1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
PLANO NUMÉRICO
Materia:
Matemática
Sección: DL0200
Alumno:
Emily Sinaí González Oviedo
CI: 28.679.167
Barquisimeto, 22 de Marzo del 2021.
2. Plano Numérico
Distancia:
Plano cartesiano: Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un
plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las ”x”, o,
abscisas y a la recta vertical se llama eje de las “y” u ordenadas. Formando de
esta manera cuatro cuadrantes.
El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos
en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica
en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible
calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o
en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)
Sean dos puntos sobre el plano cartesiano, P1(x1, y1) yP2(x2, y2). La distancia
que hay entre ellos viene dada por la siguiente expresión:
D (P1, P2)= √
Ejemplo:
Halla la distancia en el plano entre dos puntos cuyas coordenadas cartesianas
son P1(3,2) y P2(1,5).
Solución:
Resolver el ejercicio consiste en hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 3 y 2 unidades, respectivamente.
3. Para dos puntos cualquiera del plano cartesiano, P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
siempre se cumple que la distancia que hay entre ellos está dada por la siguiente
expresión:
D (P1, P2)=√(x2−x1)2+ (y2−y1)2
Simplemente tenemos que introducir de forma adecuada los datos del
enunciado, operar y listo:
P1(x1, y1) viene dado por P1 (3,1)
P2(x2, y2) es P2 (5,6)
Entonces:
(P1, P2)= √(x2−x1)2+ (y2−y1)2= √(5-3)^2+(6-1)^2
Operando:
d (P1,P2)=√(2)^2+(5)^2= √(4+25) = √29
Punto Medio:
Consideremos el segmento con extremos en los puntos y
de la siguiente figura:
El punto medio es aquel punto que está en el segmento y que hace que
el segmento mida lo mismo que el segmento , es decir,
El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:
Ejercicios
1 Halla las coordenadas del punto medio del segmento donde los extremos
son:
4. A y ,
B y .
Solución:
Para encontrar el punto medio, simplemente utilizamos la fórmula:
A Para el primer caso, tenemos
Por lo que el punto medio es .
B Mientras que para el segundo caso, el punto medio es
Ecuaciones y trazado de Circunferencias,
Parábolas, Elipses, Hipérbola
Se entiende por Cónicas o secciones cónicas a las curvas planas que se
producen por la intersección de un plano con un cono.
Circunferencia
Ecuaciones reducida y general de la circunferencia:
5. 1) Cualquier punto de la circunferencia P(x, y) dista al centro de la misma, la
distancia r. Observa que el centro de la circunferencia coincide con el origen de
coordenadas.
Podemos escribir dicha distancia: a la que denominamos ecuación
reducida de la circunferencia.
2) Una circunferencia cuyo centro corresponde al punto C(a, b) de un eje de
coordenadas lo representamos como sigue:
El radio de esta circunferencia lo calculamos, fijándonos en la figura siguiente:
Como el radio es la distancia del centro a un punto de la circunferencia y haciendo
uso de los valores de coordenadas podemos escribir la siguiente ecuación:
Haciendo operaciones:
6. Ordenando obtenemos:
Damos valores a:
Sustituyendo estos valores en (I) conseguimos:
Ejercicio 2
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (2,-1) y cuyo centro
es C (-1,3).
En este ejercicio conocemos el centro y un punto de la circunferencia:
Nos falta conocer el radio de la circunferencia para poder calcular su ecuación,
que es igual a la distancia entre el punto A y el centro C:
Ahora ya conocemos el centro y el radio:
7. Por tanto, ya podemos calcular la ecuación de la circunferencia.
En la siguiente expresión:
Sustituimos a, b y r por sus valores:
Operamos:
Y reordenamos términos para dejar la ecuación en su forma general:
Parábola
Se denomina parábola al lugar geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que equidista de una recta fija, llamada directriz y de un punto
fijo en el plano, que no pertenece a la parábola ni a la directriz, llamado foco.
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de
simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.
8. Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son V (0,0), las
del foco F(c, 0) y la recta directriz está dada por r: x=–c. Las coordenadas de un
punto genérico Q que pertenece a la directriz son (–c, y).
y2=4cx (c≠0)
Que es la ecuación canónica de la parábola con V (0,0) y eje focal y=0(eje
x).
Donde sí,
c>0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha
c<0⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda
Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se
puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos
variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la
parábola vertical:
X2 =4cy (c≠0)
Ecuación canónica de la parábola con V (0,0) y eje focal x=0 (eje y).
Donde sí,
c>0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba
c<0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo
¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál
de las variables está elevada al cuadrado:
Si y está al cuadrado, entonces es horizontal.
Si x está al cuadrado, entonces es vertical.
Ecuación ordinaria
(x–α)2= 4c (y–β)
Es la ecuación de la parábola con vértice V (α,β) y eje focal paralelo al eje y
9. Foco y directriz de una parábola.
Consideremos las parábolas que pueden escribirse como
Siendo h, p, k parámetros (números fijos). Entonces, el foco de la parábola es el
punto (h, k+ p), el vértice es (h, k) y la directrices la recta y=k−p
Se cumple que la distancia de un punto de la parábola al foco es la misma que la
distancia de dicho punto a la directriz.
Calcular el foco y la directriz de la siguiente parábola:
Solución
1. Tenemos que operar en la ecuación para conseguir la forma del enunciado:
Así, podemos identificar los parámetros:
El foco es (3,1/4), el vértice es (3,0) y la directriz es y=−1/4
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la
suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
10. Elementos de la elipse
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse
a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la
semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y
B'.
Eje mayor: Es el segmento de longitud2a, a es el valor del semieje
mayor.
Eje menor: Es el segmento de longitud2b, b es el valor del semieje
menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
Excentricidad: Es un número que mide el mayor o menor achatamiento de
la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje
mayor.
11. Ecuación reducida de la elipse:
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la
elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
√(x-c)^2+y^2 + √(x+c)^2+y^2 = 2a
Realizando las operaciones llegamos a:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de
focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
12. Semieje mayor
Semidistancia focal
Semieje menor
Ecuación reducida
Excentricidad
Hipérbola
La Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
13. Elementos de la hipérbola:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola
con el eje principal o real.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la
hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje
imaginario.
Asíntotas:
Son las rectas de ecuaciones:
Relación entre los semiejes
Excentricidad: Mide la abertura mayor o menor de las ramas de la
hipérbola.
14. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los
vértices y la excentricidad de la siguiente hipérbola.
De la ecuación de la hipérbola se obtiene:
Encontramos el valor de c:
√ √
Conociendo a,b,c, que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje
real es horizontal, ya podemos encontrar los vértices , los focos , y la
excentricidad e.
( ) ( ) ( )
Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola:
