Este documento trata sobre ondas sonoras. Explica que las ondas sonoras son ondas mecánicas de compresión que viajan a través del aire y otros materiales con frecuencias entre 20 Hz y 20 kHz. Las ondas de sonido pueden describirse en términos de variaciones en la presión del aire o en el desplazamiento de las moléculas de aire. Deriva la ecuación de ondas para el sonido y muestra que la velocidad de propagación de las ondas de sonido depende de la presión y la dens

1. Capítulo 3
Sonido
3.1. Ondas sonoras
Las ondas mecánicas con frecuencias comprendidas entre los 20 Hz y los 20 kHz son particularmente
importantes porque causan la sensación de ‘oir’ en nuestros oídos; son ondas sonoras. La mayor parte de
ellas se transmiten por el aire, aunque pueden hacerlo a través de sólidos y líquidos. El sonido, por lo común,
se define como una perturbación de compresión que viaja a través de un material de forma que es capaz de
poner en movimiento el tímpano humano produciendo la sensación de audición. Como ya hemos dicho, el
material por el que normalmente viajan es el aire.
Esas ondas de compresión pueden tener frecuencias superiores a los 20 kHz, pero su comportamiento no
difiere esencialmente con el ‘sonido’. La diferencia es que oscilan demasiado rápido como para que el tímpano
pueda seguirlas, y por tanto no las oimos. Son los ultrasonidos. La ondas de frecuencias inferiores a 20 Hz
tampoco las oímos, y son llamadas ondas infrasónicas o subsónicas.
En lo que sigue nos centraremos principalmente en la propagación de ondas mecánicas por los gases,
como el aire en particular, y en principio no nos limitaremos a las ondas sonoras, sino a cualquier onda de
compresión, ya sea sonora, ultrasónica o subsónica.
Hay infinidad de fuentes que pueden produ-
cir ondas sonoras. Para ver como aparecen, con-
sideremos el dispositivo de la figura 3.1. El tubo
de la figura está lleno de aire. Éste es empujado
periódicamente por un pistón con frecuencia ω.
A medida que el pistón se mueve hacia la dere-
cha del tubo, comprime el aire, enviando dicha
compresión a lo largo del tubo. Cuando lo hace
hacia la izquierda, el aire a su lado se expande Figura 3.1: Dispositivo para crear ondas sonoras.
(rarefacción). La onda consta de compresiones y
rarefacciones alternadas que se propagan a lo largo del tubo.
Es evidente el carácter longitudinal de este tipo de ondas. Nótese que, aunque las compresiones y rare-
facciones viajen una larga distancia por el tubo, las partículas de fluido (aire en este caso) no se desplazan
en promedio. Repiten un movimiento hacia adelante y hacia atrás, periódico, en la misma dirección que la
de propagación de la onda, tal y como se indica en la figura 3.2.
Se puede describir la onda sonora por los desplaza-
mientos Ψ de las moléculas de aire desde sus posiciones
de equilibrio. Si se trata de una onda armónica, se tiene:
Ψ(x, t) = A0 sen(kx − ωt) (3.1)
donde A0 representa el máximo desplazamiento de la Figura 3.2: Desplazamiento de las moléculas de aire.
partícula respecto a su posición de equilibrio, y k es el
34

2. número de onda (k = 2π/λ), siendo la longitud de onda λ la distancia entre, por ejemplo, dos máximos
consecutivos de compresión.
En una onda sonora varía la presión local del gas (aire). Si en ausencia de sonido la presión de equilibrio
es p0 , y si p(x, t) representa la presión instantánea en el punto x, entonces p′ (x, t) = p(x, t)−p0 es la variación
de presión debida a la onda. Para una onda armónica, puede escribirse
p′ (x, t) = p′ ax sen(kx − ωt + φ)
m´ (3.2)
donde p′ ax es la máxima variación de presión debida al sonido y ocurre en los máximos de compresión. Para
m´
las ondas sonoras, la perturbación que se propaga puede caracterizarse indistintamente como (3.1) o (3.2), o
incluso como variaciones de densidad. Todas estas descripciones deben estar, por tanto, relacionadas.
En la práctica, el pistón que nos sirvió de ejemplo debe ser sustituido por una cuerda de guitarra, un
altavoz, la boca de una persona, etc. En lugar de ser ondas planas, como las del ejemplo del cilindro, podrían
ser de distintos tipos en función del foco productor del sonido.
3.2. La ecuación de ondas para el sonido. Velocidad de propagación.
Para encontrar la ecuación de las ondas so-
noras, apliquemos la segunda ley de Newton a
una situación simple, como la de la figura 3.3.
Tomemos la masa de aire comprendida entre x1
y x2 = x1 + δx en el tubo, al que supondremos
una sección recta A. Supongamos que una onda
pasa a través de la región que inicialmente estaba
entre x1 y x1 + δx. La fuerza sobre el extremo
izquierdo de ella será A(p0 + p′ ) y sobre el dere-
1
cho será A(p0 + p′ ), donde hemos escrito que la
2
presión en el extremo izquierdo p1 viene dada por Figura 3.3: Una porción de gas perturbada por una onda
p1 = p0 + p′ , y en el derecho p2 por p2 = p0 + p′ , sonora.
1 2
pues sólo nos interesan las perturbaciones de pre-
sión. La fuerza neta sobre ese elemento del gas será:
F = A p′ − p ′
1 2 (3.3)
que, de acuerdo con la segunda ley de Newton, debe ser igual a la masa encerrada por el elemento de gas
multiplicada por la aceleración del elemento. En cuanto a la masa m del elemento, debe ser m = ρAδx, donde
ρ es la densidad del gas, porque obviamente Aδx es el volumen correspondiente. En cuanto a la aceleración,
si el elemento por efecto de la onda ha sufrido un desplazamiento Ψ(x, t), la aceleración será simplemente la
segunda derivada de Ψ(x, t) con respecto al tiempo t. Por lo tanto, tendremos que:
∂ 2 Ψ(x, t)
A p′ − p′ = ρAδx
1 2 (3.4)
∂t2
Para poder llegar a una ecuación como la ecuación de ondas (vease capítulo 2) es necesario relacionar
las variables p′ y Ψ. Para ello, vamos a recurrir a una relación general en fluidos, para los que se define el
coeficiente de compresibilidad B en la forma:
dp
B = −V (3.5)
dV
Este coeficiente desempeña en cierta forma el papel de constante elástica de un muelle. En efecto, si escribimos
la ecuación anterior como:
∆V
∆p = −B (3.6)
V
35

3. donde hemos integrado para un pequeño volumen ∆V suponiendo B constante, dicha ecuación nos dice cómo
responde el sistema, es decir, el cambio relativo de volumen, para un cambio de presión ∆p.
En los gases, la ecuación (3.5) no está unívocamente definida. Puesto que p y V están relacionados a través
de la ecuación de estado pV = nRT , sus variaciones no son independientes en general. Así, por ejemplo,
podemos calcular estas variaciones manteniendo constante la temperatura. Se define entonces el coeficiente
de compresibilidad isotérmico:
∂p
BT = −V (3.7)
∂V T =cte
También podríamos haber comprimido el gas de forma adiabática (sin aportar ni ceder calor), y en ese
caso se puede definir el coeficiente de compresibilidad adiabático como
∂p
BS = −V (3.8)
∂V S=cte
donde S designa a la entropía, porque en un proceso adiabático reversible ésta permanece constante.
Las compresiones y rarefacciones de un gas por el que se propaga una onda sonora (de compresión)
tienen lugar preferentemente de forma adiabática. La razón es que los gases no son muy buenos conductores
térmicos, como ya comentamos en el capítulo 3, y las compresiones tienen lugar tan rápidamente que no hay
tiempo para pérdidas o ganancias de calor. Así, el coeficiente que nos interesa es BS .
Con referencia a la figura 3.3, tenemos que preguntarnos por cuánto cambia el volumen de nuestro
elemento al pasar de la posición I a la posición II. Hay que hacer notar que ese será el ∆V de (3.6). En I,
nuestro elemento tiene un volumen Aδx. En II, será Aδ ′ x. De la misma figura 3.3, puede verse fácilmente
que δ ′ x = Ψ(x2 ) + δx − Ψ(x1 ). Por lo tanto, el volumen habrá aumentado un ∆V dado por:
∆V = Aδ ′ x − Aδx = A(Ψ(x2 ) − Ψ(x1 )) = A∆Ψ (3.9)
y el aumento relativo de volumen será
∆V A∆Ψ ∆Ψ
= = (3.10)
V Aδx δx
El cociente ∆Ψ/δx es la variación del desplazamiento Ψ con la posición x. En el límite δx → 0 este término
se convierte en la derivada de Ψ con respecto a x. Así, resulta que
∆V ∂Ψ
= (3.11)
V ∂x
Si hacemos uso de (3.6), llegamos a
∂Ψ
∆p = −BS (3.12)
∂x
Analizemos ahora la ecuación (3.4). En ella, los términos p′ y p′ representan variaciones de presión ∆p
1 2
con respecto a la presión en ausencia de sonido, uno en x1 y otro en x2 . Por lo tanto, usando (3.12) podremos
escribir:
∂Ψ ∂Ψ
p′ = −BS
1
′
, p2 = −BS (3.13)
∂x x=x1 ∂x x=x2
Usando estas expresiones para p′ y p′ en (3.4), esta ecuación se transforma en:
1 2
∂Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ(x, t)
BS − = ρδx (3.14)
∂x x=x2 ∂x x=x1 ∂t2
Teniendo en cuenta que δx es la separación entre x1 y x2 , si lo pasamos dividiendo al lado izquierdo de la
ecuación anterior, y hacemos el límite δx → 0, llegamos a
∂2Ψ ρ ∂2Ψ
= (3.15)
∂x2 BS ∂t2
36

4. que es la ecuación de ondas para el sonido, y que de acuerdo con la ecuación general de ondas vista en el
capítulo 2, se corresponde con ondas que se propagan con una velocidad v dada por:
BS
v= (3.16)
ρ
Es fácil ver que tal ecuación es dimensionalmente correcta. Para el aire, en condiciones normales se tiene que
v ≃ 340 m/s. La ecuación que acabamos de ver es general, pero para un sistema determinado, no tenemos
idea a priori del valor de BS . Vamos a considerar a continuación un caso particular.
En muchas ocasiones, el gas en el que tienen lugar las ondas sonoras se comporta como gas ideal. En
este caso, sabemos que un proceso adiabático viene dado por la relación pV γ = cte, donde γ = cp /cV es la
constante adiabática. Diferenciando esta relación entre p y V , tenemos
V γ dp + pγV γ−1 dV = 0 (3.17)
o bien
dp pγ
=− (3.18)
dV V
con lo que de acuerdo con (3.8),
∂p
BS = −V = pγ (3.19)
∂V S=cte
y finalmente, si aplicamos (3.16), la velocidad del sonido viene dada por
γp
v= (3.20)
ρ
Nótese que (3.16) es válida para cualquier fluido, en tanto que (3.20) solamente lo es para el caso de
gases ideales. La velocidad de propagación depende de la presión p a la que se encuentre el gas (que hemos
denominado de equilibrio, p0 ). Por ser esta presión función de la temperatura, la velocidad de propagación
también lo será.
Ejemplo 3.1
Encontrar la expresión de la velocidad del sonido para un gas ideal en función de la temperatura T .
Habrá tratar de reescribir (3.20). Como para un gas ideal se tiene que pV = nRT , si despejamos p y la sustitui-
mos en (3.20), tenemos:
γnRT
v=
ρV
Esta expresión es correcta, pero todavía incómoda, y en función de variables difíciles de medir como la densidad
del gas. Sin embargo, podemos manipular la expresión anterior un poco para simplificarla:
γnRT γRT γRT γRT
v= = ρV
= m = (3.21)
ρV n n M
donde hemos tenido en cuenta que ρV es la masa m de gas, y que al dividir la masa m por el número de moles
n, se obtiene el peso molecular M del gas. La expresión (3.21) es muy útil en problemas prácticos.
Ya comentamos al principio de este capítulo que una onda de compresión puede ser descrita en función
del desplazamiento de las partículas Ψ(x, t) o de las variaciones de presión p′ (x, t). Para el caso de ondas
37

5. armónicas las ecuaciones (3.1) y (3.2) dan la forma explícita de variación con x y t de ambas. Si admitimos
como correcta (3.1), entonces hemos de incluir la constante de fase φ en (3.2) para indicar que Ψ y p′ no tienen
por qué variar en fase. Por otro lado, puesto que ambas ecuaciones son descripciones del mismo movimiento,
debe existir una relación entre las amplitudes A0 y p′ ax de ambas variables; la ecuación (3.12) establece
m´
dicha relación. En particular, para ondas armónicas, si (3.1) es la descripción de Ψ(x, t), entonces:
π
p′ (x, t) = −BS A0 k cos(kx − ωt) = −BS A0 k sen(kx − ωt − ) (3.22)
2
que prueba la existencia de un desfase de π/2 entre Ψ y p′ . Comparando (3.22) con (3.2), resulta
p′ ax = BS A0 k
m´ (3.23)
o si hacemos uso de (3.16) y de que para ondas armónicas v = ω/k,
p′ ax = ρvA0 ω
m´ (3.24)
3.3. Energía e intensidad del sonido
Tanto la energía como la intensidad del sonido se pueden determinar considerando el ritmo al que se
realiza trabajo sobre una parte del fluido por el fluido del entorno cuando una onda está presente.
Sigamos considerando el caso simple de ondas en un tubo
(unidimensionales) de sección recta A, que se propagan hacia
la derecha, como en la figura 3.4. La fuerza ejercida sobre la
sección A en la posición x debido a la onda sobre su lado
izquierdo (la onda avanza hacia la derecha) será Fx = p′ A,
puesto que de toda la presión, solamente p′ es la asociada
a la onda. En esa misma posición las partículas del fluido se
desplazan con una velocidad vpart = ∂Ψ/∂t (no confundir con
la velocidad de propagación de la onda). La potencia, o sea,
el ritmo al que se efectúa trabajo sobre esa superficie, es el
ritmo al que fluye energía por esa sección: Figura 3.4: Una sección del gas.
dW ∂Ψ
= Fx vpart = p′ A (3.25)
dt ∂t
y la intensidad, o potencia por unidad de superficir, será:
∂Ψ
I = p′ (3.26)
∂t
que, haciendo uso nuevamente de (3.12) recordando que p′ es la variación de presión, se convierte en
∂Ψ ∂Ψ
I = −BS (3.27)
∂x ∂t
Para el caso de ondas armónicas, se llega a:
I = BS ωkA2 sen2 (kx − ωt)
0 (3.28)
que fluctúa con el tiempo t. El parámetro que interesa es la intensidad media promediada en un ciclo. Al
hacerlo, resulta que el promedio de la función seno al cuadrado es 1/2. Así, finalmente
1 1
I = BS ωkA2 = ρω 2 A2 v
0 0 (3.29)
2 2
38

6. que es una ecuación similar a la que ya obtuvimos para ondas mecánicas en cuerdas, con la diferencia que
µ, la densidad lineal de masa, se ve sustituida por ρ, la densidad volúmica de masa. La ecuación anterior
también puede darse en función de p′ ax usando las ecuaciones (3.23) y (3.24). El resultado es
m´
(p′ ax )2 ω
m´ (p′ a )2
I= = m´x (3.30)
2BS k 2vρ
Ejemplo 3.2
Los sonidos más débiles que el oído humano puede percibir (umbral de audibilidad) a una frecuencia de 1000
Hz corresponden a una intensidad de 10−12 W/m2 . Por el contrario, intensidades de 1 W/m2 pueden producir
dolor en el oído. Determinar las amplitudes de presión y desplazamiento correspondientes a esas dos inten-
sidades para esa frecuencia (ρaire = 1.23 kg/m3 ). Sol: 2.9×10−5 N/m2 y 1.1×10−11 m; 2.9 N/m2 y 1.1×10−5 m.
Para encontrar lo que nos piden, basta usar (3.29) y (3.30) con las dos intensidades que se nos dan en el
enunciado. Hay que tener en cuenta que ω = 2π1000 rad/s, y que vamos a considerar v = 340 m/s. Para el caso
de las amplitudes de desplazamiento se tiene que
2I
A0 =
ρω 2 v
Sustituyendo directamente los valores numéricos de las variables, se tiene que las amplitudes de desplazamiento
son 1,1 × 10−11 m y 1,1 × 10−5 m para la intensidad grande y pequeña respectivamente.
Para el caso de las amplitudes de presión, de (3.30) se tiene
p′ ax =
m´ 2vρI
por lo que sustituyendo los valores numéricos, obtenemos que las amplitudes de presión son 2.9 N/m2 y 2.9×10−5
N/m2 respectivamente.
La densidad de energía puede calcularse a partir de la relación general ρen = I/v, usando la ecuación
anterior.
3.3.1. Nivel de intensidad sonora
El oído humano es un instrumento de detección de ondas sonoras extremadamente desarrollado. No sólo
detecta una amplísima gama de frecuencias, sino que también es capaz de responder a un amplio rango de
intensidades. Un sonido apenas audible tiene una intensidad de unos 10−12 W/m2 . Llegando a intensidades
próximas a 1 W/m2 , el sonido produce dolor. Evidentemente, el oído no aprecia la ‘sonoridad’ de un sonido en
proporción directa a su intensidad. Quiere decirse con ello que de la sensación sonora ordinaria, difícilmente
puede concluirse que, por ejemplo, una conversación usual sea 104 veces más intensa que un susurro. Sin
embargo, aquélla es 104 veces más intensa que éste.
Para reflejar mejor la sonoridad, es decir, cómo percibe nuestro oído, se define una escala de nivel de
intensidad o escala de decibelios, que es logarítmica. Esta escala tiene la ventaja de que sonidos cuyas razones
de intensidad sean constantes difieren en escala logarítmica el mismo intervalo. Por ejemplo, 106 /103 = 103
y log 103 = 3. Lo mismo ocurrirá, por ejemplo, con 1011 y 108 . Definimos el nivel de intensidad sonora β
como
I
β = 10 log (3.31)
I0
39

7. En esta ecuación, I0 es una intensidad de referencia, que se toma como la mínima intensidad audible, es decir,
I0 = 10−12 W/m2 , e I es la intensidad considerada.1 Aunque β es adimensional, se mantiene usualmente la
unidad de decibelios para nombrarla.
Ejemplo 3.3
Un altavoz puntual radia ondas sonoras en todas direcciones y emite con una potencia de 100 W. Determine el
nivel de intensidad sonora a 10 m del altavoz.
Puesto que el altavoz es puntual y emite en todas direcciones, las ondas emitidas serán de tipo esférico. Calcula-
remos primero la intensidad a 10 m del foco, teniendo en cuentra que las ondas son esféricas:
P 100 1
I(10) = 2
= 2
= W/m2
4πr 4π10 4π
Por lo tanto,
1/4π
β = 10 log = 109 dB.
10−12
3.3.2. Intensidad de la superposición de dos ondas
En secciones anteriores hemos estudiado la intensidad de una onda sonora, y cabe por tanto preguntarse
por la intensidad resultante cuando dos ondas sonoras se superponen en una cierta región del espacio. Para
responder a esta pregunta, conviene recordar que hemos visto en secciones anteriores que la intensidad del
sonido es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda sonora. Por lo tanto, la onda resultante de la
superposición portará una intensidad proporcional al cuadrado de la amplitud resultante de la superposición.
Ya vimos en el capítulo 2 que si se superponen dos ondas de la misma frecuencia con amplitudes A1 y A2 , y
con una diferencia de fase ∆φ, la amplitud resultante AR viene dada por:
A2 = A2 + A2 + 2A1 A2 cos ∆φ
R 1 2 (3.32)
Puesto que de acuerdo con (3.29) I = cA2 , donde c es una constante de proporcionalidad que engloba todas
las constantes de (3.29), la ecuación anterior se puede escribir en terminos de la intensidades de las ondas
que se superponen (I1 e I2 ) y de la intensidad resultante, IR :
√
IR I1 I2 I1 I2
= + +2 cos ∆φ (3.33)
c c c c
que evidentemente se puede simplificar y llegar a:
IR = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆φ (3.34)
Esta ecuación ya nos permite calcular la intensidad resultante en función de las intensidades de las ondas
que se superponen, y de la diferencia de fase entre ambas ondas.
Ejemplo 3.4
1
Salvo que se indique lo contrario, al hablar de intensidad nos referimos implícitamente a la intensidad media, pero por
comodidad en la notación se prescinde de la barra que indica valor medio.
40

8. Dos altavoces accionados en fase emiten a 170 Hz. Un observador se encuenta a 8 m de uno y a 11 metros del
otro. Cada altavoz por separado tiene un nivel de intensidad de 60 dB. La velocidad de propagación del sonido
es de 340 m/s. a) Calcular el nivel de intensidad medido por el observador cuando ambos altavoces funcionan
simultáneamente. b) Repetir, pero ahora considerando que se cambian los cables de un altavoz, de manera que
emite con un desfase de π radianes con respecto al otro.
a) En este problema tenemos el caso de la superposición de dos ondas de las que conocemos las intensidades (a
través del nivel de intensidad sonoro), pero para calcular la intensidad resultante necesitamos conocer la diferencia
de fase entre ambas ondas para poder usar (3.34). Comenzaremos por determinar la intensidad de cada onda
(aunque no es necesario, es instructivo), que es la misma para las dos. Si β = 60 dB entonces:
I
60 = 10 log −→ I = 10−6 W/m2
10−12
Vayamos ahora a calcular la diferencia de fase entre ambas ondas. Para ellos, estimemos primero el número de
ondas k. Puesto que λ = v/ν = 2 m, se tiene que k = 2π/λ = π rad/m para las dos ondas. La expresión de las
ondas 1 y 2 en el punto de superposición será:
Ψ1 = A sen(kx1 − ωt) = A sen(π8 − ωt)
Ψ2 = A sen(kx2 − ωt) = A sen(π11 − ωt)
Nótese que no hemos incluido diferencia de fase inicial entre las ondas porque se nos dice que se emiten en fase.
La diferencia de fase entre las dos ondas será la diferencia de los respectivos argumentos de la función seno. Así
∆φ = π11−ωt−(π8−ωt) = 3π, equivalente a que ∆φ = π rad, por lo que las ondas interfieren destructivamente
y al tener la misma intensidad, de acuerdo con (3.34), IR = 0. Al ser nula la intensidad resultante, al calcular el
nivel de intensidad sonora β = 10 log(IR /I0 ) el argumento del logaritmo será nulo, por lo que β → −∞.
b) Ahora la intensidad I de cada fuente y el valor de k es idéntico al caso anterior. La única diferencia es que
se nos dice que se introduce una diferencia de fase inicial de π rad entre las dos ondas. Por ello, la expresión de
las ondas en el punto de superposición será ahora
Ψ1 = A sen(kx1 − ωt) = A sen(π8 − ωt)
Ψ2 = A sen(kx2 − ωt + π) = A sen(π11 − ωt + π)
Y la correspondiente diferencia de fase será ∆φ = π11 − ωt + π − (π8 − ωt) = 4π equivalente a que ∆φ = 0, es
decir, que ahora las ondas interfieren constructivamente. Aplicando (3.34):
4I I
IR = I + I + 2I cos 0 = 4I −→ β = 10 log = 10 log 4 + 10 log = 10 log 4 + 60 = 66 dB
I0 I0
Por último, conviene discutir cuando será aplicable la ecuación (3.34). El sumando que incluye el término
cos ∆φ es la parte propia de los fenómenos ondulatorios, porque contiene el efecto interferencial. Con carácter
general, las ondas interfieren si poseen frecuencias idénticas (que es como se ha deducido (3.34)) o frecuencias
similares. En este último caso, se observan los batidos, que estudiaremos más adelante en este capítulo, y
cuya intensidad podrá calcularse a partir de la amplitud resultante. Por lo tanto, la expresión (3.34) sólo
será aplicable a ondas de la misma frecuencia. Pero además, para que se puedan producir interferencias,
es necesario que las ondas sean coherentes entre sí, es decir, ondas para las que ∆φ sea constante en el
tiempo. Para la gran mayoría de los sonidos que escuchamos, o bien tienen frecuencias distintas, o bien no
son coherentes entre sí, porque la diferencia de fase inicial cambia rápido con el tiempo. En ese caso, el
término interferencial de (3.34) desaparece, y la intensidad resultante IR se obtiene simplemente como:
IR = I1 + I2 (3.35)
41

9. Como vemos, cuando las ondas no interfieren entre sí, la intensidad resultante viene dada simplemente por
la suma de las intensidades de cada una de las ondas que se superponen.
Ejemplo 3.5
En una sala hay 40 personas conversando. Si una sóla persona produce un nivel de intensidad sonora de 50 dB,
encontrar el nivel de intensidad sonora de la sala cuando hablen las 40 personas a la vez.
En este caso, las 40 personas corresponden a 40 fuentes sonoras que no interfieren entre sí, porque tienen distintas
frecuencias, y porque no son coherentes entre sí. Por lo tanto, la intensidad sonora cuando las 40 personas hablan
simultáneamente será la suma de las intensidades de las 40 personas, de acuerdo con (3.35). Si suponemos que
todas las personas emiten la misma intensidad sonora I1 , entonces IR = 40I1 . Así, el nivel de intensidad sonoro
de las 40 personas (β40 ) será:
IR 40I1 I1
β40 = 10 log = 10 log = 10 log 40 + 10 log = 10 log 40 + 50 = 66 dB
I0 I0 I0
3.4. Análisis de Fourier de ondas periódicas
La mayor parte del sonido que escu-
chamos no se corresponde con ondas ar-
mónicas puras, sino que son ondas perió-
dicas pero no armónicas. Las dos ondas
representadas en la figura 3.5 tienen un
periodo de 1/440 segundos, y correspon-
den a la nota LA central tocada por una
flauta y por un fagot. Puede verse que,
aunque tienen el mismo tono es decir, el
mismo periodo T o la misma frecuencia
fundamental (que es la inversa del perio-
do), tienen distinta ‘calidad’, es decir,
suenan diferente. La razón es la forma
distinta que tienen ambas ondas, que se
traduce en una participación en mayor o
menor medida de los armónicos superio-
res del tono fundamental. Este concepto Figura 3.5: La misma nota musical producida por dos instrumentos
se puede entender mejor recurriendo al distintos.
ejemplo de cuerdas vibrantes. Ya vimos
que al pulsar una cuerda, en principio ésta vibra con todas las posibles frecuencias naturales. La forma en
que se pulse hace que el movimiento final de la cuerda participe en distinta medida de los distintos armónicos
2 . El posterior diseño de las cajas de resonancia acentúan todavía más la ‘calidad’ de los sonidos.
Matemáticamente se demuestra (Fourier fue el primer matemático que lo hizo) que cualquier función
periódica Ψ(t), por complicada que sea, puede ser descompuesta en una suma de un número dado de funciones
2
No es lo mismo tocar el violín con un arco, que hace vibrar y torcer el hilo del instrumento, que tocar el piano, en el que
se golpea la cuerda, y además se hace en una posición determinada (a 1/7 de su extremo para anular el séptimo armónico, que
parecer resultar desagradable al oído).
42

10. Figura 3.6: Ejemplo de análisis o síntesis de Fourier para una onda períodica.
armónicas (senos y cosenos). La única condición que se le exige a Ψ(t) es que tanto ella como su derivada
deben ser continuas. La forma de conseguirlo es la siguiente:
N
Ψ(t) = An sen(nωt + φn ) (3.36)
n=1
siendo ω = 2π/T la frecuencia fundamental (o T el periodo de la onda). El valor superior N del sumatorio
dependerá de los que queramos acercarnos a la forma exacta de Ψ(t). La figura 3.6 ilustra lo que se quiere
decir: una onda periódica como la representada en la parte superior puede obtenerse como suma de los
distintos armónicos de su serie de Fourier con su coeficiente An correspondiente. En la parte derecha se
muestra la onda generada con sólo un armónico, con dos, tres, etc. Como vemos, cuantos más armónicos se
incluyen, más se parece la señal obtenida a la original.
La determinación de An y φn para una determinada Ψ(t) se denomina análisis de Fourier. Para las
ondas correspondientes a la nota LA mostradas en la figura 3.5, sus correspondientes An aparecen en la
parte inferior de la misma figura, donde sólo se muestran los primeros armónicos presentes en las ondas, que
suelen ser los más importantes. Nótese que una onda armónica pura se corresponde con una única línea en
la representación de frecuencias.
El llegar a formar una onda predeterminada a partir de armónicos puros (algo parecido a lo esquematizado
en la figura 3.6) es, por supuesto, posible. Los sintetizadores u órganos electrónicos actuales son buena muestra
de ello. Este proceso, inverso hasta cierto punto al análisis de Fourier, se denomina síntesis de Fourier.
3.5. Ondas estacionarias de sonido (resonancias).
Un diapasón es un dispositivo que emite ondas armónicas de una única frecuencia al ser golpeado. Sin
embargo, debido a sus reducidas dimensiones, esas ondas no son muy intensas, de modo que el sonido apenas
alcanza unos metros. La razón es que las láminas, al vibrar, ponen en movimiento una cantidad relativamente
pequeña de aire.
Se aumenta considerablemente la intensidad si acoplamos al diapasón una caja de resonancia, que es una
caja hueca de madera de dimensiones adecuadas para que, cuando vibre con la frecuencia del diapasón (éste
va a ser quien fuerce a la caja a vibrar) puedan existir en su interior ondas estacionarias de sonido.
La mayor parte de los instrumentos musicales llevan cajas de resonancia de este tipo. Dichas cajas
favorecen la presencia de determinadas frecuencias siendo las responsables de la calidad peculiar del sonido
del instrumento. El diseño de estas cajas de resonancia se hace para que en ellas se den ondas estacionarias
43

11. Figura 3.7: Los tres primeros armónicos en un tubo abierto (izquierda), y en un tubo abierto-cerrado (dere-
cha).
de sonido. Cuando sus geometrías son complicadas, el análisis de ondas estacionarias resulta muy difícil.
Existe sin embargo un diseño extremadamente sencillo de ‘cajas de resonancia’, que son los tubos de órgano.
Vamos a analizar qué tipo de ondas estacionarias se pueden encontrar en este tipo tan sencillo de cajas de
resonancia.
Supongamos un altavoz en un extremo de un tubo de longitud L. Tal altavoz creará ondas que resonarán
(serán estacionarias en el tubo) si cumplen ciertas condiciones, que dependen de cómo sea el tubo. Éste puede
tener los dos extremos abiertos, uno abierto y otro cerrado, o los dos cerrados.
Tubo abierto. Usando la descripción del desplazamiento de las partículas del medio para la onda, por
tener ambos extremos abiertos, las partículas son libres, por lo que en estos puntos existirán antinodos.
Si hubiéramos usado la descripción en términos de las variaciones de presión, la condición a aplicar
sería que la presión en los extremos es la de equilibrio, y por lo tanto estos puntos corresponden a nodos
de presión. En cualquier caso, las únicas longitudes de onda aceptables, serán aquellas que cumplan la
condición L = nλ/2, que inmediatamente nos conduce a que las longitudes de onda correspondientes
a ondas estacionarias vienen dadas por:
2L
λn = con n = 1, 2, 3, · · · (3.37)
n
Lo que conduce a que las frecuencias de las posibles ondas estacionarias son:
v nv
νn = = con n = 1, 2, 3, · · · (3.38)
λn 2L
Tubo abierto-cerrado. El extremo abierto será un nodo, igual que en el caso anterior, mientras que
el extremo cerrado se convertirá en un nodo porque las partículas situadas allí no podrán oscilar. Por
lo tanto, la longitud L del tubo será la correspondiente a la distancia genérica entre un nodo y un
antinodo, es decir, L = (2n − 1)λ/2, o correspondientemente:
4L
λn = con n = 1, 2, 3, · · · (3.39)
2n − 1
ecuación que nos dice las longitudes de onda de las posibles ondas estacionarias. Las frecuencias de las
ondas estacionarias se escribirán por tanto como
v v
νn = = (2n − 1) con n = 1, 2, 3, · · · (3.40)
λn 4L
Tubo cerrado. En este caso, en ambos extremos han de existir antinodos, y por lo tanto el análisis
es idéntico al caso del tubo abierto. Así, las frecuencias y la longitudes de onda correspondiente a las
resonancias vienen dadas por las ecuaciones (3.37) y (3.38).
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12. Existe una diferencia notable en la secuencia de armónicos para tubos abiertos (ec. (3.38)) y abiertos-
cerrados (ec. (3.40)). Para tubos abiertos, la frecuencia fundamental es
v
ν1 = (3.41)
2L
y el segundo armónico (n = 2) sería ν2 = v/L = 2ν1 , y así sucesivamente. En estos tubos, por tanto, existen
todos los armónicos, es decir, todos los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
Ejemplo 3.6
Un tubo de órgano abierto por los dos extremos está afinado a 440 Hz en el armónico fundamental. Su segundo
armónico tiene la misma frecuencia que el tercer armónico de un tubo de órgano con los tubos cerrados por un
extremo. Determinar las longitudes de ambos órganos.
Consideremos que la velocidad del sonido es v = 340 m/s. Para el tubo abierto, como su primer armónico es
de 440 Hz se tiene que
v 340
440 = −→ L1 = = 38,6 cm
2L1 2 × 440
Para el tubo abierto-cerrado, su tercer armónico será de 880 Hz (el segundo armónico del primero) por lo que
según (3.40) para n = 3:
5v 5 × 340
880 = −→ L2 = = 48,3 cm
4L2 4 × 880
Sin embargo, de (3.40), el armónico fundamental es ν1 = v/4L, y para n = 2, la correspondiente frecuencia
es ν2 = 3v/4L = 3ν1 , para n = 3 se tiene ν3 = 5ν1 y así sucesivamente. No existen armónicos pares en un
tubo abierto-cerrado. Esto quiere decir que si ajustamos la longitud de un tubo abierto-cerrado para que
su frecuencia fundamental sea la misma que la de un tubo abierto, cuando se hagan resonar se notarán
automáticamente dos sonidos diferentes. Ello se debe a la distinta composición de armónicos existentes: en
uno de ellos (el abierto) existen todos, mientras que en otro, sólo los impares.
3.6. Batidos o pulsaciones
Las ondas sonoras, al igual que las mecánicas estudiadas en el capítulo 2, presentan fenómenos de interfe-
rencia. En particular, vamos a prestar atención a la superposición de dos ondas sonoras de aproximadamente
la misma frecuencia. El resultado de la superposición de ondas de estas características ya se estudió al final
del tercer apartado de capítulo 2. Allí probamos que si en una región del espacio se superponen dos ondas
del tipo Ψ1 = A sen(k1 x − ω1 t) y Ψ2 = A sen(k2 x − ω2 t), el resultado viene dado por
∆k ∆ω
Ψ = 2A cos x− t sen kx − ωt (3.42)
2 2
con
k1 + k2 ω1 + ω 2
∆k = k1 − k2 , ∆ω = ω1 − ω2 , k = , ω= (3.43)
2 2
Si fijamos un punto en el espacio, es decir, si escuchamos en un punto dado la superposición de ambas
ondas (tomemos x = 0 por simplicidad) el resultado es
∆ω
Ψ = 2A cos t sen (ωt) (3.44)
2
45

13. donde no hemos tenido en cuenta el signo − adicional, por no ser esencial en el razonamiento, ya que
supone únicamente una constante de fase inicial. El resultado final (ver figura 3.8) es que oímos un sonido de
frecuencia ω pero cuya amplitud está controlada (o modulada) por un término de variación mucho más lenta
(el término coseno de la ecuación anterior). En otras palabras, oímos un sonido de tono dado por la oscilación
rápida (de frecuencia ν = ω/2π) que ‘viene y va’: en los instantes de valor mínimo señalados figura 3.8 no
hay amplitud, y por lo tanto desaparece el sonido. A partir de ese momento vuelve a aparecer, haciéndose
más intenso, hasta alcanzar su valor máximo, también indicado en la figura 3.8. Este fenómeno se denomina
batido o pulsación.
¿Cuánto tiempo separa dos batidos
consecutivos? o, en otras palabras, ¿cuál
es la frecuencia de los batidos? En prin-
cipio podría pensarse que, puesto que los
batidos son consecuencia de la envolven-
te de baja frecuencia (el término coseno
de (3.44)) el periodo de batido será pre-
cisamente el de este término, o sea
Figura 3.8: Los batidos en una onda sonora.
2π 4π
Tbf = ∆ω = (3.45)
2
∆ω
Sin embargo, hay que notar que los batidos dependen de la intensidad de la onda, que depende del cuadrado
de la amplitud de la onda. Por lo tanto, cuando cos(∆ωt/2) = ±1 tenemos que cos2 (∆ωt/2) = 1, y la
amplitud al cuadrado de la modulación es 4A2 . Así pues, cada vez que transcurre un tiempo Tbf , realmente
ocurren dos batidos (dos máximos de intensidad) que corresponden al máximo y al mínimo de la modulación.
El periodo de los batidos es, por lo tanto
Tbf 2π
Tbat = = (3.46)
2 ∆ω
Dado que ∆ω = ω1 − ω2 y que ν = 1/T , se llega a que la frecuencia de los batidos viene dada por
1 ∆ω ω1 − ω 2
νbat = = = = ν1 − ν 2 (3.47)
Tbat 2π 2π
En general, como no sabemos si ν1 > ν2 o viceversa, es preferible escribir
νbat = |ν1 − ν2 | (3.48)
Cuanto más próximas sean las frecuencias de las ondas que se superponen, menor será la frecuencia de los
batidos, es decir, mayor el tiempo que tardan en repetirse. En caso de ser iguales, νbat = 0, y el periodo
correspodiente sería infinito, es decir, que no se producirían batidos.
Los batidos pueden conseguirse haciendo oscilar, por ejemplo, dos diapasones que no sean exactamente
idénticos. Si uno tuviera, por ejemplo, una frecuencia de 1399 Hz y el otro de 1401 Hz, al hacerlos sonar al
mismo tiempo oímos un tono de 1400 Hz que viene y va dos veces por segundo. No obstante, si la diferencia
en frecuencia de los dos tonos es suficientemente alta, el oído ‘oye’ dos tonos diferenciados y el fenómeno de
los batidos desaparece.
Los batidos son útiles entre otras cosas para afinar correctamente los instrumentos musicales, siempre
que dispongamos de una fuente sonora calibrada exactamente (un diapasón). El ajuste perfecto se consigue
cuando el instrumento a afinar, pulsado, no produzca batidos con el diapasón.
3.7. El efecto Doppler
Este efecto consiste en la recepción por parte de un observador de una onda emitida por un emisor, de
manera que la frecuencia medida por el observador es distinta de la emitida por el emisor cuando receptor y
46

14. Figura 3.9: Esquema del efecto Doppler
emisor están en movimiento relativo. La frecuencia recibida por el receptor es la misma que la emitida por
el emisor si entre ellos no hay movimiento relativo. Un ejemplo típico es la ostensible variación de frecuencia
en el sonido del claxon de un automóvil cuando pasa a nuestro lado. Tal variación de frecuencia se denomina
desplazamiento Doppler, y ocurre en todo tipo de ondas que verifiquen lo antes establecido. En el agua puede
verse que, por ejemplo, si la fuente que provoca ondas se mueve con respecto al líquido (y por tanto con
respecto a un observador estacionario con el agua) los frentes de onda se ven más comprimidos en el sentido
de avance de la fuente que en el contrario. Algo parecido se esquematiza en la figura 3.9, que nos va a servir
para examinar el efecto Doppler.
Supongamos un foco emisor E moviéndose con velocidad ve y un observador O moviéndose con velocidad
vo . Consideremos ambas velocidades colineales y positivas cuando están en el sentido esquematizado en la
figura 3.9. Sea νe la frecuencia de emisión propia del emisor, y por lo tanto Te = 1/νe se corresponde con
el tiempo que transcurre entre, por ejemplo, la emisión de dos crestas consecutivas. Sea νo la frecuencia que
mide el observador, de manera que To = 1/νo es el tiempo que transcurre entre la recepción de dos crestas
consecutivas.
La parte izquierda de la figura 3.9 presenta una sucesión de lo que ocurre en el emisor en tres instantes
separados por un intervalo Te . En t = 0 suponemos que se emite una cresta. Una vez que se emite, avanza
siempre a la velocidad v de propagación de la onda correspondiente (por ejemplo, a la velocidad del sonido).
Así, en t = Te esa cresta habrá avanzado desde el punto en el que se emitió una distancia vTe . En ese mismo
instante, E habrá avanzado una distancia ve Te , y emitirá una nueva cresta. En t = 2Te , la cresta emitida en
t = 0 estará en una circunferencia (una esfera en 3D) de radio 2vTe centrada en la posición en la que estaba
E en t = 0. La cresta emitida en t = Te habrá avanzado vTe y estará en una circunferencia de ese radio
centrada en la posición de E en t = Te . La parte inferior de la figura ?? dibuja la posición de ambas crestas.
La distancia entre ambas crestas es la longitud de onda λ que observa cualquier observador en reposo (no
O, que está moviéndose). Hay que darse cuenta de que λ depende de la dirección de observación. Nosotros
hemos supuesto O en la dirección de avance de E, por lo que la λ que interesa es la marcada en la figura.
47

15. De la geometría de la figura, podemos apreciar que:
v − ve
λ = vTe − ve Te = (v − ve )Te = (3.49)
νe
Por otro lado, supongamos que el observador recibe en un instante dado t′ la cresta emitida en t = 0, y
en t′ + To la siguiente. Se verifica la relación
vTo = λ + vo To (3.50)
o bien
v − vo
λ = (v − vo )To = (3.51)
νo
Puesto que λ coincide en ambas situaciones, usando (3.49) y (3.51) ha de verificarse que
(v − vo )
νo = νe (3.52)
(v − ve )
Esta expresión nos permite encontrar la frecuencia percibida por el observador, conocidas las frecuencias
propias del emisor y las velocidades de emisor y observador. Hay que recordar que los signos − que aparecen
en la ecuación anterior se deben a que hemos considerado como positivas las velocidades en el sentido indicado
en la figura 3.9. Si por ejemplo la velocidad del emisor fuera en sentido contrario, su signo sería negativo.
Ejemplo 3.7
Un emisor tiene una frecuencia propia de 69.3 Hz. El aire está en reposo. Calcular la frecuencia de recepción
en los siguientes casos: a) Cuando el emisor se mueve hacia el observador a una velocidad de 15.6 m/s. b)
Cuando el receptor se mueve hacia el emisor, que está en reposo, a esa misma velocidad. c) Determinar la
longitud de onda en las situaciones a) y b). Considere en todos los casos que la velocidad del sonido es de 345 m/s.
a) Hay que usar (3.52), teniendo en cuenta que vo = 0 y que ve = 15,6 m/s y que como el emisor se mueve
hacia el observador, se mantiene el signo − del denominador de (3.52). Así
v 345
νo = νe = 69,3 = 72,6 Hz
(v − ve ) 345 − 15,6
b) De nuevo, hay que usar 3.52) con ve = 0 y vo = 15,6 m/s y que como el observador se mueve hacia el
emisor, hay que usar un signo + en el numerador de (3.52):
(v + v0 ) 345 + 15,6
νo = νe = 69,3 = 72,4 Hz
v 345
A la vista de los resultados que acabamos de obtener, conviene darse cuenta de que NO es equivalente que el
emisor se mueva hacia el observador estando éste en reposo (caso a)), que que el observador se mueva a la misma
velocidad hacia el emisor en reposo (caso b)).
c) Sin más que usar (3.49) o indistintamente (3.51), se tiene que λ = 4,75 m y 4,765 m para los casos a) y
b) respectivamente.
48

16. La expresión (3.52) puede hacerse extensiva a movi-
mientos no tan simples como el analizado (velocidades coli-
neales), considerando las componentes de velocidad ade-
cuadas. Por ejemplo, imaginemos el observador O en re-
poso, y un emisor moviéndose a velocidad ve según la di-
rección BA, como se muestra en la figura 3.10 ¿Qué fre-
cuencia recibe O? En este caso, vo = 0, y la velocidad a
incluir en (3.52) para el emisor no es la velocidad del emi-
sor, sino su componente en la dirección BO. La razón es
que según se desprende de la figura 3.9, los frentes de onda
están más separados en direcciones θ respecto a la movi-
miento del emisor (figura 3.10). Por lo tanto, sólo influye Figura 3.10: Situación en la que el emisor no se
la componente de velocidad adecuada, que en nuestro caso mueve hacia el observador.
será ve cos θ.
De acuerdo con (3.52), las frecuencias medidas por observador y emisor son iguales (νo = νe ) cuando sus
velocidades son iguales (vo = ve ), es decir, cuando ambos estén en reposo relativo, aunque se muevan con
respecto al medio. Nótese también que si el observador está en reposo (vo = 0) y el emisor se mueve hacia
al observador a velocidad v ′ , la frecuencia que percibe O no es la misma que si el emisor está en reposo y el
emisor se mueve hacia él con velocidad v ′ . Ello permite, conociendo la frecuencia propia νe determinar si es
el observador quien se mueve hacia el emisor o viceversa.
La expresión (3.52) tiene dos limitaciones. La primera es que no es exacta cuando las ondas estudiadas son
luminosas (o cualquier otra onda electromagnética). La razón es la constancia de la velocidad de propagación
de las ondas luminosas en el vacío, independientemente del sistema de referencia en que se midan. No
discutiremos esto aquí, pues cae dentro del campo de la Teoría de la Relatividad, pero si aclararemos lo
que esto quiere decir. Para ello, fijémonos en la figura 3.9 en el instante t = Te para el emisor. En ese
instante, la cresta emitida en t = 0 dista del emisor vTe − ve Te , que coincide con λ, como ya vimos. En
otras palabras, la cresta se mueve con velocidad relativa al emisor vr = v − ve , que no es sino la regla de
composición de velocidades en la transformación de Galileo. Si el emisor emitiese ondas de luz, esa velocidad
no sería c − ve (donde c es la velocidad de la luz), sino c, independientemente del valor de ve . Es decir, la
luz se aleja del emisor siempre con velocidad c, se mueva o no el emisor con cualquier velocidad. Este es
el postulado de constancia de la velocidad de la luz, base de la Teoría de la Relatividad. Al ser cierto, el
razonamiento que conduce a (3.52) no es bueno para las ondas luminosas. Sin embargo, las ondas luminosas
también experimentan desplazamiento Doppler, pero su expresión viene dada por:
1/2
c − vR
νo = νe (3.53)
c + vR
donde vR es la velocidad relativa emisor-receptor, que es negativa si se acercan.
La segunda limitación de (3.52) es lo que ocurre si cual-
quiera de las dos velocidades ve o vo son mayores que la
velocidad de propagación v de la onda. Supongamos ve = 0
y vo > v. De la ecuación (3.52), se obtiene un valor nega-
tivo para νo , lo cual no tiene sentido. La situación física
real es que, como el observador avanza más rápido que la
onda, nunca medirá nada. La onda no lo alzanza, y no hay
efecto Doppler de ningún tipo.
Más complicada es la situación ve > v. De nuevo (3.52)
no es aplicable, por obtener un valor negativo para νo . Lo
que ocurre es que el emisor va dejando atrás la onda que Figura 3.11: Esquema de lo que ocurre si el emi-
emite, y se forma una onda de choque. Tal onda es la en- sor se mueve más rápido que la onda que emite.
volvente de las ondas individuales emitidas en los sucesivos
49

17. instantes de tiempo. La figura 3.11 ilustra lo que se quiere decir. Puesto que la envolvente es una recta tan-
gente a las sucesivas circunferencias, y puesto que en t el emisor ha avanzado ve t, mientras que la onda
emitida en t = 0 lo ha hecho vt, de la geometría de la figura se deduce
vt v
sen θ = = (3.54)
ve t ve
siendo θ el ángulo del vértice del cono envolvente. La relación ve /v se conoce como número de Mach, Ma .
Un valor Ma = 1 nos dice que la fuente se mueve a la velocidad del sonido, mientras que valores Ma > 1
ocurren en la región supersónica.
Toda la energía en los frentes de onda 0, 1, 2,... dibujados en 3.11 va quedando almacenada en el frente
de onda Mach, por lo que estas ondas de choque transportan gran cantidad de energía. Las oscilaciones
de presión en el frente de onda pueden ser tan intensas que rompan cristales, o dañen el tímpano. Aviones
supersónicos volando a bajas alturas pueden causar destrozos considerables, además de la explosión sónica
que se percibe cuando nos alcanza el frente de onda.
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