Este documento presenta una introducción a las proposiciones en lógica, incluyendo definiciones, ejemplos, conectivos lógicos y formas proposicionales. Explica que una proposición es una oración que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. También cubre leyes del álgebra proposicional y métodos de demostración como reducción al absurdo. Finalmente, propone un circuito lógico como aplicación.
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
CABUDARE, ESTAD LARA
Estructuras Discretas I
Proposiciones
Autor:
Enrique J. Bonilla P.
C.I. 19.105.242
2. Definición de Proposiciones:
Según definiciones una proposición en la lógica, es un lenguaje formal
en el cual se establece un valor de verdad o falsedad. Es decir, que
son oraciones literarias o matemáticas, que están sujetas a ser falsas
o verdaderas, pero que no pueden ser ambas a la vez.
Por lo tanto, si la oración o el enunciado no pueden ser calificados, no
se le pueda dar ningún valor, no será considerada como una
proposición. El verdadero y falso de una proposición se denomina
valor de verdad y viene dada por una característica o criterio de la
proposición.
Ejemplo:
-La Kraftfood es una empresa transnacional……………… Verdadero.
-Todos los alumnos de la UFT son menores de edad……..Falso.
-El grupo de ing. Eléctrica está iniciando el curso de Estructuras
discretas…….……. verdadero.
-Todos los alumnos de la UFT estudian por SAI…..….….. Falso.
Conectivos lógicos de una proposición.
Los conectivos lógicos o términos de enlace, son simplemente
palabras y símbolos que enlazan proposiciones con el fin de construir
lenguajes.
3. Conectivos:
Simbolo Palabra Nombre
( ), [ ] Agrupación
¬ No, Not Negación
^ Y, and Conjunción
v O, or Disyunción inclusiva, permite todos los casos
v Xor Disyunción exclusiva, permite uno de todos los casos
→ Si.. Entonces Si condicional o implicación
↔ Si y solo si Bicondicional o implicación doble
Formas Proposicionales.
Las proposiciones pueden constar de un solo enunciado o de varios,
en el primer caso las denominamos.
Proposición Atómica:
Una proposición es atómica cuando no posee conectivos lógicos. Son
entonces las más simples.
Ejemplos:
- En el verano hace calor.
- Venezuela está en crisis económica.
Proposición compuesta o molecular
Es una o más proposiciones atómicas adecuadamente escritas, unidas
con términos de enlace.
Ejemplos:
- En el invierno hace frio y en algunos lugares cae nieve.
- Venezuela está en crisis económica si y solo si se devalúa la
moneda.
- No es difícil desarrollar un algoritmo.
4. Proposición con forma Disyuntiva o Disyunción.
Una proposición Disyuntiva, es aquella que está formada por
proposiciones atómicas o moleculares, digamos p y q, con el conectivo
Lógico “o”. Se simboliza así: “V”, se escribe: p v q y se lee: “p o q”.
Existen dos operadores de disyunción: La disyunción exclusiva o
excluyente y la disyunción inclusiva o incluyente.
Disyunción Inclusiva.
Son dos o más proposiciones de las cueles puedo elegir una o más
de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene
sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente.
Disyunción Exclusiva.
Pueden ser dos o más proposiciones de las cueles puedo elegir
solo una, no permite que las proposiciones que contiene sean todas
verdaderas, así que se le llama también excluyente.
Proposición conjuncional o conjunción.
Una conjunción de proposiciones es verdadera si y sólo si cada una de
ellas es verdadera. Basta que un solo término de la conjunción sea
falso para que toda la conjunción sea falsa. En español, normalmente
la conjunción se expresa por medio de la ’y’, de comas o de una
combinación de estas, o palabras como ’pero’.
Proposición con forma de Negación.
Es una operación unitaria que se aplica a una proposición y tiene el
efecto de revertir el valor de verdad. Se simboliza así: “¬” o con el
símbolo “ ’ ”, se escribe: ¬ p y se lee: No p; negación de p; o, No es
cierto que p, esto es, si p es verdadera entonces ¬p es falsa, y si p es
falsa entonces ¬p es verdadera.
5. Una proposición de este tipo, puede estar formada por una proposición
atómica o molecular a diferencia de los otros conectivos que afectan a
más de una, digamos p, con el conectivo Lógico “No”.
Leyes del Algebre Proposicional.
Así como existen identidades trigonométricas, en el álgebra
proposicional se cumplen leyes para cualquier proposición lógica.
Leyes de Conjunción.
p^p=p
p^q=q^p
(p ^ q)^ r = p ^ (q ^ r)
p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)
p^F=F
p^V=p
p ^ (~p) = F
~v = F ~F = V
Leyes de Disyunción Inclusiva.
pvp=p
pvq=qvp
(p v q)v r = p v (q v r)
p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)
pv F = p
pvV=V
6. p v (~p) = V
~(~p) = p
Leyes de Morgan.
~(p v q) = ~ p ^ ~ q
~(p ^ q) = p v ~ q
Leyes de Absorción
p ^ (p v q) = p
p v (p ^ q) = p
Leyes complementarias.
p→q = ~ p v q
p↔q = (p→q) ^ (q→p)
p↔q = (p ^ q) v ~(p v q)
p ∆ q = (p v q) ^ ~(p ^ q)
Métodos de demostración en Matemática e
Ingeniería.
Método de demostración:
El método de demostración es el proceso que, partiendo de
premisas, lleva a la conclusión a través de una serie de
proposiciones intermedias obtenidas sucesivamente mediante la
aplicación de las reglas de inferencia se llama deducción o
demostración en varios pasos.
7. Aplicación:
Si José gano la carrera entonces Pedro fue el segundo o
Ramón fue el segundo. Si Pedro fue el segundo, entonces José
no gano la carrera. Si Carlos fue el segundo entonces Ramón no
fue el segundo. José gano la carrera. Luego Carlos no fue el
segundo.
Comenzamos considerando las proposiciones siguientes:
p: José gano la carrera q: Pedro fue el segundo
r: Ramón fue el segundo s: Carlos fue el segundo
El razonamiento dado puede escribirse, en forma esquemática,
de la manera siguiente.
p → (q v r)
q→ ~p
S→~r
∆~S
1. p → (q v r)……. Premisa 1
2. q→ ~p…………..Premisa 2
3. S→~r……………Premisa 3
4. p…………………Antecedente de la premisa 1
5. ~(~p)……………Ley de la doble negación 4
6.~q………………..Modus tollens en 2 y 5
7. q v r……………Modus ponens en 1 y 4
8. 8. r…………………Modus tollendoponens en 6
9. ~(~r)……………ley de la doble negación en 8
10.~S……………..Modo tollens en 3 y 9
Otros métodos.
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente
a p→Cnos proporciona la Ley del contrarrecíproco:
P → C º ~ C → ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración,
llamado el método del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar
que p→ C, se prueba que ~ C→ ~ P.
Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la
proposición p Þ q es tautológicamente equivalente a la proposición
(p ^ ~ q) → (r ^~ r) siendo r una proposición cualquiera, para esto
usaremos el útil método de las tablas de verdad.
9. Circuitos lógicos de forma proporcional.
Construcción de circuito.
1. (~s v r) ^ (p^q) v [(s ^ t)v s)]
…………………..~s………………p q
……………………. r ….....s t
………………………………………………..s
