2. Электронная физико-техническая школа2
1 Введение
“Золотой ключик” – это заочный конкурс по математике для школьников.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по
математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить
через Интернет.
Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой части
сводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачи
второй части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями и
обоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность
рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/goldkey
О школе
Наша электронная дистанционная школа объединяет в себе:
многолетний педагогический опыт, прекрасный состав методистов и
рецензентов;
высокотехнологичную систему гибридного документооборота;
модульную систему, постоянно развивающуюся по требованию наших
пользователей;
уникальные методы видеообразования, интегрированные в обучающий
процесс;
работу с широкой аудиторией, повышение школьных оценок и уровня
знаний, доступность информации на слабом уровне подготовки и
интересный материал для мотивированных, подготовленных школьников;
Опыт с большой буквы. Мы не первый год готовим абитуриентов для
поступления. Опыт методистов и авторов исчисляется десятками лет. Наши
технологии регулярно представляются на мировых выставках. Мы
собираем лучшее из имеющегося на рынке.
Сайт: eftsh.ru
e-mail: info@eftsh.ru
3. Решебник для 4-5 класса 3
Решебник для 4-5 класса
2 Первая часть задания
Задача №1
В копилку бросали только 5-рублёвые монеты. В первый день бросили несколько
монет, а во второй – ещё 2, но число монет в копилке было меньше 8. В третий день
бросили ещё 2 монеты, и тогда в копилке стало больше 8 монет. Какая сумма денег
была брошена в копилку в первый день?
А. 35 руб Б. 30 руб В. 25 руб Г. 20 руб
Решение
По условию, число монет, брошенных в копилку в первый день, увеличенное на
2, меньше 8, а увеличенное на 4, - больше 8. Следовательно, в первый день в копилку
бросили меньше 6 монет, но больше 4-х, то есть 5 монет. Итак, в первый день в
копилку было брошено 25 руб.
Ответ. В. 25 руб.
Задача №2
Каждый последующий набор кружочков
строится из предыдущего, как это показано
на рисунке. Сколько кружочков нужно
добавить к 100-му набору, чтобы получить
101-й?
А. 100 Б. 101 В. 200 Г. 201
Решение
Анализируя построение 5-го набора из 4-го, 4-го из 3-го и т. д.,
можно сделать вывод, что на каждом шагу добавляется число
кружочков, равное сумме числа рядов предыдущего набора и числа
его столбцов, увеличенной на 1 (см. рис.). Следовательно, 101-й
набор можно получить, добавив к 100-му 100 + 100 + 1 = 201
кружочек.
Ответ. Г. 201.
Задача №3
В январе было 12 безветренных дней без снега, 14 дней был ветер, 11 дней шёл
снег. Сколько дней в этом месяце была метель – снег с ветром?
А. 6 дней Б. 7 дней В. 19 дней Г. 25 дней
Решение
Так как в январе 31 день, а 12 дней было безветренно и не шёл снег, то в каждый
из оставшихся 19 дней или был ветер, или шёл снег, или была метель, то есть шёл
снег и было ветрено. Ветер был 14 дней, снег шёл 11 дней. Если сложить 14 и 11,
получим 25. При этом дни, когда была метель, учтены дважды. Следовательно,
метель была 14 + 11 – 19 = 6 (дней).
Ответ. А. 6 дней.
4. Электронная физико-техническая школа4
Задача №4
Три покупателя А, Б, В купили в магазине товары нескольких наименований.
Каждого наименования товаров было куплено по 4 единицы. Больше всех единиц
товаров купил покупатель А – 11, меньше всех – покупатель В, 7. Сколько
наименований товаров было куплено?
А. 10 Б. 9 В. 8 Г. 7
Решение
Из условия следует, что покупатель Б купил или 8, или 9, или 10 единиц товаров.
Так как каждого наименования было куплено по 4 единицы, то число всех
купленных товаров должно делиться на 4. Из трёх указанных чисел только число 10
в сумме с числами 11 и 7 даёт число, делящееся на 4: 10 + 11 + 7 = 28. Частное от
деления числа купленных единиц товаров на 4 равно числу купленных
наименований товаров. Оно равно 7.
Ответ. Г. 7.
Задача №5
В пакет помещается только 9 яблок. Чтобы выложить из корзины яблоки,
необходимо три пакета, но когда в корзину добавили ещё 15 яблок, то
потребовалось ещё два пакета. Какое наименьшее число яблок могло быть в корзине
первоначально?
А. 21 Б. 22 В. 23 Г. 24
Решение
Так как в пакет помещается только 9 яблок и при добавлении в корзину 15 яблок
для перекладывания яблок из корзины потребовалось 5 пакетов, то яблок стало
больше 36. Но тогда первоначально в корзине было более 21 яблока. Наименьшее
число, удовлетворяющее этому условию, равно 22. Оно удовлетворяет условию
задачи.
Ответ. Б. 22.
Задача №6
Сколько шоколадных батончиков подарили Малышу на Новый год, если он,
начиная с 1 января 2012 года, съедал каждый день по одному батончику и по
воскресеньям угощал Карлсона двумя батончиками, а батончиков хватило только до
конца года?
А. 469 Б. 470 В. 472 Г. Ответ отличен от приведенных
Решение
Так 2012-й – год високосный, то в нём 366 дней. Кроме того, он начался в
воскресенье. В нём 53 воскресенья. Следовательно, Малыш съел 366 батончиков, а
Карлсон – 532 = 106. Вместе они съели 366 + 106 = 472 батончика. Так как к концу
года батончики закончились, то Малышу подарили 472 батончика.
Ответ. В. 472.
5. Решебник для 4-5 класса 5
Задача №7
В роще на каждом дереве сидит не менее 4 ласточек. Всего 213 ласточек. Какому
числу из приведенных может равняться число деревьев в роще?
А. 53 Б. 54 В. 55 Г. 56
Решение
Предположим, что на каждом дереве сидело ровно по 4 ласточки. Так при
делении числа 213 на 4 получается в неполном частном 53 и в остатке 1, то число
деревьев менее 54. Оно может равняться 53: на 52 деревьях по 4 ласточки и на одном
– 5. Действительно, тогда число ласточек равно 524 + 5 = 213.
Ответ. А. 53.
Задача №8
Двенадцать школьников, среди которых четыре пятиклассника и восемь
старшеклассников, собрались в однодневный поход. На его проведение требовалось
924 руб. Договорились, что взнос каждого из пятиклассников будет на четверть
меньше взноса каждого из остальных школьников. На сколько рублей взнос
пятиклассника меньше взноса старшеклассника?
А. 7 руб Б. 21 руб В. 63 руб Г. 77 руб
Решение
Вместе четыре пятиклассника внесут такой же взнос, как три старшеклассника,
то есть 924 руб. составляют суммарный взнос 11 старшеклассников. Взнос каждого из
старшеклассников составляет 924:11 = 84 рубля. Взнос пятиклассника меньше его на
84:4 = 21 (руб.).
Ответ. Б. 21 руб.
Задача №9
Пять участников олимпиады стали её победителями, набрав по 15, 14 и 13 баллов
и заняв соответственно первое, второе и третье места. Сколько участников завоевали
первое место, сколько второе и сколько третье, если вместе они набрали 69 баллов?
А. Первое место – 1 участник, второе и третье по 2 участника.
В. Первое место – 2 участника, второе – 1 и третье – 2 участника.
Б. Первое и второе место по 2 участника, третье место - 1 участник.
Г. Определить нельзя.
Решение
Из условия вытекает, что только 1 из 5 призёров мог набрать 15 баллов.
Действительно, если бы таких призёров было 2, то на долю трёх остальных осталось
бы 69 – 152 = 39 баллов, которые нельзя распределить между тремя участниками
так, чтобы набраны были и 13 и 14 баллов. Точно также проверяется, что три
призёра не могли набрать по 15 баллов. Итак, первое место мог занять только один
участник. На долю 4-х остальных приходится 69 – 15 = 54 балла. Замечая, что 54 =
272, а 27 = 14 + 13, можно сделать вывод, что два призёра набрали по 14 баллов, а
двое – по 13. Других вариантов представлений числа 54 в виде суммы четырёх
слагаемых, равных или 13, или 14, не существует.
Ответ. А. 1, 2 и 2.
6. Электронная физико-техническая школа6
Задача №10
Антону подарили диск, на котором записаны его любимые мультфильмы.
Длительность просмотра каждого из записанных мультфильмов не превышает 30
мин., а на просмотр всех потребуется 5 часов. За какое наименьшее число дней
Антон гарантированно сможет просмотреть все мультфильмы по одному разу, если
ему в день можно смотреть телевизор не более полутора часов и каждый
мультфильм можно смотреть только в течение одного дня?
А. 3 дня. Б. 4 дня. В. 5 дней. Г. 6 дней.
Решение
Покажем, что Антон сможет в день смотреть мультфильмы более одного часа, но
менее полутора часов. Если время, потраченное им на просмотр мультфильмов, не
более часа, то он сможет, не нарушая порядка, посмотреть ещё один мультфильм,
так как длительность его просмотра не превышает, по условию, 30 мин. И так до тех
пор, пока время просмотра не превысит 1 час. Так как на просмотр всех
мультфильмов требуется, по условию, 5 часов, то за 5 дней Антон сможет
посмотреть все мультфильмы по одному разу.
Покажем, что 4-х дней может оказаться недостаточно для просмотра всех
мультфильмов на диске. Например, если на диске записаны 12 мультфильмов
длительностью 23 мин. каждый и один мультфильм длительностью 24 мин., то на их
просмотр потребуется 2312 + 24 = 300 минут или 5 часов. Но в день из этих
мультфильмов можно посмотреть не более трёх: на просмотр 4-х требуется 234 = 92
мин., что превышает полтора часа.
Ответ. В. 5 дней.
Задача №11
Шестнадцать одинаковых снежинок нужно расклеить по четырём стенам
комнаты так, чтобы на каждой стене была хотя бы одна снежинка, на всех стенах
было разное число снежинок и суммы количеств снежинок на противоположных
стенах были равны. Сколько существует различных вариантов выполнения этого
задания, если различные варианты отличаются числом снежинок хотя бы на одной
стене?
А. 32 Б. 24 В. 12 Г. 4.
Решение
Так как суммы чисел снежинок на противоположных стенах равны между собой
и снежинок всего 16, то всего на двух противоположных стенах 8 снежинок.
Число 8 в виде суммы двух различных натуральных чисел можно представить
тремя способами: 8 = 7 + 1, 8 = 6 + 2, 8 = 5 + 3. Число различных вариантов выбора
двух пар чисел, суммы которых равны 8, равно трём:
1) (7,1), (6,2); 2) (7,1), (5,3); 3) (6,2), (5,3).
Каждому такому варианту соответствует восемь различных способов украшения
стен комнаты:
Следовательно, всего существует 24 различных вариантов выполнения задания.
Ответ. Б. 24.
7. Решебник для 4-5 класса 7
Задача №12
Квадрат разрезали прямолинейно на две части. Потом одну из частей снова
таким же образом разрезали на две части. Всего сделали 50 разрезов. Какое
наибольшее число вершин могут иметь многоугольники, полученные в результате
этих разрезаний?
А. 54 Б. 53 В. 29 Г. 4.
Решение
Одним прямолинейным разрезом многоугольника
можно увеличить количество вершин одной из его
частей не более, чем на 1 (см. рис. 1 и 2). Поэтому в
результате 50 разрезаний из квадрата можно получить
многоугольник с числом вершин, не превосходящим 4
+ 50 = 54. А получить многоугольник с 54 вершинами
легко: достаточно каждый раз отрезать треугольник, у
которого только одна из вершин совпадает с вершиной
многоугольника, а две стороны лежат на сторонах
многоугольника (см. рис. 3).
Ответ. А. 54.
Задача №13
Две школы соревновались в нескольких конкурсах. В каждом конкурсе за победу
команде присуждали 3 очка, за ничью – 2 очка, за поражение – 1 очко. Сколькими из
следующих результатов: 13:15, 19:5, 24:15, 26:18 могло закончиться соревнование
между этими школами?
А. Одним Б. Двумя В. Тремя Г. Четырьмя
Решение
В каждом конкурсе команды в сумме получали 4 очка. Поэтому сумма очков,
полученных командами в соревновании, должна делиться на 4. Из приведенных
ответов только один – 24:15 – не удовлетворяет этому требованию.
Нетрудно убедиться, что первый и четвёртый результаты осуществимы.
Например,
13:15 12:12 10:10 8:8 6:6 4:4 2:2 0:0;
26:18 23:17 20:16 17:15 14:14 12:12 10:10 8:8 6:6 4:4 2:2 0:0.
А вот результат 19:5 нельзя получить. Даже, если вторая команда все игры
проиграла, первая за эти пять игр могла набрать только 15 очков. Итак,
соревнование могло закончиться двумя из приведенных результатов.
Ответ. Б. Двумя.
Задача №14
У Пети 8 больших конвертов, в некоторых из них по 8 меньших конвертов, а в
некоторых из меньших – по 8 совсем маленьких конвертов. Всего у него 80
конвертов. В скольких из них лежат другие конверты?
А. 7 Б. 8 В. 9 Г. 10
8. Электронная физико-техническая школа8
Решение
Пусть в р больших конвертах находится по 8 меньших конвертов, то есть всего 8р
таких конвертов. В части из них, обозначим их число через q, находится по 8
маленьких конвертов, таких конвертов 8q. Всего у Пети 8 + 8р + 8q конвертов. По
условию, 8 + 8р + 8q = 80, или 1 + р + q = 10. Тогда р + q, то есть число конвертов, в
которых лежат другие конверты, равно 9.
Ответ. В. 9.
Задача №15
Разрезая изображённые квадраты на части по
сторонам клеток, можно сложить квадрат размером
77 клеток. Это можно сделать несколькими
способами. Какую наименьшую сумму длин разрезов
можно при этом получить, если за единицу масштаба
выбрать сторону клетки?
А. 6 Б. 8 В. 10 Г. 12
Решение
На рис. 1, 2, 3 указаны три способа разрезания данных квадратов и составления
квадрата 77.
На рис. 1 общая длина разрезов равна 8 (3 + 3 + 2).
На рис. 2 общая длина разрезов равна 8 (2 + 2 + 2 + 2).
На рис. 3 общая длина разрезов равна 9 (2 + 3 + 3 + 1). Все другие способы
разрезания, например на квадратики, только увеличивают длину разрезов.
Ответ. Б. 8.
9. Решебник для 4-5 класса 9
3 Вторая часть задания
Задача №1
В шкатулке катушки с белыми, чёрными, коричневыми и зелёными нитками.
Известно, что катушек с белыми нитками в два раза больше, чем с чёрными, а
катушек с чёрными нитками вдвое больше, чем с зелёными. Число катушек с
коричневыми нитками меньше 7. Сколько катушек с нитками каждого цвета лежит
в шкатулке. если всего там 27 катушек?
Решение
Из условия следует, что всего в шкатулке катушек с белыми, чёрными и
зелёными нитками больше 20. Примем число катушек с зелёными нитками за 1
часть, тогда число катушек с чёрными нитками составит 2 части, а с белыми – 4
части. Число катушек с нитками указанных трёх цветов составляет 7 частей. Так как
их более 20, но не более 27, то их число равно 21 (делится на 7). Отсюда следует, что
катушек с зелёными нитками – 3, с чёрными – 6, с белыми – 12, а с коричневыми – 27
– 21 = 6.
Ответ. 3 – с зелёными, 6 – с чёрными, 12 – с белыми, 6 – с коричневыми.
Задача №2
Толя сильнее, чем Миша. Миша младше, чем Вова. Вова ниже, чем Толя. Толя
старше, чем Вова. Вова слабее, чем Миша. Миша выше, чем Толя. Кто из ребят
самый сильный, кто самый старший и кто самый высокий?
Решение
Вначале выясним, кто из ребят сильнее всех. По условию, Толя сильнее, чем
Миша, а Миша сильнее Вовы. Поэтому Толя – самый сильный.
Толя старше, чем Вова, а Вова старше Миши, поэтому Толя – самый старший.
Миша выше, чем Толя, Толя выше Вовы, следовательно, Миша – самый высокий.
Ответ. Толя – самый сильный и самый старший, Миша – самый высокий.
Задача №3
Учащихся школы разделили на 9 групп по их интересам для организации
внеклассной работы. Некоторые из этих групп разделили на 9 групп для выбора
места проведения внеклассной работы. Часть образованных групп снова разделили
на 9 групп для предоставления возможности выбора руководителя. Могло ли
образоваться в результате этих действий 105 групп?
Решение
Что происходит, когда некоторую совокупность делят на п групп? Была одна
совокупность, станет п групп, число групп увеличилось на п – 1. То же самое
происходит, когда любую из полученных групп делят на п частей. Посмотрим, что
происходит с общим числом групп. Была 1 совокупность, после деления её на п
групп станет п групп, если ещё одну группу разделить на п групп, то число групп
будет равняться п + п – 1 = 2п – 1. После деления ещё одной группы число групп
станет равным 3п – 2. И т. д. Итак, если некоторая совокупность делится на п частей,
некоторые из полученных частей делятся на такое же количество меньших частей и
т. д, то общее число образовавшихся частей при делении на п – 1 дают в остатке 1.
10. Электронная физико-техническая школа10
Число 105 при делении на 9 – 1 = 8 даёт в остатке 1. В результате проведенных
действий может образоваться 105 групп. Например, следующим образом: вначале
было 9 групп учащихся по их интересам для организации внеклассной работы, из
них три группы разделили на 9 групп для выбора места организации внеклассной
работы. Число групп стало равняться 9 – 3 + 27 = 33. 9 из этих 33-х групп разделили
на 9 групп для предоставления возможности выбора руководителя. Число таких
групп стало равняться 33 – 9 + 81 = 105.
Ответ. Могло.
Задача №4
Карлсон и Малыш из дома Карлсона направились в гости к другу. Карлсон
преодолевает расстояние до дома друга за 30 мин., а Малыш это же расстояние – за
40 мин. Карлсон вышел через 5 мин. после выхода Малыша. Через сколько минут
после своего выхода Карлсон догонит Малыша?
Решение
Понятно, что предполагается, что Малыш и Карлсон движутся равномерно. Так
как Карлсон вышел на 5 мин позже Малыша, а требуется ему времени на
преодоление расстояния до дома друга на 10 мин меньше, чем Малышу, то он
прибудет к дому друга на 5 мин раньше Малыша. Догонит он Малыша на средине
пути. Действительно, и он, и Малыш на средине пути окажутся через 20 мин после
выхода Малыша, или, что то же самое, через 15 мин после выхода Карлсона.
Ответ. Через 15 мин.
Задача №5
Какое наименьшее число книг можно выдать упаковками по 5 или по 8 книг
ровно двумя способами?
Решение
Очевидно, что 40 книг можно выдать двумя способами: 8 упаковок по 5 книг, или
5 упаковок по 8 книг. Убедимся, что других способов для 40 книг нет. Упаковками
по 5 книг можно выдать 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … книг, а упаковками по 8 книг – 8, 16,
24, 32, … книг. Легко проверяется, что сумма никаких двух чисел, взятых по одному
из двух приведенных рядов, не равна 40. Поэтому ровно двумя способами можно
выдать упаковками по 5 и 8 книг 40 книг.
Любое число из приведенных рядов, меньшее 40, и любая сумма двух чисел,
взятых по одному из двух приведенных рядов, меньшая 40, могут быть получены
только одним способом. Это может быть установлено непосредственным перебором.
Для тех, кто владеет простейшими знаниями о делимости, можно предложить
такое обоснование.
Предположим, что число, меньшее 40, можно двумя способами представить в
виде 5а + 8b, где 0 а < 8, 0 b < 5, то есть 5а1 + 8b1 = 5а2 + 8b2. Тогда 5(а1 – а2) = 8(b1 – b2).
Отсюда следует, что а1 – а2 кратно 8, а1 или а2 больше 8, получили противоречие.
Ответ. 40 книг.
11. Решебник для 4-5 класса 11
Задача №6
Число, выражающее площадь прямоугольной комнаты в м2, на единицу больше
числа, выражающего периметр этой комнаты в м. Каковы размеры комнаты, если её
длина и ширина выражаются целыми числами метров?
Решение
Предположим, что прямоугольник на рисунке справа является
изображением комнаты. Его площадь равна произведению длин его
сторон, а периметр – их удвоенной сумме. Следовательно периметр
выражается чётным числом метров. Но, по условию, число,
выражающее площадь комнаты в м2, на единицу больше числа,
выражающего периметр этой комнаты в м. Следовательно, число,
выражающее площадь, нечётно, а отсюда следует, что и длины
сторон выражаются нечётными числами. Учитывая, что длина и
ширина комнаты не могут равняться 1 м, а, следовательно, они не менее 3 м,
осталось проверить, для каких из следующих чисел 3, 5, 7, 9, … произведение на 1
больше удвоенной суммы. Проверку выполним с помощью таблицы.
Длина 3 3 3 3 3 5 5 5 5 7 7 7 9 9
Ширина 3 5 7 9 11 5 7 9 11 7 9 11 9 11
Периметр 12 16 20 24 28 20 24 28 32 28 32 36 36 40
Площадь 9 15 21 27 33 25 35 45 55 49 63 77 81 99
Из таблицы видно, что число, выражающее площадь, на единицу больше числа,
выражающего периметр, если комната имеет размеры 37.
Ответ. 37 м.
Задача №7
Восемь мальчиков выстроились по кругу. Если обходить их, двигаясь по часовой
стрелке, то окажется, что:
А мы встретим раньше Б и В,
Б – после К через одного;
Л – раньше А, но после Д;
В – после М через одного;
Д – раньше Б;
В – раньше, чем Г;
М – после К.
Кого мы встретим первым и кого последним?
Решение
На рис. 1 изображено
расположение мальчиков. Если
обход начать в любой точке дуги
ГД, то убедимся, что выполняются
все условия. Но если начать обход
из любой другой точки
окружности, обязательно
обнаружим нарушение каких-то
12. Электронная физико-техническая школа12
условий. Следовательно, первым встретим Д, а последним – Г.
Покажем, что другого расположения мальчиков по кругу, удовлетворяющего
всем условиям, не существует. Пусть Б находится не между В и М. Тогда, двигаясь по
часовой стрелке, мы встречаем В после М через одного, М – после К и Б – после К
через одного (см. рис. 2). Так как А встречаем раньше Б, Д и Л – раньше А, а В –
раньше Г, то между В и М некого поставить. Пришли к противоречию.
Следовательно, Б стоит между В и М. В этом случае получаем размещение,
изображённое на рис. 1.
Ответ. Первым – Д, последним – Г.
Задача №8
За круглым столом вам нужно посадить 10 гостей, среди которых 5 мальчиков и 5
девочек. Можно ли рассадить их так, чтобы ни у одного гостя обоими соседями не
были мальчики?
Решение
Предположим, что требуемое рассаживание
возможно. Обозначим через Х1, Х2, Х3, …, Х10 гостей,
сидящих в указанном порядке за круглым столом при
движении по часовой стрелке (см. рис.). Обозначения
можно выбрать так, что Х1 – девочка, а Х2 – мальчик.
Этот выбор не ограничивает общности рассуждений.
Тогда Х10 – обязательно девочка, ибо в противном случае
у Х1 оба соседи будут мальчики. Кто бы ни был Х3, Х4 –
девочка.
Если Х3 – мальчик, то Х5 – девочка. Но тогда среди
гостей Х6, Х7, Х8, Х9 – одна девочка, и её соседями являются мальчики.
Если Х3 – девочка, то среди гостей Х5, Х6, Х7, Х8, Х9 только одна девочка (всего за
столом 5 девочек) и в любом случае соседями одного из гостей будут мальчики.
Снова получено противоречие.
Ответ. Нельзя.
Задача №9
Сад имеет форму квадрата со стороной 100 м. Расстояние между любыми двумя
деревьями в саду не меньше 10 м. Все деревья растут на расстоянии не менее 5 м от
ограды в рядах, параллельных ограде. Какое наибольшее число деревьев может
быть в саду?
Решение
Пусть квадрат со стороной 100 м на
рисунке справа является изображением сада.
Тогда точки, удалённые от сторон квадрата на
5 м, образуют квадрат со стороной 90 м. Если
разбить стороны меньшего квадрата на 9
равных частей и через точки деления
провести отрезки, параллельные его
сторонам, то точки пересечения этих отрезков
13. Решебник для 4-5 класса 13
между собой и со сторонами квадрата, а также 4 вершины квадрата, могут служить
изображениями мест посадки деревьев. Их 100. Это наибольшее число деревьев,
которое может быть посажено в саду.
Ответ. 100.
Задача №10
Сколько существует различных квадратов, длины сторон которых
выражаются целыми числами сантиметров, площади которых не
превышают 40 см2, которые можно разрезать на части, равные фигуре,
изображённой на рисунке и состоящей из четырёх квадратов со стороной 1
см?
Решение
Существует 6 квадратов, длины сторон которых выражаются целыми числами
сантиметров, площади которых не превышают 40 см2. Длины их сторон равны 1 см,
2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см. Они состоят из 1, 4, 9, 16, 25, 36 квадратных единиц, то есть
квадратиков со стороной 1 см.
Если квадрат можно разрезать на равные части, то его площадь
должна нацело делиться на площадь, в данном случае на 4. Это
требование выполнено для трёх квадратов: 22, 44, 66.
Квадрат 22, очевидно, требованиям задачи не удовлетворяет.
Разрезание квадрата 44 на части, равные данной фигуре, показано
на рис. 1.
Квадрат 66 нельзя разрезать на равные части, равные данной
фигуре. Установить это можно, начав покрытие квадрата 66
фигурами указанного вида. Без ограничения общности можно
считать, что одна плитка лежит в левом верхнем углу, как показано
на рис. 2. Тогда расположение плитки 2 однозначно. Но тогда
нижний левый угол квадрата покрыть данными фигурами
невозможно.
Ответ. 1.
