Superfícies e sólidos geometricos
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Este documento discute as formas geométricas encontradas na natureza e as classificações de superfícies e sólidos geométricos. Primeiro, ele explica que objetos naturais como cristais têm formas geométricas como cubos e pirâmides hexagonais. Em seguida, classifica e descreve vários tipos de superfícies planas e curvas, incluindo planas, cônicas, cilíndricas e de revolução. Por fim, classifica e descreve sólidos geométricos como poliedros (com faces planas
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Superfícies e sólidos geometricos
- 1. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual Superfícies e Geométricos Sólidos 1
- 2. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual Superfícies 2
- 3. As Formas existentes na Natureza, superfícies e Sólidos Geométricos Todos os seres vivos e não vivos, que nos rodeiam, têm formas geométricas próprias. Podemos associar a forma do cristal de pirite ao cubo e a forma do cristal de quartzo a um prisma hexagonal que termina em pirâmide hexagonal. Sólidos Geométricos “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Pirâmide Cubo Prisma 3
- 4. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Superfícies A SUPERFÍCIE é uma entidade bidimensional gerada pelo movimento contínuo da linha. São obtidas por meio dos seguintes procedimentos : Movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva passando por um ponto fixo não pertencente a ela. Movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva fixada (diretriz) sempre paralelamente a uma outra linha reta fixa. Fazendo um giro de 360° de uma curva (geratriz) em torno de uma linha reta fixada (eixo de revolução). A DIRECTRIZ é a linha ou superfície em que se apoia a geratriz no seu movimento Se a directriz é uma linha aberta gera uma superfície aberta, Se a directriz é uma linha fechada gera uma superfície fechada A GERATRIZ é a linha, deformável ou indeformável, que se move no espaço para gerar a superfície. no seu movimento. 4
- 5. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies 5
- 6. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies 6
- 7. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Superfícies abertas ou fechadas Superfícies geométricas A geratriz e a directriz da superfície são curvas geométricas Superfícies irregulares Não satisfazem as condições a que obedecem as superfícies geométricas ex: superfícies topográficas 7
- 8. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Regradas A geratriz é uma linha recta Planificáveis - Podem ser desenroladas numa superfície plana sem cortes ou enrugamentos Empenadas - Superfície regrada que não é possível planificar Não regradas - A geratriz não é uma linha recta 8
- 9. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Superfícies regradas planificáveis Superfície plana - Gerada pelo movimento de uma recta (geratriz) paralelamente a si própria e apoiando-se constantemente numa recta fixa (diretriz) Superfície cónica Gerada pelo movimento de uma recta (geratriz) que tem um ponto fixo (vértice da superfície) e apoiando-se constantemente numa linha fixa (diretriz) 9
- 10. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Superfície cilíndrica Gerada pelo movimento de uma recta (geratriz) paralelamente a si própria e apoiando-se constantemente numa linha fixa (directriz) Helicóide planificável Gerada pelo movimento da tangente a uma hélice cilíndrica (geratriz) quando o ponto de contacto se desloca sobre a hélice (directriz) 10
- 11. Superfícies regradas empenadas eixo Helicóide empenado - Gerada pelo movimento de uma recta (geratriz) que se apoia sobre uma hélice cilíndrica e mantém uma distância fixa ao eixo desta mantendo constante o ângulo entre a geratriz e o eixo Hiperbolóide de uma folha - Gerado pelo movimento de uma recta (geratriz) que se apoia sobre três rectas enviesadas duas a duas “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies 11
- 12. ___________________________________________________________ superfícies Parabolóide hiperbólico Gerado pelo movimento de uma recta (geratriz) que se apoia sobre duas rectas enviesadas e se mantém paralela a um plano fixo (plano diretor da superfície) 12
- 13. Superfícies de revolução São geradas pelo movimento de uma linha (geratriz) em torno de uma recta fixa (eixo da superfície), mantendo constante a distância de cada ponto da geratriz ao eixo da superfície. Superfícies de revolução Regradas (são três) Cone de revolução A geratriz e o eixo são concorrentes Cilindro de revolução Superfície empenada de revolução A geratriz e o eixo são paralelos A geratriz e o eixo são enviesados “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ Superfícies 13
- 14. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies Superfícies de revolução Não Regradas Esfera Gerada pela rotação de uma circunferência em torno de um seu diâmetro Elipsóide de revolução - Gerada pela rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos (Elipsóide alongado Elipsóide achatado) a - semi-eixo menor b - semi-eixo maior 14
- 15. Hiperbolóide de revolução - Gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de um dos seus eixos Hiperbolóide de revolução de duas folhas Hiperbolóide de revolução de uma folha “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies 15
- 16. eixo Parabolóide de revolução Gerada pela rotação de uma parábola em torno do seu eixo Toro - Gerada pela rotação de uma circunferência em torno de uma recta qualquer do seu plano “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________________ superfícies 16
- 17. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual Sólidos Geométricos 17
- 18. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Sólidos Geométricos Os sólidos geométricos são volumes tridimensionais que tem na sua constituição figuras geométricas que podem ser poliedros se tiverem superfícies planas ou não poliedros se tiverem superfícies planas e curvas Poliedros Limitados por superfícies planas Não Poliedros Limitados por algumas superfícies curvas 18
- 19. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Poliedros • Poliedros são sólidos geométricos em que as faces são planas. ex: Cubo – É um prisma com 6 faces quadrados. Arestas Segmentos de recta que resultam de intersecção de 2 faces contíguas. Vértice Pontos comuns a 3 ou mais arestas. Face Superfícies planas que limitam o sólido 19
- 20. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Cubo Nome do Poliedro Polígono da base Cubo Quadrado Poliedro Nº de Faces 6 Nº de Arestas 12 Nº de Vértices 8 20
- 21. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Polígonos • • Polígonos – As figuras planas, que limitam os poliedros, denominam – se polígonos. Classificação de acordo com o nº de lados: Nome Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono 5 6 Polígono Nº de Lados 3 4 Polígono Regular: Quando os lados têm o mesmo comprimento e os ângulos a mesma amplitude 21
- 22. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Recta, Semi-recta, Segmento de Recta O polígono da figura é o triângulo [ A B C] ● A, B, C, são vértices deste polígono ● [ AB], [ BC], [CA] são lados deste polígono, segmentos de recta. ● Prolongando para ambos os lados, indefinidamente o lado [ AC], obtemos a recta r ou recta AC. ● Prolongando para um dos lados, indefinidamente o lado [ AB], obtemos a semi-recta AB. ou AB ( semi-recta com origem em A ) 22
- 23. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Classificação de Poliedros • • Os prismas e as pirâmides são classificados a partir do polígono da base. Os prismas são poliedros com 2 bases. As suas faces laterais são sempre quadriláteros. Nome do Poliedro Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal Polígono da base Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Poliedro Nº de Faces 5 6 7 8 Nº de Arestas 9 12 15 18 Nº de Vértices 6 8 10 12 23
- 24. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Classificação de Poliedros • As pirâmides são poliedros com uma só base. As suas faces laterais são triângulos. Nome do Poliedro Polígono da Base Pirâmide Pirâmide triangular quandrangular Pirâmide pentagonal Pirâmide hexagonal Triângulo Pentágono Hexágono Quadrado Poliedro Nº de Faces 4 5 6 7 Nº de Arestas 6 8 10 12 Nº de Vértices 4 5 6 7 24
- 25. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Poliedros Em qualquer poliedro: Formula: Nº de Faces + Nº de Vértices = Nº de Arestas + 2 25
- 26. Poliedros Poliedros com faces geometricamente iguais Tetraedro ( 4 faces ) Cubo ( 6 faces ) Octaedro ( 8 faces ) Dodecaedro ( 12 faces ) Icosaedro ( 20 faces ) “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos 26
- 27. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Não Poliedros • Não Poliedros - São sólidos geométricos que possuem algumas superfícies curvas. Com 2 bases, que são círculos, e a superfície lateral curva Toda a superfície curva Com 1 base, que é um círculo, e a superfície lateral curva 27
- 28. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual ___________________________________________________ sólidos geométricos Figuras geometricamente iguais ● Segmentos de recta que se podem sobrepor ponto por ponto, dizem-se geometricamente iguais. ● Polígonos que se podem sobrepor, ponto por ponto, dizem-se geometricamente iguais. ● Dois Sólidos são geometricamente iguais se têm a mesma forma e as mesmas dimensões. 28
- 29. “in” visual fernando rodrigues mendes – professor de educação visual Superfícies e Geométricos Sólidos 29