PARASITOSIS INTESTINAL en Pediatría, Enfermería y Familiar II
Propagación de ondas 01
1. Universidad Sim´on Bol´ıvar
Temas de Propagaci´on de Ondas
Mario I. Caicedo
Departamento de F´ısica
Pl´acido J. Mora
Departamento de Ciencias de la Tierra
2. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 1
Copyright (c) 2004 M. I. Caicedo, P. J. Mora1
.
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1
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9. ´Indice de figuras
1.1. Comportamiento Ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Problema General de Propagaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. La ecuaci´on de ondas c2 2
u − ∂2
t u = 0 predice la propagaci´on de pulsos como
los que se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos
viajan sin deformaci´on con velocidad c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Ondas longitudinales en un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Una forma de onda representada en los dominios de n´umero de onda (k) y de
posici´on (x), obs´ervense los anchos de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1. Cuerda el´astica ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1. La dispersi´on del paquete gaussiano. Obs´ervese que el ancho espacial cambia con
el tiempo mientras que el m´aximo viaja a velocidad constante . . . . . . . . . . . 83
6.1. Rayos de luz atravesando un prisma. Obs´ervense los rayos reflejados y refractados 87
6.2. Los frentes de onda para las soluciones planas monocrom´aticas . . . . . . . . . . . 88
8
10. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 9
6.3. Luego de atravesar una ranura los frentes de onda plano se convierten en frentes
(aproximadamente) cil´ındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4. El efecto de las heterogeneidades. Una fuente puntual emite un frente de onda
esf´erico (Σ) que luego de atravesar un material heterog´eneo se convierte en el nuevo
frente de onda (Σ ) que carece simetr´ıa debido a la presencia de la heterogeneidad. 91
6.5. Frentes de Onda en un subsuelo formado por dos capas homog´eneas, los rayos son
rectos y se desv´ıan en la interface obedeciendo a la ley de Snell . . . . . . . . . . . 96
6.6. En un subsuelo heterog´eneo los frentes de onda son superficies complicadas, y los
rayos siguen trayectorias curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1. Campo electromagn´etico instant´aneo en el vac´ıo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2. Polarizaciones (1) Lineal, (2) Circular Dextr´ogira, (3) Circular Lev´ogira . . . . . . 124
9.1. Vector de desplazamientos infinitesimales u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.2. Deformaci´on Homog´enea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3. Cizalla y rotaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4. Para definir el tensor de deformaci´on eij, un s´olido 3D es pensado como un ar-
reglo discreto de part´ıculas. Las entradas diagonales del tensor eij describen los
movimientos de la part´ıcula en las direcciones de los ejes cartesianos. . . . . . . . 137
9.5. Esfuerzo sobre elemento de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.1. (a) Medio heterog´eneo 1D. (b) Medio anis´otropo 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.2. Esquema NMO b´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 10
11.3. La propagaci´on paralela al eje de simetr´ıa en un medio VTI est´a compuesta por
los dos modos que se muestran: uno longitudinal denominado P2 y otro transverso
(S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.4. La propagaci´on perpendicular al eje de simetr´ıa en un medio VTI est´a compues-
ta por los tres modos que se muestran: uno longitudinal denominado P y dos
transversos (S1, S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.5. Birrefringencia en un medio VTI y en un medio HTI . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.6. Birrefringencia en un medio fracturado. Vista de planta . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.7. Trazas registradas en un experimento de modelaje f´ısico de un medio HTI (Tatham
et al.,1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.1. Soluci´on FTCS a la ecuaci´on de ondas unidireccional. La condici´on inicial es una
forma de onda Gaussiana. La corrida consta de 100 iteraciones en tiempo. El
algoritmo es inestable, lo que se refleja tanto en el crecimiento de la soluci´on como
en la aparici´on de artefactos num´ericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.2. Otra corrida del esquema FTCS a la ecuaci´on de ondas unidireccional con la misma
condici´on inicial utilizada en la figura 12.1. El n´umero de iteraciones en tiempo es
200. Resulta obvio que los efectos de la inestabilidad son catastr´oficos. . . . . . . . 192
12.3. Soluci´on con suavizado de Lax para una condici´on inicial gaussiana. El algoritmo
es estable pero se observan claramente dos efectos indeseados: dispersi´on (en este
caso ensanchamiento de la onda) y atenuaci´on (p´erdida de amplitud). . . . . . . . 194
12.4. Propagaci´on del campo de ondas escalar en un medio homog´eneo (condici´on inicial).200
12.5. El campo de ondas luego de 300 iteraciones en tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . 201
12. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 11
B.1. Pila de capas is´otropas con rigideces µ1 y µ2 alternadas . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.2. Pila de capas is´otropas. Planos z-y y x-y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
D.1. Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interacci´on con
una interfaz plana horizontal. Tomado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
D.2. Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interacci´on con
una interfaz plana inclinada (buzante). Tomado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . 237
13. Cap´ıtulo 1
Introducci´on
Pocas cosas escapan en la naturaleza al comportamiento ondulatorio. Casi todo termina, en
una escala o en otra, manifestando propiedades de onda. En un planeta donde existe atm´osfera,
luz solar abundante, y predominan oc´eanos de agua l´ıquida, no resulta extra˜no que muchos
animales hayan evolucionado aprovechando las propiedades de las ondas, en particular las ondas
ac´usticas. Si Ud. es un cet´aceo marino, utilizara ondas ac´usticas de aproximadamente 400Hz
para localizar a otros miembros de su grupo. Si Ud. es un murci´elago, utilizara ondas ac´usticas
con frecuencias de aprox. 20KHz para localizar alguna v´ıctima apetecible y asi subsanar una
necesidad prot´eica b´asica. Si Ud. es un homo sapiens tiene varias opciones. En particular, si
Ud. es afecto a la geof´ısica, puede utilizar ondas ac´usticas de 10-100Hz para localizar recursos
minerales en el subsuelo.
La s´ısmica de reflexi´on utilizada por los geof´ısicos y la ecolocalizaci´on utilizada por el peque˜no
murci´elago comparten un principio elemental com´un1
: las ondas que rebotan en un objeto y
1
Seamos justos: el murci´elago ejecuta adicionalmente un procesamiento neural de la se˜nal (y adem´as en tiempo
12
14. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 13
regresan en forma de eco tienen informaci´on valiosa que es utilizable para (1) conocer ciertas
caracter´ısticas del medio en que se propagan la ondas y (2) conocer caracter´ısticas inherentes al
objeto mismo (posici´on, velocidad, etc).
En la s´ısmica de reflexi´on b´asicamente se utiliza una fuente explosiva para excitar el subsuelo.
La se˜nal generada viaja hacia abajo y genera reflexiones hacia arriba en cada interfaz que consigue
durante el viaje. Estas reflexiones llegan a la superficie y son captadas por arreglos de detectores
que son localizados adecuadamente alrededor del sitio de explosi´on. El procesamiento y posterior
an´alisis de estas se˜nales suele producir una imagen muy parecida a la distribuci´on real de capas
que hay en el subsuelo en ese lugar. Esto permite iniciar entonces un proceso extractivo para
aprovechar los recursos (en particular petr´oleo) que estan encerrados bajo tierra.
El fen´omeno ondulatorio, aparece asociado a un amplio espectro de teor´ıas f´ısicas, que incluyen
no solo a la mec´anica de medios cont´ınuos [1] [2] [3] y a la electrodin´amica [4], sino tambi´en a la
mec´anica cu´antica y a las teor´ıas modernas de gravitaci´on.
Las ondas constituyen el elemento b´asico que nos provee de informaci´on a distancia, as´ı por
ejemplo, y al nivel m´as elemental, la luz nos permite observar objetos mucho antes de que est´en
al alcance del tacto; el sonido de varios rel´ampagos consecutivos nos permite estimar si una
tormenta se acerca o se aleja de nosotros, finalmente, y a un nivel mucho m´as elaborado, las di-
versas componentes del espectro electromagn´etico emitidas por los objetos celestes nos proveen
de la informaci´on necesaria para entender algunos aspectos de la estructura del cosmos. Todos
estos ejemplos tienen en com´un que la fuente de las ondas es natural. Sin embargo, con el paso
del tiempo, los seres humanos hemos desarrollado tecnolog´ıas que nos permiten generar ondas
real!) que dejar´ıa p´alido al mejor de los geof´ısicos..
15. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 14
artificialmente para ponerlas a nuestro servicio. As´ı por ejemplo, nuestros sistemas de telecomu-
nicaciones est´an basados en la transmisi´on y recepci´on de ondas electromagn´eticas, mientras que
utilizamos ondas ac´usticas generadas artificialmente para observar el interior del cuerpo humano
sin invadirlo traum´aticamente. Otra aplicaci´on importante de las ondas mec´anicas, el estudio
del subsuelo para la b´usqueda de hidrocarburos [5], constituye el elemento general de inter´es de
estas notas.
Figura 1.1: Comportamiento Ondulatorio
1.1. Objetivo de estas Notas
El objetivo general de estas notas consiste en introducir al lector a los conceptos y t´ecnicas
matem´aticas adecuadas para la descripci´on de algunos de estos fen´omenos y de proveerle, tanto de
cierta intuici´on sobre los mismos, como de algunas herramientas para estudiarlos prepar´andolo
16. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 15
para leer literatura m´as avanzada. Las notas se centrar´an principalmente en el estudio de la
propagaci´on de ondas mec´anicas (el´asticas).
El objetivo espec´ıfico del material que se presenta consiste en aproximar al lector a las aplica-
ciones relacionadas con la prospecci´on de hidrocarburos. En particular a la modelaci´on tanto cin-
em´atica como din´amica de la propagaci´on de ondas el´asticas en medios de una gran generalidad,
con miras a las aplicaciones espec´ıficas en los m´etodos s´ısmicos de exploraci´on multicomponente.
1.2. S´ısmica de Reflexi´on
Con el nombre de s´ısmica de reflexi´on se conoce colectivamente a todo un conjunto de t´ecnicas
de exploraci´on geof´ısica cuyo objetivo consiste en obtener una imagen del subsuelo a partir de la
reflexi´on de ondas el´asticas generadas artificialmente en (o cerca) de la superficie de la tierra [6][7].
Luego de un procesamiento adecuado de los datos obtenidos la imagen es interpretada en t´erminos
geol´ogicos que permiten ubicar posibles trampas (tanto estructurales como estratigr´aficas) de
petr´oleo ´o gas . Idealmente el proceso de interpretaci´on se basa en la comparaci´on heur´ıstica
entre la imagen producida por el procesamiento de los datos obtenidos en campo y una imagen
producida sint´eticamente, es decir, a trav´es de una simulaci´on a partir de un modelo geol´ogico
cuya representaci´on matem´atica es en t´erminos de la mec´anica de medios continuos.
La imagen sint´etica debe calcularse como el resultado de la simulaci´on de la propagaci´on
de ondas el´asticas a trav´es del modelo geol´ogico, y es all´ı donde surge la necesidad de poseer
programas que permitan un modelado matem´atico lo m´as cercano posible a la realidad. De
esta forma, un buen software de modelaci´on geof´ısica permite realizar mejores interpretaciones
geol´ogicas, esto se refleja en la posibilidad de tener interpretaciones geol´ogicas cada vez m´as
17. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 16
precisas de los resultados de las mediciones geof´ısicas. En el caso de la exploraci´on, esto permite
una mejor identificaci´on de las zonas prospectivas, mientras que en la geof´ısica de detalle, t´ıpica
de los campos en producci´on, la mejora conduce, casi con certeza, a un mejor aprovechamiento
de los recursos del yacimiento.
1.3. Ondas El´asticas, una Introducci´on
La mec´anica y la electrodin´amica de medios cont´ınuos estudian el comportamiento de la la
materia sin considerar su granularidad (estrucutra at´omica). Esta aproximaci´on es v´alida siempre
que las condiciones experimentales no alcancen los l´ımites en que los efectos cu´anticos hacen
su aparici´on. M´as a´un, para la modelaci´on de fen´omenos ondulatorios la idea de granularidad
puede ser bastante m´as macrosc´opica y depende cr´ıticamente de la relaci´on entre el espectro de
longitudes de onda que se propagan y las dimensiones de los objetos explorados.
La din´amica de un medio continuo est´a descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales no
lineales en derivadas parciales denominadas ecuaciones de Navier, estas ecuaciones representan
las ecuaciones de Newton para un cont´ınuo y describen el movimiento relativo de los puntos del
medio provocado por los esfuerzos internos y las fuerzas de volumen aplicadas al mismo [1][2].
Desde el punto de vista matem´atico, las ecuaciones de Navier contienen demasiadas inc´ognitas
lo que las hace insuficientes para describir al sistema, raz´on por la cual deben complementarse
con alg´un conjunto de relaciones emp´ıricas entre los esfuerzos y el objeto cinem´atico que describe
al movimiento relativo de los puntos del medio (relaciones constitutivas) y ciertamente por las
ecuaciones que describen a la termodin´amica del sistema [2] [8]. En general y a´un cuando se
disponga de un conjunto de relaciones constitutivas las ecuaciones de Navier suelen mantener
18. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 17
su car´acter de no linealidad por lo que son extraordinariamente complicadas y en general es
necesario recurrir a la b´usqueda de soluciones a trav´es de m´etodos num´ericos.
En las aplicaciones a la geof´ısica de exploraci´on, y debido a que las deformaciones son
peque˜nas, es posible utilizar un conjunto de relaciones constitutivas muy sencillas que consis-
ten en describir a los esfuerzos como proporcionales a las deformaciones (Ley de Hooke), de esta
forma el sistema de ecuaciones se linealiza y se hace factible estudiar anal´ıticamente algunos casos
sencillos para obtener ideas generales acerca del comportamiento cualitativo de las soluciones.
Al utilizar la ley de Hooke para un medio homog´eneo se hace evidente que las ecuaciones
de Navier linealizadas poseen soluciones ondulatorias sin p´erdidas. Si adicionalmente el medio
es isotr´opico, la teor´ıa predice la existencia de dos modos de propagaci´on independientes (ondas
P, S) correspondientes a ondas longitudinales y transversales [8]. Otros aspectos cualitativos
generales del comportamiento de las ondas el´asticas , reflexi´on y refracci´on en una interfase
plana y conversi´on entre los modos y fen´omenos de multirrefringencia aparecen naturalmente en
las soluciones exactas de las ecuaciones de Navier en los medios anis´otropos. Adicionalmente, el
l´ımite de altas frecuencias del modelo, completamente an´alogo a la ´optica geom´etrica, puede ser
estudiado por la ecuaci´on eikonal correspondiente.
Los fen´omenos de p´erdida de energ´ıa no pueden ser descritos por la ley de Hooke y es necesario
modificar las relaciones constitutivas para incorporarlos. En el caso de un medio viscoel´astico
lineal, las relaciones constitutivas incluyen un t´ermino que involucra la derivada temporal del
tensor de deformaciones.
19. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 18
1.4. Modelado de Ondas
En primera aproximaci´on la modelaci´on de fen´omenos ondulatorios consiste en definir lo que
se denomina frentes de onda. Grosso modo, los frentes de onda representan las regiones del
espacio a las cuales una onda llega simult´aneamente, as´ı por ejemplo, las ondas producidas por
una piedra al caer en el agua de un estanque llegan simult´aneamente a c´ırculos cuyos radios son
iguales al producto de la velocidad de las ondas superficiales por el tiempo transcurrido desde
el momento en que la piedra cay´o al agua. De esta forma, si se quiere modelar un fen´omeno de
propagaci´on entre una fuente y un receptor, sencillamente debe calcularse el tiempo de viaje y
colocar alguna forma de onda en el receptor con el retardo calculado.
De acuerdo a estas ideas, el c´alculo de tiempos de viaje es un primer elemento fundamental
en la modelaci´on. Estos c´alculos se pueden llevar adelante en t´erminos de la aproximaci´on de
la ´optica geom´etrica (denominada teor´ıa de rayos), en este enfoque, sencillamente se estiman las
trayectorias de los rayos que unen fuentes y receptores (si las condiciones geom´etricas permiten su
existencia) y se calcula el tiempo de viaje a lo largo de los rayos. Para el c´alculo de las trayectorias
de los rayos es necesario resolver una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden que puede
atacarse con cualquiera de los m´etodos num´ericos adecuados a este fin (t´ıpicamente el m´etodo
de Runge-Kutta) [9]. El trazado de rayos constituye la herramienta fundamental de modelado de
la mayor´ıa de los programas comerciales dedicados a construir sismogramas sint´eticos.
Tambi´en puede atacarse el problema del c´alculo de tiempos de viaje en t´erminos de la ecuaci´on
eikonal, esta es una ecuaci´on diferencial no lineal de primer orden en derivadas parciales que puede
resolverse con m´etodos de diferencias finitas. En el caso bidimensional, existen algoritmos suma-
mente r´apidos que permiten la resoluci´on del problema en medios heterog´eneos relativamente
20. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 19
suaves [10].
Sea cual sea la t´ecnica que se utilice, la modelaci´on basada en el c´alculo de los tiempos de
viaje no permite un c´alculo real de las amplitudes y mucho menos de los fen´omenos de dispersi´on
que puedan ocurrir si el medio es complicado, de all´ı que al modelado basado en estos c´alculos
se le denomine modelado cinem´atico.
Si se quiere realizar una modelaci´on que incorpore la m´axima realidad f´ısica contenida en la
mec´anica de medios cont´ınuos se hace necesario resolver directamente las ecuaciones de Navier,
como ya hemos adelantado, estas son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segun-
do orden, desde el punto de vista de su clasificaci´on, son ecuaciones de tipo hiperb´olico que
pueden atacarse directamente con t´ecnicas de diferencias finitas [9]. En la pr´actica este enfoque
es enormemente costoso desde el punto de vista de computaci´on, y de hecho, puede constituir
uno de los ejercicios de c´alculo num´erico de exigencias m´as intensivas que se conoce.
1.5. Organizaci´on
Los contenidos presentados en este curso son fruto de las notas de clase que han utilizado
los autores de manera total o parcial, en los siguientes cursos de la Univsersidad Sim´on Bol´ıvar:
Propagaci´on en Medios Anis´otropos, T´opicos Avanzados en F´ısica I y II, Procesamiento S´ısmico
Digital y F´ısica V.
El libro est´a concebido como un curso para estudiantes de pregrado avanzados y para es-
tudiantes de postgrado, aunque igualmente puede ser utilizado por personas que provienen de
disciplinas distintas a la geof´ısica de exploraci´on pero quieren iniciar investigaci´on en propagaci´on
de ondas con aplicaciones. El material es adaptable a diversos niveles. Para el lector no iniciado,
21. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 20
recomendamos su lectura desde el primer cap´ıtulo, abordando cada tema de manera gradual. En
cambio, los temas presentados del cap´ıtulo 5 en adelante suelen ser referencias recurrentes del
lector avanzado.
Algunos cap´ıtulos, contienen ejercicios, problemas y proyectos. La resoluci´on de los problemas
deben considerarse como parte integral del curso. Nuestra metodolog´ıa consiste en dictar tres
horas de clase semanales organizadas como sigue: dos horas de teor´ıa m´as una hora de pr´actica
en que los estudiantes discuten la resoluci´on de los problemas.
Este es un libro en construcci´on constante y din´amica, pensado para estar disponible de forma
gratuita a los lectores interesados por los medios m´as accesibles, como Internet.
Una descripci´on de la organizaci´on del curso es como sigue. El cap´ıtulo 2 contiene una intro-
ducci´on al comportamiento de las ondas lineales cuyo nivel es adecuado para lectores con poca
o ninguna familiaridad con el tema.
El cap´ıtulo 3 contiene conceptos un poco m´as avanzados acerca de la ecuaci´on de ondas en
una dimensi´on espacial y la estructura de sus soluciones generales, tema que se enfoca tanto en
el dominio espacio temporal como en el dominio del n´umero de onda y la frecuencia. El cap´ıtulo
concluye con dos secciones. La primera de ellas debe entenderse como un problema-ejemplo
guiado y la ´ultima es una aplicaci´on directa a la geof´ısica de exploraci´on.
En el cap´ıtulo 4 presentamos una discusi´on relativamente completa de un ejemplo f´ısico
expl´ıcito: a saber, el de las vibraciones transversales de una cuerda. El objetivo principal de este
cap´ıtulo consiste en introducir el tipo de ideas que al generalizarse a la elastodin´amica, llevan a la
formulaci´on del problema de propagaci´on de ondas s´ısmicas y a cierta comprensi´on del problema
de flujo de energ´ıa.
22. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 21
La discusi´on del cap´ıtulo 5 se centra en el problema de la propagaci´on de paquetes de onda,
lo que lleva naturalmente a introducir las ideas de velocidad de grupo y dispersi´on que aparecen
usualmente en el ruido s´ısmico denominado ground roll.
Los conceptos de rayos y frentes de onda son discutidos rigurosamente en el cap´ıtulo 6, en
donde se muestra claramente que ambos conceptos est´an relacionados a trav´es de la ecuaci´on
eikonal.
Como prerequisito para la lectura efectiva de estas notas se asume que el lector est´a famil-
iarizado con
1. Los fen´omenos de interferencia y difracci´on.
2. La ecuaci´on escalar de ondas homog´enea en 1,2 y 3 dimensiones
( 2
−
1
c2
∂2
∂t2
)Ψ(x, t) = 0
y sus soluciones en t´erminos de ondas planas.
3. Las t´ecnicas del An´alisis de Fourier.
Nota Importante Las notas incluyen algunos proyectos de programaci´on, para llevarlos a
cabo los autores recomendamos el uso del programa SCILAB1
.
1
SCILAB es un paquete de c´alculo num´erico muy similar a MATLAB, pero a diferencia de este, es de dis-
tribuci´on gratuita lo que evita el problema de la pirateria. Existen versiones para MacIntosh, Windows 95, 98,
2000 y Solaris. El programa puede obtenerse libremente en la red en la direcci´on http://www-rocq.inria.fr/scilab,
donde tambi´en se consiguen un gran n´umero de aplicaciones especiales colocadas por contribuyentes
23. Cap´ıtulo 2
¿Qu´e es una onda?
El t´ıtulo de este cap´ıtulo coincide con una de las preguntas que queremos responder en este
curso.
En un cierto caso especial puede decirse que:
Una onda es una se˜nal reconocible que puede ser transferida de un lugar a otro
de un medio con una velocidad de propagaci´on reconocible.
G. B. Whithman [11]
Tambi´en podemos decir que una onda es una perturbaci´on que se propaga en el espacio y en
el tiempo manteniendo ciertas caracter´ısticas discernibles. En esta forma decir las cosas hay una
diferencia sustancial con el p´arrafo anterior: no estamos haciendo referencia a medio alguno, y
esto es vital ya que en el caso de las ondas electromagn´eticas no hace falta ning´un medio para
la propagaci´on ya que las ondas electromagn´eticas se propagan en el vacio.
22
24. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 23
2.1. Definici´on General del Problema de Propagaci´on
Como hab´ıamos mencionado en la introducci´on ,la descripci´on de los procesos ondulatorios
en electrodin´amica, as´ı como su descripci´on en mec´anica de medios cont´ınuos, presenta adem´as
de lsa particularidades propias de cada caso, abundantes y representativos elementos comunes.
Queremos presentar a continuaci´on una descripci´on de los elementos esenciales que conforman
el problema general de propagaci´on (fig.2.1).
Dada una regi´on (s) del espacio donde ocurre la propagaci´on, que puede o no estar ocupado
por un medio material cont´ınuo 1
, se define como objeto cinem´atico fundamental φ(r, t) a la can-
tidad (escalar ´o vectorial) que describe matem´aticamente el comportamiento de una perturbaci´on
que viaja en (s). La cantidad φ(r, t) constituye la funci´on inc´ognita en toda ecuaci´on de onda.
La soluci´on φ(r, t) (∀ r y t > 0) describe pues expl´ıcitmente la cantidad que se propaga en forma
de onda. La evoluci´on de φ(r, t) en el dominio espacio-temporal describe la propagaci´on de la
perturbaci´on en la regi´on s.
La especificaci´on anal´ıtica del comportamiento de φ(r, t) en t = 0 constituye las condiciones
iniciales del problema, y son suficientes para iniciar la propagaci´on de la perturbaci´on. El proble-
ma de propagaci´on para φ(r, t) puede pues resolverse completamente aunque solo estan presentes
las condiciones iniciales como agente iniciador. Adicionalmente, una excitaci´on o fuente (f) puede
forzar condiciones extra en t ≥ 0 adem´as de las impuestas por las C.I.
La especificaci´on de las condiciones f´ısicas en el l´ımite geom´etrico (borde ´o frontera) de la
regi´on s constituye las condicione de borde (c.b).
1
Hacemos la observaci´on dado que las ondas electromagn´eticas se propagan en el vac´ıo, que no es un medio
material cont´ınuo.
25. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 24
Figura 2.1: Problema General de Propagaci´on
Hagamos algunas puntualizaciones importantes:
Hemos mencionado que la regi´on s puede contener un medio material sobre el cual ocurre
la propagaci´on. ´Este puede ser un medio ac´ustico (fluidos) ´o el´astico, con sus respectivas
variantes dispersivas y/o disipativas (con p´erdidas). En cualquier caso, sus propiedades
estan descritas por tensores en t´erminos de los par´ametros constitutivos del medio.
En el dominio temporal, la excitaci´on o fuente puede ser aperi´odica (pulso o shot) o peri´odi-
ca; en este ´ultimo caso, si adem´as la dependencia es arm´onica, la ecuaci´on de onda es
resoluble por separaci´on de variables, dando a la parte temporal una soluci´on de la forma
eiwt
, y a la parte espacial una soluci´on via la ecuaci´on de Helmholtz.
Llamamos objeto cinem´atico fundamental a la cantidad que aparece como funci´on inc´ognita
en la ecuaci´on de onda. La soluci´on pues describe expl´ıcitmente la cantidad que se propaga
en forma de onda. Como ejemplos, podemos citar la i-´esima componente del campo el´ectrico,
que aparece como inc´ognita en la ecuaci´on de onda electromagn´etica y como tal se comporta
de forma ondulatoria
26. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 25
µ ∂2Ei
∂t2 = 2
Ei
´o tambien, en elastodin´amica, la cantidad ( × u) aparece en la ecuaci´on de onda-S, y es
por tanto el objeto cinem´atico fundamental de dicha ecuaci´on
ρ∂2( ×u)
∂t2 = λ 2
( × u)
La forma de la ecuaci´on a resolver, y por ende la naturaleza de sus soluciones, depende de
los factores f´ısicos que se desee incorporar a la observaci´on. Hablamos entonces de ecuaci´on
de onda libre, ecuaci´on de onda con fuentes, ecuaci´on de onda en coordendadas esf´ericas,
ecuaci´on de onda en medio dispersivo, etc.
Finalmente, un elemento esencial a tener en cuenta es el enfoque, (scope) ´o rango de obser-
vaci´on del problema (O-), el cual dicta en buena medida las aproximaciones id´oneas a realizar en
el an´alisis cuantitativo del mismo. Asi por ejemplo, una onda cuyo an´alisis cuantitativo predice
como esf´erica, puede ser tratada como onda plana si el an´alisis se hace suficientemente lejos de
la fuente. O una onda 3D puede ser resuelta en 1D o 2D si la f´ısica del problema permite una
tal simplificaci´on.
2.2. Ondas en una Dimensi´on
Para acercarnos un poco a la intuici´on2
consideremos un pulso que se propaga en una cuerda
(esta es una onda mec´anica que se propaga en un medio). Durante su tr´ansito, el pulso transmite
2
Por cierto, que una buena manera de mejorar la intuici´on ondulatoria consiste en hacer experimentos con
ondas jugando con un slinky.
27. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 26
movimiento a todos los puntos de la cuerda. Adem´as, si hacemos un experimento con cierto cuida-
do veremos que el pulso se propaga a lo largo de la cuerda con rapidez constante y practicamente
sin deformaci´on.
Tratemos de construir un modelo matem´atico para lo que estamos describiendo, coloquemos
un eje de coordenadas (que llamaremos x) a lo largo de la cuerda, y pensemos en enviar un
pulso de tal suerte que los puntos de la cuerda se mantengan siempre en el mismo plano (que
ciertamente contendr´a al eje x). En estas condiciones podemos escoger el eje y para que el plano
x − y coincida con el plano del movimiento de los puntos de la cuerda.
Notemos que podemos utilizar la coordenada x para hacer referencia (etiquetar) a los puntos
de la cuerda. En consecuencia la altura de un punto (P) de la cuerda ser´a una funci´on de xp (la
posici´on del punto P) y del tiempo esto es3
yP (t) = u(xP , t).
Consideremos ahora una funci´on real de una variable real (f(s)), cuyo grafo coincida con
una imagen instant´anea del pulso (digamos en t = 0), en ese caso, conocimientos elementales de
matem´aticas permiten afirmar que si el pulso viaja sin deformaci´on con una rapidez v a lo largo
de la cuerda la funci´on u(x, t) tendr´a de la forma4
u(x, t) = f(x ± v t) (2.0)
donde los signos + y − indican un movimiento del pulso a la izquierda o a la derecha respecti-
3
una forma de entender esto es atrav´es de un proceso de l´ımites, podemos imaginar un sistema de N osciladores
acoplados cuyos movimientos est´an limitados al plano x − y, a cada oscilador podemos asignarle una etiqueta de
manera que sus alturas en funci´on del tiempo ser´an y1(t), y2(t), . . . , yN−1(t), y yN (t), si mantenemos la longitud
de la cadena de osciladores finita y hacemos que el n´umero de osciladores tienda a infinito las etiquetas deber´an
ser sustituidas por el cont´ınuo de manera que la lista yk(t), k = 1, 2, . . . , N se sustituir´a naturalmente por u(x, t)
4
a este tipo de ondas se les denomina ondas viajeras
28. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 27
vamente.
Un efecto f´ısico notable -que no siempre ocurre- se puede observar con onditas producidas
en la superficie de un charco tranquilo. Bajo ciertas condiciones cuando dos ondas se encuen-
tran interact´uan produciendo una cresta m´as alta o anul´andose por completo, para luego seguir
propag´andose tranquilamente con la misma forma que ten´ıan antes de interactuar. Este fen´omeno
que no ocurre con todo tipo de ondas se denomina principio de superposici´on. En este curso nos
limitaremos a estudiar en detalle las ondas que obedecen el principio de superposici´on y las de-
nominaremos ondas lineales para diferenciarlas de otro tipo de ondas (las ondas de choque, por
ejemplo) para las cuales el principio de superposici´on no se satisface.
Volvamos a poner atenci´on a la onda viajera dada por la f´ormula (2.2). Supongamos que la
segunda derivada ordinaria de f(s) es g(s), es decir, d2f(s)
ds2 = g(s). En ese caso, las segundas
derivadas parciales de u(x, t) est´an dadas por
∂2
u(x, t)
∂ x2
= g(x ± v t) (2.1)
∂2
u(x, t)
∂ t2
= v2
g(x ± v t) (2.2)
de donde sigue que u(x, t) satisface la siguiente ecuaci´on diferencial en derivadas parciales de 20
orden5
∂2
x u(x, t) −
1
v2
∂2
t u(x, t) = 0 (2.2)
Que denominaremos ecuaci´on de ondas unidimensional sin fuentes, y que ser´a el punto inicial
de la modelaci´on de los fen´omenos ondulatorios. En este punto vamos a introducir algo de
nomenclatura extra: el par´ametro v que aparece en la ecuaci´on de ondas se denomina velocidad
de fase.
5
por simplicidad a veces usaremos la notaci´on ∂x = ∂
∂ x , etc.
29. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 28
Una de las virtudes b´asicas de la ecuaci´on de ondas es que es lineal, lo que permite asegurar
que las ondas que satisfagan la ecuaci´on (2.2) satisfacen el principio de superposici´on. En efecto,
supongamos que u1(x, t) y u2(x, t) sean soluciones de (2.2), y que α es un n´umero real entonces
∂2
x [u1(x, t) + α u2(x, t)] −
1
v2
∂2
t [u1(x, t) + α u2(x, t)] =
= ∂2
x u1(x, t) −
1
v2
∂2
t u1(x, t) + α ∂2
x u2(x, t) −
1
v2
∂2
t u(x, t) = 0 (2.2)
en otras palabras, u(x, t) = u1(x, t) + α u2(x, t) es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas, lo que
corresponde sencillamente a la representaci´on matem´atica del principio de superposici´on.
Una de las caracter´ısticas fundamentales de las ondas es que portan energ´ıa, momentum, y
en algunos casos momentum angular.
2.3. Ondas Longitudinales y Transversales
Existen diversas clasificaciones (todas incompletas) para las ondas. En una de ellas hablamos
de ondas longitudinales y ondas transversales.
En las ondas longitudinales la perturbacin es paralela a la direcci´on de propagaci´on. Tal es el
caso por ejemplo de las ondas de presi´on en un fluido y de las ondas tipo P en un medio elstico.
En las ondas transversales la perturbaci´on es ortogonal a la direcci´on de propagaci´on. Tal es
el caso por ejemplo de las ondas electromagn´eticas y de las ondas S en un medio el´astico.
30. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 29
Figura 2.2: La ecuaci´on de ondas c2 2
u−∂2
t u = 0 predice la propagaci´on de pulsos como los que
se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos viajan sin deformaci´on
con velocidad c
31. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 30
Figura 2.3: Ondas longitudinales en un resorte
2.4. Ondas Arm´onicas
Existen una clase de soluciones muy particulares a la ecuaci´on de ondas que se conocen
colectivamente como ondas arm´onicas monocrom´aticas. Estas son soluciones de la ecuaci´on (2.2)
que pueden expresarse en una de las siguientes formas:
u(x, t) = A cos(k x − ω t + φ) (2.3)
u(x, t) = A sen(k x − ω t + φ) (2.4)
u(x, t) = e[A ei(k x−ω t)
] (2.5)
u(x, t) = Im[A ei(k x−ω t)
] (2.6)
donde A, k y ω son constantes reales, y A = A eiφ
. Debido a la ecuaci´on de ondas, las constantes
k y ω denominadas n´umero de onda y frecuencia angular respectivamente no son independientes,
sino que est´an relacionados por la velocidad de fase a trav´es de la relaci´on de dispersi´on
k2
=
ω2
v
(2.6)
´o ω = v k. Es facil observar que el n´umero de onda y la frecuencia angular son cantidades
dimensionales cuyas dimensiones son de rec´ıproco de longitud y tiempo−1
respectivamente. La
amplitud (A) es una cantidad cuya dimensionalidad depende del contexto; en el caso de las ondas
32. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 31
de campo el´ectrico [A] = volt
m
, mientras que en el caso de las ondas transversales en una cuerda
la amplitud tiene dimensiones de longitud.
El n´umero de onda y la frecuencia angular tienen una interpretaci´on interesante, la cantidad
λ ≡
2π
k
(2.6)
representa un per´ıodo espacial de las ondas arm´onicas como puede verse de la cadena de igual-
dades
cos[k(x + λ) ± ω t + φ] = cos(kx ± ω t + φ + 2π) = cos(kx ± ω t + φ) (2.6)
es por esto que λ se denomina longitud de onda.
La frecuencia angular define el per´ıodo temporal (T) de una onda arm´onica seg´un la identidad
T ≡ 2π
ω
.
Las ondas arm´onicas tienen una caracter´ıstica que las hace acreedoras a una atenci´on es-
pecial, en efecto, de acuerdo al teorema de Fourier, cualquier soluci´on a la ecuaci´on de ondas
unidimensional se puede expresar como superposici´on de ondas arm´onicas de distinta amplitud
relativa. Puesto en forma matem´aticamente expl´ıcita:
Teorema 1 Toda soluci´on de la ecuaci´on de ondas unidimensional puede escribirse como
u(x, t) =
ω
A(ω) ei(k(ω)−ω t)
(2.6)
en donde, la suma es en las frecuencias, los n´umeros de onda asociados a cada frecuencia est´an
dados por k(ω) = ω
v
y la notaci´on A(ω) pretende destacar que las amplitudes de las ondas
arm´onicas cuya superposici´on permite sintetizar u(x, t) son diferentes (y dependen de u(x, t)).
33. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 32
2.5. Ondas en dos y tres dimensiones
Los fen´omenos ondulatorios lineales tambi´en pueden ocurrir en dos y tres dimensiones espa-
ciales. Como ejemplo bidimensional por excelencia podemos mencionar las ondas que se producen
en la superficie de un pozo, o las vibraciones del cuero de un tambor (ondas en membranas),
mientras que en tres dimensiones podemos mencionar las ondas ac´usticas (el sonido no es otra
cosa que la propagaci´on de ondas de presi´on en el aire).
Los modelos matem´aticos que describen estos fen´omenos est´an basados en las soluciones de
las ecuaciones de onda en dos y tres dimensiones (´o como decimos los f´ısicos en 2 + 1 y 2 + 1
dimensiones, a saber
∂2
x u(x, y; t) + ∂2
y u(x, y; t) −
1
v2
∂2
t u(x, y; t) = 0 (2.6)
para el caso 2 + 1, y
∂2
x u(x, y, z; t) + ∂2
y u(x, y, z; t) + ∂2
z u(x, y, z; t) −
1
v2
∂2
t u(x, y, z; t) = 0 (2.6)
para el caso 3 + 1. Definiendo el operador de Laplace
2
= ∂2
x + ∂2
y + . . . (2.6)
es posible resumir las ecuaciones de onda en los casos d + 1 con solo poner
2
u(x; t) −
1
v2
u(x; t) = 0 (2.6)
y especificando d = 1, 2 ´o 3.
34. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 33
2.5.1. Ondas Planas
De particular inter´es son las soluciones denominadas ondas planas. Estas se construyen como
generalizaciones de las ondas viajeras unidimensionales y requieren de un vector unitario ˆn y de
una funci´on real de variable real (f(s)) con segunda derivada cont´ınua. Es facil ver que con estos
elementos, las funciones
u(x; t) ≡ f(ˆn.x ± v t) (2.6)
son ondas (es decir soluciones a las ecuaciones de onda en d = 1, 2 o 3) que se propagan paralela
o antiparalelamente al vector ˆn seg´un sea el signo relativo que aparece en el argumento.
Las soluciones se denominan planas porque en el caso tridimensional para cada instante de
tiempo fijo (tomemos t0 como ejemplo), el lugar geom´etrico de los puntos de fase (i.e. argumento)
constante son los planos
ˆn.x = v t0 (2.6)
Estos planos de fase constante se denominan frentes de onda y evidentemente son ortogonales a
los vectores de propagaci´on ˆn. M´as a´un, es facil convencerse de que los frentes de onda viajan
con velocidad ± vˆn.
Es claro que la noci´on de ondas planas se puede generalizar a las ondas arm´onicas monocrom´aticas.
Si tomamos la notaci´on de funciones complejas, podemos poner una onda arm´onica plana monocrom´atica
como
u(x, t) = A ei
(k.x − ω t) (2.6)
donde (como usted deber´a probar en los ejercicios) el vector de onda k est´a relacionado con la
35. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 34
frecuencia angular por
|k|2
=
ω2
c2
(2.6)
2.5.2. Ondas esf´ericas y objetos relacionados
Como usted debe haber aprendido en sus cursos de matem´aticas, cuando el operador de
Laplace ´o laplaciano 2
act´ua sobre funciones, su acci´on tiene la siguiente forma en coordenadas
cil´ındricas y esf´ericas
2
Ψ(ρ, φ, z) =
1
ρ
∂ρ(ρ∂ρΨ) +
1
ρ2
∂2
φΨ + ∂2
z Ψ coordenadas cil´ındricas (2.6)
y
2
Ψ =
1
r
∂2
r (rΨ) +
1
r2 senθ
∂θ(senθ ∂θΨ) +
1
r2 sen2θ
∂2
φΨ coordenadas esf´ericas. (2.6)
Evidentemente esto lleva a las formas correspondientes para la ecuaci´on de ondas. Para el nivel
matem´atico de este curso nos limitaremos al caso esf´ericamente sim´etrico, es decir a soluciones
de la ecuaci´on de ondas que solo dependen de la distancia radial (r) y el tiempo. En ese caso, la
ecuaci´on de ondas correspondiente se simplifica de manera notable reduci´endose a
1
r
∂2
r (r u(r, t)) −
1
v2
∂2
t u(r, t) = 0 (2.6)
que, como usted demostrar´a en la secci´on de problemas, tiene la soluci´on general
u(r, t) =
1
r
f1(r + vt) +
1
r
f2(r − vt) (2.6)
donde f1(s) y f2(s) son funciones reales de una variable real con segundas derivadas cont´ınuas y
que carecen de cualquier otra caracter´ıstica especial.
36. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 35
Es claro que en el caso de las ondas esf´ericas los frentes de onda son esf´ericas (lo que coincide
con nuestra intuici´on asociada a la experiencia de ver las ondas que se producen al lanzar una
piedra en un charco).
Una vez m´as es posible encontrar el caso arm´onico monocorm´atico, que en notaci´on trigonom´etri-
ca ser´a
u(r, t) =
A
r
cos(kr − ωt + φ), con k2
=
ω2
v2
(2.6)
Los temas que hemos mencionado en esta peque˜na rese˜na acerca de las ondas ser´an profundizados
y complementados con otros a lo largo del curso.
37. Cap´ıtulo 3
La Ecuacion de Ondas en 1+1
Dimensiones
En este cap´ıtulo vamos a abordar algunos conceptos b´asicos relacionados con la propagaci´on
de ondas en una dimensi´on. Antes de entrar de lleno en el tema debemos insistir, en que como se
dijo en la introducci´on, el comportamiento ondulatorio es sumamente universal. Mientras ciertas
condiciones f´ısicas se satisfagan, la propagaci´on de un pulso de presi´on en una columna de gas
contenida en un tubo, las vibraciones de una cuerda en un instrumento como el viol´ın o el piano,
las transmisi´on de un impulso de torsi´on en una barra larga, la propagaci´on de se˜nales de voltaje
en una l´ınea de transmisi´on son ejemplos de fen´omenos que -despreciando las p´erdidas de energ´ıa-
son descritos adecuadamente por la ecuaci´on de ondas unidimensional sin fuentes o ecuaci´on de
ondas libre:
∂2
φ(x, t)
∂2x
−
1
c2
∂2
φ(x, t)
∂2t
= 0 (3.0)
36
38. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 37
En esta ecuaci´on, la inc´ognita es la funci´on φ(x, t) que representa la perturbaci´on1
y c es una
constante2
que, como veremos en la primera secci´on de este cap´ıtulo, representa la velocidad con
que las ondas (pulsos) se propagan a trav´es del sistema.
3.1. Introducci´on a las EDP’s
Evidentemente, la variable independiente en la ecuaci´on (3) es una funci´on de dos variables
que aparece en t´erminos de sus derivadas parciales. Las ecuaciones diferenciales de este tipo se
denominan ecuaciones diferenciales en derivadas parciales o EDP’s. El objetivo de esta secci´on
consiste en introducir muy brevemente un cierto conjunto de EDP’s denominadas EDP’s de 2o
orden.
El inter´es en las EDCP’s de segundo orden consiste en que las ecuaciones de este tipo aparecen
generalmente ligadas a problemas de la f´ısica matem´atica que describen la distribuci´on espacial
´o espacio temporal de alguna variable. Como ejemplos t´ıpicos podemos mencionar la ecuaci´on
para la propagaci´on del calor, la ecuaci´on de Laplace y ciertamente, la ecuaci´on de ondas, todos
fen´omenos de evidente inter´es para la geof´ısica.
Definici´on 1 Una EDP de 2o
orden en 2 dimensiones es una ecuaci´on diferencial de la forma:
A(x, y)
∂2
u
∂x2
+ 2B(x, y)
∂2
u
∂x∂y
+ C(x, y)
∂2
u
∂y2
=
= f(x, y; u(x, y),
∂u(x, y)
∂x
,
∂u(x, y)
∂y
) (3.0)
1
presi´on, amplitud de un movimiento transversal, ´angulo de torsi´on o voltaje en nuestros ejemplos
2
la naturaleza de c est´a asociada directamente con ciertas propiedades intr´ınsecas del sistema que estemos
estudiando
39. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 38
generalmente estas ecuaciones se plantean en alguna regi´on finita (´o infinita) del plano x − y
sobre cuyo borde se establecen condiciones de frontera para la funci´on u(x, y). Si la funci´on f
es lineal con respecto a u y sus derivadas3
el problema se denomina lineal, en caso contrario
cuasi-lineal.
Las EDP’s de 2o
orden se clasifican en tres tipos asociados a los tres problemas b´asicos de la
f´ısica matem´atica cl´asica. La clasificaci´on es de acuerdo al signo del discriminante ∆ = B2
− AC
y la presentamos en el cuadro (3.1).
Tipo de Ecuaci´on ∆ Prototipo Ejemplo Fisico
Hiperb´olico > 0 ∂2u
∂2x
− ∂2u
∂2y
= 0 Ecuacion de Ondas
Parab´olico = 0 ∂2u
∂2x
− ∂u
∂y
= 0 Ecuacion del Calor
El´ıptico < 0 ∂2u
∂2x
+ ∂2u
∂2y
= 0 Ecuacion de Laplace
]
Cuadro 3.1: Clasificaci´on de las Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica Cl´asica.
Cabe destacar que los tres tipos de ecuaciones a que hemos hecho referencia aparecen en
problemas de geof´ısica. Las ecuaciones el´ıpticas (ecuaciones de Laplace y Poisson) describen los
campos gravitatorio y magn´etico terrestres, y tambi´en tienen aplicaci´on en los m´etodos geoel´ectri-
cos de corfriente cont´ınua. Las ecuaciones parab´olicas permiten describir el flujo de calor en el
interior de la tierra. Y las ecuaciones de tipo hiperb´olico aparecen en los problemas de sismolog´ıa,
exploraci´on s´ısmica y electromagn´etica por campos variables.
El inter´es de esta clasificaci´on est´a relacionado con las propiedades generales de las solu-
ciones de las ecuaciones y con el tipo de problemas de borde que pueden plantearse para cada
3
f = f0(x, y) + D(x, y)u(x, y) + F(x, y)∂u(x,y)
∂x + G(x, y)∂u(x,y)
∂y
40. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 39
ecuaci´on ambos problemas de gran importancia que escapan del alcance de estas notas. Al lector
interesado en estos detalles se le recomienda consultar las referencias [12] y [13] que seguramente
encontrar´a de enorme utilidad.
3.2. El m´etodo de las caracter´ısticas
En el caso m´as general posible en que los coeficientes A, B y C de la ecuaci´on (3.0) no son
constantes, la clasificaci´on de la ecuaci´on puede variar de una region a otra del plano. En esta
secci´on nos restringiremos al caso sencillo en que A, B y C sean constantes, asumiremos adem´as
que la ecuaci´on es homog´enea (f = 0), con lo que el problema que nos ocupa es:
A
∂2
u
∂x2
+ 2B
∂2
u
∂x∂y
+ C
∂2
u
∂y2
= 0 (3.0)
Queremos tratar de decir algunas cosas acerca de las propiedades de las soluciones de la ecuaci´on
(3.2), con este fin tomaremos el siguiente ansatz4
u(x, y) = f(p) con: p = ax + by (3.0)
en donde a y b son constantes. Sustituyendo nuestra “soluci´on”en (3.2) queda (ejercicio)
(Aa2
+ 2Bab + Cb2
)f (p) = 0 (3.0)
donde: f (p) = d2f
dp2 .
Es evidente que la soluci´on no trivial m´as general posible a la ecuaci´on (3.2) se obtiene
anulando la expresi´on bilineal en a y b, esto es, cuando a y b satisfacen la condici´on
Aa2
+ 2Bab + Cb2
= 0 (3.0)
4
obs´ervese que ∂u
∂x = af (p), ∂2
u
∂x2 = a2
f (p), ∂u
∂y = bf (p), ∂2
u
∂y2 = b2
f (p), y ∂2
u
∂x∂y abf (p)
41. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 40
cuya soluci´on es
b/a =
[−B ±
√
B2 − AC]
C
= λ1, λ2 (3.0)
si la ecuaci´on que estamos estudiando es de tipo hiperb´olico se obtienen dos raices reales que
llevan a dos rectas (denominadas “caracter´ısticas de la ecuaci´on”)
p1 = x + λ1y y p2 = x + λ2y (3.0)
de esta manera, hemos obtenido dos soluciones
f1(x + λ1y) y f2(x + λ2y) (3.0)
ahora bi´en, la ecuaci´on (3.2) es lineal lo que obliga a superponer las dos soluciones reci´en obtenidas
para demostrar que la forma de la soluci´on m´as general posible de una ecuaci´on hiperb´olica a
coeficientes constantes es
u(x, y) = f1(p1) + f2(p2) = f1(x + λ1y) + f2(x + λ2y) (3.0)
Evidentemente la ecuaci´on de ondas (3) es hiperb´olica y los valores de los coeficientes en este
caso son:
A = 1 B = 0 C = −
1
c2
(3.0)
en consecuencia, al utilizar la f´ormula (3.2) hemos probado que la forma general de la soluci´on
de la ecuaci´on de ondas es la siguiente
u(x, t) = f1(x + ct) + f2(x − ct) (3.0)
la interpretaci´on f´ısica de la f´ormula (3.2) es sencilla (pero fundamental). Si pensamos que las
variables x y t representan posici´on y tiempo, resulta facil darse cuenta de que la soluci´on (3.2)
42. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 41
a la ecuaci´on unidimensional de ondas representa la superposici´on de dos pulsos de amplitud (de
formas f1 y f2) que viajan sin deformaci´on en los dos sentidos espaciales (±x) con velocidad c
(ejercicio: medite acerca de esta afirmaci´on, si es posible utilice alg´un recurso de computaci´on
para hacer una animaci´on).
Hay una forma -quiz´a m´as intuitiva- de llegar al resultado (3.2) y que proviene de la simple
observaci´on de que el operador de D’Alembert:
∂2
x −
1
c2
∂2
t (3.0)
se puede factorizar en la forma5
∂2
x −
1
c2
∂2
t = ∂+∂−con: ∂± =
1
2
(∂x ±
1
c
∂t) (3.0)
de esta manera la ecuaci´on de ondas se reescribe en la forma
∂+∂−u = 0 (3.0)
cuya soluci´on m´as general es evidentemente de la forma (3.2).
3.3. Problema de Valores Iniciales y Soluci´on de Cauchy
En la secci´on (3.1) comentamos que las soluciones a las PDE’s deben satisfacer alg´un tipo
de condici´on en la regi´on en que se han definido. Para la ecuaci´on de ondas el problema t´ıpico
es el problema de condiciones iniciales, en esta secci´on mostraremos la soluci´on de D’Alembert
al problema de Cauchy (problema de condiciones iniciales) para la ecuaci´on de ondas libre en 1
dimension. El problema que nos interesa es el siguiente:
5
que corresponde al cambio de variables: x±
= x ± ct
43. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 42
Definici´on 2 El Problema de Cauchy para la ecuaci´on de ondas consiste en encontrar la soluci´on
a la ecuaci´on
(
∂2
∂x2
−
1
c2
∂2
∂t2
)u(x, t) = 0 (3.0)
sometida a las siguientes condiciones iniciales:
u(x, 0) = φ(x) (3.0)
∂u(x, 0)
∂t
= Ψ(x) (3.0)
Para tener una imagen f´ısica del problema imaginemos las vibraciones transversales de una
cuerda. En ese caso, y para cada punto x a lo largo de la cuerda, la funci´on u(x, t) representa
la amplitud instant´anea del movimiento de la cuerda en ese punto, mientras que la derivada
parcial ∂tu(x, t) representa la velocidad transversal del punto de la cuerda que est´a localizado en
la coordenada x. De esta forma, las condiciones iniciales φ y Ψ representan la forma inicial y la
velocidad transversal6
de cada punto a lo largo de la cuerda.
Para resolver el problema de Cauchy, recordemos que la f´ormula (3.2) representa la soluci´on
m´as general posible de la ecuaci´on de ondas en 1 dimensi´on, ahora bien, el problema de valores
iniciales requiere para su soluci´on la imposici´on de las condiciones iniciales (2) y (2). Utilizando
la f´ormula (3.2) para evaluar las condiciones iniciales se obtiene
φ(x) = u(x, 0) = f1(x + 0) + f2(x − 0) (3.0)
ψ(x) =
∂u(x, 0)
∂t
= cf1(x + 0) − cf2(x − 0) (3.0)
6
que no debemos confundir con la velocidad de propagaci´on c
44. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 43
la ´ultima de estas dos condiciones puede integrarse y resulta
f1(x) − f2(x) =
1
c
x
x0
ψ(q)dq + K (3.0)
las ecuaciones (3.3) y (3.3) constituyen el siguiente sistema de ecuaciones que permite determinar
la funciones f1 y f2
f1(x) + f2(x) = φ(x) (3.0)
f1(x) − f2(x) =
1
c
x
x0
ψ(s)ds + K (3.0)
Las soluciones de este sistema de ecuaciones se encuentran de manera elemental, y podemos
escribir -luego de evaluar en las variables apropiadas-
f1(x + ct) =
1
2
φ(x + ct) +
1
2c
x+ct
x0
ψ(s)ds +
K
2
(3.0)
f2(x − ct) =
1
2
φ(x − ct) −
1
2c
x−ct
x0
ψ(s)ds −
K
2
(3.0)
sumando f1 y f2 resulta
u(x, t) =
1
2
φ(x + ct) +
1
2
φ(x − ct) +
1
2c
[
x+ct
x0
ψ(s)ds −
x−ct
x0
ψ(s)ds] (3.0)
de donde, en definitiva, se obtiene la soluci´on de D’Alembert al problema de Cauchy para la
ecuaci´on de ondas
u(x, t) =
1
2
φ(x + ct) +
1
2
φ(x − ct) +
1
2c
x+ct
x−ct
Ψ(s)ds (3.0)
Para interpretar adecuadamente los t´erminos que aparecen en la soluci´on de D’Alembert es
conveniente pensar en el problema de oscilaciones transversales en una cuerda larga, de esta
forma, resulta evidente que los dos primeros sumandos corresponden a un par de ondas viajeras
45. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 44
(una a la izquierda y otra a la derecha) cuya amplitud es 1/2 de la forma inicial de la onda,
mientras que el t´ermino integral corresponde al efecto que en la onda total tiene la velocidad
transversal inicial de los puntos de la cuerda.
Problema 1 ¿Cu´ales ser´an las condiciones iniciales que garantizan que una forma de onda dada
f(x) se propague solamente hacia la derecha?
3.4. El problema de Cauchy en dominio k − ω
En esta ´ultima secci´on queremos retomar el estudio de la soluci´on del problema de Cauchy,
esta vez, en t´erminos de t´ecnicas de transformaci´on de Fourier7
(TDF)
Comenzaremos por tomar la TDF de la ecuaci´on de ondas sin fuentes
(
∂2
∂x2
−
1
c2
∂2
∂t2
)ψ(x, t) = 0 (3.0)
para obtener el siguiente problema equivalente en la representaci´on frecuencia-n´umero de onda
´o dominio k − ω
[k2
− (
ω
c
)2
]ψ(k, ω) = 0 (3.0)
´o
(k −
ω
c
)(k +
ω
c
)ψ = 0 (3.0)
7
Nuestras convenciones para las transformadas de Fourier directa e inversa son las siguientes:
Ψ(k, w) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
ψ(x, t)e−i(kx−wt)
dxdt y
ψ(x, t) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
Ψ(k, w)ei(kx−wt)
dkdw
46. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 45
La ecuaci´on (3.4) debe entenderse como una ecuaci´on distribucional, debido a lo cual, su
soluci´on m´as general es de la forma
ψ(k, ω) = A+(k)δ(k +
ω
c
) + A−(k)δ(k −
ω
c
) (3.0)
de este resultado se deduce la forma m´as general posible para las soluciones de la ecuaci´on (3.4)
ψ(x, t) =
1
2π
∞
−∞
[A+(k)δ(k +
ω
c
) + A−(k)δ(k −
ω
c
)]ei(kx−ωt)
dkdω (3.0)
podemos integrar esta expresi´on en ω para obtener
ψ(x, t) =
1
2π
∞
−∞
[A+(k)ei[kx+ckt]
+ A−(k)ei[kx−ckt]
dk (3.0)
evidentemente esta f´ormula se puede interpretar como la superposici´on de ondas viajeras que se
propagan en las direcciones ±x. Para simplificar la notaci´on reescribiremos la f´ormula anterior
en la siguiente forma m´as compacta8
ψ(x, t) =
1
2π
∞
−∞
A(k)ei[kx−ω(k)t]
dk (3.0)
En general la soluci´on que hemos encontrado es una funci´on de valores complejos, sin embargo
estamos interesados en problemas de propagaci´on de ondas f´ısicas as´ı que solo deseamos soluciones
a la ecuaci´on de ondas que tomen valores reales (u(x, t)), estas soluciones pueden describirse en
t´erminos de la soluci´on general ψ(x, t) seg´un
u(x, t) =
1
2
(ψ(x, t) + ψ∗
(x, t)), (3.0)
8
una f´ormula similar ser´a utilizada en el cap´ıtulo 5 para describir ondas que se propagan en medios en los que
la relaci´on de dispersi´on ω = ω(k) no es trivial
47. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 46
esto es,
u(x, t) =
1
2
{
1
2π
∞
−∞
A(k)ei[kx−ω(k)t]
dk +
∞
−∞
A∗
(k)e−i[kx−ω(k)t]
dk}
=
1
2
{
1
2π
∞
−∞
[A(k)ei[kx−ω(k)t]
+ A∗
(k)e−i[kx−ω(k)t]
]dk} (3.0)
En este punto es conveniente introducir la siguiente notaci´on
f s =
1
√
2π
∞
−∞
f(s)ds (3.0)
que nos permitir´a no solo trabajar en forma m´as compacta, sino manteniendo una clara visi´on
de la estructura general del an´alisis que estamos realizando. En t´erminos de la nueva notaci´on la
f´ormula (3.0) para la soluciones reales de la ecuaci´on de ondas adopta la forma
u(x, t) =
1
2
√
2π
A(k)ei(kx−ωt)
+ A∗
(k)e−i(kx−ωt)
k (3.0)
Ahora utilizaremos esta forma de u(x, t) para evaluar las condiciones iniciales (2) y (2). Comen-
zaremos por evaluar la f´ormula (3.4) en t = 0 para obtener
u(x, 0) =
1
2
√
2π
Aeikx
+ A∗
e−ikx
k (3.0)
por otra parte, la evaluaci´on de la velocidad inicial requiere de una expresi´on para ∂
∂t
u(x, t) que
se puede encontrar usando t´ecnicas est´andar9
, el resultado de evaluar la velocidad en t = 0 es
el siguiente
∂
∂t
u(x, 0) =
−i
2
Aweikx
− A∗
we−ikx
k (3.1)
9
∂
∂t
ψ(x, t) =
1
2
{
1
2π
dk[A(k)(−iω(k))ei(kx−ωt)
+ A∗
(k)(iω(k))e−i(kx−ωt)
]} (3.1)
48. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 47
El uso de estas t´ecnicas nos ha llevado a poder construir el siguiente sistema de ecuaciones para
la amplitud de Fourier A(k)
φ(x) =
1
2
A(k)eikx
+ A∗
(k)e−ikx
k (3.1)
Ψ =
−i
2
A(k)ω(k)eikx
− A∗
(k)ω(k)e−ikx
k (3.1)
Para resolver este sistema comencemos por multiplicar ambos lados de las ecuaciones (3.4) y
(3.4) por el kernel
1
√
2π
e−iqx
integrando en x obtenemos
φ(x)e−iqx
x = 1
2
A(k)eix(k−q)
+ A∗
(k)e−ix(k+q)
k,x (3.2)
V (x)e−iqx
x = −i
2
A(k)w(k)eix(k−q)
− A∗
(k)w(k)e−ix(k+q)
k,x (3.3)
igualdades que al utilizar la relaci´on de completitud
2πδ(x − x ) =
+∞
−∞
dξei(x−x )
ξ (3.3)
implican
Φ(q) =
1
2
A(k)δ(k − q) + A∗
(k)δ(k + q) k (3.3)
un resultado an´alogo para V nos permite escribir el siguiente sistema de ecuaciones algebr´aicas
Φ(q) = 1
2
[A(q) + A∗
(−q)] (3.4)
V (q) = −i
2
[A(q)ω(q) − A∗
(−q)ω(−q)] (3.5)
49. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 48
que a menos e un detalle permite el calculo de la amplitud A(k), el detalle se puede resolver
observando que los m´ınimos requisitos f´ısicos de propagaci´on en uno u otro sentido obligan a la
condici´on de simetr´ıa: ω(q)=ω(-q), lo que convierte a la ´ultima de las dos ecuaciones del sistema
en
V (q) =
−i
2
ω(q)[A(q) − A∗
(−q)] (3.5)
El c´alculo de A(k) ahora es trivial, resultando que la amplitud de Fourier de la onda est´a dada
por
A(q) = Φ(q) + i
V (q)
ω(q)
(3.5)
Es instructivo detenerse a examinar el significado de la amplitud (3.4), en primer lugar resulta
claro que si la velocidad inicial (∂tu(x, 0)) es nula, la amplitud A(k) contiene la informaci´on
acerca de la forma inicial de la onda (que permanecera constante durante la propagaci´on). Por
otra parte, si la velocidad inicial no es nula el factor i
ω
en la expresi´on para la A(k) debe entenderse
como un filtro integrador que corresponde al t´ermino
x+ct
x−ct
Ψ(ξ)dξ
en la f´ormula (3.3).
Como hemos visto, la argumentaci´on que nos ha llevado a la expresi´on (3.4) para la am-
plitud de Fourier de una onda que se propaga en una dimensi´on ha sido totalmente riguroso.
El argumento intuitivo est´andar para la construcci´on de la amplitud A(k) consiste en construir
soluciones arm´onicas monocrom´aticas a la ecuaci´on de ondas, esto es, en proponer soluciones de
la forma
eikx−ωt
50. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 49
que luego de sustituirse en la ecuaci´on de ondas llevan a las relaciones de dispersi´on k2
= ω2
/c2
;
finalmente se recurre a la linealidad de la ecuaci´on de ondas para obtener la soluci´on general
(3.0) por superposici´on de modos arm´onicos y a partir de ese punto el argumento es id´entico al
que se ha presentado ac´a.
Figura 3.1: Una forma de onda representada en los dominios de n´umero de onda (k) y de posici´on
(x), obs´ervense los anchos de banda
Para concluir el cap´ıtulo queremos insistir de nuevo en el significado f´ısico de la amplitud
A(k), si la forma inicial de la onda u(x, 0) es una onda arm´onica monocrom´atica con n´umero de
51. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 50
onda k0 y si la velocidad inicial es nula, resulta evidente que la amplitud tendr´a la forma A(k) =
(2π)1/2
δ(k − k0) lo que lleva a que la onda viajera tenga la forma u(x, t) ∼ cos (kox − iωt + φ0).
Si por otra parte forma inicial de u(x, t) que se propagar´a posteriormente sin deformaci´on ocupa
una regi´on espacial finita de longitud aproximada ∆x entonces la amplitud A(k) tendr´a un ancho
de banda limitado ∆k centrado alrededor de un numero de onda ko.
3.5. Reflexi´on entre dos medios
Habiendo estudiado el problema m´as elemental posible de propagaci´on de ondas (la propa-
gaci´on unidimensional en un medio homog´eneo) es conveniente complicar un poco las cosas descri-
biendo alg´un fen´omeno m´as complejo. Con este fin, consideraremos las oscilaciones transversales
de dos cuerdas tensas unidas firmemente en un punto.
Comencemos por decir que la propagaci´on de un pulso transversal en una cuerda de densidad
de masa uiforme µ sometida a una tensi´on constante T est´a descrita por la ecuaci´on (ejercicio10
)
∂2
xu −
T
µ
∂2
t u = 0 (3.5)
de acuerdo a esto, si dos cuerdas de diferentes densidades se unen firmemente en x = 0, los
pulsos en ambas cuerdas estar´an descritos por ecuaciones del mismo tipo pero cambiando la
densidad seg´un la regi´on que se est´e describiendo. Adicionalmente, la continuidad del sistema y
de la tensi´on en el punto de contacto obligar´an a imponer las condiciones de borde (ejercicio:
10
AYUDA: para probar esto basta con utilizar la 2a
leyes de Newton y la aproximaci´on de peque˜nas oscilaciones
52. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 51
¿por qu´e?, explique)
l´ım
x→0−
u(x, t) = l´ım
x→0+
u(x, t) (3.6)
l´ım
x→0−
∂xu(x, t) = l´ım
x→0+
∂xu(x, t) (3.7)
nuestro objetivo consiste en inquirir acerca del problema de reflexi´on y transmisi´on en la interfaz.
Para simplificar el an´alisis supondremos que ambas cuerdas son semiinfinitas, y consideraremos
adicionalmente la incidencia de una onda arm´onica plana monocrom´atica que viene de x = −∞
(es decir: ψI(x, t) = AIei(kx−ωt)
). Es claro que un buen anzats para la soluci´on ψ(x, t) es el
siguiente
ψ(x, t) =
AIei(kx−ωt)
+ ARei(kx+ωt)
x < 0
AT ei(kx−ωt)
x > 0
(3.7)
donde AI, AR y AT son las amplitudes incidente, reflejada y transmitida. Al expresar AR y AT
en t´erminos de AI se obtiene (ejercicio)
AR =
z2 − z1
z1 + z2
AI y, (3.8)
AT =
2z2
z1 + z2
AI (3.9)
donde las cantidades zi -denominadas impedancias ac´usticas-, solo dependen de T y µi (ejercicio:
encuentre una expresi´on para las cantidades z1 y z2 en t´erminos de las densidades y la tensi´on ).
Si definimos los coeficientes de reflexi´on y transmisi´on como R = AR/AI y T = 1 − R se obtiene
(ejercicio)
R =
z2 − z1
z1 + z2
y, (3.10)
T =
2z1
z1 + z2
(3.11)
53. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 52
Estas dos cantidades contienen toda la informaci´on f´ısica de inter´es para el fen´omeno de reflexi´on
y transmisi´on que estamos estudiando. En efecto, las f´ormulas AR = RAI y AT = TAI nos mues-
tran que las formas amplitudes de onda reflejada y transmitida corresponden a un reescalamiento
de la amplitud incidente.
La onda transmitida siempre tiene el mismo signo que la onda incidente. Por otra parte, el
signo relativo (´o diferencia de fase) entre las amplitudes reflejada e incidente depende fuertemente
de las caracter´ısticas ac´usticas de ambos medios. En el l´ımite en que ambas impedancias ac´usticas
son muy parecidas casi no hay onda reflejada.
3.6. Una aplicaci´on geof´ısica:
Sismogramas Sint´eticos
Los resultados de este cap´ıtulo encuentran aplicaci´on inmediata en exploraci´on s´ısmica11
.
Si consideramos un modelo geol´ogico constituido por estratos horizontales homog´eneos y on-
das que inciden perpendicularmente a las interfaces entre dichos estratos (incidencia normal) es
posible dar una descripci´on muy simplificada de las ondas reflejadas por las interfaces (reflec-
tores s´ısmicos) en t´erminos de coeficientes de reflexi´on y transmisi´on. En efecto, de acuerdo a
nuestro modelo simplificado, cada capa es homog´enea y la propagaci´on de ondas es vertical (uni-
dimensional), en consecuencia, en cada capa las ondas ac´usticas deben obedecer a la ecuaci´on
11
En la s´ısmica de reflexi´on de ondas P la tierra se modela como un medio ac´ustico de manera que las cantidades
f´ısicas de inter´es son la velocidad de propagaci´on de las ondas P (v) y la densidad de las rocas (ρ) y las impedancias
ac´usticas se calculan como: z = ρ × v
54. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 53
∂2
z u −
∂2
t u
c2
i
= 0, donde ci es la velocidad de propagaci´on en cada capa y z la profundidad.
De acuerdo al modelo que estamos utilizando, en cada capa las ondas se propagan sin defor-
maci´on, y en cada interface generan una onda reflejada primaria (ψ
(i)
R ) y una onda transmitida
ψi
T cuyas amplitudes se calculan como el producto de la amplitud incidente por el coeficiente de
reflexi´on o transmisi´on correspondiente.
Desde el punto de vista pr´actico los coeficientes de transmisi´on son muy cercanos a 1, de
manera que si se desprecian las p´erdidas por transmisi´on, las amplitudes primarias reflejadas en
la i-´esima capa se estiman por la f´ormula:
ψ
(i)
R ≈ RiψS, con: R =
zi+1 − zi
zi + zi+1
(3.11)
donde ψS es la forma de onda introducida en la superficie. De acuerdo con esto, en un modelo
de N interfaces excitado en la superficie es ψS(t), las se˜nales reflejadas normalmente por las
interfaces son detectadas en los ge´ofonos como:
ψR(t) =
N
i=1
R(i)
ψS(t − Ti) (3.11)
donde Ti es el retardo asociado al tiempo de viaje de ida y vuelta entre la superficie y cada
reflector. De esta manera, si construimos la distribuci´on auxiliar (denominada serie de reflectivi-
dades):
R(t) =
N
i=1
R(i)
δ(t − Ti) (3.11)
podemos reescribir
ψR(t) = R(t) ∗ ψS(t) (3.11)
y esto es lo que se conoce como modelo convolucional de la traza s´ısmica.
55. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 54
En el caso de una zona de inter´es en que los reflectores sean bastante horizontales, la siguiente
modificaci´on de la f´ormula (3.6)
ψR(t) = R(t) ∗ ψS(t) + n(t) (3.11)
donde n(t) es una funci´on que pretende simular el ruido en la se˜nal (ruido aleatorio) permite
llevar a cabo un modelado sencillo relativamente realista de las trazas que se obtendr´ıan con
s´ısmica de superficie.
Esta secci´on dista bastante de ser solamente un ejercicio te´orico, en la t´ecnicaa interpretativa
de amarre a los datos de pozo, la serie de reflectividades que aparece en la f´ormula (3.6) se con-
struye con datos de registros de pozo (t´ıpicamente datos de densidad y s´onicos) y los sismogramas
sint´eticos se comparan con la s´ısmica de superficie.
56. Cap´ıtulo 4
La cuerda vibrante
4.1. La cuerda tensa y la ecuaci´on de ondas
En este cap´ıtulo vamos a deducir que la descripci´on din´amica de las oscilaciones transversales
de una cuerda est´a dada efectivamente por la ecuaci´on de ondas unidimensional.
Comencemos por considerar la din´amica de un peque˜no trozo de cuerda cuyos extremos est´an
en los puntos x − dx
2
y x + dx
2
. En ausencia de gravedad y considerando que las oscilaciones son
solo en la direcci´on y (de manera que la velocidad del trocito de cuerda es simplemente ∂t u(x, t),
podemos escribir la ecuaci´on de movimiento para la cuerda (segunda ley de Newton) como
T(x −
dx
2
) + T(x +
dx
2
) = µ∂2
t u(x, t) (4.0)
donde T(x − dx
2
) y T(x + dx
2
) son las fuerzas que act´uan en cada extremo de la cuerda.
55
57. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 56
Figura 4.1: Cuerda el´astica ideal.
La forma escalar de esta ecuaci´on vectorial es el sistema de ecuaciones
Tx(x −
dx
2
) + Tx(x +
dx
2
) = 0 (4.1)
Ty(x −
dx
2
) + Ty(x +
dx
2
) = µ ∂2
t u(x, t) (4.2)
donde Tx y Ty son las componentes horizontal y vertical de la tensi´on. Ahora bien, llamemos
α(x) al ´angulo que forman la cuerda y el eje x en el punto x, as´ı que Tx = |T| cosα(x) and
Ty = |T(x) senα(x)
La primera hip´otesis que haremos ser´a considerar que la cuerda no ejerce resistencia a la
flexi´on. Como consecuencia de esta hip´otesis, las tensiones son tangentes a la cuerda en cada
punto, de acuerdo a esto tanα(x) = ∂x u(x, t). La segunda hip´otesis consistir´a en considerar un
r´egiman de oscilaciones peque˜nas (esto es, que la amplitud de la oscilaci´on en cualquier instante
y punto de la cuerda -u(x, t)- satisface la condici´on u(x, t) << L donde L es la longitud de la
cuerda.
De acuerdo a las hip´otesis que estamos haciendo, los ´angulos tambi´en son chicos, y por lo
58. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 57
tanto cosα(x) ≈ 1, y senα(x) = senα(x + dx) ≈ tanα(x) = ∂xu(x, t). De ac´a sigue que
|T(x +
dx
2
)| − |T|(x −
dx
2
) ≈ 0 (4.3)
lo que implica (en esta aproximaci´on) que la magnitud de la tensi´on es constante (|T(x)| = T),
por otra parte,
Ty(x −
dx
2
) + Ty(x +
dx
2
) = T ∂xu(x +
dx
2
) − ∂xu(x −
dx
2
) , (4.4)
ahora bien,
∂xu(x +
dx
2
) − Tx(x −
dx
2
) = (∂xu(x, t) + ∂2
xu(x, t)
dx
2
+ . . . ) −
−(∂xu(x, t) + ∂2
xu(x, t)
−dx
2
+ . . . ) (4.4)
y de all´ı sigue que
T ∂xu(x +
dx
2
) − Tx(x −
dx
2
) ≈ T∂2
xu(x, t) dx (4.5)
Sustituyendo este resultado en la ecuaci´on para la aceleraci´on vertical del elemento de cuerda
resulta
∂2
x u(x, t) −
µ
T
∂2
t u(x, t) = 0 (4.5)
que no es otra cosa que la ecuaci´on de ondas unidimensional con velocidad de fase v =
√
Tµ
59. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 58
4.2. Consideraciones Energ´eticas
4.2.1. Flujo de Energ´ıa en Forma Diferencial
Consideremos la tasa de cambio en la energ´ıa cin´etica de un peque˜no trozo de cuerda cuyos
extremos est´an identificados por las coordenadas x y x + dx
dK
dt
=
dW
dt
, (4.5)
donde dW
dt
es la potencia1
que desarrollan las fuerzas que act´uan sobre el peque˜no trozo de cuerda,
es decir
dW
dt
= (T(x + dx) + T(x)).v. (4.5)
Como ya hemos discutido, la velocidad instant´anea (v) con que se desplaza el trozo de cuerda
cuando a trav´es de este viaja una onda transversal (cuyo movimiento es solo en la direcci´on del
vector ˆy = ˆ) est´a dada por v = ∂tu(x, t) ˆj. Sustituyendo de vuelta en la igualdad (4.2.1) queda
dW
dt
= [Ty(x + dx) + Ty(x)] ∂tu(x, t). (4.5)
Ahora bien, la componente vertical de la tensi´on no es otra cosa que Ty(x) = T∂xu(x, t) de
manera que2
,
dW
dt
= T[∂xu(x + dx) − ∂xu(x, t)]∂tu(x, t) = T∂2
xu(x, t)∂tu(x, t)dx + O(dx2
), (4.5)
1
recuerde que la potencia instant´anea desarrollada por una fuerza (F) que act´ua sobre una part´ıcula que en
un cierto instante t se mueve con velocidad v es P(t) = F.v
2
es necesario que insistamos en notar que el producto T∂xu(x, t) ∂tu(x, t) es la potencia desarrollada por la
tensi´on que act´ua en el punto x
60. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 59
as´ı, que en resumen, y despreciando los infinit´esimos de orden superior al primero, la rata de
cambio de la energ´ıa cin´etica del peque˜no trozo de cuerda se puede poner como
dK
dt
= T∂2
xu(x, t)∂tu(x, t) dx. (4.5)
Por otra parte, la expresi´on ∂2
xu(x, t)∂tu(x, t) que aparece en el miembro derecho de esta
´ultima igualdad puede reescribirse como3
∂2
xu(x, t)∂tu(x, t) = ∂x [∂xu(x, t)∂tu(x, t)] − ∂xu(x, t)∂2
xtu(x, t), (4.5)
adicionalmente, es facil darse cuenta de que
∂xu(x, t)∂2
xtu(x, t) = ∂t[
1
2
(∂xu(x, t)2
] (4.5)
de manera que
∂2
xu(x, t)∂tu(x, t) = ∂x [∂xu(x, t)∂tu(x, t)] − ∂t[
1
2
(∂xu(x, t)2
] (4.5)
reinsertando este resultado en la identidad (4.2.1), y utilizando el hecho de que T =constante
obtenemos el siguiente resultado parcial
dK
dt
= ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] − ∂t[
T
2
(∂xu(x, t)2
] dx. (4.5)
Observando que la energ´ıa cin´etica del trozo de cuerda est´a dada por
K =
µ
2
(∂tu(x, t))2
dx (4.5)
es posible reescribir la igualdad (4.2.1) en la forma
∂t
µ
2
(∂tu(x, t))2
+
T
2
(∂xu(x, t)2
dx = ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] dx. (4.5)
3
observe que esto no es m´as que el truco para hacer una integraci´on “por partes”: v du = d(vu) − dv u
61. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 60
es decir:
∂t
µ
2
(∂tu(x, t))2
+
T
2
(∂xu(x, t)2
= ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] . (4.5)
4.2.2. Energ´ıa potencial El´astica de la Cuerda
En este punto debemos detenernos a pensar en el significado de la cantidad T
2
(∂xu(x, t)2
que
aparece en el lado izquierdo de la igualdad (4.2.1). Para ello consideremos la cuerda en reposo,
en cuyo caso la longitud del trozo que estamos considerando es dl = dx. Durante el movimiento
de la cuerda la longitud del mismo trozo de cuerda resulta ser:
dl = dx2 + dy2 = 1 + (
dy
dx
)2 dx (4.5)
pero, el cociente diferencial dy
dx
no es otra cosa que ∂xu de manera que
dl = 1 + (∂xu)2 dx ≈ 1 +
1
2
(∂xu)2
dx (4.5)
de acuerdo a esto, la longitud del elemento de cuerda cambia en la cantidad ds = dl − dx =
1
2
(∂xu)2
dx. El producto de la tensi´on T por esta cantidad, no es otra cosa que el trabajo realizado
para cambiar la longitud de la cuerda, es decir, la energ´ıa potencial el´astica.
4.2.3. Flujo de Energ´ıa en Forma Integral
Si pensamos ahora en un trozo de cuerda cuyos extremos est´en indexados por las coordenadas
x1 y x2 (x1 < x2), podemos integrar en dx para obtener
dE(x1, x2; t)
dt
=
x2
x1
dx ∂x[∂xu ∂tu] (4.5)
62. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 61
donde hemos definido la tasa de cambio en la energ´ıa de la cuerda (la potencia) como:
dE(x1, x2; t)
dt
≡
x2
x1
dx ∂t
1
2
µ (∂tu)2
+
1
2
T (∂xu)2
) (4.5)
podemos integrar esta expresi´on en el tiempo (entre un instante arbitrario y el instante t) para
obtener la energ´ıa de la cuerda al instante t4
E(x1, x2; t) =
x2
x1
dx
1
2
µ (∂tu)2
+
1
2
T (∂xu)2
) (4.5)
si observamos la dimensionalidad de los objetos que aparecen en esta igualdad resulta evidente
que las cantidades
uc ≡
1
2
µ (∂tu)2
(4.6)
ue ≡
1
2
T (∂xu)2
(4.7)
tienen unidades de energ´ıa por unidad de longitud ( energia
longitud
) de manera que son densidades de
energ´ıa. Lo que nos permite reescribir la energ´ıa en la siguiente forma5
E(x1, x2; t) =
x2
x1
dx (uc + ue) (4.7)
Ac´a resulta claro que cada trozo de cuerda “almacena”energ´ıa en forma de energ´ıa cin´etica y
potencial
Volviendo nuestra atenci´on a la expresi´on (4.2.3 para la tasa de cambio de la energ´ıa alma-
cenada en la cuerda, podemos integrar el extremo derecho para obtener
dE(x1, x2; t)
dt
= T∂xu(x2, t)∂tu(x2, t) − T∂xu(x1, t)∂tu(x1, t) (4.7)
4
Ac´a aparece una constante aditiva que no tomamos en cuenta porque corresponde a la escogencia libre de un
valor de base para la energ´ıa potencial el´astica
5
que compararemos m´as adelante con un resultado an´alogo para el campo electromagn´etico
63. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 62
El significado de esta ecuaci´on deber´ıa ser claro:
Teorema 2 La tasa de cambio en la energ´ıa almacenada en un trozo de cuerda es igual a la
potencia que se entrega en los extremos del trozo de cuerda.
En este punto, y para prepararnos para cuando discutamos la teor´ıa electromagn´etica defi-
namos el vector
S(x, t) ≡ − T∂xu(x, t)∂tu(x, t)ˆi (4.7)
y los vectores que definen las normales exteriores a los l´ımites x1 y x2 de la regi´on de inter´es:
ˆn1 = −ˆı y ˆn2 = ˆi. En t´erminos de estos vectores, podemos reexpresar la f´ormula (4.2.3) como
dE(x1, x2; t)
dt
= −(S(x2, t).ˆn2 + S(x1, t). ˆn1) (4.7)
Ac´a bien vale la pena que nos entretengamos en un par de ejemplos expl´ıcito.
Ejemplo 1 Consideremos una onda que viaja hacia la derecha u(x, t) = f(x − vt), y calculemos
el vector S en este caso. Es claro que si f (x) = g(x)
S(x, t) = vT g(x − vt) g(x − vt)ˆı (4.7)
la forma de la dependencia espacio temporal de S, nos indica que S se comporta como una onda
viajera que se propaga con la velocidad de fase v.
Es claro que a´un tenemos una pregunta b´asica, ¿qu´e es S?. Para contestar esta pregunta seamos
a´un m´as expl´ıcitos.
64. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 63
Ejemplo 2 Consideremos una onda arm´onica monocrom´atica, u(x, t) = A cos(kx − ω t). En
este caso, el vector S est´a dado por
S = A2
k(−ω) T cos2
(kx − ω t) (−ˆı) = A2
v T cos2
(kx − ω t)ˆı (4.7)
y el promedio de S en un per´ıodo temporal (calT = 2π
ω
completo es
< S >=
1
T
t+T
t
dt A2
v T cos2
(kx − ω t)ˆı =
v T
2
A2 ˆi (4.7)
Estos ejemplos nos ense˜na dos cosas, la onda porta energ´ıa hacia la derecha, m´as a´un, el vector
S no es otra cosa que una medida de la potencia instant´anea que la onda entrega en cada punto
de la cuerda.
En el caso particular del segundo ejemplo, la potencia media que la onda entrega en un
punto arbitrario de la cuerda (< S(x, t) >) es proporcional al cuadrado de la amplitud, esto
es caracter´ıstico de las ondas lineales e induce la introducci´on de una cantidad denominada
intensidad, que en el caso de las ondas que se propagan en el espacio es la potencia instant´anea
que la onda deposita en un ´area unitaria ortogonal al vector que describe la propagaci´on de la
energ´ıa.
4.2.4. La Ecuaci´on de Continuidad
Resumiendo haste este ac´a, hemos aprendido que la ecuaci´on para el flujo de energ´ıa en un
punto de la cuerda puede ponerse en la forma
∂t ρ(x, t) + ∂x Sx(x, t) = 0 (4.7)
65. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 64
en donde la densidad de energ´ıa ρ est´a dada por
ρ(x, t) = uc(x, t) + ue(x, t) (4.7)
Es importante que en este momento desviemos completamente nuestra atenci´on y pensemos
en otro problema f´ısico. Consideremos un objeto de volumen V que pretendemos cargar el´ectri-
camente con una corriente I, ciertamente, la relaci´on entre la carga del objeto y la corriente
es
dQ
dt
= I, (4.7)
ahora bien, la carga total del objeto es evidentemente:
Q =
V
dv ρ (4.7)
donde ρ es la densidad volum´etrica con que la carga el´ectrica se distribuye en el objeto, mientras
que la corriente que penetra al objeto es I = − S
J.ˆn ds donde J es el vector de densidad
de corriente el´ectrica por unidad de ´area, y S la superficie cerrada que define al objeto. De
estamanera, la igualdad (4.2.4) que representa nada m´as y nada menos que la ley de conservaci´on
de la carga puede reexpresarse en la forma
V
dv ∂tρ +
S
J.ˆn ds = 0 (4.7)
usando el teoremade la divergencia, esta igualdad puede escribirse como
V
dv [∂tρ + .J] = 0 (4.7)
que por ser una identidad v´alida para cualquier volumen implica a su vez que -expresando .J
en forma desarrollada
∂tρ + ∂xJx + ∂yJy + ∂zJz = 0 (4.7)
66. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 65
que es entonces la forma diferencial de la ley de conservaci´on de la carga para una distribuci´on
cont´ınuade carga el´ectrica que es transportada por el vector J.
Las ecuaciones del tipo
∂tφ + .V = 0 (4.7)
en donde φ es la densidad volum´etrica asociada a alguna cantidad f´ısica y V un vector que
transporta dicha cantidad se conocen como ecuaciones de continuidad y expresan la conservaci´on
de la cantidad f´ısica. As´ı, por ejemplo, un fluido de densidad ρ que es transportado a velocidad
v tiene un vector de densidad de corriente dado sencillamente por J = ρv (note que las unidades
de J son gr/(cm2
× seg)), de manera que la conservaci´on de la cantidad de fluido se expresa en
forma diferencial como
∂tρ + .(ρv) = 0 (4.7)
Esta disgresi´on nos muestra claramente, que la igualdad (4.2.4 con que empezamos esta
secci´on no es otra cosa que la ley de conservaci´on de la energ´ıa expresada como una ecuaci´on de
continuidad para la densidad de energ´ıa en la cuerda y el vector S de transporte de potencia.
4.3. La cuerda con extremos fijos
En esta secci´on queremos discutir las oscilaciones transversales de una cuerda tensa cuyos
extremos localizados en x = 0 y x = L est´an fijos, esto es, que los valores de u(x, t) deben
satisfacer las condiciones de frontera
u(0, t) = 0 (4.8)
u(L, t) = 0 (4.9)
67. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 66
La soluci´on de D’Alambert es particularmente adecuada para problemas en que la longitud
del intervalo es muy larga y el movimiento de la cuerda hacia los extremos es nulo. Para resolver
el problema particular que nos interesa en esta secci´on la soluci´on de D’Alambert presenta ciertos
inconvenientes t´ecnicos y resulta mejor buscar la soluci´on del problema de valores inciales.
4.3.1. Problemas de contorno y series de Fourier
Para resolver el problema de la cuerda vibrante con extremos fijos (y otros parecidos) se
utiliza una t´ecnica conocida como separaci´on de variables, que consiste en proponer el siguiente
anzats6
para resolver la ecuaci´on de ondas unidimensional.
u(x, t) = X(x)T(t), (4.9)
al sustituir esta funci´on en la ecuaci´on de ondas se obtiene
X T −
1
v2
X ¨T = 0 (4.9)
donde ahora las derivadas no son parciales sino ordinarias ( = d
dx
, ˙= d
dx
), la ecuaci´on (4.3.1) se
puede reescribir en la forma
X T =
1
v2
X ¨T (4.9)
y ac´a es que podemos hacer la observaci´on que sustenta el m´etodo: ‘!cada uno de los lados de esta
ecuaci´on tiene que ser constante!, en consecuencia, el anzats de separaci´on de variables convierte
el problema de resoluci´on de la ecuaci´on de ondas unidimensional en el de resolver dos ecuaciones
6
una soluci´on de este tipo es denominada soluci´on en variables separadas
68. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 67
ordinarias dependientes de un par´ametro real denominado constante de separaci´on como sigue:
X
X
= κ2
(4.10)
1
v2
¨T
T
= κ2
(4.11)
Para el caso que nos ocupa hay tres posibilidades: κ2
= 0, κ2
> 0 y κ2
< 0
En el primer caso κ = 0 la ecuaci´on para X es la siguiente
X = 0, (4.11)
con soluci´on X(x) = Ax + B, al evaluar las condiciones de borde obtenemos
X(0) = A0 + B = 0, y (4.12)
X(L) = AL + B = 0 (4.13)
que es un sistema lineal que solo posee la soluci´on trivial (A = 0, B = 0).
El segundo caso: κ2
> 0 tambi´en lleva (ejercicio) a X(x) = 0
Finalmente, el caso κ2
< 0 lleva a un an´alisis m´as interesante, que comienza por observar la
ecuaci´on diferencial para X
X = −κ2
X = 0 (4.13)
cuya soluci´on general es bien conocida
X(x) = Asen(κx) + Bcos(κx) (4.13)
Al evaluar las condiciones de frontera obtenemos de nuevo un sistema lineal para los coeficiente,
en este caso:
0 1
sen(κL) cos(κL)
A
B
=
0
0
, (4.13)
69. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 68
que en notaci´on compacta reescribimos como:
MA = 0 (4.13)
donde
M =
0 1
sen(κL) cos(κL)
y A =
A
B
(4.13)
La existencia de soluciones no triviales para el sistema (4.3.1) est´a definida por la no inversibil-
idad de la matriz M, que a su vez est´a dada por la nulidad de su determinante, al estudiar esta
condici´on obtenemos
det(M) = 0 ⇐⇒ sen(κL) = 0 (4.13)
esta condici´on implica las siguientes condiciones para el valor de κ (existencia de un n´umero
infinito de autovalores)
κ × L = nπ, n = 1, 2, . . . (4.13)
o equivalentemente
κ =
nπ
L
, n = 1, 2, . . . (4.13)
al reinsertar esto en el problema lineal queda
0 1
0 cos(nπ)
A
B
=
0
0
(4.13)
que implica: B = 0 y A arbitrario. De manera que las soluciones espaciales (autofunciones)
compatibles con las condiciones de frontera tienen la forma
Xn(x) = Asen(
nπx
L
) (4.13)
70. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 69
Para construir la parte temporal (T(t)) asociada a cada soluci´on espacial factible, debemos
recordar que T obedece la ecuaci´on general: 1
v2
¨T
T
= −κ2
, de manera que para cada autofunci´on
espacial, la funci´on temporal correspondiente estar´a dada por la soluci´on general de
1
v2
¨T
T
= −
n2
π2
L2
(4.13)
donde debemos destacar la dependencia en el autovalor, al reescribir esta ecuaci´on en la forma
¨T =
n2
π2
v2
L2
T (4.13)
y definiendo ω2
= n2π2v2
L2 resulta
¨T = −ω2
nT (4.13)
de donde sigue que
Tn(t) = ansen(ωnt) + bncos(ωnt) (4.13)
de esta manera, al multiplicar por la soluci´on espacial correspondiente obtenemos
un(x, t) = [asen(ωnt) + bcos(ωnt)]sen(
nπx
L
) (4.13)
Ahora bien, debemos notar que para cada n un(x, t) es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas
que sartisface las condiciones de frontera, sin embargo, como la ecuaci´on es lineal, la super-
posici´on de soluciones tambi´en es soluci´on, de manera que -por ejemplo-, la funci´on: u(x, t) =
un1 (x, t) + un2 (x, t) es soluci´on de la ecuaci´on de ondas.
Este razonamiento puede extenderse a la superposici´on de un n´umero arbitrario de soluciones
de manera que, la soluci´on m´as general de la ecuaci´on de ondas compatible con las condiciones
71. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 70
de frontera que hemos dado estar´a dada por la siguiente superposici´on infinita de soluciones:
u(x, t) =
∞
n=1
[an sen(ωnt) + bn cos(ωnt)]sen(
nπx
L
) (4.14)
ω = v
nπ
L
(4.15)
Donde evidentemente, a´un tenemos un n´umero infinito de constantes arbitrarias que se de-
terminan a partir de las condiciones iniciales: u(x, 0) = φ(x) y ∂tu(x, 0) = ψ(x).
Antes de abocarnos al c´alculo de las constantes es importante que destaquemos que inicial-
mente busc´abamos una soluci´on en variables separadas y que hemos encontrado una soluci´on
general que obviamente no posee esta estructura pero (y esto es notable) que est´a expresada
como superposici´on de soluciones separadas. M´as aun, es posible demostrar que (bajo ciertas
condiciones), la serie as es convergente y que cualquier soluci´on de la ecuaci´on de ondas puede
ser aproximada por una serie del tipo (4.14) tanto como se quiera.
4.3.2. C´alculo de los coeficientes
En la secci´on anterior hab´ıamos encontrado una expresi´on para la soluci´on general del prob-
lema que describe las oscilaciones transversales de una cuerda con sus extremos fijos en x = 0 y
x = L, a saber:
u(x, t) =
∞
n=1
[ansen(ωnt) + bncos(ωnt)] sen(
nπx
L
) (4.15)
y hab´ıamos comentado acerca de la necesidad de utilizar las condiciones iniciales para evaluar los
coeficientes, labor a que nos vamos as dedicar a continuaci´on. Al evaluar las condiciones iniciales:
u(x, 0) = φ(x) y ∂t u(x, 0) = ψ(x) se obtiene:
72. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 71
u(x, o) =
∞
n=1
[ansen(ωn0) + bncos(ωn0)] sen(
nπx
L
) = u(x) (4.16)
∂t u(x, o) =
∞
n=1
[anωncos(ωn0) − bnωnsen(ωn0)] sen(
nπx
L
) = v(x) (4.17)
esto es:
φ(x) =
∞
n=1
bn sen(
nπx
L
) (4.18)
ψ(x) =
∞
n=1
anωn sen(
nπx
L
) (4.19)
Dicho en pocas palabras: los coeficientes an y ωn bn son los coeficientes de los desarrollos en
serie de Fourier unidimensional de las funciones φ(x) y ψ(x). Ahora bi´en, cabe preguntarse ¿c´omo
se calculan los coeficientes?.
Para contestar esta pregunta concentr´emonos en calcular los coeficientes de la primera de estas
series (4.18). para ello comencemos por multiplicar ambos lados de la igualdad por sen(pπx
L
) luego
de lo cual vamos a integrar entre 0 y L para obtener:
L
0
sen(
pπx
L
) φ(x)dx =
∞
n=1
bn
L
0
sen(
pπx
L
)sen(
nπx
L
)dx (4.19)
donde “abusivamnete”hemos invertido el orden de la suma y la integraci´on.
Ahora bien, el siguiente resultado (ejercicio)
L
0
sen(
pπx
L
)sen(
nπx
L
)dx ==
L
2
si n = p
0 si = p
(4.19)
73. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 72
Que puede reescribirse como
L
0
sen(
pπx
L
)sen(
nπx
L
)dx =
L
2
δnp (4.19)
donde
δmn =
1 si n = p
0 si n = p
(4.19)
permite demostrar sin ning´un problema que
bp =
2
L
L
0
sen(
pπx
L
)u(x)dx (4.19)
an´alogamente:
ap =
2
ωpL
L
0
sen(
pπx
L
)u(x)dx (4.19)
De esta manera, hemos calculado los coeficientes de la representaci´on en serie de la soluci´on
al problema que nos interesaba.
Probablemente, uno de los comentarios m´as importante que podemos hacer en este momento
sea el siguiente:
Los coeficientes de una serie de Fourier son ´unicos.
Esto significa que si de alguna manera -diferente a calcular- somos capaces de encontrar los
coeficientes, ya no har´a falta nada m´as por hacer. A este respecto vale la pena comentar un
ejemplo sencillo.
Supongamos que las condiciones iniciales para un problema son
φ(x) =
1
2
sen(
2π x
L
) (4.20)
ψ(x) =
v
3
sen(
3π x
L
) (4.21)
