Plano cartesiano

1. PLANO
CARTESIANO
JORMARLY CASTILLO
PNF: INFORMATICA
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LAEDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL “ANDRES ELOY BLANCO”

2. DISTANCIA
La distancia entre los puntos P1(XI, YI) Y P2 = (x2, Y2) es:
Demostración
Tomemos el triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa el segmento que une P1(xj , y¡) y P2 = (X2. Y2) y por catetos,
los segmentos paralelos a los ejes indicados en la
figura.
Las longitudes de los catetos son X2 - XI
y Y2 - YI , La distancia d(P 1• P2) es la
longitud de la hipotenusa. Luego, aplicando el
teorema de Pitágoras, tenemos que:

3. TEOREMA: El punto medio del segmento de recta de
extremos P1 =(x1, y1) y P2(x2, y2) es el punto
Punto Medio
Demostración
Sea M = (x, y).
Proyectamos el segmento sobre los ejes.
Por ser M = (x, y) el punto medio, x e y
deben ser los puntos medios de los
intervalos (X1, X2) e ( Y1,Y2),
respectivamente. Luego,

4. LA CIRCUNFERENCIA Y SU ECUACIÓN
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo C(a, b) que llamamos centro.
donde la distancia r se llama radio (x-a)² + (y-b)² = r
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
(x-a)² + (y-b)² = r² Ecuación Ordinaria
desarrollando los binomios al cuadrado, obtenemos:
X² -2xa+a² + y² -2yb +b² = r²

5. Nota: si el centro de la circunferencia coincide con el origen de las coordenadas,
entonces la ecuación de la circunferencia (ya sea ordinaria o general) queda reducida a
x² + y² = r² ecuación canónica
Ejemplo:
Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en ( 3 , 4) y radio 2.
La ecuación ordinaria de la circunferencia es: ( x – 3)² + ( y – 4)² = 4
mientras que la ecuación general de la circunferencia la obtenemos al desarrollar los binomios al
cuadrado: x² - 6x +9 + y² - 8y + 16 = 4
x² + y² - 6x – 8y + 21 =0
que al agrupar las constantes, obtenemos

6. Corresponde al lugar geométrico formado por
los puntos (x,y) que equidistan de un punto fijo
llamado foco y una recta dada llamada directriz.
Así, dado un foco F y una directriz L , los
puntos P(x,y) pertenecen a la parábola si
satisfacen que:
d(P,F) = d(P,L)
LA PARABOLA
Ecuación ordinaria reducida de la
parábola de eje horizontal
Supongamos que la directriz es una recta vertical
paralela al eje de las ordenadas, que se
encuentra al lado izquierdo de ésta. Si el vértice
tiene como coordenadas V(0,0) , entonces, las
coordenadas del foco deben ser F (P/2, 0) y la
recta directriz L : x = -P/2
Los puntos P(x,y)
pertenecen a la
parábola si están
a la misma
distancia del foco
que de la
directriz, así:
Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación
reducida de la parábola cuando ésta abre a la derecha:
y² = 2px

7. Si el vértice tiene como coordenadas V(0,0) ,
entonces, las coordenadas del foco deben ser F
( 0,
𝒑
𝟐
)y la recta directriz L: y= -
𝒑
𝟐
Si el vértice tiene como coordenadas V(0,0) ,
entonces, las coordenadas del foco deben ser
F ( 0,-
𝒑
𝟐
) y la recta directriz L: y=
𝒑
𝟐
Los puntos P(x,y) pertenecen a la parábola si están a
la misma distancia del foco que de la directriz, así:
X² = 2 py
X² = -2 py

8. LA ELIPSE es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es constante,
esto es
La ecuación de una elipse en posición
estándar toma la forma
A la ecuación (1) también se le conoce como la
ecuación reducida de la elipse de eje horizontal, y si
a<b, se le conoce como la ecuación reducida de la
elipse de eje vertical.
Además, si el centro de la elipse no es el origen,
entonces la ecuación de una elipse toma la forma
Ejemplo 1
Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular
excentricidad de la siguiente elipse:
𝒙²
𝟒
+
𝒚²
𝟏𝟎
= 𝟏

9. Resolución
Calculemos los valores de a y b:
a² = 10 → a = √10
b² = 4 b= 2
Entonces podemos dar las coordenadas de los
vértices:
Eje focal: es el eje y, porque el denominador de y²
es mayor que el denominador de X²
.
Para hallar las coordenadas de los focos
necesitamos calcular c:
c² = a²-b² = 10-4= 6
F1 ( 0, -√6) 𝑦 𝐹2 ( 0, √6)
Excentricidad de la elipse:
e=
𝑐
𝑎
=
√6
√10
= √
3
5
La gráfica es:

10. LA HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
 Elementos de la hiperbola.
 La recta que pasa por los focos se llama eje focal.
 El eje focal corta la hiperbola en dos puntos llamados vertices V1 y V.
 El punto medio entre los dos vertices se llama cetro de la hiperbola.
 La distancia entre los dos focos se denota por 2c
 Al eje focal y a la mediatriz del segmento ‾F΄ F se les llama eje de simetria de la hiperbola
 El segmento recto que une los vertices se llama eje transverso o eje transversal y su longitud es de 2ª.
 El segmento de recta perpendicular al eje transverso que ppasa por el centro y su longitud es igual a 2b
se le llama eje conjugado donde b² = c² – a².

11. La hipérbola vertical tiene el eje focal vertical,
paralelo al eje de ordenadas Y.
La hiperbola horizontal tiene el eje focal
horizontal, paralelo al eje de las abscisas X.

12. La ecuacion de la hiperbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:
En la hipérbola horizontal:
Siendo (x, y) un punto de la cónica, (o1, o2) el centro y a y b el semieje real y el semieje imaginario.
Si la hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (0, 0), su ecuación es:
•En la hipérbola vertical:
Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O = (0, 0), su ecuación es:

13. CONICAS
La palabra cónica viene de cono. Se llama cónica (o
sección cónica) a las curvas resultantes de la
intersección del cono y un plano. Este plano no debe
pasar por el vértice(V).
Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del
plano que intercepta con el cono y su base:
Circunferencia: es la intersección del cono con un
plano paralelo a la base.
Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la
base y que no la corta en ningún momento.
Parábola: es la intersección del cono con un plano
paralelo a su generatriz y que corta a la base.
Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un
plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.