inducción matemática

1. Licenciatura en Matemáticas
Maestro Saúl Ángel Cuevas
1. Menciona los pasos de la inducción matemática
Algunos enunciados están definidos sobre un conjunto de enteros positivos.
Sea 𝑃(𝑛) un enunciado que pueda ser verdadero o falso para cada entero positivo
𝑛. Si se satisfacen las dos condiciones siguientes:
1. 𝑃(1) es verdadero, y
2. Siempre que 𝑛 = 𝑘, 𝑃(𝑘) sea una verdadera
Por lo tanto, 𝑃(𝑛) es verdadero para todos los números 𝑛 enteros positivos.
2. Resuelve los siguientes ejercicios utilizando inducción matemática
a) 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯+ 𝒏 =
𝒏 (𝒏+𝟏)
𝟐
1 =
1(1 + 1)
2
= 1
La fórmula es válida para 𝑛 = 𝑘
Demostramos que la igualdad se cumple para un número mayor a 𝑘, es decir 𝑘 + 1:
𝑝(𝑘): 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =
𝑘(𝑘+1)
2
con k ≥ 1
demostramos que:
𝑝(𝑘 + 1): 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑘 + 1) =
(𝑘+1)(𝑘+1+1)
2
=
(𝑘+1)(𝑘+2)
2
es verdadera.
1 + 2 + 3 + ⋯+ (𝑘 + 1) = (1 + 2 + 3 + ⋯ . +𝑘 + (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘+1)
2
+ (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘+1)+2(𝑘+1)
2
=
(𝑘+1)(𝑘+2)
2
Por lo tanto, ∀𝑛 ∈ Ν : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
es verdadera.