> mempunyai suatu barisan
monoton turun.

27. TEOREMA 5
Setiap barisan bilangan real mempunyai suatu
subbarisan monoton.
BUKTI :
Misalkan < an> Sembarang barisan bilangan real.
Maka tepat salah satu peryataan di bawah ini
adalah benar.
1. Untuk setiap bilangan cacah N , terdapat suatu
elemen dari barisan <an,N> yang merupakan batas
bawah untk barisan <an,N>, Disebut subbarisan
monoton tidak turun(lemma1)
2. Terdapat suatu bilangan cacah N sedemikian rupa
sehingga tidak ada elemen dari barisan <an,N>
yang merupakan batas bawah dari barisan
<an,N>,disebut subbarisan monoton
turun.(lemma2)