libros sobre deportes

1. Carlos H. J. Calderón Chamochumbi, PhD, OPM
Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica & Instituto de Investigación
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE PORRES

2. A physical – mathematical formulation
for the general solution of the
coordinate determination of n identical
point charges on the surface of a
conducting sphere based on the
electrostatic force law and symmetry
considerations is presented. The
corresponding case for four charges is
solved.

3. “Espejo Acústico con Inversión del Tiempo”
32 tranductores acústicos uniformemente
distribuidos sobre una superficie esférica.
Cinco sólidos de caras poligonales regulares:
tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro:triángulos, cuadrados, pentágonos.
Teorema de Euler para poliedros convexos:
C + V = L + 2
Adosando 12 pirámides pentagonales al
dodecaedro se logró un hexacontaedro
pentagonal de 32 vértices y caras.

4. ¿Y si, por ejemplo, hubiesen sido 31 o 33 los
transpondedores acústicos requeridos?
No existe respuesta exacta para la pregunta y
se opta por el tanteo. Se anota, sin embargo,
la similitud con el problema electrostático de
n cargas puntiformes sobre la superficie de
una esfera conductora. Aunque no es posible
lograr equilibrio estable electrostáticamente,
si es factible el equilibrio precario. Al definir
como Polo Norte la posición de cualquiera de
las cargas y ubicando en el Meridiano Principal
a una de sus cargas adyacentes se logra la
formulación físico – matemática del problema.
Finalmente, se resuelve el caso para n = 4.

5. Condición de mínima energía es equivalente
a configuración de máxima separación entre
las cargas. Sea q el valor de cada carga; a, el
radio de la esfera y ûri a, el vector de posición
de la i – ésima carga sobre la esfera. Fuerza
en cada carga no puede poseer componente
tangencial. Configuración debe ser simétrica.
La fuerza sobre cada carga es estrictamente
radial; módulo es igual para todas las cargas.
Se descarta la configuración de las cargas a
lo largo de un círculo máximo de la esfera.

6. Fuerza sobre i – ésima carga producida por la
j – ésima carga está dada por la expresión:
Fij = [q^2 / (8√20a^2)]
(ûri – ûrj)/ (1– ûri.ûrj)^3/2
Fuerza total sobre i – ésima carga producida
por las demás n – 1cargas viene dada por:
Fi = [q^2 / (8√20a^2)]
j1 [(ûri – ûrj)/ (1– ûri.ûrj)^3/2]; i, j = 1, 2, 3… n
Fuerza normal sobre i – ésima carga causada
por las demás n – 1cargas viene dada por:
Ni = ûri [q^2 / (8√20a^2)]
j1 1/ (1– ûri.ûrj)^1/2]; i, j = 1, 2, 3… n

7. Fuerza tangencial sobre i – ésima carga causada por
las demás n – 1cargas es:
Ti = Fi – Ni; i, j = 1, 2, 3…n; j  i.
Ti = [q^2/ (8√20a^2)]
j1 [(ûri (ûri.ûrj) – ûrj)/(1– ûri.ûrj)^3/2];
i, j = 1, 2, 3…n; j  i.
ûri = i Seni Cosi + j Seni Seni + k Cosi
ûi = i Cosi Cosi + j Cosi Seni – k Seni
ûi = – i Seni + j Cosi
i = ûri Seni Cosi + ûi Cosi Cosi – ûi Seni
j = ûri Seni Seni + ûi Cosi Seni + ûi Cosi
K = ûri Cosi – ûi Seni

8. ûrj = i Senj Cosj + j Senj Senj + k Cosj
ûrj = ûri [Seni Senj Cos(i – j) + Cosi Cosj] +
ûi [Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj] +
ûi Senj Sen(i – j)
ûri . ûrj = Seni Senj Cos(i – j) + Cosi Cosj
Ti = [q^2/(8√20a^2)] ij  
{– ûi [Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj]
+ ûi Senj Sen(i – j)} /
{1 – [Seni Senj Cos(i – j) +Cosi Cosj]}^3/2

9. ji  {– ûi [Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj]
+ ûi Senj Sen(i – j)} /
{1 – [Seni Senj Cos(i – j) +Cosi Cosj]}^3/2 
= 0; i, j = 1, 2, 3…n.
N = [q^2/(8√20a^2)] ij  1/
(1- ûri . ûrj)^1/2; i, j = 1, 2, 3…n.
N  8√20a^2/q^2
i=1  n ûri = 0
i=1  n Mi = 0

10. i=1  n Seni Cosi = 0
i=1  n Seni Seni = 0
i=1  n Cosi = 0
ji  [1/(1 – ûri .ûrj)^1/2] = N; i, j = 1, 2, 3…n.
ji  {[Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj]/
(1- ûri . ûrj)^3/2 = 0; i, j = 1, 2, 3…n.
ji  {Senj Sen(i – j)/(1- ûri . ûrj)^3/2 = 0;
i, j = 1, 2, 3…n.

11. Caso n = 4:
Primera carga en el Polo Norte 
1 = 0; Sen1 = 0, Cos1 = 1
Segunda carga en el Meridiano Principal 
2, 2 = 0; Sen2 = 0, Cos2 = 1
Sen2 + Sen3 Cos3 +Sen4 Cos4 = 0
Sen3 Sen3 +Sen4 Sen4 = 0
1 + Cos2 + Cos3 + Cos4 = 0

12. [1/(1 – Cos2)^1/2] + [1/(1 – Cos3)^1/2] +
[1/(1 – Cos4)^1/2] = N
[1/(1 – Cos2)^1/2] + [1/(1 – ûr2 . ûr3)^1/2] +
[1/(1 – ûr2 .ûr4)^1/2] = N
[1/(1 – Cos3)^1/2] + [1/(1 – ûr2 . ûr3)^1/2] +
[1/(1 – ûr3 .ûr4)^1/2] = N
[1/(1 – Cos4)^1/2] + [1/(1 – ûr2 . ûr4)^1/2] +
[1/(1 – ûr3 .ûr4)^1/2] = N

13. Las fuerzas tangenciales de la j – ésima carga
están expresadas en función de los vectores
unitarios esféricos de la i – ésima carga pero
el ángulo  es indeterminado en el eje z
porque es igual a Arctan y/x así que û ni û
pueden ser definidos en los Polos Norte o Sur.
La primera carga se halla en el Polo Norte así
que las respectivas ecuaciones cambian a:
ji  {[Cosi Senj Cos(i – j) – Seni Cosj]/
(1- ûri . ûrj)^3/2 = 0; i  1, j = 1, 2, 3…n.
ji  {Senj Sen(i – j)/(1- ûri . ûrj)^3/2 = 0;
i  1, j = 1, 2, 3…n.

14. Insertándoles los valores posibles de i y j, las
dos ecuaciones próximas anteriores devienen
en las siguientes seis expresiones:
– Sen2/(1- Cos2)^3/2 +
(Cos2 Sen3 Cos3 – Sen2 Cos3)/
(1- ûr2 . ûr3)^3/2 +
(Cos2 Sen4 Cos4 – Sen2 Cos4)/
(1- ûr2 . ûr4)^3/2 = 0
– Sen3/(1- Cos3)^3/2 +
(Cos3 Sen2 Cos3 – Sen3 Cos2)/
(1- ûr2 . ûr3)^3/2 +
(Cos3 Sen4 Cos(4 – 3) – Sen3 Cos4)/
(1- ûr2 . ûr3)^3/2 = 0

15. – Sen4/(1- Cos4)^3/2 +
(Cos4 Sen2 Cos3 – Sen3 Cos4)/
(1- ûr2 . ûr3)^3/2 +
(Cos3 Sen4 Cos(3 – 4) – Sen3 Cos4)/
(1- ûr3 . ûr4)^3/2 = 0
Sen3 Sen3/(1- ûr2 .ûr3)^3/2 +
Sen4 Sen4/(1- ûr2 .ûr4)^3/2 = 0
Sen2 Sen3/(1- ûr2 .ûr3)^3/2 +
Sen4 Sen(3 – 4)/(1- ûr3 .ûr4)^3/2 = 0
Sen2 Sen4/(1- ûr2 .ûr4)^3/2 +
Sen3 Sen(4 – 3)/(1- ûr3 .ûr4)^3/2 = 0

16. La simetría de la configuración de equilibrio
requiere que las distancias angulares entre
cargas consecutivas sean iguales, por tanto,
ûr1 . ûr2 = ûr2 . ûr3 = ûr3 .ûr4
Insertando las últimas ecuaciones en las de
las fuerzas radiales resulta también:
ûr1 . ûr2 = ûr2 . úr4, ûr1 .ûr3 = ûr3 .ûr4
Cos2 = ûr1 . ûr2, Cos3 = ûr1 .ûr3, Cos4 = ûr1 .ûr4
2 = 4

17. El conjunto de ecuaciones del módulo de la
fuerza radial se reduce a:
[2/(1 – Cos2)^1/2] + [1/(1 – Cos3)^1/2] = N
Análogamente, la ecuación de la suma de los
cosenos se convierte en:
Cos3 = (- Cos2)^1/2
Luego,
2 = 4  /2
Las componentes circunferenciales rinden:

18. Sen3 = Sen(4 – 3)
Entonces,
4 = 23, 
Las componentes tangenciales polares dan:
Sen2 (1 + 3Cos2) +
Cos3 Sen3 [Cos3 – Cos(4 – 3)] = 0
Sustituyendo cualquiera de los valores de 4
en la última ecuación genera:
Cos2 = – 1/3

19. ûr2 . ûr3 = Sen2 Sen3 Cos3 + Cos2 Cos3
(Sen2)^2 Cos3 + (Cos2)^2 = – 1/3
3 = 2/3
La primera opción de 4 rinde:
4 = 4/3
Para la segunda opción de 4 se calcula:
ûr2 . ûr3 = (Sen2)^2 Cos3 + (Cos2)^2

20. (Sen2)^2 Cos4 + (Cos2)^2 = – 1/3
Insertando 4 =  ó despejando 4 en la
última ecuación resulta un contrasentido por
lo que esta opción de 4 debe ser descartada.
Así,
N = 33/2, N = 36q^2/(320a^2) N
1 = 0; 2 = 109 28’ 16.4”, 2 = 0;
3 = 109 28’ 16.4”, 3 = 120;
4 = 109 28’ 16.4”, 4 = 240

21. Las coordenadas obtenidas coinciden con las
de los vértices del tetraedro circunscrito por
una esfera al yacer uno de los vértices en el
Polo Norte y otro en el Meridiano Principal de
la esfera.
RESULTADOS
CONCLUSIONES
RECOMENDACIÓN
AGRADECIMIENTO

22. BIBLIOGRAFÍA
L. M. Magid, Electromagnetic Fields, Energy,
and Waves, John Wiley & Sons, Inc., New York,
London, Sydney, Toronto, pp. 49 – 59.
DESPEDIDA
Adiós, Paqarincaman, Goodbye, Au revoir,
Auf Wiedersehen, До свидания, Zài jiàn,
Do Widzenia, Arrivederci, Sayonara.