2. Pengerjaan dengan singkat diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss,
seorang matematikawan dari Jerman.
Saat itu Gauss mendapat tugas dari gurunya untuk menghitung jumlah
bilangan bulat dari 1 sampai 100. Pada mulanya gurunya yakin bahwa
pengerjaannya membutuhkan waktu cukup lama. Akan tetapi gurunya
terkejut ketika Gauss telah menemukan jawaban yang benar dan ditulis
pada selembar kertas dengan waktu yang singkat.
3. Bagaimanakah Gauss menemukan jawaban tugas tersebut??
Gauss menggunakan skema berikut ini:
1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100
100 + 99 + 98 + . . . + 2 + 1
101 + 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 10.100
Kemudian Gauss menyimpulkan bahwa jumlah bilangan bulat dari 1
sampai 100 adalah 10.100 : 2 = 5.050.
+
16. Bentuk penjumlahan yang dituliskan dengan notasi sigma memiliki
beberapa kaidah-kaidah (sifat) tertentu.
Jika C adalah suatu konstanta, maka:
Sifat Pertama
𝒌=𝟏
𝒏
𝑪 = 𝒏𝑪
17. Bukti:
Jadi,
Dari sifat pertama ini diperoleh:
𝑘=1
𝑛
𝐶 = 𝐶 + 𝐶 + 𝐶+ . . . +𝐶
𝑘=1
𝑛
𝐶 = 𝑛𝐶
n buah
𝑘=1
𝑛
𝐶 = 𝑛𝐶
(terbukti)
𝑘=1
𝑛
1 = 𝑛
18. Jika 𝒂 𝒌 merupakan suku ke-k dan C suatu konstanta, maka:
Bukti:
𝒌=𝟏
𝒏
𝑪 𝒂 𝒌 = 𝑪
𝒌=𝟏
𝒏
𝒂 𝒌
Sifat Kedua
𝒌=𝟏
𝒏
𝑪 𝒂 𝒌 = 𝑪𝒂 𝟏 + 𝑪𝒂 𝟐 + 𝑪𝒂 𝟑+ . . . +𝑪𝒂 𝒏 = 𝑪 (𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑+ . . . +𝒂 𝒏)
𝒌=𝟏
𝒏
𝑪 𝒂 𝒌 = 𝑪
𝒌=𝟏
𝒏
𝒂 𝒌 (terbukti)
23. Hasil penjumlahan dengan notasi sigma dapat dihitung dengan cepat
apabila banyak sukunya (n) sedikit, tetapi jika banyak sukunya (n) besar
maka perlu menggunakan rumus tertentu.
Menentukan nilai
Kita tahu bahwa:
𝑘=1
𝑛
𝑘
𝑘2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2
2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 − 𝑘2